우리는 앞서 manifold $M$의 tangent space $T_pM$을 정의하고, 이들의 차원이 원래의 manifold $M$과 동일하다는 것을 보이고, 또 $T_pM$의 자연스러운 basis 또한 정의했다. 이번 글에서 우리는 두 manifold 사이의 함수를 정의하고, 이것이 tangent space에서는 어떠한 방식으로 행동하는지를 살펴본다.
미분다양체 사이의 함수
정의 1 두 manifold $M,N$이 주어졌다 하자. 함수 $F:M\rightarrow N$이 점 $p\in M$에서 $C^\infty$라는 것은, $p$를 포함하는 적당한 coordinate system $(U,\varphi)$와, $F(U)\subseteq V$인 적당한 coordinate system $(V,\psi)$가 존재하여 $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$이 $C^\infty$인 것이다.
만일 $F$가 모든 점에서 $C^\infty$라면 이를 간단히 $C^\infty$ 함수라 한다.
앞서 manifold에서 $\mathbb{R}$로의 $C^\infty$ 함수를 정의했을 때와 마찬가지로, 이 정의 또한 coordinate system의 선택과 무관하다는 것을 보여야 하지만 이는 기본적으로 §미분다양체, ⁋정의 2 이후에 증명한 것과 똑같기에 생략한다.
명제 2 두 manifold $M,N$이 주어졌다 하자. 만일 $F:M\rightarrow N$이 점 $p\in M$에서 $C^\infty$라면, 이 함수는 $p$에서 연속이다.
증명
정의 1의 상황을 그대로 가정하자. 그럼 우선 유클리드 공간 사이의 함수 $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\rightarrow\psi(V)$가 $C^\infty$이다. 이 함수는 미분가능하므로 당연히 연속이다. 그런데 $\varphi$와 $\psi$는 모두 homeomorphism이므로,
\[F=\psi^{-1}\circ(\psi\circ F\circ\varphi^{-1})\circ\varphi\]는 연속함수들의 합성이므로 연속이다.
예시 3 $\id_M:M\rightarrow M$은 당연하게 $C^\infty$ 함수이다. 더 일반적으로, 임의의 열린집합 $U\subseteq M$에 open submanifold 구조를 주면 (§미분다양체의 예시들, ⁋정의 3) inclusion map $U\hookrightarrow M$은 $C^\infty$ 함수이다.
예시 4 임의의 두 manifold $M,N$에 대하여, $M$의 임의의 점 $p\in M$을 모두 고정된 점 $q\in N$으로 보내는 상수함수는 $C^\infty$이다.
이제 우리가 다룰 대상들인 manifold들을 정의했고, manifold들 사이의 함수들을 정의했다. 다음 명제가 성립하는 것을 어렵지 않게 확인할 수 있다.
명제 5 세 manifold $M,N,P$에 대하여, 만일 $F:M\rightarrow N$과 $G:N\rightarrow P$가 모두 $C^\infty$라면 이들의 합성 $G\circ F$ 또한 $C^\infty$이다.
그럼 manifold들 사이의 isomorphism은 다음과 같이 정의해야 한다는 것이 명확하다.
정의 6 만일 두 manifold $M,N$에 대하여, $F:M\rightarrow N$과 $G:N\rightarrow M$이 각각 존재하여 $G\circ F=\id_M$이고 $F\circ G=\id_N$이라면 $F$와 $G$ 각각을 diffeomorphism미분동형사상이라 부르고, $F$와 $G$가 diffeomorphic미분동형이라 말한다.
따라서, manifold들과 smooth function들은 카테고리 $\Man$을 이룬다.
참고 동일한 topological manifold $M$ 위에 diffeomorphic하지만 서로 같지는 않은 미분구조를 줄 수 있다. 두 미분구조 $\mathcal{A}_1$, $\mathcal{A}_2$를 각각 single chart들 $(\mathbb{R},\id_\mathbb{R})$, $(\mathbb{R}, x\mapsto x^{3})$을 통해 정의하자. 그럼 $\mathcal{A}_1$과 $\mathcal{A}_2$는 서로 다른 미분구조를 정의한다. (§미분다양체, ⁋예시 4)
편의상 $(M,\mathcal{A}_1)$을 $M_1$, $(M,\mathcal{A}_2)$를 $M_2$로 이름붙이고, $\varphi=\id_\mathbb{R}$, 그리고 $\psi=(x\mapsto x^3)$이라 하자.
