우리는 §유도함자에서 exact하지 않은 functor가 주어졌을 때 이를 해결하는 방법을 살펴보았다. 구체적으로, 우리는 어떠한 left (resp. right) exact functor \(F\)가 주어졌을 때, 대상 \(A\)의 injective (resp. projective) resolution을 택하고 그 resolution의 cohomology (resp. homology)를 취하여 right (resp. left) derived functor를 정의했다.
주목할 것은 이 과정에서 injective resolution과 projective resolution의 선택은 (co)homology 레벨에서는 영향을 주지 않지만, 구체적인 chain complex 레벨에서는 이들 선택이 자연스럽지 않다는 것이다. 이제 우리는 이를 개념적으로 좀 더 보완하여 언어를 다듬는 작업을 한다. 구체적으로, 우리는 chain complex들을 우리의 대상으로 생각하고, quasi-isomorphic한 chain complex들을 처음부터 같은 것으로 취급하여 이러한 문제를 해결할 것이다. 즉, 우리가 활동하는 영역을 abelian category \(\mathcal{A}\)가 아니라, \(\mathcal{A}\)의 chain complex들로 이루어진 category \(\Ch(\mathcal{A})\)가 우선적인 관심의 대상이 된다.
Derived Category의 정의
그러나 \(\Ch(\mathcal{A})\) 자체는 우리의 관심의 대상은 아니다. 우리는 앞서 설명했듯 \(\Ch(\mathcal{A})\)에서 quasi-isomorphism을 모두 같은 것으로 봐야 하므로 이에 대한 quotient 또한 생각해야 한다. 또, 그 이전에 chain homotopic한 chain map들은 모두 같은 것이므로 다음과 같은 정의를 내려야 한다.
정의 1 Abelian category \(\mathcal{A}\)의 homotopy category \(K(\mathcal{A})\)는 \(\Ch(\mathcal{A})\)에서 chain homotopic인 map들을 동일시하여 얻은 quotient category이다. 즉 chain homotopy relation \(\sim\)에 대하여
\[\Hom_{K(\mathcal{A})}(A^\bullet, B^\bullet) = \Hom_{\Ch(\mathcal{A})}(A^\bullet, B^\bullet) /{\sim}\]이다.
그럼 우리는 \(K(\mathcal{A})\)이 additive category인 것을 확인할 수 있다. 한편, 우리는 quasi-isomorphism이 일반적으로 \(K(\mathcal{A})\)에서 isomorphism이 아닌 것은 이미 §긴 완전열, ⁋정의 4에서 확인하였다. 따라서 quasi-isomorphic한 chain complex (up to chain homotopy)을 같은 것으로 보기 위해서 우리는 반드시 quasi-isomorphism의 inverse를 강제로 만들어주어야 한다.
정의 2 Abelian category \(\mathcal{A}\)의 derived category \(D(\mathcal{A})\)는 homotopy category \(K(\mathcal{A})\)에서 quasi-isomorphism의 모임 \(S\)에 대한 Verdier quotient \(K(\mathcal{A})/S\)이다.
우리는 이 정의를 아주 엄밀하게 다루지는 않지만, 이는 기본적으로 [대수적 구조] §분수체, ⁋정의 2의 구성과 다르지 않다. 다른 점은 대상들이 non-commutative하다는 것으로, 이것만 주의하면 우리는 \(K(\mathcal{A})\)의 “localization” \(D(\mathcal{A})\)를 얻어낼 수 있다.
