이제 우리는 differential module을 정의한다. 이를 위해 우리는 간단한 보조정리가 필요한데, 우선 §미분, ⁋정의 2 뒤에서 가정했던 두 번째 경우를 생각하자. 즉 우리는 commutative ring \(A\), \(\Delta\)-graded \(A\)-algebra \(E\), graded \(A\)-module \(F\)와 \(\varepsilon\)-derivation \(d:E \rightarrow F\)를 생각할 것이다.
미분의 functoriality
위의 가정에 더하여, 이 절에서 등장하는 모든 algebra는 unital associative이고, algebra homomorphism들도 모두 unital인 것으로 가정한다.
명제 1 두 associative unital graded \(A\)-algebra \(E,F\)가 주어졌다 하고, \(M\)을 \((E,E)\)-bimodule, \(N\)을 graded \((F,F)\)-bimodule이라 하자. 그럼 graded \(A\)-algebra homomorphism \(\rho: E \rightarrow F\)와, \(\rho\)에 의해 정의되는 \(E\)-bimodule들의 degree \(0\) graded \(E\)-homomorphism \(\theta: M \rightarrow N\)이 주어졌다 하면 다음이 성립한다.
- 임의의 \(\varepsilon\)-derivation \(d': F \rightarrow N\)에 대하여, \(d'\circ\rho: E \rightarrow \rho^\ast N\) 또한 같은 차수의 \(\varepsilon\)-derivation이다.
- 임의의 \(\varepsilon\)-derivation \(d: E \rightarrow M\)에 대하여, \(\theta\circ d: E \rightarrow \rho^\ast N\) 또한 같은 차수의 \(\varepsilon\)-derivation이다.
이에 대한 증명은 \(\rho^\ast\)의 정의에 의해 자명하다. 한편, 이와 같은 상황에서 우리는 \(F\)에도 \((E,E)\)-bimodule structure를 줄 수 있다. 그렇다면 \(d':F \rightarrow N\)이 언제 (left/right) \(E\)-linear이기도 한지를 살펴보는 것이 당연할 것이다.
명제 2 명제 1의 상황을 가정하고, \(\varepsilon\)-derivation \(d': F \rightarrow N\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(d'\)가 left (resp. right) \(E\)-linear한 것은 \(d'\)가 \(F\)의 subalgebra \(\rho(E)\)에서 항등적으로 \(0\)인 것과 동치이다.
이제 \(\Der_A(F, N)\)을 \(F\)에서 \(N\)으로 가는 \(A\)-derivation들의 모임으로 정의하자. 그럼 명제 2의 조건을 만족하여 \(E\)-linear가 되는 derivation들의 모임은 \(\rho(E)\)에서 identically zero인 derivation들의 모임과 같으므로 이들 모임은 \(\Der_A(F, N)\)의 \(A\)-submodule이 된다. 이를 \(\Der_E(F,N)\)으로 적자.
추가로 세 개의 graded \(A\)-algebra들 \(E,F,G\)가 주어졌다 하고, graded \(A\)-algebra homomorphism들 \(\rho: A \rightarrow B\), \(\sigma: B \rightarrow C\)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 graded \(A\)-algebra \(H\)에 대하여, 다음의 세 \(A\)-module
\[\Der_E(F, \rho_\ast H),\qquad \Der_F(G,H),\qquad\Der_E(G, H)\]에 대하여
\[0 \rightarrow \Der_F(G, H) \rightarrow \Der_E(G,H) \rightarrow \Der_E(F, H)\]이 exact라는 것이 자명하다.
임의의 \(\Delta\)-graded \(A\)-module \(M\)와 \(\delta\in \Delta\)에 대하여, \(M[\delta]\)를 다음의 식
\[(M[\delta])_\mu=M_{\delta+\mu}\]으로 정의하자. 그럼 \(\Delta\)-graded \(A\)-algebra \(E\oplus M[\delta]\)가 존재하므로, 이제 homogeneous element \(x\in E\)와, 이를 사용하여 얻어지는 \(E\oplus M[\delta]\)의 원소 \((x,y), (x',y')\)에 대하여 다음의 식
\[(x,y)(x',y')=(xx', xy+\varepsilon(\delta, \deg x)xy')\]을 사용하여 \(E\oplus M[\delta]\) 위에 graded \(A\)-algebra 구조를 줄 수 있다. 이 때, projection map \(\epsilon: E\oplus M[\delta] \rightarrow E\)를 우리는 augmentation map이라 부르고, 이것이 graded \(A\)-algebra homomorphism이 된다는 것을 안다.
