쌍대공간

Module $\Hom_\lMod{A}(M,N)$

임의의 left $A$-module $M,N$을 고정하자. 그럼 $\Hom_\lMod{A}(M,N)$은 abelian group이지만, 일반적으로 left $A$-module의 구조를 갖지는 않는다. 즉 일반적으로 임의의 $\alpha\in A$, $u\in\Hom_\lMod{A}(M,N)$에 대하여 다음의 식

\[x\mapsto \alpha u(x)\]

으로 정의된 함수 $\alpha u: M \rightarrow N$은 $A$-linear map이 아니다. 이는 임의의 $\beta\in A$와 $x\in M$에 대하여, 다음 식

\[(\alpha u)(\beta x)=\alpha u(\beta x)=\alpha \beta u(x)\neq \beta\alpha u(x)=\beta\cdot ((\alpha u)(x))\]

으로 확인할 수 있다. 그러나 역시 이 식으로부터, 만일 $\alpha$가 $A$의 center에 속한다면 $\alpha u$는 $A$-linear map이 된다는 것을 안다. 즉 $A$의 center $Z(A)$에 대하여, $\Hom_\lMod{A}(M,N)$은 left $Z(A)$-module이다. 비슷한 논리에 의하여, 임의의 right $A$-module $M,N$에 대하여 $\Hom_\rMod{A}(M,N)$은 right $Z(A)$-module임을 안다.

한편, left $A$-module $M,N$이 주어져 있는데, 특히 $N$ 위에 이와 호환되는 right $B$-module 구조가 있는 경우, 즉 $N$이 $(A,B)$-bimodule인 경우를 생각하자. 그럼 임의의 $\beta\in B$와 $u\in\Hom_\lMod{A}(M,N)$에 대하여, 식

\[x\mapsto u(x)\beta\]

으로 정의된 함수 $u\beta: M \rightarrow N$은 $A$-linear map인 것을 다음의 식

\[(u\beta)(\alpha x)=u(\alpha x)\beta=\alpha u(x)\beta=\alpha((u\beta)(x))\]

으로부터 확인할 수 있다. 비슷한 논리가 right $A$-module $M$, $(B,A)$-bimodule $N$에 대해서도 성립한다.

쌍대공간의 정의

임의의 ring $A$는 그 위에 정의된 곱셈구조를 통해 자연스러운 $(A,A)$-bimodule 구조를 갖는다. 따라서 앞선 논증에 의하여 $\Hom_{\lMod{A}}(M, A)$을 right $A$-module로 생각할 수 있다.

정의 1 위에서 정의한 right $A$-module $\Hom_{\lMod{A}}(M, A)$를 $M$의 dual module_쌍대가군이라 부르고 $M^\ast$로 적는다.

비슷하게 right $A$-module $M$이 주어졌다면 $\Hom_{\rMod{A}}(M,A)$를 left $A$-module로 볼 수 있으며 우리는 이를 $M$의 dual module이라 부른다. 특별히 $M=A$인 경우, 혼동을 피하기 위해 $A$를 left $A$-module로 본 것을 $A_l$, right $A$-module로 본 것을 $A_r$로 적는다면 두 식 $A_l^\ast=A_r$이고 $A_r^\ast=A_l$을 확인할 수 있다.

정의에 의해, 임의의 $x\in M$과 임의의 $\xi\in M^\ast$가 주어졌다면 이들 쌍은 $\xi(x)\in A$를 지정한다. 이를 $\langle x, \xi\rangle$로 적으며, 이러한 표기를 Kronecker pairing_{크로네커 쌍}이라 부른다.

정의 2 임의의 $A$-module $M$과 그 dual $M^\ast$에 대하여, $x\in M$과 $\xi\in M^\ast$가 orthogonal_작교한다는 것은 $\langle x,\xi\rangle=0$인 것이다.

$M$과 $M^\ast$의 두 부분집합의 임의의 원소들의 쌍이 orthogonal이라면 이들 둘이 orthogonal하다 말한다. 한편, $x\in M$를 임의로 고정하고 $\xi,\xi_1,\xi_2\in M^\ast$와 $\alpha\in A$가 주어졌다 하자. 그럼

\[\langle x, \xi_1+\xi_2\rangle=\langle x, \xi_1\rangle,+\langle x,\xi_2\rangle=0,\qquad \langle x,\xi\cdot\alpha\rangle=\langle x,\xi\rangle\alpha=0\]

이므로, $M$의 고정된 부분집합 $S$에 대해, $S$의 원소들과 orthogonal한 $M^\ast$의 원소들을 모아두면 이는 $M^\ast$의 submodule이 된다.

정의 3 위와 같이 정의한 $M^\ast$의 submodule을 $M$에 orthogonal한 submodule이라 부르고, $S^\perp$라 적는다.

임의의 부분집합 $T\subseteq M^\ast$에 대해서도 비슷하게 $T^\perp$를 다음 식

\[T^\perp=\{x\in M: \langle x, \xi\rangle=0\text{ for all $\xi\in T$}\}\]

으로 정의할 수 있는데, 여기에서는 $T^\perp$를 $M^{\ast\ast}$의 submodule이 아니라 $M$의 submodule로 정의한 것을 주의하여야 한다.