조금 더 구체적으로, \(D(\mathcal{A})\)의 morphism을 설명할 때 우리는 종종 roof diagram을 사용하여 설명한다. \(X\)에서 \(Y\)로의 \(D(\mathcal{A})\)에서의 morphism은 다음의 diagram
\[X\overset{s}{\longleftarrow} X'\overset{f}{\longrightarrow}Y\]으로 표현되며, 여기서 \(s\)는 quasi-isomorphism이고, \(f\)는 chain map이다. 즉, \(D(\mathcal{A})\) 안에서, \(X\)에서 \(Y\)로의 map은 실제 map이 아니라, \(X\)의 quasi-isomorphism class에 속하는 \(X'\)에서 \(Y\)로의 chain map (정확히는 up to chain homotopy)인 것으로 생각할 수 있다. 이 과정에서 우리는 실제로 chain map으로서 존재하지는 않을 수도 있는 \(s^{-1}\)을 추가하게 되어 위의 설명에서의 “localization” analogue가 생기게 되는 것이다.
이러한 관점에서, 어떤 roof들이 서로 equivalent한 roof를 정의하는지 또한 살펴볼 수 있다. 이는 localization 세팅에서는
\[\frac{a}{b}=\frac{ca}{cb}\]꼴의 equivalence로 나타나는 것이다. 다음의 두 roof들
\[X\overset{s}{\longleftarrow} A\overset{f}{\longrightarrow}Y,\qquad X\overset{t}{\longleftarrow} B\overset{g}{\longrightarrow}Y\]이 주어졌다고 할 때, 이들 둘이 equivalent하다는 것은 또 다른 object \(C\)와 roof
\[A\overset{u}{\longleftarrow} C\overset{h}B\]이 존재하여
\[su=th,\qquad fu=gh\]이 성립하며 \(su=th\)가 quasi-isomorphism인 것이다. 비슷한 방식으로 roof 두 개의 합성도 정의할 수 있으며 (roof diagram 상에서는 두 roof의 공통의 roof를 잡는 것으로 나타난다) 따라서 \(D(\mathcal{A})\)의 morphism을 완전하게 이해할 수 있다.
이제 이 언어가 어떻게 좋은 framework를 구성하는지를 보기 위해, 일상적인 \(\mathcal{A}\)의 원소 \(A\)가 주어졌다 하자. 그럼 우리는 \(A\)를 \(0\)번째 성분에 두고 나머지 성분은 \(0\)으로 고정한 chain complex
\[A[0]:\qquad \cdots\rightarrow 0\rightarrow A\rightarrow 0\rightarrow \cdots\]을 생각한다. 그럼 우리가 알고 있는 것은 \(A\)의 injective resolution 혹은 \(A\)의 projective resolution이 \(A[0]\)과 quasi-isomorphic하다는 것으로, derived category 레벨에서는 \(A\)의 resolution들이 곧 \(A\) 그 자체가 된다.
한편 위와 같이 resolution을 생각하면, injective resolution과 projective resolution은 서로 방향이 다르므로 \(D(\mathcal{A})\)를 조금 더 세분화할 수 있다.
정의 3 Derived category \(D(\mathcal{A})\)의 subcategory들을 정의한다.
- 충분히 작은 \(n\)에 대하여 그 cohomology \(H^n(A^\bullet)=0\)이 항상 성립하는 complex들을 bounded below라 하고, 이들이 이루는 \(D(\mathcal{A})\)의 full subcategory를 \(D^+(\mathcal{A})\)로 적는다.
- 충분히 큰 \(n\)에 대하여 그 cohomology \(H^n(A^\bullet)=0\)이 항상 성립하는 complex들을 bounded above라 하고, 이들이 이루는 \(D(\mathcal{A})\)의 full subcategory를 \(D^-(\mathcal{A})\)로 적는다.
- Bounded below이면서 bounded above인 complex들을 bounded라 하고, 이들이 이루는 \(D(\mathcal{A})\)의 full subcategory를 \(D^b(\mathcal{A})\)로 적는다.
종종 주어진 complex가 \(0\) 아닌 (co)homology를 가지는 index의 범위를 amplitude라 부른다. 위에서 언급한 것과 같이, \(D^+(\mathcal{A})\)는 injective resolution을 사용한 작업에 자연스러운 무대이며, \(D^-(\mathcal{A})\)는 projective resolution에 자연스럽다. 대부분의 응용에서는 bounded derived category \(D^b(\mathcal{A})\)가 주요 무대가 된다.
