K

Grad. student in mathematics

접속과 공변미분

Lie derivative를 이용하면 벡터장이나 differential form을 미분할 수 있지만, 이 개념을 임의의 vector bundle \(\pi:E\rightarrow M\)의 section \(\Gamma(E)\)로 확장하는 것은 불가능하다. Tangent bundle \(TM\) 위에서는 integral flow \(\phi\) 위의 두 점 \(p,q\)가 주어졌을 때, 두 tangent space \(T_pM\)과 \(T_qM\)을 잇는 자연스러운 isomorphism \(d\phi^{-t}\)가 존재했지만, 임의의 vector bundle \(E\)의 두 fiber \(E_p\)와 \(E_q\) 사이에는 이러한 함수가 존재하지 않기 때문이다. 따라서 우리는 이들 fiber들을 이어주는 connection이라는 것을 추가로 정의한다.

정의 1 Manifold \(M\) 위에 정의된 vector bundle \(E\rightarrow M\)에 대하여, \(E\) 위에서 정의된 connection접속 \(\nabla:\mathfrak{X}(M)\times\Gamma(E)\rightarrow\Gamma(E)\)는 다음 조건들을 만족하는 함수이다.

  1. (Tensoriality) \(\nabla_XY\)는 첫째 성분에 대하여 \(C^\infty\)-linear이다.
  2. (Linearity) \(\nabla_XY\)는 둘째 성분에 대하여 \(\mathbb{R}\)-linear이다.

  3. 임의의 \(f\in C^\infty(M)\)에 대하여, \(\nabla\)는 다음의 라이프니츠 법칙

    \[\nabla_X(fY)=f\nabla_XY+(Xf)Y\]

    을 만족한다.

이 때, \(\nabla_XY\)를 \(Y\)의 \(X\)방향으로의 covariant derivative공변미분라 부르기도 한다. 다음 명제는 \((\nabla_XY)_p\)를 계산하기 위해서는 \(p\) 근방에서의 \(X\)와 \(Y\)만 알면 충분하다는 것을 보여준다.

명제 2 Manifold \(M\)이 주어졌다 하고, \(X\in\mathfrak{X}(M)\), \(Y\in\Gamma(E)\)라 하자. 임의의 점 \(p\in M\)에 대하여, \((\nabla_XY)_p\)는

  1. 점 \(p\)에서의 벡터장 \(X\)의 값 \(X_p\),
  2. 점 \(p\)의 열린근방에서의 벡터장 \(Y\vert_U\)

에만 의존한다.

증명

우선 \((\nabla_XY)_p\)가 점 \(p\)의 열린근방 \(U\)에서의 벡터장에만 의존한다는 것을 보이자. 두 벡터장 \(Y_1,Y_2\)가 \(p\)의 열린근방 \(U\)에서 같다면 \((\nabla_XY_1)_p=(\nabla_XY_2)_p\)임을 보여야 하므로, 이를 위해서는 벡터장 \(Y\)가 열린근방 \(U\)의 모든 점에서 항등적으로 \(0\)이라면 \((\nabla_XY)_p\)가 \(0\)임을 보이면 충분하다. \(\varphi\)를 \(\supp(\varphi)\subseteq U\), \(\varphi(p)=1\)을 만족하는 bump function이라 하면 벡터장 \(\varphi Y\)는 \(M\) 전체에서 항등적으로 \(0\)이다. 따라서 정의 1의 둘째 조건으로부터 \(\nabla_X(\varphi Y)=0\)이다. 한편 라이프니츠 법칙에 의해,

\[0=\nabla_X(\varphi Y)=\varphi\nabla_XY+(X\varphi)Y\]

이고, 우번을 점 \(p\)에서 계산하면

\[\varphi(p)(\nabla_XY)_p+(X\varphi)(p)Y_p=(\nabla_XY)_p\]

이므로 \((\nabla_XY)_p=0\)이다.

이제 \(\nabla_XY\)가 점 \(p\)에서의 벡터 \(X_p\)에만 의존한다는 것을 보인다. 이를 위해서는 위와 마찬가지로 \(X_p=0\)을 가정하고 \(0=(\nabla_XY)_p\)임을 보이면 충분하다. 점 \(p\) 근방에서의 coordinate chart \((U,(x^i))\)를 잡고, \(X\)를 이 좌표계에 대하여

\[X=X^1\frac{\partial}{\partial x^1}+\cdots+X^n\frac{\partial}{\partial x^n}\]

과 같이 쓰자. 그럼

\[(\nabla_XY)_p=(\nabla_{\sum X^i\frac{\partial}{\partial x^i}}Y)_p=\left(\sum_{i=1}^n X^i\nabla_{\partial/\partial x^i} Y\right)_p\]

이고, 모든 \(i\)에 대하여 \(X^i(p)=0\)이므로 원하는 결과를 얻는다.

