동기
우리는 §유도함자, ⁋정의 4에서 exact하지 않은 functor \(F\)에 대해 projective resolution을 이용하여 left derived functor \(L_iF\)를 정의하였다. Right exact functor \(F\)를 다룰 때, 우리는 대상 \(A\)의 projective resolution \(P_\bullet\)을 선택하고 \(F(P_\bullet)\)의 homology를 취함으로써 손실된 정보를 보충하였다. 그러나 이 접근에는 본질적인 한계가 있다.
첫째, derived functor \(L_iF\)는 각 차수 \(i\)마다 따로따로 정의된다. Vanishing이 여러 차수에서 동시에 발생하며, 이들을 개별적으로 추적하는 것은 비효율적이다. 둘째, 우리는 실제로는 대상 하나가 아니라 complex 전체를 functor에 입력하고 싶은 상황을 자주 만난다. Cohomology를 계산할 때 우리는 이미 암묵적으로 이를 한다. 대상 \(A\)의 cohomology를 계산하기 위해 injective resolution \(0 \to A \to I^0 \to I^1 \to \cdots\)을 만들고, 각 \(I^i\)에 functor를 적용한 뒤 전체 complex의 homology를 취한다. 즉 우리의 관심 대상은 개별 대상이 아니라 complex 그 자체에 있다.
Derived category는 이러한 동기에서 생겨난다. Complex 전체를 하나의 대상으로 취급하고, cohomology를 보존하는 사상인 quasi-isomorphism을 강제로 invert한 category를 구성함으로써, derived functor를 단일 functor로 통합할 수 있다.
Complex와 cohomology
Chain complex와 cochain complex, 그리고 homology와 cohomology는 §사슬호몰로지, ⁋정의 1에서 정의되었다.
Complex라는 개념은 이미 익숙하다. 대상 \(A\)의 injective resolution \(0 \to A \to I^0 \to I^1 \to \cdots\)도 cochain complex이다. 이 complex의 cohomology는 \(H^0(I^\bullet) = A\)이고 \(i \geq 1\)에 대해서는 \(H^i(I^\bullet) = 0\)이다. 즉 resolution은 \(A\)를 유일하게 남기고 나머지 차수의 cohomology를 모두 \(0\)으로 만드는 complex이다. 마찬가지로 projective resolution도 chain complex로 이해할 수 있다.
정의 1 두 cochain complex \(A^\bullet\), \(B^\bullet\) 사이의 사상 \(f \colon A^\bullet \to B^\bullet\)이 모든 차수 \(i\)에서 유도된 사상 \(H^i(f) \colon H^i(A^\bullet) \to H^i(B^\bullet)\)가 isomorphism이면, \(f\)를 quasi-isomorphism이라 부른다.
Quasi-isomorphism은 cohomology의 관점에서 본질적으로 isomorphism과 같다. 두 complex의 cohomology group이 모두 같다면, 우리가 관심을 갖는 정보는 동일하다. 그러나 category의 구조상 quasi-isomorphism의 역사상이 존재하지 않을 수 있다. 예를 들어 어떤 complex가 다른 complex의 resolution일 때, resolution에서 원래 complex로 돌아가는 사상은 일반적으로 존재하지 않는다. 이 문제를 해결하기 위해 quasi-isomorphism을 강제로 invert하여 얻은 category가 derived category이다.
Derived Category의 정의
정의 2 Abelian category \(\mathcal{A}\)의 derived category \(D(\mathcal{A})\)는 \(\mathcal{A}\) 위의 cochain complex들이 이루는 category \(\Ch(\mathcal{A})\)에서 quasi-isomorphism을 형식적으로 invert하여 얻은 category이다.