한편 우리는 다음을 공식적으로 정의한다.
정의 4 \(D(\mathcal{A})\) 위의 shift functor \([n]: D(\mathcal{A}) \rightarrow D(\mathcal{A})\)는 complex \(A^\bullet\)을 \(n\)칸 이동시키는 것이다. 구체적으로 \((A[n])^i = A^{i+n}\)이고, 미분 map은 \((d_{A[n]})^i = (-1)^n d_A^{i+n}\)으로 정의한다.
이 때 differential의 sign convention은 §호몰로지, ⁋정의 5 이후에 이미 설명한 바 있다. 그러나 sign이 바뀐 것은 (co)homology에 어떠한 영향도 주지 않으므로 가령 다음의 식
\[H^i(A[n]) = H^{i+n}(A)\]이 성립한다. 구체적인 예시로, abelian category의 object \(A\)를 \(A[0]\)으로 볼 때, \(A[n]\)은 \(-n\)번째 차수에 \(A\)가 있고 나머지는 \(0\)인 complex이며, 따라서 \(H^{-n}(A[n]) = A\)이고 다른 차수에서의 cohomology는 \(0\)이다.
Derived Functor
우리는 앞서 derived category가 derived functor를 올바르게 살펴보는 데에 도움을 준다고 하였다. 이를 위해서는 complex 수준에서 resolution의 개념을 도입해야 한다.
정의 5 Complex \(P \in K(\mathcal{A})\)가 \(K\)-projective라는 것은, 임의의 quasi-isomorphism \(s: A \rightarrow B\) in \(K(\mathcal{A})\)에 대해 유도된 map
\[\Hom(s, P):\Hom_{K(\mathcal{A})}(B, P)\rightarrow\Hom_{K(\mathcal{A})}(A, P)\]이 isomorphism인 것이다.
즉 \(P\)는 \(K(\mathcal{A})\)에서 Hom functor \(\Hom(-, P)\)를 quasi-isomorphism에 대해 invariant하게 만드는 complex로, 이러한 대상들만이 derived category로 잘 떨어질 것은 자명하다. 물론 다음 또한 정의해야 한다.
정의 6 Complex \(I \in K(\mathcal{A})\)가 \(K\)-injective라는 것은, 임의의 quasi-isomorphism \(s : A \rightarrow B\)에 대해 유도된 map
\[\Hom_{K(\mathcal{A})}(I, A) \xrightarrow{s_*} \Hom_{K(\mathcal{A})}(I, B)\]이 isomorphism인 것이다.
일반적으로, 대상 \(A\)의 resolution은 \(A[0]\)의 \(K\)-resolution이 된다. 또, 어렵지 않게 다음의 명제를 확인할 수 있다.
명제 7 다음이 성립한다.
- 각 항이 injective이고 bounded below인 chain complex는 \(K\)-injective이다.
- 각 항이 projective이고 bounded above인 chain complex는 \(K\)-projective이다.
더 일반적으로, enough injective를 갖는 임의의 abelian category의 homotopy category는 enough \(K\)-injective resolution을 가지며 projective case에 대해서도 마찬가지이다. 이제 우리는 다음을 정의할 준비가 되었다.
정의 8 Additive functor \(F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}\)가 주어졌다고 하자.
- \(F\)가 left exact이고 \(\mathcal{A}\)가 enough injective를 갖는다고 하자. \(A^\bullet \in D^+(\mathcal{A})\)의 right derived functor는 \(R F(A^\bullet) = F(I^\bullet)\)로 정의한다. 여기서 \(A^\bullet \rightarrow I^\bullet\)은 \(K\)-injective resolution이다.