Tangent bundle 위에서의 공변미분

특별히 tangent bundle \(TM\rightarrow M\) 위에서 정의된 connection을 살펴보자. 그럼 \(\nabla\)는 \(\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\)에서 \(\mathfrak{X}(M)\)으로의 함수이다. 주의할 것은 Lie derivative와 connection은 모두 미분을 생각하기 위한 개념들이지만 서로 다른 결과를 갖는다는 것이다. 예컨대 Lie derivative에서는

\[\mathcal{L}_{fX}Y=[fX,Y]=fX(Y)-Y(fX)=fX(Y)-(Yf)X-fY(X)=f[X,Y]-(Yf)X=f\mathcal{L}_XY-(Yf)X\]

이지만, 정의에 의하여

\[\nabla_{fX}Y=f\nabla_XY\]

이므로 \(Y\)와 \(f\)를 잘 택하여 \(\nabla_{fX}Y\neq\mathcal{L}_{fX}Y\)이도록 하는 것이 항상 가능하다.

어쨌든 \(TM\) 위에서 정의된 connection을 생각하면, 명제 2에 의하여 점 \(p\)에서의 \(\nabla_XY\)의 값은 \(p\) 근방에서의 local frame \((E_i)\)들에 의해 완전히 결정된다. 이는

\[(\nabla_XY)_p=\nabla_{\sum X^i(p)E_i(p)}\left(\sum Y^i(p)E_i(p)\right)\]

이 성립하기 때문이다. 한편

\[\nabla_X\left(\sum_{j=1}^n Y^jE_j\right)=\sum_{j=1}^n \nabla_X(Y^jE_j)=\sum_{j=1}^n\left(Y^j\nabla_XE_j+X(Y^j)E_j\right)=\sum_{i,j=1}^nX^iY^j\nabla_{E_i}E_j+\sum_{j=1}^n X(Y^j)E_j\tag{1}\]

이므로, \(\nabla_XY\)는 \(n^2\)개의 벡터장 \(\nabla_{E_i}E_j\)으로 완전하게 결정된다. 다시 벡터장 \(\nabla_{E_i}E_j\)를 \(E_k\)들의 일차결합으로 나타내면

\[\nabla_{E_i}E_j=\Gamma_{ij}^k E_k\]

을 만족하는 \(n^3\)개의 \(C^\infty\)-함수들 \(\Gamma_{ij}^k\)가 존재한다. 그럼 위의 식 (1)은

\[\nabla_XY=\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i,j=1}^nX(Y^k)+X^iY^j\Gamma_{ij}^k\right)E_k\]

으로 쓸 수 있다.

정의 3 위에서 정의한 \(n^3\)개의 함수 \(\Gamma_{ij}^k\)를 connection coefficient접속 계수이라 부른다.

한편, 임의의 manifold \(M\)위의 tangent bundle은 항상 connection을 갖는다. 이를 확인하기 위해서는 Riemannian metric 때와 마찬가지로, 유클리드 공간에서의 connection

\[\nabla_vY:=v(Y^1)\frac{\partial}{\partial x^i}+\cdots+v(Y^n)\frac{\partial}{\partial x^n}\]

을 partition of unity를 통해 이어붙이면 된다.

Cotangent bundle 위에서의 공변미분

우리는 tangent bundle \(TM\) 위에 정의된 connection \(\nabla\)가 임의의 \((r,s)\)-tensor field \(\mathcal{T}^{r,s}(M)\)로 잘 확장된다는 것을 보인다. () 이를 위해서는 우선 \(\nabla\)가 cotangent bundle \(T^\ast M\) 위에서는 어떻게 확장되는지를 정해줘야 한다.

명제 4 Manifold \(M\)과, tangent bundle \(TM\) 위의 connection \(\nabla\)가 주어졌다 하자. 함수 \(\nabla^\ast:\mathfrak{X}(M)\times\Gamma(T^\ast M)\rightarrow\Gamma(T^\ast M)\)을 다음의 식

\[(\nabla_X^\ast\alpha)_p(Y)=X\bigl(\alpha(Y)\bigr)-\alpha_p\bigl(\nabla_XY\bigr)_p\]

으로 정하면, \(\nabla^\ast\)는 \(T^\ast M\) 위의 connection이 된다.