“Quasi-isomorphism을 invert한다”는 것의 구체적인 의미는 localization이다. Category \(\mathcal{C}\)에서 사상의 집합 \(S\)를 포함하는 분모로 localize하여 \(S^{-1}\mathcal{C}\)를 얻는 것은, 선대수학에서 \(S\)의 원소들로 나누는 것과 같다. 이렇게 하면 quasi-isomorphism인 사상은 derived category에서 genuine isomorphism이 된다. Derived category의 사상은 formally, complex 사이의 “roof diagram” \(A \leftarrow s \cdot B \to C\) (여기서 \(s\)는 quasi-isomorphism)의 동치류로 정의된다.
이것의 가장 중요한 결과는 resolution으로 대체할 수 있다는 점이다. 대상 \(A\)와 그 injective resolution \(A \to I^\bullet\) 사이에는 quasi-isomorphism이 존재하므로, derived category에서 \(A = A[0]\)과 \(I^\bullet\)은 isomorphism이다. 따라서 \(A\)를 직접 다루는 대신 \(I^\bullet\)을 다루어도 결과가 같다. 마찬가지로 projective resolution \(P_\bullet \to A\)도 \(A[0]\)와 quasi-isomorphic하다. Derived category에서는 injective resolution과 projective resolution 모두 \(A[0]\)와 isomorphic한 대상이다.
정의 3 Complex \(A^\bullet \in D(\mathcal{A})\)가 bounded below이라는 것은 \(H^i(A^\bullet) = 0\)인 \(i\)가 아래로 유계인 것이다, 즉 충분히 작은 \(n\)에 대해 \(i < n\)이면 \(H^i(A^\bullet) = 0\)인 것이다. Bounded below complex들로 이루어진 full subcategory를 \(D^+(\mathcal{A})\)로 쓴다. 비슷하게 bounded above (\(H^i = 0\) for \(i \gg 0\))인 complex들의 category를 \(D^-(\mathcal{A})\), bounded (양쪽에서 유계)인 complex들의 category를 \(D^b(\mathcal{A})\)로 쓴다.
\(D^+(\mathcal{A})\)는 injective resolution을 사용한 작업에 자연스러운 무대이며, \(D^-(\mathcal{A})\)는 projective resolution에 자연스럽다. 대부분의 응용에서는 bounded derived category \(D^b(\mathcal{A})\)가 주요 무대가 된다.
Shift Functor
정의 4 \(D(\mathcal{A})\) 위의 shift functor \([n] \colon D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\)는 complex \(A^\bullet\)을 \(n\)칸 이동시키는 것이다. 구체적으로 \((A[n])^i = A^{i+n}\)이고, 미분 사상은 \((d_{A[n]})^i = (-1)^n d_A^{i+n}\)으로 정의한다.
Shift functor는 derived category의 기본 연산이다. Cohomology에 대해서는
\[H^i(A[n]) = H^{i+n}(A)\]가 성립한다. 이는 \(d_{A[n]}\)의 정의에서 \((-1)^n\) 인자가 cohomology 계산에 영향을 주지 않기 때문이다. 예를 들어, 대상 \(A\)를 \(A[0]\)으로 볼 때, \(A[n]\)은 \(n\)번째 차수에 \(A\)가 있고 나머지는 \(0\)인 complex이다. 따라서 \(H^{-n}(A[n]) = A\)이고 다른 차수에서의 cohomology는 \(0\)이다.
Shift functor는 derived adjunction 등에서 차수의 정합성을 맞추는 역할을 한다.
Derived Functor
Derived category에서 exact하지 않은 functor를 다루는 표준적인 방법은 derived functor이다. 우리는 이미 §유도함자에서 대상 하나에 대한 derived functor를 정의하였으나, derived category에서는 이를 complex 전체로 확장하여 단일 functor로 통합할 수 있다.
정의 5 Additive functor \(F \colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)가 주어졌다고 하자.
- \(F\)가 left exact이고 \(\mathcal{A}\)가 enough injective를 갖는다고 하자. \(A^\bullet \in D^+(\mathcal{A})\)의 right derived functor는 \(R F(A^\bullet) = F(I^\bullet)\)로 정의한다. 여기서 \(A^\bullet \to I^\bullet\)은 \(K\)-injective resolution이다.