이들 두 manifold $M_1, M_2$는 서로 diffeomorphic하다. $M_1$에서 $M_2$로의 함수 $F$를 $x\mapsto x^{1/3}$으로 정의하자. 그럼 자명하게 $F^{-1}$은 $y\mapsto y^3$으로 정의된다. 정의에 의해 $F$는 $C^\infty$이다. 임의의 점 $p\in M_1$에 대하여, $M_1$과 $M_2$ 각각에 정의된 두 coordinate system $(\mathbb{R},\varphi)$와 $(\mathbb{R},\psi)$을 잡으면 $p\in\mathbb{R}$, $F(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}$을 만족하는 것은 자명하고, 또 이들이
\[(\psi\circ F\circ \varphi^{-1})(t)=t\]을 만족하므로 $\psi\circ\varphi^{-1}$이 $C^\infty$이기 때문이다.
뿐만 아니라 $F^{-1}$ 또한 $C^\infty$가 되는데, 이는 마찬가지로 임의의 점 $q\in M_2$에 대해 위와 동일한 coordinate system을 잡으면 $q\in\mathbb{R}$이고 $F^{-1}(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}$이 성립하며, 또
이 성립하기 때문이다.
미분사상
Manifold는 기본적으로 미분을 할 수 있는 공간이며, 때문에 manifold 사이의 함수를 알기 위해서는 이 함수가 미분들, 즉 tangent space의 원소들을 어떠한 방식으로 변환시키는지를 알아야 한다.
두 manifold 사이의 $C^\infty$ 함수 $F:M\rightarrow N$이 주어졌다 하자. 함수 $F$는 자연스럽게 다음의 식
\[g\mapsto g\circ F\]으로 정의된 함수 $F^\ast:\mathcal{C}_{N,F(p)}^\infty\rightarrow \mathcal{C}_{M,p}^\infty$을 유도한다. 뿐만 아니라, 임의의 $f,g,\in \mathcal{C}_{N,F(p)}^\infty$ 그리고 실수 $\alpha\in\mathbb{R}$에 대하여
\[F^\ast(f+g)=(f+g)\circ F=f\circ F+g\circ F=F^\ast(f)+F^\ast(g),\quad F^\ast(\alpha f)=(\alpha f)\circ F=\alpha(f\circ F)=\alpha F^\ast(f)\]가 성립하므로 $F^\ast$는 두 $\mathbb{R}$-벡터공간 사이의 linear map이다.
한편, $T_pM$과 $T_{F(p)}N$은 $\mathcal{C}^\infty_{M,p}$과 $\mathcal{C}^\infty_{N,F(p)}$에서 $\mathbb{R}$로의 linear map들 중 라이프니츠 법칙을 만족하는 원소들이므로, 이들은 각각의 dual space $(\mathcal{C}^\infty_{M,p})^\ast$과 $(\mathcal{C}^\infty_{N,F(p)})^\ast$의 부분공간이 된다. 따라서, 위에서 얻은 linear map $F^\ast:\mathcal{C}^\infty_{N,F(p)}\rightarrow \mathcal{C}^\infty_{M,p}$의 dual map $(F^\ast)^\ast:(\mathcal{C}^\infty_{M,p})^\ast\rightarrow(\mathcal{C}^\infty_{N,F(p)})^\ast$를 생각할 수 있다.
명시적으로, 이 함수는 임의의 linear map $L\in (\mathcal{C}^\infty_{M,p})^\ast$에 대하여
\[(F^\ast)^\ast(L)=L\circ F^\ast\]으로 정의되는 함수이다. 이제 이 정의를 $T_pM$으로 제한하면 원하는 정의를 얻는다.
그 전에 위의 논의를 벡터공간의 원소들의 입장에서 다시 정리하자면, $(F^\ast)^\ast|_{T_pM}$는 임의의 $v\in T_pM$을 $v\circ F^\ast\in (\mathcal{C}^\infty_{N,F(p)})^\ast$으로 보낸다. 한편 $v\circ F^\ast$는 $(\mathcal{C}^\infty_{N,F(p)})^\ast$의 원소이므로 임의의 $g\in \mathcal{C}^\infty_{N,F(p)}$에 어떻게 작용하는지를 통해 정의되는데, 이는
\[(v\circ F^\ast)(g)=v(F^\ast(g))=v(g\circ F)\]으로 정의된다. 뿐만 아니라, 이렇게 정의된 $v\circ F^\ast$는 실제로 $T_{F(p)}N$에 속한다. 즉, 라이프니츠 법칙을 만족한다. 이는 다음의 식
\[\begin{aligned}(v\circ F^\ast)(fg)&=v(F^\ast(fg))=v((f\circ F)(g\circ F))\\ &=(f\circ F)(p)v(g\circ F)+(g\circ F)(p) v(f\circ F)\\ &=f(F(p))(v\circ F^\ast)(g)+g(F(p))(v\circ F^\ast)(f)\end{aligned}\]으로부터 얻어진다. 지금까지의 논의를 정리하면 다음과 같다.