선형사상의 전치

임의의 $A$-linear map $u:M \rightarrow N$이 주어졌다 하자. 그럼 [대수적 구조] §가군, ⁋명제 8의 abelian group homomorphism

\[\Hom(u,A):\Hom_{\lMod{A}}(N,A)\rightarrow\Hom_{\lMod{A}}(M,A)\]

이 $A$의 right action과 compatible함을 알 수 있다. 즉 $\Hom(u,A)$는 right $A$-module homomorphism이다.

정의 4 Left $A$-module들 사이의 $A$-linear map $u:M \rightarrow N$에 대하여, 위에서 정의한 right $A$-module homomorphism을 $u$의 transpose_전치라 하고 $u^\ast$로 적는다.

$u^\ast$는 임의의 $\xi\in N^\ast$에서의 값 $u^\ast(\xi)\in M^\ast$로 결정되며, 다시 $u^\ast(\xi)\in M^\ast$는 임의의 $x\in M$에서의 값

\[u^\ast(\xi)(x)=\langle x, u^\ast(\xi)\rangle\]

에 의해 결정된다. 한편 $u^\ast=\Hom(u,A)$의 정의에 의해 $u^\ast(\xi)=\xi\circ u$이다. 즉, 위의 식은

\[\langle u(x),\xi\rangle=\langle x, u^\ast\xi\rangle\]

으로 쓸 수 있으며, 거꾸로 이 식이 모든 $x\in M$과 모든 $\xi\in N^\ast$에 대해 성립한다면 $u^\ast$가 유일하게 결정된다.

또, $\Hom(-,A)$의 functoriality와 [대수적 구조] §가군, ⁋명제 8에 의해 다음 명제를 얻는다.

명제 5 다음이 성립한다.

1. 두 $A$-linear map $u,v:M \rightarrow N$에 대하여, $(u+v)^\ast=u^\ast+v^\ast$이다.
2. 두 $A$-linear map $u:M \rightarrow N$, $v:N \rightarrow L$에 대하여, $(v\circ u)^\ast=u^\ast\circ v^\ast$이다.
3. 임의의 $M$에 대하여, $(\id_M)^\ast=\id_{M^\ast}$이다.
4. 임의의 $A$-linear isomorphism $u:M \rightarrow N$에 대하여, $(u^{-1})^\ast=(u^\ast)^{-1}$이다.

쌍대기저

$A$-module $M$이 basis $(x_i)_{i\in I}$를 갖는다 하자. (§기저, ⁋정의 1) 즉 다음의 isomorphism

\[\varepsilon: A^{\oplus I} \rightarrow M\]

이 존재한다. 그럼 이 isomorphism의 dual을 생각하면 right $A$-module들 사이의 isomorphism

\[\varepsilon^\ast: M^\ast \rightarrow (A_l^{\oplus I})^\ast=\Hom_{\lMod{A}}(A_l^{\oplus I}, A_l)\cong \prod_{i\in I}\left(\Hom_\lMod{A}(A_l,A_l)\right)\cong \prod_{i\in I} A_r\]

을 얻는다. 이제 우변의 원소들 중, $i$번째 성분만 $1$이고, 나머지 성분은 $0$인 원소들을 생각하고, 이 원소의 $\varepsilon^\ast$에 대한 preimage를 $e_i^\ast$로 적자. 그럼 다음 식

\[\langle e_i, e_j^\ast\rangle=\delta_{ij}\]

이 성립한다는 것을 안다. 이들의 모임은 linearly independent이지만, $I$가 무한집합이라면 이것이 $M^\ast$의 basis가 되지는 않는다. 그러나 $I$가 유한집합이라면 $\prod_{i\in I} A\cong \bigoplus_{i\in I}A$이므로 이들이 정확히 basis가 된다.

정의 6 임의의 free module $M$과 basis $(e_i)_{i\in I}$를 고정하자. 그럼 위에서 정의한 $M^\ast$의 원소들의 family $(e_i^\ast)_{i\in I}$를 $(e_i)_{i\in I}$에 대응되는 coordinate form_{좌표 형식}이라 부른다.
만일 $M$이 finitely generated free module라면 이들 family $(e_i^\ast)_{i\in I}$는 $M^\ast$의 basis이며, 이를 $(e_i)$의 dual basis_쌍대기저라 부른다.

이중쌍대공간

임의의 left $A$-module $M$에 대하여, $M$의 dual $M^\ast$는 right $A$-module이고 $M^\ast$의 dual $M^{\ast\ast}$는 다시 left $A$-module이 된다. 한편 임의의 $x\in M$에 대하여, 다음 식

\[\langle x,-\rangle: M^\ast \rightarrow A\]

을 통해 정의된 함수가 right $A$-module homomorphism인 것을 확인할 수 있다. 즉 위의 식이 $M$에서 $M^{\ast\ast}$로의 함수를 정의하며, 이 함수 또한 linear map인 것을 확인할 수 있다. 일반적으로 이 함수는 injective도, surjective도 되지 않는다.

정의 7 만일 위의 함수 $M \rightarrow M^{\ast\ast}$이 bijective라면 $M$을 reflexive라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 8 임의의 free module $M$에 대하여, 위에서 정의한 $M \rightarrow M^{\ast\ast}$는 injective이다. 만일 여기에 더하여, $M$이 finitely generated라면 이 함수는 bijective이다.