- \(F\)가 right exact이고 \(\mathcal{A}\)가 enough projective를 갖는다고 하자. \(A^\bullet \in D^-(\mathcal{A})\)의 left derived functor는 \(L F(A^\bullet) = F(P_\bullet)\)로 정의한다. 여기서 \(P_\bullet \rightarrow A^\bullet\)은 \(K\)-projective resolution이다.
우리는 \(K\)-resolution의 존재성을 사용하기 위해 \(A^\bullet\)이 \(D^\pm(\mathcal{A})\)에 각각 속해있을 것을 요구하였지만, 만일 \(K\)-resolution이 명시적으로 주어진다면 굳이 이를 가정할 필요는 없다. 그러나 실제 사용되는 대부분의 경우 \(A^\bullet\)은 우리가 원하는 boundedness를 만족하도록 주어진다.
특별히 \(A \in \mathcal{A}\)를 \(A[0] \in D(\mathcal{A})\)로 보면,
\[H^i(R F(A[0])) = (R^i F)(A)\]이 성립하므로 우리는 \(RF\)가 원래의 right derived functor들을 잘 복원하는 것을 안다. 더 직관적으로 말하자면, 이 right derived functor의 모든 정보는 사실상 \(R^iF\)들 각각이 아닌, \(RF\)라는 단일한 derived functor에 들어있는 것이며 이를 “classical”한 세계로 가져오기 위한 도구가 cohomology일 뿐이다. 비슷하게 \(H_i(L F(A[0])) = (L_i F)(A)\)인 것도 자명하다.
명제 9 \(R F\)와 \(L F\)는 derived category에서의 functor이다. 즉 quasi-isomorphism을 quasi-isomorphism으로 보낸다.
증명
Quasi-isomorphism \(s : A^\bullet \rightarrow B^\bullet\)이 주어졌다고 하고, \(A^\bullet \rightarrow I^\bullet\), \(B^\bullet \rightarrow J^\bullet\)을 각각 \(K\)-injective resolution이라 하자. \(K\)-injective resolution의 lifting property (정의 6)에 의해, quasi-isomorphism \(s\)는 \(I^\bullet\)과 \(J^\bullet\) 사이의 map \(\tilde{s} : I^\bullet \rightarrow J^\bullet\)으로 유일하게 (homotopy까지) 확장된다. 따라서 \(F(\tilde{s}) : F(I^\bullet) \rightarrow F(J^\bullet)\)을 얻는다. \(K\)-injective resolution 위에서 \(F\)를 적용한 것이므로 \(F(\tilde{s})\)는 quasi-isomorphism이며, 따라서 \(D(\mathcal{B})\)에서 \(R F(A^\bullet) \cong R F(B^\bullet)\)이다. Left derived functor에 대해서도 비슷하다.
구체적인 예로서, \(\mathcal{A}\) 위에서의 Hom functor \(\Hom(-, B)\)는 contravariant left exact functor이므로 이를 derived하여 complex 수준의 derived Hom \(R\Hom\)을 정의하면, \(R\Hom(A, B)\)의 cohomology는 \(\Ext^i(A, B)\)와 일치한다.
명제 10 \(\mathcal{A}\)가 enough injective를 갖는 abelian category라고 하자. 그럼 모든 \(A, B \in \mathcal{A}\)에 대해
\[H^{i}(R\Hom(A, B)) \cong \Ext^i(A, B)\]이 성립한다.
증명
\(R\Hom(A, B)\)를 정확히 정의하자. \(A\)를 \(A[0] \in D(\mathcal{A})\)로 보고, projective resolution \(P_\bullet \rightarrow A\)를 선택한다. 명제 7에 의하여 \(P_\bullet\)은 \(K\)-projective complex이므로
\[R\Hom(A, B) = \Hom(P_\bullet, B)\]로 정의한다. 여기서 우변은 complex \(\Hom(P_\bullet, B)\)를 나타낸다. 그럼 \(P_\bullet \rightarrow A\)가 projective resolution이므로 §Ext와 Tor의 정의에 의해 \(H^i(\Hom(P_\bullet, B)) = \Ext^i(A, B)\)이다.