이제 degree \(0\)의 graded \(A\)-linear map \(g:E \rightarrow E\oplus M[\delta]\)이 만일 \(\epsilon\circ g=\id_A\)를 만족한다면, 정의에 의해 우리는 적당한 degree \(\delta\) graded \(A\)-linear map \(f:E \rightarrow M\)에 대하여 \(x\mapsto (x,f(x))\)의 꼴이여야 한다는 것을 알고, 거꾸로 임의의 degree \(\delta\) \(A\)-linear map \(f\)는 위의 조건을 만족하는 \(g\)를 정의한다.
그럼 다음 명제 또한 단순한 계산의 결과이다.
명제 3 Graded \(K\)-linear map \(f: A \to E\) of degree \(\delta\)가 \(\varepsilon\)-derivation이 되기 위한 필요충분조건은, 함수 \(x \mapsto (x, f(x))\)가 \(A\)에서 \(A \oplus E[\delta]\)로의 graded \(K\)-algebra homomorphism이 되는 것이다.
한편, 역시 다음 절을 위해 앞에서 정의한 graded \(A\)-algebra \(E\oplus M[\delta]\)가 언제 associative, unital인지를 살펴볼 필요가 있다.
명제 4 위의 상황에서, \(E \oplus M[\delta]\)가 associative unital algebra가 되기 위한 필요충분조건은 \(E\)가 associative unital이며, 두 함수 \((a, x) \mapsto a \cdot x\) 및 \((a, x) \mapsto x \cdot a\)가 \(M\) 위에 \((A, A)\)-bimodule 구조를 정의하는 것이다. 이 경우, \(E \oplus M[\delta]\)은 unity \((1, 0)\)을 갖는다.
텐서대수와 미분
앞선 글에서 중요한 예시로 등장했던 exterior algebra는 다음과 같은 더 일반적인 세팅에서 얻어진다.
명제 5 Commutative ring \(A\), \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(B=\T(M)\), \(\S(M)\), \(\bigwedge(M)\) 중 하나라 하고, \((B,B)\)-bimodule \(E\)가 주어졌다 하자. 또, derivation \(d_0: A \rightarrow E\)와 abelian group homomorphism \(d_1: M \rightarrow E\)가 다음의 조건
\[d_1(ax)=ad_1(x)+d_0(a)x\]을 만족한다고 가정하자. 만일 \(B=\S(M)\)이라면 다음 조건
\[xd_1(y)+d_1(x)y=yd_1(x)+d_1(y)x\]을, 만일 \(B=\bigwedge(M)\)이라면 다음 조건
\[xd_1(x)+d_1(x)x=0\]을 추가로 가정한다. 그럼 \(B\)를 \(\mathbb{Z}\)-algebra로 보았을 때, \(B\) 에서 \(E\)로의 유일한 \(A\)-derivation \(d\)가 존재하여 \(d\vert_A = d_0\)이고 \(d\vert_M = d_1\)을 만족하도록 할 수 있다.
증명
우선 abelian group \(B \oplus E\) 위에 다음의 식
\[(b, t)(b', t') = (bb', bt' + b't)\]으로 곱셈을 정의하여 이를 associative \(\mathbb{Z}\)-algebra로 생각하자. 그럼 canonical injection \(t\mapsto (0,t)\)에 의하여 \(E\)를 \(\mathbb{Z}\)-algebra \(B\oplus E\)의 two-sided ideal과 동일시할 수 있으며 이 때 \(E^2=0\)이다.
한편, \(h_0: B \to B \oplus E\)를 \(h_0(a) = (a, d_0(a))\)로 정의하면, 이는 명제 3에 의해 (unital) ring homomorphism이며 이를 통해 \(B \oplus E\)는 \(A\)-algebra가 된다. 이제 \(B\oplus E\) 위에 이러한 \(A\)-module 구조를 준 후 \(h_1(x) = (x, d_1(x))\)로 정의된 함수 \(h_1: M \rightarrow B\oplus E\)를 생각하자. 그럼 주어진 조건에 의하여 다음의 식
\[h_1(ax) = h_0(a) h_1(x)\]이 성립하므로, \(h_1\)은 \(M\)에서 \(B\)로의 \(A\)-linear map이다. 따라서 우리는 주어진 가정들을 사용하여, \(T(M)\), \(S(M)\) 혹은 \(\bigwedge(M)\)의 universal property를 사용하여 \(h\vert_M=h_1\)을 만족하는 유일한 \(A\)-algebra homomorphism \(h:B \rightarrow B\oplus E\)를 얻는다. 한편, \(h\)를 augmentation map \(B\oplus E \rightarrow B\)와 합성하면 \(\id_B\)가 되는 것을 쉽게 확인할 수 있으므로, 다시 명제 3에 의해 \(h(b)=(b,d(b))\)이도록 하는 유일한 \(\varepsilon\)-derivation \(d:B \rightarrow E\)가 존재하고 이로부터 원하는 결과를 얻는다.
