갈루아 이론의 기본정리

우리는 이제 드디어 갈루아 이론의 기본정리를 증명할 수 있다.

정리 1 Field \(\mathbb{K}\)의 Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)와 그 Galois group \(\Gamma=\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)을 생각하자. \(\mathscr{K}\)를 \(\mathbb{L}\)의 subextension들의 모임이라 하고, \(\mathscr{G}\)를 \(\Gamma\)의 closed subgroup들의 모임이라 하면 \(\mathscr{K}\)와 \(\mathscr{G}\) 사이의 두 함수

\[k:\mathscr{G}\rightarrow\mathscr{K};\qquad G\mapsto k(G)\text{ the field of invariants of $G$}\]

그리고

\[g:\mathscr{K}\rightarrow\mathscr{G};\qquad \mathbb{M}\mapsto g(\mathbb{M})\text{ the group of $\mathbb{M}$-automorphisms of $L$}\]

을 생각하면 이들은 서로의 inverse이다.

이를 증명하기 위해 다음과 같이 두 단계로 나누어 증명한다.

보조정리 2 임의의 subextension \(\mathbb{M}\in \mathscr{K}\)에 대하여, \(\mathbb{L}/\mathbb{M}\) 또한 Galois extension이다. 이 때, Galois group \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)을 자명한 방식으로 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 subgroup으로 보면, 이는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 closed subgroup이며 따라서 \(g\)가 잘 정의된다.

증명