비슷하게 tensor product의 left derived functor \(L(A \otimes B) = A \otimes^L B\)를 정의할 수 있으며, \(\Tor_i(A, B) = H^{-i}(A \otimes^L B)\)가 성립한다.
Triangulated Category
Derived category \(D(\mathcal{A})\)는 단순한 category가 아니라 triangulated category의 구조를 갖는다. 이 구조는 abelian category에서 short exact sequence가 하던 역할을 derived category에서 대신한다.
정의 11 Triangulated category는 다음 구조를 갖춘 additive category \((\mathcal{T}, [1], \mathcal{S})\)이다.
- Shift functor \([1] : \mathcal{T} \rightarrow \mathcal{T}\). 여기서 \([0] = \id\)이고 \([n+1] = [1] \circ [n]\)이다.
- Distinguished triangle들의 모임 \(\mathcal{S}\). 각 distinguished triangle은
의 형태를 갖는다. 이 모임은 다음 공리를 만족한다.
- (TR1) 모든 morphism \(f : A \rightarrow B\)에 대해 distinguished triangle \(A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A[1]\)가 존재한다. 또한 \(A \overset{\id}{\rightarrow} A \rightarrow 0 \rightarrow A[1]\)은 distinguished triangle이다.
- (TR2) \(A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A[1]\)이 distinguished triangle이면 \(B \rightarrow C \rightarrow A[1] \rightarrow B[1]\)도 distinguished triangle이다.
- (TR3) 두 distinguished triangle이 주어졌을 때, map들 \((u, v, w)\)에 의한 morphism이 commute하면, \(w\)를 포함하는 확장이 존재한다.
- (TR4) Octahedral axiom: 합성 \(B \overset{g}{\longrightarrow} C \overset{h}{\longrightarrow} D\)이 주어졌을 때, 이와 연관된 octahedron을 이루는 세 개의 distinguished triangle이 존재한다.
Distinguished triangle의 직관은 short exact sequence의 “derived version”이라는 것이다. Abelian category에서 short exact sequence \(0 \rightarrow A' \overset{f}{\longrightarrow} A \overset{g}{\longrightarrow} A'' \rightarrow 0\)이 있으면, \(f\)를 complex 사이의 map \(A'[0] \rightarrow A[0]\)로 볼 수 있고, 이때 mapping cone \(C(f)\)는 \(A''[0]\)과 quasi-isomorphic하다. (§긴 완전열, ⁋정의 8) 즉 short exact sequence는 derived category에서 distinguished triangle
\[A'[0] \overset{f}{\rightarrow} A[0] \rightarrow A''[0] \rightarrow A'[1]\]으로 나타난다. 일반적인 map \(f\)에 대해서는, \(f\)가 isomorphism에서 벗어나는 정도가 \(C(f)\)의 cohomology로 측정되며, cohomology long exact sequence가 자연스럽게 나타난다.
Derived category \(D(\mathcal{A})\)에서 distinguished triangle은 complex 사이의 map \(f\)와 그 mapping cone \(C(f)\)로부터 얻어진 삼각형
\[A \overset{f}{\rightarrow} B \overset{g}{\rightarrow} C(f) \overset{h}{\rightarrow} A[1]\]들로 구성된다. 여기서 \(g : B^i \rightarrow C(f)^i = B^i \oplus A^{i+1}\)는 \(b \mapsto (b, 0)\)이고, \(h : C(f)^i \rightarrow A[1]^i = A^{i+1}\)는 \((b, a) \mapsto a\)이다.