증명

우선 우변의 식으로 정의된 \(\nabla^\ast\alpha\)가 \(1\)-form이라는 것을 보일 수 있으므로 \(\nabla^\ast\)의 공역에는 문제가 없다.

\(\nabla^\ast\)가 실제로 connection의 조건을 만족한다는 사실은 라이프니츠 법칙 이외에는 자명하다. 사실 라이프니츠 법칙 또한

\[\begin{aligned}(\nabla_X^\ast f\alpha)_pY&=X(f\cdot\alpha(Y))-(f\alpha)_p(\nabla_XY)_p\\&=(Xf)(\alpha(Y))+f(p)\bigl(X(\alpha(Y))-\alpha_p(\nabla_XY)_p\bigr)\\&=\bigl((Xf)\alpha+f\nabla_X\alpha\bigr)Y\end{aligned}\]

으로부터 자명하다.

약간의 abuse of notation을 통해, 위에서 정의한 \(\nabla^\ast\)도 마찬가지로 \(\nabla\)로 적는다.

Tensor field 위에서의 공변미분

이제 드디어 \(TM\)의 connection을 \((r,s)\)-tensor field \(\mathcal{T}^{r,s}(M)\)으로 확장할 수 있다. 위에서와 마찬가지로, 이렇게 정의한 connection 역시 \(\nabla\)로 적기로 한다.

명제 5 Tangent bundle \(TM\rightarrow M\) 위에 정의된 connection \(\nabla\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\nabla\)를 모든 tensor field \(\mathcal{T}^{r,s}(M)\)들 위에 다음 두 조건

\[\nabla_X(F\otimes G)=(\nabla_X F)\otimes G+F\otimes(\nabla_XG),\qquad\nabla_X(F+G)=\nabla_XF+\nabla_XG\]

을 만족하도록 확장할 수 있으며, 추가로 \(\mathcal{T}^{0,0}M\)에서 \(\nabla_Xf=Xf\)이도록 하는 확장이 유일하게 결정된다.

임의의 \((r,s)\)-tensor \(F\)는 다음의 linear map

\[\underbrace{\Omega^1(M)\times\cdots\times \Omega^1(M)}_\text{\small $r$ times}\times\underbrace{\mathfrak{X}(M)\times\cdots\times \mathfrak{X}(M)}_\text{\small $s$ times}\rightarrow C^\infty(M)\]

과 동일하게 취급할 수 있으므로, \(\nabla_XF\)는 \(\omega^1,\ldots,\omega^r\in\Omega^1(M)\), \(Y_1,\ldots, Y_s\in\mathfrak{X}(M)\)에서의 함수값으로 유일하게 결정된다. 가령, simple tensor \(F=X_1\otimes\cdots\otimes X_r\otimes\alpha^1\otimes\cdots\otimes\alpha^s\in\mathcal{T}^{r,s}(M)\)에 대해 라이프니츠 법칙을 적용하면

\[\begin{aligned}\nabla_X(X_1\otimes\cdots\otimes X_r\otimes\alpha^1\otimes\cdots\otimes\alpha^s)&=(\nabla_XX_1)\otimes X_2\otimes\cdots\otimes X_r\otimes\alpha^1\otimes\cdots\alpha^s\\ &\phantom{=aa}+\cdots\\ &\phantom{=aaaa}+X_1\otimes X_2\otimes\cdots\otimes(\nabla_XX_r)\otimes\alpha^1\otimes\cdots\otimes\alpha^s\\ &\phantom{=aaaaaa}+X_1\otimes\cdots X_r\otimes(\nabla_X\alpha^1)\otimes\alpha^2\otimes\cdots\otimes\alpha^s\\ &\phantom{=aaaaaaaa}+\cdots\\ &\phantom{=aaaaaaaaaa}+X_1\otimes\cdots\otimes X_r\otimes\alpha^1\otimes\alpha^2\otimes\cdots\otimes(\nabla_X\alpha^s)\end{aligned}\]

을 얻으므로, \(\omega^1,\ldots,\omega^r\in\Omega^1(M)\), \(Y_1,\ldots, Y_s\in\mathfrak{X}(M)\)에서 \(\nabla_XF\)의 값을 계산하면 그 값은

\[\sum_{i=1}^r\omega^1(X_1)\omega^2(X_2)\cdots\omega^i(\nabla_XX_i)\cdots\omega^r(X_r)\alpha^1(Y_1)\cdots\alpha^s(Y_s)+\sum_{j=1}^s\omega^1(X_1)\cdots\omega^r(X_r)\left(X(\alpha^j(Y^j))-\alpha^j(\nabla_XY^j)\right)\]

