K

Grad. student in mathematics

부분공간Permalink

§벡터공간, ⁋예시 6을 보면, 어떤 벡터공간의 부분집합이 그 자체로 벡터공간을 이루는 경우가 종종 있다는 것을 알 수 있다. 이를 다음과 같이 정의하자.

정의 1 어떤 K\mathbb{K}-벡터공간 VV에 대하여, VV의 부분집합 WW가 VV의 부분공간subspace이라는 것은, VV 위에 정의된 덧셈과 스칼라곱을 WW 위로 제한하였을 때 얻어지는 연산들이 WW 위에 다시 K\mathbb{K}-벡터공간을 정의하는 것이다. 이를 W≤VW\leq V와 같이 표현한다.

정의에 의해, Ck(I)C^k(I)는 C(I)C(I)의 부분공간이고, C(I)C(I)는 Fun⁡(I,R)\Fun(I,\mathbb{R})의 부분공간이 된다.

정의를 그대로 사용하여 VV의 임의의 부분집합 WW가 부분공간인지를 체크하기 위해서는 이들의 덧셈이 abelian group을 이루는지, 그리고 스칼라곱이 §벡터공간, ⁋정의 1의 조건을 모두 만족하는지 등을 모두 따져봐야 한다. 하지만, WW 위에 정의될 덧셈과 스칼라곱은 VV로부터 받아오는 것이므로, 몇 가지 성질들은 굳이 체크할 필요가 없다.

예를 들어, 임의의 w1,w2∈Ww_1,w_2\in W에 대해

w1+w2=w2+w1w_1+w_2=w_2+w_1

이 성립하는지는 굳이 따져볼 필요가 없다. 두 원소 w1,w2w_1,w_2는 WW의 원소이기 이전에 VV의 원소이기도 한데, WW에서의 덧셈 ++는 VV에서의 덧셈을 WW로 제한한 것이기 때문이다. 이를 바탕으로 우리가 체크해봐야 할 성질들을 따져보면 다음과 같다.

  1. WW가 덧셈에 대해 닫혀있는지의 여부는 따로 체크해봐야 한다.
  2. 이와 비슷하게, VV가 덧셈에 대한 항등원과 역원을 갖는지도 체크해봐야 한다. 물론 VV는 00과 −w-w를 포함하지만, 이들이 WW에 포함되리라는 보장은 없기 때문이다.
  3. 또, 임의의 스칼라 α∈K\alpha\in\mathbb{K}와 w∈Ww\in W에 대하여, αw∈W\alpha w\in W인지의 여부도 체크해봐야 한다.

하지만 여기에서 조금 더 조건을 간추릴 수도 있다. 만일 WW가 스칼라곱에 대해 닫혀있기만 하다면, §벡터공간, ⁋명제 2와 벡터공간, ⁋따름정리 3에 의해 두 번째 조건은 통째로 생략할 수 있다. WW가 스칼라곱에 대해 닫혀있으므로, 0w∈W0w\in W이고 (−1)w∈W(-1)w\in W여야 하는데, 이들이 각각 00과 −w-w이기 때문이다. 따라서 방금 우리는 다음 명제를 증명했다.

명제 2 K\mathbb{K}-벡터공간 VV에 대하여, VV의 공집합이 아닌 부분집합 WW가 VV의 부분공간인 것은, WW가 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀있는 것과 동치이다.

하지만 WW가 공집합이 아닌 것을 보이기 위해서는 0∈W0\in W임을 보이는 것이 가장 쉽기 때문에 보편적으로 앞서 제시했던 세 가지 조건과 앞선 명제는 활용성에 있어 큰 차이는 없다.

일차결합Permalink

K\mathbb{K}-벡터공간 VV와 그 부분공간 WW를 생각하자. WW의 임의의 두 원소의 합은 다시 WW의 원소이므로, 귀납법에 의해 유한한 합은 다시 WW의 원소이다. 더 일반적으로 다음이 성립한다.

명제 3 VV가 K\mathbb{K}-벡터공간이고 WW가 VV의 부분공간이라 하자. WW의 원소들 w1,…,wnw_1,\ldots, w_n과 스칼라들 α1,…,αn\alpha_1,\ldots,\alpha_n에 대하여 다음의 유한합

∑i=1nαiwi=α1w1+α2w2+⋯+αnwn(1)\sum_{i=1}^n\alpha_i w_i=\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_nw_n\tag{1}

은 WW의 원소이다.

증명

귀납법을 이용하여 진행한다. n=1n=1인 경우는 보일 것이 없으므로 n=2n=2인 경우부터 생각하자. 이 경우 명제 2에 의하여 α1w1,α2w2\alpha_1w_1,\alpha_2w_2 각각은 WW의 원소이고 따라서 이들의 합 α1w1+α2w2\alpha_1w_1+\alpha_2w_2 또한 WW의 원소이다.

일반적인 nn에 대하여, WW에서의 덧셈은 결합법칙을 만족하므로

α1w1+α2w2+⋯+αnwn=(α1w1+⋯αn−1wn−1)+αnwn\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_nw_n=(\alpha_1w_1+\cdots\alpha_{n-1}w_{n-1})+\alpha_nw_n

이 성립한다. 이제 귀납적 가정에 의하여 α1w1+⋯αn−1wn−1\alpha_1w_1+\cdots\alpha_{n-1}w_{n-1}과 αnwn\alpha_nw_n 각각은 WW의 원소이고, 따라서 이들의 합 ∑i=1nαiwi\sum_{i=1}^n\alpha_iw_i 또한 WW의 원소이다.