- \(F\)가 right exact이고 \(\mathcal{A}\)가 enough projective를 갖는다고 하자. \(A^\bullet \in D^-(\mathcal{A})\)의 left derived functor는 \(L F(A^\bullet) = F(P_\bullet)\)로 정의한다. 여기서 \(P_\bullet \to A^\bullet\)은 \(K\)-projective resolution이다.
\(K\)-injective resolution과 \(K\)-projective resolution은 일반적인 injective resolution과 projective resolution의 complex 버전이다. 대상 하나의 경우에는 기존의 resolution과 일치한다.
Derived functor가 정의가 잘 되어 있는지 확인하려면 resolution의 선택에 의존하지 않아야 한다. Quasi-isomorphism \(s \colon A^\bullet \to B^\bullet\)이 주어졌을 때, resolution을 선택하여 \(F(I_A^\bullet)\)과 \(F(I_B^\bullet)\)을 얻으면, \(F\)가 적절한 resolution 위에서 작용하므로 이들 사이에 quasi-isomorphism이 유도되어 derived category에서 동일한 대상을 나타낸다.
대상 하나에 대한 derived functor와의 관계는 다음과 같다. \(A \in \mathcal{A}\)를 \(A[0] \in D(\mathcal{A})\)로 보면,
\[H^i(R F(A[0])) = (R^i F)(A)\]이 성립한다. 즉 \(R F\)는 \(R^i F\)를 모든 차수에서 동시에 포착하는 complex 수준의 functor이다. 비슷하게 \(H_i(L F(A[0])) = (L_i F)(A)\)이다.
명제 6 \(R F\)와 \(L F\)는 derived category에서의 functor이다. 즉 quasi-isomorphism을 보내 quasi-isomorphism으로 보낸다.
증명
Quasi-isomorphism \(s \colon A^\bullet \to B^\bullet\)이 주어졌다고 하자. \(A^\bullet \to I^\bullet\), \(B^\bullet \to J^\bullet\)을 각각 \(K\)-injective resolution이라 하자. Resolution의 functoriality에 의해, \(I^\bullet\)과 \(J^\bullet\) 사이에 quasi-isomorphism \(\tilde{s}\)가 존재한다. 따라서 \(F(\tilde{s}) \colon F(I^\bullet) \to F(J^\bullet)\)을 얻는다. \(K\)-injective resolution 위에서 \(F\)를 적용한 것이므로 \(F(\tilde{s})\)는 quasi-isomorphism이며, 따라서 \(D(\mathcal{B})\)에서 \(R F(A^\bullet) \cong R F(B^\bullet)\)이다. Left derived functor에 대해서도 비슷하다.
구체적인 예로서, \(\mathcal{A}\) 위에서의 Hom functor \(\operatorname{Hom}(-, B)\)는 contravariant left exact functor이므로 이를 derived하여 complex 수준의 derived Hom을 얻을 수 있다. \(\mathbf{R}\operatorname{Hom}\)을 정의하면, \(\mathbf{R}\operatorname{Hom}(A, B)\)의 cohomology는 \(\operatorname{Ext}^i(A, B)\)와 일치한다.
명제 7 \(\mathcal{A}\)가 enough injective를 갖는 abelian category라고 하자. 그럼 모든 \(A, B \in \mathcal{A}\)에 대해
\[H^{i}(\mathbf{R}\operatorname{Hom}(A, B)) \cong \operatorname{Ext}^i(A, B)\]이 성립한다.
