갈루아 이론의 기본정리

우리는 이제 드디어 갈루아 이론의 기본정리를 증명할 수 있다.

정리 1 Field $\mathbb{K}$의 Galois extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$와 그 Galois group $\Gamma=\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$을 생각하자. $\mathscr{K}$를 $\mathbb{L}$의 subextension들의 모임이라 하고, $\mathscr{G}$를 $\Gamma$의 closed subgroup들의 모임이라 하면 $\mathscr{K}$와 $\mathscr{G}$ 사이의 두 함수

\[k:\mathscr{G}\rightarrow\mathscr{K};\qquad G\mapsto k(G)\text{ the field of invariants of $G$}\]

그리고

\[g:\mathscr{K}\rightarrow\mathscr{G};\qquad \mathbb{M}\mapsto g(\mathbb{M})\text{ the group of $\mathbb{M}$-automorphisms of $L$}\]

을 생각하면 이들은 서로의 inverse이다.

이를 증명하기 위해 다음과 같이 두 단계로 나누어 증명한다.

보조정리 2 임의의 subextension $\mathbb{M}\in \mathscr{K}$에 대하여, $\mathbb{L}/\mathbb{M}$ 또한 Galois extension이다. 이 때, Galois group $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})$을 자명한 방식으로 $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$의 subgroup으로 보면, 이는 $\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})$의 closed subgroup이며 따라서 $g$가 잘 정의된다.

증명