쌍대공간

Module \(\Hom_\lMod{A}(M,N)\)

임의의 left \(A\)-module \(M,N\)을 고정하자. 그럼 \(\Hom_\lMod{A}(M,N)\)은 abelian group이지만, 일반적으로 left \(A\)-module의 구조를 갖지는 않는다. 즉 일반적으로 임의의 \(\alpha\in A\), \(u\in\Hom_\lMod{A}(M,N)\)에 대하여 다음의 식

\[x\mapsto \alpha u(x)\]

으로 정의된 함수 \(\alpha u: M \rightarrow N\)은 \(A\)-linear map이 아니다. 이는 임의의 \(\beta\in A\)와 \(x\in M\)에 대하여, 다음 식

\[(\alpha u)(\beta x)=\alpha u(\beta x)=\alpha \beta u(x)\neq \beta\alpha u(x)=\beta\cdot ((\alpha u)(x))\]

으로 확인할 수 있다. 그러나 역시 이 식으로부터, 만일 \(\alpha\)가 \(A\)의 center에 속한다면 \(\alpha u\)는 \(A\)-linear map이 된다는 것을 안다. 즉 \(A\)의 center \(Z(A)\)에 대하여, \(\Hom_\lMod{A}(M,N)\)은 left \(Z(A)\)-module이다. 비슷한 논리에 의하여, 임의의 right \(A\)-module \(M,N\)에 대하여 \(\Hom_\rMod{A}(M,N)\)은 right \(Z(A)\)-module임을 안다.

한편, left \(A\)-module \(M,N\)이 주어져 있는데, 특히 \(N\) 위에 이와 호환되는 right \(B\)-module 구조가 있는 경우, 즉 \(N\)이 \((A,B)\)-bimodule인 경우를 생각하자. 그럼 임의의 \(\beta\in B\)와 \(u\in\Hom_\lMod{A}(M,N)\)에 대하여, 식

\[x\mapsto u(x)\beta\]

으로 정의된 함수 \(u\beta: M \rightarrow N\)은 \(A\)-linear map인 것을 다음의 식

\[(u\beta)(\alpha x)=u(\alpha x)\beta=\alpha u(x)\beta=\alpha((u\beta)(x))\]

으로부터 확인할 수 있다. 비슷한 논리가 right \(A\)-module \(M\), \((B,A)\)-bimodule \(N\)에 대해서도 성립한다.

쌍대공간의 정의

임의의 ring \(A\)는 그 위에 정의된 곱셈구조를 통해 자연스러운 \((A,A)\)-bimodule 구조를 갖는다. 따라서 앞선 논증에 의하여 \(\Hom_{\lMod{A}}(M, A)\)을 right \(A\)-module로 생각할 수 있다.

정의 1 위에서 정의한 right \(A\)-module \(\Hom_{\lMod{A}}(M, A)\)를 \(M\)의 dual module_쌍대가군이라 부르고 \(M^\ast\)로 적는다.

비슷하게 right \(A\)-module \(M\)이 주어졌다면 \(\Hom_{\rMod{A}}(M,A)\)를 left \(A\)-module로 볼 수 있으며 우리는 이를 \(M\)의 dual module이라 부른다. 특별히 \(M=A\)인 경우, 혼동을 피하기 위해 \(A\)를 left \(A\)-module로 본 것을 \(A_l\), right \(A\)-module로 본 것을 \(A_r\)로 적는다면 두 식 \(A_l^\ast=A_r\)이고 \(A_r^\ast=A_l\)을 확인할 수 있다.

정의에 의해, 임의의 \(x\in M\)과 임의의 \(\xi\in M^\ast\)가 주어졌다면 이들 쌍은 \(\xi(x)\in A\)를 지정한다. 이를 \(\langle x, \xi\rangle\)로 적으며, 이러한 표기를 Kronecker pairing_{크로네커 쌍}이라 부른다.

정의 2 임의의 \(A\)-module \(M\)과 그 dual \(M^\ast\)에 대하여, \(x\in M\)과 \(\xi\in M^\ast\)가 orthogonal_작교한다는 것은 \(\langle x,\xi\rangle=0\)인 것이다.

\(M\)과 \(M^\ast\)의 두 부분집합의 임의의 원소들의 쌍이 orthogonal이라면 이들 둘이 orthogonal하다 말한다. 한편, \(x\in M\)를 임의로 고정하고 \(\xi,\xi_1,\xi_2\in M^\ast\)와 \(\alpha\in A\)가 주어졌다 하자. 그럼

\[\langle x, \xi_1+\xi_2\rangle=\langle x, \xi_1\rangle,+\langle x,\xi_2\rangle=0,\qquad \langle x,\xi\cdot\alpha\rangle=\langle x,\xi\rangle\alpha=0\]

이므로, \(M\)의 고정된 부분집합 \(S\)에 대해, \(S\)의 원소들과 orthogonal한 \(M^\ast\)의 원소들을 모아두면 이는 \(M^\ast\)의 submodule이 된다.

정의 3 위와 같이 정의한 \(M^\ast\)의 submodule을 \(M\)에 orthogonal한 submodule이라 부르고, \(S^\perp\)라 적는다.

임의의 부분집합 \(T\subseteq M^\ast\)에 대해서도 비슷하게 \(T^\perp\)를 다음 식

\[T^\perp=\{x\in M\mid \langle x, \xi\rangle=0\text{ for all $\xi\in T$}\}\]

으로 정의할 수 있는데, 여기에서는 \(T^\perp\)를 \(M^{\ast\ast}\)의 submodule이 아니라 \(M\)의 submodule로 정의한 것을 주의하여야 한다.

