준층

Gluing lemmaPermalink

앞서 살펴본 §부분공간, ⁋명제 8는 연속함수 $f:X \rightarrow Y$가 주어졌다 할 때, 이를 §부분공간, ⁋명제 6의 두 조건 중 하나를 만족하는 부분집합들의 family로 제한한 것이 연속임을 말해준다. 특히 이 조건은 다음 두 조건

1. $(A_i)$가 $X$의 open covering이거나,
2. $(A_i)$가 $X$의 locally finite closed covering인 경우

두 경우가 해당한다. 거꾸로 이러한 조건을 만족하는 $(A_i)$와 그 위에서 정의된 연속함수들 $f_i$들이 주어졌을 때, 이들이 $X=\bigcup A_i$ 위에서의 연속함수를 지정하는지의 여부를 생각할 수 있다.

연속함수들의 준층Permalink

수학, 특히 기하학의 많은 부분에서 살펴보는 구조들은 위상공간 위에 추가적인 데이터가 주어진 구조이다. 이들을 위해서는 위와 같은 과정을 다루는 도구가 필요하다.

Category $\Open(X)$를 ordered set $(\mathcal{T}, \subseteq)$를 category로 본 것으로 정의하자. 즉, 이들의 대상들은 열린집합들이며, $U\subseteq V$일 때마다 화살표 $U\hookrightarrow V$가 유일하게 존재한다.

이제 $\mathscr{F}$는 contravariant이므로, 열린집합 사이의 inclusion $U\hookrightarrow V$가 주어질 때마다 morphism $\rho_{VU}: \mathscr{F}(V)\rightarrow \mathscr{F}(U)$가 주어지며, $\mathscr{F}$는 합성을 보존하므로 $U\hookrightarrow V\hookrightarrow W$가 주어졌다면 $\rho_{WU}=\rho_{VU}\circ\rho_{WV}$가 성립해야 한다.

위의 예시를 일반화하여 다음과 같은 정의를 내린다.

한편 위의 정의 2에서, $\Set$은 적절한 카테고리, 예를 들어 $\Ab$와 같은 카테고리로 바꿀 수도 있다. 가령 예시 3에서 $Y=\mathbb{R}$이었다면, $\mathbb{R}$ 위에 정의된 덧셈을 사용하여 연속함수들의 덧셈을 정의할 수도 있었을 것이며, 그럼 $\mathscr{F}(U)$는 abelian group의 구조를 가지게 되었을 것이다. 이러한 경우 $\mathscr{F}$를 $X$ 위에 정의된 abelian group들의 presheaf라 부른다. 편의상 앞으로 presheaf $\mathscr{F}: \Open(X)^\op \rightarrow \mathcal{A}$를 $\mathcal{A}$-valued presheaf라 부르기로 한다. Presheaf 중 위의 gluing condition (보조정리 1)을 만족하는 것들을 sheaf라 부르는데, 이는 다음 글에서 정의한다.

준층의 예시들Permalink

다음으로 presheaf의 몇 가지 예시들을 살펴본다.

다음 예시들은 임의의 presheaf로부터 새로운 presheaf를 얻어내는 방법들을 보여준다.

줄기Permalink

한편, $X$ 위에 정의된 함수를 결정짓는 것은 당연히 $x\in X$에서의 함숫값이다. 이것이 집합으로서 $X$ 위에 정의된 함수와 다른 점은 $X$ 위에 정의된 위상구조로 인하여, 이 점 $x$ 근방에서 어떠한 일이 일어나는지를 같이 살펴볼 수 있다는 것이다. 이러한 직관을 바탕으로 다음을 정의한다.

특히 $\mathscr{F}$가 complete category valued presheaf라면 $\mathscr{F}_x$가 항상 잘 정의된다. 한편 concrete category에서 limit의 표현을 직접적으로 나타내보면

이고, 여기서 동치관계 $\sim$은

을 통해 정의된다. 즉 직관적으로 $\mathscr{F}_x$의 원소 $(s,U)$들은 $x$에서의 함숫값 $s(x)$와, $x$ 근방에서 $s$의 국소적인 정보¹를 추가로 갖고 있는 대상이라 생각할 수 있다.

편의상 임의의 $s\in \mathscr{F}(U)$에 대하여, $s$의 $\mathscr{F}(U) \rightarrow \mathscr{F}_x$에 의한 image를 $s_x$로 적는다.

준층들 사이의 사상Permalink

즉 $X$ 위에서 정의된 $\mathcal{A}$-valued presheaf들의 카테고리는 functor category $[\Open(X)^\op, \mathcal{A}]$이다. 이를 $\PSh(X, \mathcal{A})$로 표기하며, 문맥상 혼동의 여지가 없을 때에는 $\PSh(X)$로만 적기도 한다. 여담으로 예시 8의 $f_\ast$는 functor $\PSh(X, \mathcal{A})\rightarrow \PSh(Y, \mathcal{A})$이다.

우리에게 직관을 주는 예시 2를 생각해보면, 열린집합 $U$에 대하여 정의된 $\phi(U):\mathscr{F}(U) \rightarrow \mathscr{G}(U)$는 $\phi:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$를 열린집합 $U$로 제한하여 얻어지는 함수라 생각할 수 있으므로, 이를 종종 $\phi(U)$ 대신 $\phi\vert_U$로 적는다.

한편 limit cone의 universal property에 의해 다음 명제가 성립한다.

다음 예시들은 위의 준층의 예시들 아래에 있었어야 했지만, 아직 presheaf morphism을 정의하지 않았었기 때문에 뒤로 밀렸다.

위와 같은 정의를 이용하여 category $\mathcal{A}$에 정의된 구조, 예를 들면 product나 coproduct, limit, colimit, monoidal product 등을 $\PSh(X, \mathcal{A})$에 옮겨올 수 있다. 특히 $\PSh(X, \Ab)$는 $\Ab$ 위에 정의된 monoidal structure $(\Ab,\otimes, \mathbb{Z})$를 물려받으며 여기에서의 monoidal object는 $\PSh(X, \Ring)$이다. 같은 맥락에서 다음 예시를 이해할 수 있다.

가환준층Permalink

지금까지 우리는 presheaf가 어떤 카테고리에서 값을 갖는지를 무시해왔는데, 이제 우리는 특별히 카테고리 $\Ab$에서 값을 갖는 presheaf들을 살펴본다.

이 정의에서, $\rho_{VU}$는 $\ker(\phi(U))$의 universal property로부터 유일하게 결정되는 restriction map이다.

이와 마찬가지 방법으로, presheaf cokernel, presheaf image, presheaf coimage 혹은 presheaf quotient 등등을 모두 정의할 수 있다. 따라서 주어진 위상공간 $X$ 위에서 정의된 abelian presheaf들의 카테고리 $\PSh(X,\Ab)$은 abelian category가 된다.

참고문헌

[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.