명제 12 \(R F : D^+(\mathcal{A}) \rightarrow D^+(\mathcal{B})\)는 triangulated functor이다. 즉 distinguished triangle
\[A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A[1]\]이 주어지면
\[R F(A) \rightarrow R F(B) \rightarrow R F(C) \rightarrow R F(A)[1]\]도 distinguished triangle이다.
증명
\(A \rightarrow B\)를 map으로 보고, 이들의 \(K\)-injective resolution들을 각각 \(I_A^\bullet\), \(I_B^\bullet\)이라 하자. \(K\)-injective resolution의 lifting property에 의해, map \(A \rightarrow B\)는 \(I_A^\bullet \rightarrow I_B^\bullet\)로 확장된다. \(C = C(f)\)의 \(K\)-injective resolution \(I_C^\bullet\)을 취하면, \(I_A^\bullet \rightarrow I_B^\bullet \rightarrow I_C^\bullet \rightarrow I_A^\bullet[1]\)은 \(K\)-injective complex들 사이의 distinguished triangle이며, \(F\)를 적용한 뒤 \(D(\mathcal{B})\)에서 보면 원하는 distinguished triangle을 얻는다. Bounded below \(K\)-injective complex들은 \(K(\mathcal{A})\)의 triangulated subcategory를 이루므로, mapping cone도 \(K\)-injective가 되고 이 diagram이 commute함을 알 수 있다.
Derived Adjunction
Category theory에서 adjunction은 두 functor 사이의 가장 중요한 관계 중 하나이다. Derived category에서도 adjunction이 성립하며, 이를 derived adjunction이라 부른다. Derived adjunction \(L F \dashv R G\)는 일반적인 adjoint 관계를 derived category로 끌어올린 것으로, \(F\), \(G\)가 exact하지 않아도 resolution을 통해 “올바르게” 계산한 결과끼리 여전히 adjoint 관계를 이룬다. Naive하게 \(F\)나 \(G\)를 적용하면 exactness가 깨져서 잘못된 homology가 나올 수 있지만, derived version을 사용하면 이 문제를 해결하면서 원래의 adjoint 구조도 유지된다.
명제 13 Abelian category \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) 사이의 additive functor들 \(F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}\) (right exact), \(G : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A}\) (left exact)가 adjoint pair \(F \dashv G\)를 이룬다고 하자. 그럼 derived category에서
\[L F : D^-(\mathcal{A}) \rightarrow D^-(\mathcal{B}), \qquad R G : D^+(\mathcal{B}) \rightarrow D^+(\mathcal{A})\]는 adjoint pair \(L F \dashv R G\)를 이룬다. 즉 모든 \(A^\bullet \in D^-(\mathcal{A})\), \(B^\bullet \in D^+(\mathcal{B})\)에 대해
\[\Hom_{D(\mathcal{B})}(L F(A^\bullet), B^\bullet) \cong \Hom_{D(\mathcal{A})}(A^\bullet, R G(B^\bullet))\]이 성립한다.
증명
\(A^\bullet\)의 \(K\)-projective resolution \(P_\bullet\)과 \(B^\bullet\)의 \(K\)-injective resolution \(I^\bullet\)을 선택하자. \(P_\bullet\)은 \(K\)-projective이므로 \(\Hom_{D(\mathcal{B})}(F(P_\bullet), I^\bullet)\)의 계산에서 \(F(P_\bullet)\)을 resolution로 대체할 수 있다. 원래의 adjunction \(F \dashv G\)에 의해, complex 수준에서
\[\Hom_{\Ch(\mathcal{B})}(F(P_\bullet), I^\bullet) \cong \Hom_{\Ch(\mathcal{A})}(P_\bullet, G(I^\bullet))\]이 성립한다. 이 동형은 각 차수별 adjunction \(\Hom_\mathcal{B}(F(P^n), I^m) \cong \Hom_\mathcal{A}(P^n, G(I^m))\)을 모아서 complex 수준으로 얻은 것이다. \(P_\bullet\)이 \(K\)-projective이고 \(I^\bullet\)이 \(K\)-injective이므로, 좌변은 \(\Hom_{K(\mathcal{B})}(F(P_\bullet), I^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{B})}(L F(A^\bullet), B^\bullet)\)로, 우변은 \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(P_\bullet, G(I^\bullet)) = \Hom_{D(\mathcal{A})}(A^\bullet, R G(B^\bullet))\)로 환원된다.