증명
\(A\)의 projective resolution \(P_\bullet \to A\)를 선택하자. 그럼 \(\mathbf{R}\operatorname{Hom}(A, B)\)는 적절한 resolution로 치환한 뒤 \(\operatorname{Hom}(P_\bullet, B)\)와 quasi-isomorphic하다. \(P_\bullet \to A\)는 resolution이므로 \(\operatorname{Hom}(P_\bullet, B)\)의 \(i\)차 cohomology는 \(H^i(\operatorname{Hom}(P_\bullet, B)) = \operatorname{Ext}^i(A, B)\)이다. §Ext와 Tor에서 \(\operatorname{Ext}\)가 projective resolution을 이용하여 정의됨을 상기하라. 따라서 \(H^{i}(\mathbf{R}\operatorname{Hom}(A, B)) \cong \operatorname{Ext}^i(A, B)\)이다.
비슷하게 tensor product의 left derived functor \(L(A \otimes B) = A \otimes^L B\)를 정의할 수 있으며, \(\operatorname{Tor}_i(A, B) = H^{-i}(A \otimes^L B)\)가 성립한다.
Triangulated Category
Derived category \(D(\mathcal{A})\)는 단순한 category가 아니라 triangulated category의 구조를 갖는다. 이 구조는 abelian category에서 short exact sequence가 하던 역할을 derived category에서 대신한다.
정의 8 Triangulated category는 다음 구조를 갖춘 additive category \((\mathcal{T}, [1], \mathcal{S})\)이다.
- Shift functor \([1] \colon \mathcal{T} \to \mathcal{T}\): 자기 동형사상이며, \([0] = \operatorname{id}\)이고 \([n+1] = [1] \circ [n]\)이다.
- Distinguished triangle들의 모임 \(\mathcal{S}\): 각 distinguished triangle은
의 형태를 갖는다. 이 모임은 다음 공리를 만족한다. - (TR1) Isomorphism은 distinguished triangle을 보낸다. 모든 사상 \(f \colon A \to B\)에 대해 distinguished triangle \(A \to B \to C \to A[1]\)가 존재한다. 또한 \(A \overset{\operatorname{id}}{\to} A \to 0 \to A[1]\)은 distinguished triangle이다. - (TR2) \(A \to B \to C \to A[1]\)이 distinguished triangle이면 \(B \to C \to A[1] \to B[1]\)도 distinguished triangle이다. - (TR3) 두 distinguished triangle이 주어졌을 때, 사상들 \((u, v, w)\)에 의한 morphism이 commute하면, \(w\)를 포함하는 확장이 존재한다. - (TR4) Octahedral axiom: 합성 \(B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} D\)이 주어졌을 때, 이와 연관된 octahedron을 이루는 세 개의 distinguished triangle이 존재한다.
정의 9 두 cochain complex \(A^\bullet\), \(B^\bullet\) 사이의 사상 \(f \colon A^\bullet \to B^\bullet\)이 주어졌을 때, mapping cone \(C(f)^\bullet\)은 차수별로 \(C(f)^i = B^i \oplus A^{i+1}\)이고, 미분 사상이
\[(b, a) \mapsto (d_B b + f(a), -d_A a)\]으로 주어지는 cochain complex이다.
Mapping cone은 사상 \(f\)가 “얼마나 isomorphism에서 벗어나는지”를 측정하는 도구이다. \(C(f)^\bullet\)의 cohomology를 계산해보자. 정의에 의해 \(H^i(C(f))\)는 \(d_B b + f(a) = 0\)이고 \(d_A a = 0\)인 쌍 \((b, a) \in B^i \oplus A^{i+1}\)을, \((d_B b' + f(a'), -d_A a')\) 형태의 원소들로 나눈 것이다.
명제 10 사상 \(f \colon A^\bullet \to B^\bullet\)이 quasi-isomorphism인 것과 \(H^i(C(f)) = 0\)이 모든 \(i\)에 대해 성립하는 것은 동치이다.