이고, 우변의 첫째 합을

\[\omega^i(\nabla_XX_i)=X(\omega^i(X_i))-(\nabla_X\omega^i)(X_i)\]

을 통해 바꾸어주면 다음의 식

\[\begin{aligned}\nabla_XF(\omega_1,\ldots,\omega^r,Y_1,\ldots, Y_s)&=X(F(\omega^1,\ldots,\omega^r,Y_1,\ldots, Y_s))\\ &\phantom{=aa}-\sum_{i=1}^r F(\omega^1,\ldots,\nabla_X\omega^i,\ldots,\omega^r,Y_1,\ldots, Y_s)\\ &\phantom{=aaaa}-\sum_{j=1}^s F(\omega^1,\ldots, \omega^r,Y_1,\ldots, \nabla_XY_j,\ldots, Y_s)\end{aligned}\]

을 얻는다. 이 식은 simple \((r,s)\)-tensor에 대해서 모두 성립하므로 모든 \((r,s)\)-tensor에 대해서도 성립한다. 이제 이렇게 정의된 \(\nabla\)가 원하는 조건을 만족하고, 조건 \(\nabla_Xf=Xf\)에 의해 유일하게 결정된다는 것은 단순한 계산의 결과이다.

Total connection

위에서 정의한 \(\mathcal{T}^{r,s}(M)\) 위에서의 connection \(\nabla\)를 생각하자. 임의의 \((r,s)\)-tensor \(F\)에 대하여, \(\nabla F\)는 \(r\)개의 \(1\)-form들 \(\omega^1,\ldots,\omega^r\)과 \(s+1\)개의 벡터장들 \(Y_1,\ldots, Y_s, X\)를 받아 \(C^\infty(M)\) 함수

\[(\nabla_XF)(\omega^1,\ldots,\omega^r,Y_1,\ldots, Y_s)\]

을 내놓는 \((r,s+1)\)-tensor \(\nabla F\)로 생각할 수 있다.

특히 \((0,0)\)-tensor, 즉 \(C^\infty\) 함수 \(f\)에 \(\nabla\)를 적용하면 \((0,1)\)-tensor \(\nabla f\)를 얻는다. 정의에 의하여 covector \(\nabla f\)는 다음의 식

\[X\mapsto \nabla_Xf=Xf\]

으로 정의된다. 한편, \(M=\mathbb{R}^m\)으로 두고 §리만 계량, §§Musical isomorphism에서와 같이 함수 \(f\)의 그라디언트 벡터 \(\operatorname{grad} f\)를 다음의 식

\[X\mapsto \langle X, \operatorname{grad} f\rangle\]

으로 정의된 covector로 본다면, 그라디언트 벡터의 성질에 의하여 \(\langle X,\operatorname{grad} f\rangle=Xf\)임을 알 수 있다. 이로부터 기존에 그라디언트 벡터를 표기할 때 \(\nabla f\)로 표기하기도 하는 것이 설명된다. 이를 일반적인 manifold에서 다루기 위해서는 필연적으로 Riemannian metric을 가져와야 하므로 자세한 내용은 다음 글에서 다루기로 한다.

이제 second covariant derivative이계 공변미분 \(\nabla_{X,Y}^2 F\)는 다음의 식

\[\nabla_{X,Y}^2F(\ldots)=(\nabla^2 F)(\cdots, Y,X)\]

을 만족하는 \((r,s)\)-tenor \(\nabla_{X,Y}^2F\)으로 정의된다. 이렇게 정의된 \(\nabla_{X,Y}^2F\)는 \(Y\)에 대하여 \(C^\infty(M)\)-linear이지만, \(\nabla_X\nabla_Y\)는 \(Y\)에 대하여 \(C^\infty\)-linear가 아니므로 일반적으로 \(\nabla_{X,Y}^2\neq\nabla_X\nabla_Y\)이다. 그러나 다음이 성립한다.

명제 6 임의의 \((r,s)\)-tensor \(F\)에 대하여,

\[\nabla_{X,Y}^2F=\nabla_X(\nabla_YF)-\nabla_{\nabla_XY}F\]

이 성립한다.

증명

우변에 \((\omega^1,\ldots,\omega^r,Z_1,\ldots,Z_s)\)를 넣어보면 된다.

특히 \((0,0)\)-tensor \(C^\infty(M)\)에 이를 적용하면 covariant Hessian \(\nabla^2 u\)를 얻는다.

참고문헌

[Lee] John M. Lee. Introduction to Riemannian Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2019

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