가장 대표적인 예는 tensor product와 Hom의 adjunction이다. [다중선형대수학] §Hom과 텐서곱에서 본 abelian category \(\mathcal{A}\) 위의 tensor-Hom adjunction
\[\Hom(A \otimes B, C) \cong \Hom(A, \Hom(B, C))\]에서, complex \(X, Y, Z\)에 대해 동일한 형태의 isomorphism을 derived category에서도 얻고 싶을 수 있다. 그러나 raw functor \(-\otimes B\)와 \(\Hom(B,-)\)는 quasi-isomorphism을 보존하지 않으므로, 이 adjunction은 naive하게 derived category로 내려오지 않는다. 앞서 derived functor를 정의할 때 projective resolution 또는 injective resolution을 취해야만 \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\)로 잘 descend한다는 점을 확인하였는데, 이는 바로 \(-\otimes B\)가 right exact이고 \(\Hom(B,-)\)가 left exact이기 때문이다. Quasi-isomorphism에 대한 localization을 거치면 classical adjoint는 자동으로 살아남지 않으므로, 이 exactness의 부족을 보완하는 derived version이 필요하다.
이를 구체적으로 확인하기 위해 \(R = \mathbb{Z}\), \(M = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)를 생각하자. \(M\)은 flat이 아니므로 tensoring이 exact하지 않다. \(0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times n} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to 0\)에 \(-\otimes M\)을 적용하면 exactness가 깨지며, 구체적으로 \(\Tor_1^\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)이 존재하므로 naive adjunction은 기대하는 대로 작동하지 않는다. (§Ext와 Tor)
이 exactness failure를 해결하기 위해 projective resolution을 사용하여 \(\otimes^L\)와 \(R\Hom\)을 구성하면, 명제 13에 의해 adjunction이 복원된다. 구체적으로 \(A \otimes^L B\)는 \(A\)의 projective resolution에 \(-\otimes B\)를 적용한 것이며, \(R\Hom(B, C)\)는 \(B\)의 projective resolution에 \(\Hom(-, C)\)를 적용한 것이다. 이를 통해
\[\Hom_{D(\mathcal{A})}(A \otimes^L B, C) \cong \Hom_{D(\mathcal{A})}(A, R\Hom(B, C))\]를 얻는다. Projective resolution을 취하는 과정에서 \(-\otimes B\)가 잃어버렸던 \(\Tor\) 정보와 \(\Hom(B,-)\)가 잃어버렸던 \(\Ext\) 정보가 complex의 상위 차원으로 보존되며, chain map의 계산을 통해 양변이 일치함을 확인할 수 있다.
요약하면, abelian category에서의 classical adjunction은 underived level에서 존재하지만 quasi-isomorphism에 대한 localization을 거치면 자동으로 살아남지 않는다. \(-\otimes B\)의 right exactness와 \(\Hom(B,-)\)의 left exactness로 인해 quasi-isomorphism이 보존되지 않으며, 이로 인해 naive adjunction이 깨진다. 이 exactness의 failure는 \(\otimes^L\)와 \(R\Hom\)을 resolution을 통해 구성함으로써 해결되며, 명제 13이 보장하는 derived adjunction이 classical adjunction을 정확하게 대체한다.
참고문헌
[GM] S. I. Gelfand, Y. I. Manin, Methods of homological algebra, Springer, 2003.
[Ver] J.-L. Verdier, Des catégories dérivées des catégories abéliennes, Astérisque 239 (1996).
[Wei] C. A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, 1994.
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