일반적으로 위 명제의 (1)과 같은 형태의 벡터를 다음과 같이 이름 붙인다.

정의 4 K\mathbb{K}-벡터공간 VV와 그 원소들 v1,…,vnv_1,\ldots, v_n에 대하여, 이들의 일차결합linear combination은

α1v1+⋯+αnvn\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n

의 꼴로 나타나는 벡터를 의미한다.

더 일반적으로, 무한히 많은 VV의 원소들 (vi)i∈I(v_i)_{i\in I}이 주어졌을 때, 이들의 일차결합은

∑i∈Iαiviαi=0 for all but finitely many i\sum_{i\in I}\alpha_iv_i\qquad\text{$\alpha_i=0$ for all but finitely many $i$}

으로 정의된다. 예를 들어, §벡터공간, ⁋예시 4와 같이 R\mathbb{R}을 Q\mathbb{Q}-벡터공간으로 본다면, 0.111…0.111\ldots는 다음 벡터들

0.1,0.01,0.001,⋯0.1,\quad 0.01,\quad0.001,\quad\cdots

의 일차결합이 아니다. 이들을 사용하여 0.111…0.111\ldots를 위와 같이 무한합으로 나타낸다면 그 계수들이 모두 00이 아니기 때문이다. 이와 비슷한 맥락에서 다음 예시를 살펴보자.

예시 5 집합 K[x]\mathbb{K}[\x]를

K\mathbb{K}의 원소를 계수로 갖는 x\x에 대한 다항식들의 집합

으로 정의하자. 즉, K[x]\mathbb{K}[\x]의 각각의 원소들은 적당한 자연수 nn과 αi∈K\alpha_i\in\mathbb{K}들에 대해

p(x)=αnxn+αn−1xn−1+⋯+α1x+α0p(\x)=\alpha_n\x^n+\alpha_{n-1}\x^{n-1}+\cdots+\alpha_1\x+\alpha_0

의 꼴이다. 이 때 자연수 max⁡supp⁡(αi)=n\max\supp(\alpha_i)=n은 p(x)p(\x)의 차수degree라 부르고, 이 때 αnxn\alpha_n\x^n을 최고차항leading term이라 부른다. 최고차항의 계수가 1인 다항식은 monic polynomial이라 부른다. 한편 또 다른 K[x]\mathbb{K}[\x]의 원소

q(x)=βmxm+βm−1xm−1+⋯+β1x+β0q(\x)=\beta_m\x^m+\beta_{m-1}\x^{m-1}+\cdots+\beta_1\x+\beta_0

가 주어졌다 하자. 그럼 이들의 합은 만약 m>nm>n이라면,

∑i=0naixi+∑i=0mbixi=∑i=0mcixi,ci={ai+biif 0≤i≤nbiif n<i≤m\sum_{i=0}^na_i\x^i+\sum_{i=0}^mb_i\x^i=\sum_{i=0}^m c_i\x^i,\qquad c_i=\begin{cases}a_i+b_i&\text{if $0\leq i\leq n$}\\ b_i&\text{if $n < i\leq m$}\end{cases}

그리고 반대의 경우

∑i=0naixi+∑i=0mbixi=∑i=0mci′xi,ci′={ai+βiif 0≤i≤maiif m<i≤n.\sum_{i=0}^na_i\x^i+\sum_{i=0}^mb_i\x^i=\sum_{i=0}^m c_i'\x^i,\qquad c_i'=\begin{cases}a_i+\beta_i&\text{if $0\leq i\leq m$}\\ a_i&\text{if $m < i\leq n$}\end{cases}.

으로 정의되며, 임의의 스칼라 γ∈K\gamma\in\mathbb{K}에 대하여

γp(x)=γαnxn+γαn−1xn−1+⋯+γα1x+α0\gamma p(\x)=\gamma\alpha_n\x^n+\gamma\alpha_{n-1}\x^{n-1}+\cdots+\gamma\alpha_1\x+\alpha_0

으로 정의된다. 어렵지 않게 이들 정의가 K[x]\mathbb{K}[\x]에 K\mathbb{K}-벡터공간 구조를 부여한다는 것을 확인할 수 있다.

이제 nn차 이하의 차수를 갖는 다항식들의 집합 K[x]degree≤n\mathbb{K}[\x]_\text{degree\scriptsize$\leq n$}는 K[x]\mathbb{K}[\x]의 부분공간이라는 것을 확인할 수 있다. 반면, 정확히 차수 nn을 갖는 다항식들의 집합은 00을 포함하지 않으므로 부분공간은 되지 않지만, 00만 넣어주면 부분공간이 된다.

예시 6 이번에는 집합 K[[x]]\mathbb{K}[[\x]]를

K\mathbb{K}의 원소를 계수로 갖는 x\x에 대한 formal power series들의 집합

이라 하자. 앞선 예시 7와 동일한 방식으로 벡터 사이의 덧셈과 스칼라곱을 정의하면, K[[x]]\mathbb{K}[[\x]]는 마찬가지로 K\mathbb{K}-벡터공간이 된다.

정의에 의하여 K[x]\mathbb{K}[\x]는 K[[x]]\mathbb{K}[[\x]]의 부분공간이다. 또, K[x]\mathbb{K}[\x]의 모든 원소들은 집합 {1,x,x2,…}\{1,\x,\x^2,\ldots\}의 벡터들의 일차결합으로 표현할 수 있지만, K[[x]]\mathbb{K}[[\x]]의 원소들은 그렇지 않다.

참고문헌

[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.

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