증명
\(f\)에 대해 cohomology long exact sequence
\[\cdots \to H^i(A) \overset{H^i(f)}{\to} H^i(B) \to H^i(C(f)) \to H^{i+1}(A) \overset{H^{i+1}(f)}{\to} H^{i+1}(B) \to \cdots\]이 성립한다. 이것은 standard construction이며, \(C(f)\)의 정의로부터 직접 확인할 수 있다. \(f\)가 quasi-isomorphism이면 \(H^i(f)\)가 모든 \(i\)에서 isomorphism이므로, five lemma에 의해 \(H^i(C(f)) = 0\)이다. 역으로 \(H^i(C(f)) = 0\)이면 위 long exact sequence에서 \(H^i(f)\)가 isomorphism임을 직접 읽을 수 있다.
Distinguished triangle의 직관은 short exact sequence의 “derived version”이라는 것이다. Abelian category에서 short exact sequence \(0 \to A' \xrightarrow{f} A \xrightarrow{g} A'' \to 0\)이 있으면, \(f\)를 complex 사이의 사상 \(A'[0] \to A[0]\)로 볼 수 있고, 이때 \(C(f)\)는 \(A''[0]\)과 quasi-isomorphic하다. 즉 short exact sequence는 derived category에서 distinguished triangle
\[A'[0] \overset{f}{\to} A[0] \to A''[0] \to A'[1]\]으로 나타난다. 일반적인 사상 \(f\)에 대해서는, \(f\)가 isomorphism에서 벗어나는 정도가 \(C(f)\)의 cohomology로 측정되며, cohomology long exact sequence가 자연스럽게 나타난다.
Derived category \(D(\mathcal{A})\)에서 distinguished triangle은 complex 사이의 사상 \(f\)와 그 mapping cone \(C(f)\)로부터 얻어진 삼각형
\[A \overset{f}{\to} B \overset{g}{\to} C(f) \overset{h}{\to} A[1]\]들로 구성된다. 여기서 \(g \colon B^i \to C(f)^i = B^i \oplus A^{i+1}\)는 \(b \mapsto (b, 0)\)이고, \(h \colon C(f)^i \to A[1]^i = A^{i+1}\)는 \((b, a) \mapsto a\)이다.
Triangulated 구조의 중요성은 derived functor가 exact functor처럼 “triangles을 triangles으로 보낸다”는 성질에 있다.
명제 11 \(R F \colon D^+(\mathcal{A}) \to D^+(\mathcal{B})\)는 triangulated functor이다. 즉 distinguished triangle
\[A \to B \to C \to A[1]\]이 주어지면
\[R F(A) \to R F(B) \to R F(C) \to R F(A)[1]\]도 distinguished triangle이다.
증명
\(A \to B\)를 사상으로 보고, 이들의 \(K\)-injective resolution들을 각각 \(I_A^\bullet\), \(I_B^\bullet\)이라 하자. \(K\)-injective resolution의 functoriality에 의해, \(A \to B\)는 \(I_A^\bullet \to I_B^\bullet\)로 확장된다. \(C = C(f)\)의 \(K\)-injective resolution \(I_C^\bullet\)을 취하면, \(I_A^\bullet \to I_B^\bullet \to I_C^\bullet \to I_A^\bullet[1]\)은 \(K\)-injective complex들 사이의 distinguished triangle이며, \(F\)를 적용한 뒤 \(D(\mathcal{B})\)에서 보면 원하는 distinguished triangle을 얻는다. \(K\)-injective complex들 사이에서는 mapping cone이 \(K\)-injective resolution과 compatible하므로, 이 diagram이 commute함을 알 수 있다.
Derived Adjunction
Category theory에서 adjunction은 두 functor 사이의 가장 중요한 관계 중 하나이다. Derived category에서도 adjunction이 성립하며, 이를 derived adjunction이라 부른다.