정의 7 $F:M\rightarrow N$이 두 manifold 사이의 $C^\infty$ 함수라 하자. 임의의 $p\in M$에 대하여, $F$의 점 $p$에서의 differential미분사상 $dF_p:T_pM\rightarrow T_{F(p)}N$은 임의의 $v\in T_pM$과 임의의 $g\in \mathcal{C}^\infty_{N,F(p)}$에 대하여
\[(dF_p(v))g=v(g\circ F)\]으로 정의되는 linear map이다.
정의로부터 몇 가지 결과는 자명하다. 우선 $\id_M:M\rightarrow M$에 대하여 $d(\id_M)_p$는 항상 $T_pM$에서 $T_pM$으로의 identity인 $\id_{T_pM}$이 된다. 이는 정의 7의 식으로부터 명백하다. 또, 세 manifold $M,N,P$에 대하여 $F:M\rightarrow N$, $G:N\rightarrow P$가 $C^\infty$라면, 다음의 식
\[d(G\circ F)_p=(dG_{F(p)})\circ (dF_p)\]이 성립한다. 이는 differential을 정의할 때 사용한 pullback이 합성을 잘 보존한다는 것으로부터도 자명하고, 혹은 마찬가지로 정의 7의 식에 $G\circ F$를 직접 대입해보아도 된다. 이로부터 diffeomorphism $F$에 대해 $dF_p$는 항상 벡터공간 사이의 isomorphism이 된다는 것 등을 보일 수 있다.
그러나 differential이 isomorphism이 되는 $C^\infty$ 함수 중 diffeomorphism이 아닌 것은 매우 많다.
명제 8 Manifold $M$과, $M$의 open submanifold $U$에 대하여, inclusion map $\iota:U\hookrightarrow M$은 모든 $p\in U$에 대하여 tangent space 사이의 isomorphism을 유도한다. 즉, $d\iota_p$가 항상 isomorphism이다.
증명
$\iota^\ast$가 $\mathcal{C}^\infty_{U,p}$와 $\mathcal{C}^\infty_{M,\iota(p)}$ 사이의 isomorphism을 만들기 때문에 자명하다. 사실 처음부터 두 벡터공간은 같은 것으로 보아도 무리가 없다.
접공간의 기저와 미분사상
$\mathbb{R}^m$을 $m$차원 manifold로 본다면, 우리가 tangent vector를 정의한 방식은 정확히 $\mathbb{R}^m$에서의 방향벡터와 동일하다는 것을 알 수 있다. 이 경우, 임의의 $p\in\mathbb{R}^m$에 대하여, 점 $p$를 시점으로 하는 $\mathbb{R}^m$의 표준적인 $m$개의 벡터들이 각자의 방향으로의 방향미분을 정의하며, 우리는 이들을
\[\frac{\partial}{\partial r^1}\bigg|_p,\cdots,\frac{\partial}{\partial r^m}\bigg|_p\]으로 적기로 하였다. 일반적인 manifold의 경우 우리는 $p\in M$을 포함하는 coordinate system $(U,\varphi)$를 택한 후, $\varphi$의 성분함수 $x^1,\ldots, x^m$들을 이용하여 tangent vector들을
\[\frac{\partial}{\partial x^1}\bigg|_p,\cdots,\frac{\partial}{\partial x^m}\bigg|_p\]들로 표현하였다. 이 때, 임의의 $f\in C^\infty_p(M)$에 대하여
\[\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_pf=\frac{\partial}{\partial r^i}\bigg|_p (f\circ\varphi^{-1})\]이다. 그런데 정의 7을 염두에 두고 이 식을 다시 살펴보면, 이는 $\varphi^{-1}:\varphi(U)\rightarrow U$의 differential과 동일한 모양임을 알 수 있다.1 즉 tangent space의 basis는 다른 것이 아니라, 단지 $\mathbb{R}^m$의 tangent space $T_{\varphi(p)}\mathbb{R}^m$의 $m$개의 basis들을 differential $d\varphi^{-1}_{\varphi(p)}$를 통해 옮겨온 것일 뿐이다.
