부분공간
§벡터공간, ⁋예시 6을 보면, 어떤 벡터공간의 부분집합이 그 자체로 벡터공간을 이루는 경우가 종종 있다는 것을 알 수 있다. 이를 다음과 같이 정의하자.
정의 1 어떤 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)에 대하여, \(V\)의 부분집합 \(W\)가 \(V\)의 부분공간subspace이라는 것은, \(V\) 위에 정의된 덧셈과 스칼라곱을 \(W\) 위로 제한하였을 때 얻어지는 연산들이 \(W\) 위에 다시 \(\mathbb{K}\)-벡터공간을 정의하는 것이다. 이를 \(W\leq V\)와 같이 표현한다.
정의에 의해, \(C^k(I)\)는 \(C(I)\)의 부분공간이고, \(C(I)\)는 \(\Fun(I,\mathbb{R})\)의 부분공간이 된다.
정의를 그대로 사용하여 \(V\)의 임의의 부분집합 \(W\)가 부분공간인지를 체크하기 위해서는 이들의 덧셈이 abelian group을 이루는지, 그리고 스칼라곱이 §벡터공간, ⁋정의 1의 조건을 모두 만족하는지 등을 모두 따져봐야 한다. 하지만, \(W\) 위에 정의될 덧셈과 스칼라곱은 \(V\)로부터 받아오는 것이므로, 몇 가지 성질들은 굳이 체크할 필요가 없다.
예를 들어, 임의의 \(w_1,w_2\in W\)에 대해
\[w_1+w_2=w_2+w_1\]이 성립하는지는 굳이 따져볼 필요가 없다. 두 원소 \(w_1,w_2\)는 \(W\)의 원소이기 이전에 \(V\)의 원소이기도 한데, \(W\)에서의 덧셈 \(+\)는 \(V\)에서의 덧셈을 \(W\)로 제한한 것이기 때문이다. 이를 바탕으로 우리가 체크해봐야 할 성질들을 따져보면 다음과 같다.
- \(W\)가 덧셈에 대해 닫혀있는지의 여부는 따로 체크해봐야 한다.
- 이와 비슷하게, \(V\)가 덧셈에 대한 항등원과 역원을 갖는지도 체크해봐야 한다. 물론 \(V\)는 \(0\)과 \(-w\)를 포함하지만, 이들이 \(W\)에 포함되리라는 보장은 없기 때문이다.
- 또, 임의의 스칼라 \(\alpha\in\mathbb{K}\)와 \(w\in W\)에 대하여, \(\alpha w\in W\)인지의 여부도 체크해봐야 한다.
하지만 여기에서 조금 더 조건을 간추릴 수도 있다. 만일 \(W\)가 스칼라곱에 대해 닫혀있기만 하다면, §벡터공간, ⁋명제 2와 벡터공간, ⁋따름정리 3에 의해 두 번째 조건은 통째로 생략할 수 있다. \(W\)가 스칼라곱에 대해 닫혀있으므로, \(0w\in W\)이고 \((-1)w\in W\)여야 하는데, 이들이 각각 \(0\)과 \(-w\)이기 때문이다. 따라서 방금 우리는 다음 명제를 증명했다.
명제 2 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)에 대하여, \(V\)의 공집합이 아닌 부분집합 \(W\)가 \(V\)의 부분공간인 것은, \(W\)가 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀있는 것과 동치이다.
하지만 \(W\)가 공집합이 아닌 것을 보이기 위해서는 \(0\in W\)임을 보이는 것이 가장 쉽기 때문에 보편적으로 앞서 제시했던 세 가지 조건과 앞선 명제는 활용성에 있어 큰 차이는 없다.
일차결합
\(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)와 그 부분공간 \(W\)를 생각하자. \(W\)의 임의의 두 원소의 합은 다시 \(W\)의 원소이므로, 귀납법에 의해
명제 3 \(V\)가 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이고 \(W\)가 \(V\)의 부분공간이라 하자. \(W\)의 원소들 \(w_1,\ldots, w_n\)과 스칼라들 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\)에 대하여 다음의 유한합
\[\sum_{i=1}^n\alpha_i w_i=\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_nw_n\tag{1}\]은 \(W\)의 원소이다.
증명
귀납법을 이용하여 진행한다. \(n=1\)인 경우는 보일 것이 없으므로 \(n=2\)인 경우부터 생각하자. 이 경우 명제 2에 의하여 \(\alpha_1w_1,\alpha_2w_2\) 각각은 \(W\)의 원소이고 따라서 이들의 합 \(\alpha_1w_1+\alpha_2w_2\) 또한 \(W\)의 원소이다.