명제 12 Abelian category \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) 사이의 additive functor들 \(F \colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) (right exact), \(G \colon \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) (left exact)가 adjoint pair \(F \dashv G\)를 이룬다고 하자. 그럼 derived category에서
\[L F \colon D^-(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B}), \qquad R G \colon D^+(\mathcal{B}) \to D^+(\mathcal{A})\]는 adjoint pair \(L F \dashv R G\)를 이룬다. 즉 모든 \(A^\bullet \in D^-(\mathcal{A})\), \(B^\bullet \in D^+(\mathcal{B})\)에 대해
\[\operatorname{Hom}_{D(\mathcal{B})}(L F(A^\bullet), B^\bullet) \cong \operatorname{Hom}_{D(\mathcal{A})}(A^\bullet, R G(B^\bullet))\]이 성립한다.
증명
\(A^\bullet\)의 \(K\)-projective resolution \(P_\bullet\)과 \(B^\bullet\)의 \(K\)-injective resolution \(I^\bullet\)을 선택하자. \(P_\bullet\)은 \(K\)-projective이므로 \(\operatorname{Hom}_{D(\mathcal{B})}(F(P_\bullet), I^\bullet)\)의 계산에서 \(F(P_\bullet)\)을 resolution로 대체할 수 있다. 원래의 adjunction \(F \dashv G\)에 의해, complex 수준에서
\[\operatorname{Hom}_{\Ch(\mathcal{B})}(F(P_\bullet), I^\bullet) \cong \operatorname{Hom}_{\Ch(\mathcal{A})}(P_\bullet, G(I^\bullet))\]이 성립한다. \(P_\bullet\)이 \(K\)-projective이고 \(I^\bullet\)이 \(K\)-injective이므로, 좌변은 \(\operatorname{Hom}_{D(\mathcal{B})}(L F(A^\bullet), B^\bullet)\)에 의미론적으로, 우변은 \(\operatorname{Hom}_{D(\mathcal{A})}(A^\bullet, R G(B^\bullet))\)에 의미론적으로 일치한다.
이 결과는 derived category에서 functor의 adjunction 관계가 “derived version”으로 자연스럽게 보존된다는 것을 보여준다. 가장 대표적인 예는 tensor product와 Hom의 adjunction이다. \(\mathcal{A}\)가 enough projective를 갖는다고 하자. Tensor product \(-\otimes B\)는 right exact이고 \(\operatorname{Hom}(B, -)\)는 left exact이며, [다중선형대수학] §Hom과 텐서곱에서 본 adjunction
\[\operatorname{Hom}(A \otimes B, C) \cong \operatorname{Hom}(A, \operatorname{Hom}(B, C))\]의 derived version으로
\[\operatorname{Hom}_{D(\mathcal{A})}(A \otimes^L B, C) \cong \operatorname{Hom}_{D(\mathcal{A})}(A, \mathbf{R}\operatorname{Hom}(B, C))\]를 얻는다.
또 다른 중요한 예는 [카테고리론] §아벨 카테고리에서 논의한 left exact functor \(F \colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)와 그 right adjoint \(G \colon \mathcal{B} \to \mathcal{A}\)의 derived adjunction이다. \(F\)가 left exact이므로 \(R F\)를 정의하고, \(G\)가 right adjoint이므로 \(G\)의 derived version을 사용하여
\[\operatorname{Hom}_{D(\mathcal{B})}(R F(A), B) \cong \operatorname{Hom}_{D(\mathcal{A})}(A, G(B))\]를 얻는다. 여기서 \(G\)가 exact하면 \(G = R G\)이므로 복잡한 resolution이 필요하지 않다.
Derived adjunction은 특히 algebraic geometry에서 morphism \(f \colon X \to Y\)에 대해 \(Lf^* \dashv R f_*\)의 형태로 나타나며, \(R f_*\)의 right adjoint인 \(f^!\)는 derived category에서만 자연스럽게 정의되는 functor이다. 이에 대해서는 algebraic geometry 쪽 글에서 다룬다.
참고문헌
[GM] S. I. Gelfand, Y. I. Manin, Methods of homological algebra, Springer, 2003. [Ver] J.-L. Verdier, Des catégories dérivées des catégories abéliennes, Astérisque 239 (1996). [Wei] C. A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, 1994.
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