이를 좀 더 선형대수학적인 관점에서 보자면, $\mathcal{B}$를 $\mathbb{R}^m$의 standard basis, $\mathcal{C}$를 $\partial/\partial x^i$들로 이루어진 $T_pM$의 basis라 하면 $(T_{\varphi(p)}\mathbb{R}^n, \mathcal{B})$에서 $(T_pM, \mathcal{C})$로의 linear map $d\varphi^{-1}_{\varphi(p)}$의 행렬표현이 정확히 항등행렬이 된다고 할 수 있다.
더 일반적으로, $M,N$이 각각 $m,n$차원의 manifold이고 $F:M\rightarrow N$이 임의의 $C^\infty$ 함수라 하자. 그럼 고정된 $p\in M$에 대하여, $p$를 포함하는 coordinate system $(U,\varphi)$, 그리고 $F(U)$를 포함하는 coordinate system $(V,\psi)$가 존재하여 $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$이 $C^\infty$이다. 이제 $\varphi=(x^i)_{i=1}^{m}$, $\psi=(y^j)_{j=1}^n$이라 하자. 그럼 마찬가지로 tangent space $T_pM$, $T_{F(p)}N$의 basis는 각각
\[\frac{\partial}{\partial x^1}\bigg|_p,\cdots,\frac{\partial}{\partial x^m}\bigg|_p,\quad\text{and}\quad\frac{\partial}{\partial y^1}\bigg|_{F(p)},\cdots\frac{\partial}{\partial y^n}\bigg|_{F(p)}\]으로 주어진다. 이제 이들을 통해 $dF_p$를 행렬로 나타내보자. 이를 위해서는 각각의 $\partial/\partial x^i$들이 $dF_p$를 통해 옮겨지는 벡터를 $\partial/\partial y^j$들의 일차결합으로 표현하면 된다. 즉
\[dF_p\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p\right)=a_{1i}\frac{\partial}{\partial y^1}\bigg|_{F(p)}+\cdots+a_{ni}\frac{\partial}{\partial y^n}\bigg|_{F(p)}\]의 각 계수들 $a_{ji}$를 구해주면 된다. 그런데 어차피 $\partial/\partial y^j$들은 $\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2$의 원소들 $y^j+\mathfrak{n}^2$의 dual basis이므로, 이를 위해서는 양 변을 함수 $y^j$에 적용해주면 된다.2 즉
\[dF_p\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p\right)y^j=a_{1i}\frac{\partial}{\partial y^1}\bigg|_{F(p)}y^j+\cdots+a_{ji}\frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_{F(p)}y^j+\cdots+a_{ni}\frac{\partial}{\partial y^n}\bigg|_{F(p)}y^j\]에서, dual basis의 정의에 의해 우변은 오직 $a_{ji}$만 남게 되므로
\[dF_p\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p\right)y^j=a_{ji}\]이고 이로부터 $dF_p$의 두 basis $\partial/\partial x^i$, $\partial/\partial y^j$들에 대한 행렬표현이 다음의 행렬
\[\begin{pmatrix}\partial(y^1\circ F)/\partial x^1&\partial(y^1\circ F)/\partial x^2&\cdots&\partial(y^1\circ F)/\partial x^m\\\partial(y^2\circ F)/\partial x^1&\partial(y^2\circ F)/\partial x^2&\cdots&\partial(y^2\circ F)/\partial x^m\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\partial(y^n\circ F)/\partial x^1&\partial(y^n\circ F)/\partial x^2&\cdots&\partial(y^n\circ F)/\partial x^m\end{pmatrix}\]인 것을 알 수 있다. 즉, 이는 단지 유클리드 공간 사이의 함수 $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$의 Jacobian에 불과하다.
특별히 $M=N$이고 $F=\id_M$이지만 서로 다른 coordinate system $(U, \varphi)$와 $(V,\psi)$를 택한 경우, 이는 transition map $\psi\circ\varphi^{-1}$의 Jacobian matrix가 될 것이다.
참고문헌
[War] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 2013
[Lee] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2012
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