일반적인 \(n\)에 대하여, \(W\)에서의 덧셈은 결합법칙을 만족하므로
\[\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_nw_n=(\alpha_1w_1+\cdots\alpha_{n-1}w_{n-1})+\alpha_nw_n\]이 성립한다. 이제 귀납적 가정에 의하여 \(\alpha_1w_1+\cdots\alpha_{n-1}w_{n-1}\)과 \(\alpha_nw_n\) 각각은 \(W\)의 원소이고, 따라서 이들의 합 \(\sum_{i=1}^n\alpha_iw_i\) 또한 \(W\)의 원소이다.
일반적으로 위 명제의 (1)과 같은 형태의 벡터를 다음과 같이 이름 붙인다.
정의 4 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)와 그 원소들 \(v_1,\ldots, v_n\)에 대하여, 이들의 일차결합linear combination은
\[\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n\]의 꼴로 나타나는 벡터를 의미한다.
더 일반적으로, 무한히 많은 \(V\)의 원소들 \((v_i)_{i\in I}\)이 주어졌을 때, 이들의 일차결합은
\[\sum_{i\in I}\alpha_iv_i\qquad\text{$\alpha_i=0$ for all but finitely many $i$}\]으로 정의된다. 예를 들어, §벡터공간, ⁋예시 4와 같이 \(\mathbb{R}\)을 \(\mathbb{Q}\)-벡터공간으로 본다면, \(0.111\ldots\)는 다음 벡터들
\[0.1,\quad 0.01,\quad0.001,\quad\cdots\]의 일차결합이
예시 5 집합 \(\mathbb{K}[\x]\)를
\(\mathbb{K}\)의 원소를 계수로 갖는 \(\x\)에 대한 다항식들의 집합
으로 정의하자. 즉, \(\mathbb{K}[\x]\)의 각각의 원소들은 적당한 자연수 \(n\)과 \(\alpha_i\in\mathbb{K}\)들에 대해
\[p(\x)=\alpha_n\x^n+\alpha_{n-1}\x^{n-1}+\cdots+\alpha_1\x+\alpha_0\]의 꼴이다. 이 때 자연수 \(\max\supp(\alpha_i)=n\)은 \(p(\x)\)의 차수degree라 부르고, 이 때 \(\alpha_n\x^n\)을 최고차항leading term이라 부른다. 최고차항의 계수가 1인 다항식은 monic polynomial이라 부른다. 한편 또 다른 \(\mathbb{K}[\x]\)의 원소
\[q(\x)=\beta_m\x^m+\beta_{m-1}\x^{m-1}+\cdots+\beta_1\x+\beta_0\]가 주어졌다 하자. 그럼 이들의 합은 만약 \(m>n\)이라면,
\[\sum_{i=0}^na_i\x^i+\sum_{i=0}^mb_i\x^i=\sum_{i=0}^m c_i\x^i,\qquad c_i=\begin{cases}a_i+b_i&\text{if $0\leq i\leq n$}\\ b_i&\text{if $n < i\leq m$}\end{cases}\]그리고 반대의 경우
\[\sum_{i=0}^na_i\x^i+\sum_{i=0}^mb_i\x^i=\sum_{i=0}^m c_i'\x^i,\qquad c_i'=\begin{cases}a_i+\beta_i&\text{if $0\leq i\leq m$}\\ a_i&\text{if $m < i\leq n$}\end{cases}.\]으로 정의되며, 임의의 스칼라 \(\gamma\in\mathbb{K}\)에 대하여
\[\gamma p(\x)=\gamma\alpha_n\x^n+\gamma\alpha_{n-1}\x^{n-1}+\cdots+\gamma\alpha_1\x+\alpha_0\]으로 정의된다. 어렵지 않게 이들 정의가 \(\mathbb{K}[\x]\)에 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 구조를 부여한다는 것을 확인할 수 있다.
이제 \(n\)차 이하의 차수를 갖는 다항식들의 집합 \(\mathbb{K}[\x]_\text{degree\scriptsize$\leq n$}\)는 \(\mathbb{K}[\x]\)의 부분공간이라는 것을 확인할 수 있다. 반면,
예시 6 이번에는 집합 \(\mathbb{K}[[\x]]\)를
\(\mathbb{K}\)의 원소를 계수로 갖는 \(\x\)에 대한 formal power series들의 집합
이라 하자. 앞선 예시 7와 동일한 방식으로 벡터 사이의 덧셈과 스칼라곱을 정의하면, \(\mathbb{K}[[\x]]\)는 마찬가지로 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이 된다.
정의에 의하여 \(\mathbb{K}[\x]\)는 \(\mathbb{K}[[\x]]\)의 부분공간이다. 또, \(\mathbb{K}[\x]\)의 모든 원소들은 집합 \(\{1,\x,\x^2,\ldots\}\)의 벡터들의 일차결합으로 표현할 수 있지만, \(\mathbb{K}[[\x]]\)의 원소들은 그렇지 않다.
참고문헌
[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.
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