선형사상의 전치

임의의 \(A\)-linear map \(u:M \rightarrow N\)이 주어졌다 하자. 그럼 [대수적 구조] §가군, ⁋명제 8의 abelian group homomorphism

\[\Hom(u,A):\Hom_{\lMod{A}}(N,A)\rightarrow\Hom_{\lMod{A}}(M,A)\]

이 \(A\)의 right action과 compatible함을 알 수 있다. 즉 \(\Hom(u,A)\)는 right \(A\)-module homomorphism이다.

정의 4 Left \(A\)-module들 사이의 \(A\)-linear map \(u:M \rightarrow N\)에 대하여, 위에서 정의한 right \(A\)-module homomorphism을 \(u\)의 transpose_전치라 하고 \(u^\ast\)로 적는다.

\(u^\ast\)는 임의의 \(\xi\in N^\ast\)에서의 값 \(u^\ast(\xi)\in M^\ast\)로 결정되며, 다시 \(u^\ast(\xi)\in M^\ast\)는 임의의 \(x\in M\)에서의 값

\[u^\ast(\xi)(x)=\langle x, u^\ast(\xi)\rangle\]

에 의해 결정된다. 한편 \(u^\ast=\Hom(u,A)\)의 정의에 의해 \(u^\ast(\xi)=\xi\circ u\)이다. 즉, 위의 식은

\[\langle u(x),\xi\rangle=\langle x, u^\ast\xi\rangle\]

으로 쓸 수 있으며, 거꾸로 이 식이 모든 \(x\in M\)과 모든 \(\xi\in N^\ast\)에 대해 성립한다면 \(u^\ast\)가 유일하게 결정된다.

또, \(\Hom(-,A)\)의 functoriality와 [대수적 구조] §가군, ⁋명제 8에 의해 다음 명제를 얻는다.

명제 5 다음이 성립한다.

1. 두 \(A\)-linear map \(u,v:M \rightarrow N\)에 대하여, \((u+v)^\ast=u^\ast+v^\ast\)이다.
2. 두 \(A\)-linear map \(u:M \rightarrow N\), \(v:N \rightarrow L\)에 대하여, \((v\circ u)^\ast=u^\ast\circ v^\ast\)이다.
3. 임의의 \(M\)에 대하여, \((\id_M)^\ast=\id_{M^\ast}\)이다.
4. 임의의 \(A\)-linear isomorphism \(u:M \rightarrow N\)에 대하여, \((u^{-1})^\ast=(u^\ast)^{-1}\)이다.

쌍대기저

\(A\)-module \(M\)이 basis \((x_i)_{i\in I}\)를 갖는다 하자. (§기저, ⁋정의 1) 즉 다음의 isomorphism

\[\varepsilon: A^{\oplus I} \rightarrow M\]

이 존재한다. 그럼 이 isomorphism의 dual을 생각하면 right \(A\)-module들 사이의 isomorphism

\[\varepsilon^\ast: M^\ast \rightarrow (A_l^{\oplus I})^\ast=\Hom_{\lMod{A}}(A_l^{\oplus I}, A_l)\cong \prod_{i\in I}\left(\Hom_\lMod{A}(A_l,A_l)\right)\cong \prod_{i\in I} A_r\]

을 얻는다. 이제 우변의 원소들 중, \(i\)번째 성분만 \(1\)이고, 나머지 성분은 \(0\)인 원소들을 생각하고, 이 원소의 \(\varepsilon^\ast\)에 대한 preimage를 \(e_i^\ast\)로 적자. 그럼 다음 식

\[\langle e_i, e_j^\ast\rangle=\delta_{ij}\]

이 성립한다는 것을 안다. 이들의 모임은 linearly independent이지만, \(I\)가 무한집합이라면 이것이 \(M^\ast\)의 basis가 되지는 않는다. 그러나 \(I\)가 유한집합이라면 \(\prod_{i\in I} A\cong \bigoplus_{i\in I}A\)이므로 이들이 정확히 basis가 된다.

정의 6 임의의 free module \(M\)과 basis \((e_i)_{i\in I}\)를 고정하자. 그럼 위에서 정의한 \(M^\ast\)의 원소들의 family \((e_i^\ast)_{i\in I}\)를 \((e_i)_{i\in I}\)에 대응되는 coordinate form_{좌표 형식}이라 부른다.
만일 \(M\)이 finitely generated free module라면 이들 family \((e_i^\ast)_{i\in I}\)는 \(M^\ast\)의 basis이며, 이를 \((e_i)\)의 dual basis_쌍대기저라 부른다.

이중쌍대공간

임의의 left \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(M\)의 dual \(M^\ast\)는 right \(A\)-module이고 \(M^\ast\)의 dual \(M^{\ast\ast}\)는 다시 left \(A\)-module이 된다. 한편 임의의 \(x\in M\)에 대하여, 다음 식

\[\langle x,-\rangle: M^\ast \rightarrow A\]

을 통해 정의된 함수가 right \(A\)-module homomorphism인 것을 확인할 수 있다. 즉 위의 식이 \(M\)에서 \(M^{\ast\ast}\)로의 함수를 정의하며, 이 함수 또한 linear map인 것을 확인할 수 있다. 일반적으로 이 함수는 injective도, surjective도 되지 않는다.

정의 7 만일 위의 함수 \(M \rightarrow M^{\ast\ast}\)이 bijective라면 \(M\)을 reflexive라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 8 임의의 free module \(M\)에 대하여, 위에서 정의한 \(M \rightarrow M^{\ast\ast}\)는 injective이다. 만일 여기에 더하여, \(M\)이 finitely generated라면 이 함수는 bijective이다.