Universal property
이번 절에서 임의의 algebra는 associative unital이고, algebra homomorphism도 모두 unital인 것으로 가정한다.
임의의 \(A\)-algebra \(E\)에 대하여, \(E\otimes_AE\)는 양 옆에 \(E\)의 원소를 곱해주는 방식으로 \((E,E)\)-bimodule structure를 가진다. 한편 \(E\)의 multiplication map
\[m: E\otimes_AE \rightarrow E\]을 생각하면, \(m\)은 이 \((E,E)\)-bimodule structure를 보존하는 것이 자명하다. 따라서 우리는 \(m\)의 kernel \(\mathfrak{I}\)를 생각할 수 있으며, 이는 \(E\otimes_AE\)의 sub-\((E,E)\)-bimodule이다. 그럼 다음 보조정리는 단순한 계산이다.
보조정리 6 함수 \(\delta_E: x \mapsto x \otimes 1 - 1 \otimes x\)는 \(E\)에서 \(\mathfrak{I}\)로의 \(A\)-derivation이다. 뿐만 아니라, \(\mathfrak{I}\)는 left \(A\)-module로서 \(\delta_E\)의 image에 의해 생성된다.
증명
우선 첫째 주장은 다음의 계산
\[(xy)\otimes 1-1\otimes(xy)=(x\otimes 1-1\otimes x)y+x(y\otimes 1-1\otimes y)\]이 성립하므로 얻어진다. 이제 일반적으로 \(\mathfrak{I}\)의 임의의 원소 \(\sum_i x_i\otimes y_i\)가 주어졌다 하자. 즉 \(\sum_i x_iy_i=0\)이다. 이제 이로부터 다음의 식
\[\sum_i x_i\otimes y_i=\sum_i \left(x_i(1\otimes y_i)-(x_iy_i)\orimes 1\right)=\sum_i x_i(1\otimes y_i-y_i\otimes 1)\]이 얻어지므로 둘째 주장도 자명하다.
이제 이로부터 다음의 universal property를 얻는다.
명제 7 보조정리 6에서 얻어진 \(\delta_E\)는 다음의 universal property을 만족한다.
모든 \((E,E)\)-bimodule \(M\)과 모든 \(A\)-derivation \(d: E \to M\)에 대하여, 유일한 \((E,E)\)-bimodule homomorphism \(f: \mathfrak{I} \to M\)가 존재하여 \(d=f\circ\delta_E\)이도록 할 수 있다.
증명
우선 명제 1에 의하여 모든 \((E, E)\)-bimodule homomorphism \(f: \mathfrak{I} \to M\)에 대해 \(f \circ \delta_E\)는 \(E\)에서 \(M\)으로 가는 \(A\)-derivation이라는 것을 안다.
한편, 유일성의 경우 \(\delta_E\)의 정의로부터
\[f(x \otimes 1 - 1 \otimes x) = dx\]여야 함을 알고 있고, 보조정리 6에 의하여 \(\mathfrak{I}\)는 \(\delta_E\)의 image에 의하여 유일하게 생성되므로 주어진 조건을 만족하는 \(f\)는 존재한다면 유일해야 한다. 추가적으로 앞선 보조정리에서의 계산을 활용하면 임의의 \(\sum x_i y_i\in \mathfrak{I}\)에 대하여 다음의 식
\[f\left( \sum_i x_i \otimes y_i \right) = \sum_i x_i f(1 \otimes y_i - y_i \otimes 1) = - \sum_i x_i dy_i\]이 반드시 성립해야 하는 것을 안다. 따라서 존재성을 보이기 위해서는 이것이 \((E,E)\)-bimodule homomorphism인 것을 보여야 한다. 이를 위해서는 우선 mapping \((x, y) \mapsto -x \cdot dy\)는 \(E\)에서 \(M\)으로 가는 \(A\)-bilinear mapping이므로, 이로부터 \(A\)-bilinear map \(g: E \otimes E \to M\)을 \(g(x \otimes y) = -x \cdot dy\)이 정의되는 것을 안다. 그럼 이를 \(\mathfrak{I}\)로 제한한 것이 \(f\)와 같고, 이제 이 \(g\)의 restriction이 \(f\)이고 이것이 \(E\)-bimodule 구조를 보존하는 것만 보이면 충분하고, 이는 단순한 계산이다.
위의 명제에 의하여 우리는 canonical \(A\)-module isomorphism
\[\Hom_{(E, E)}(\mathfrak{I}, M) \rightarrow \Der_A(E, M)\]을 얻는다. 즉 \((E,E)\)-bimodule \(\mathfrak{I}\)는 \(E\)에서 \(M\)으로 가는 \(A\)-derivation들의 representation이라 생각할 수 있다.
만일 여기에 더하여, \(E\)가 commutative \(A\)-algebra라면 우리는 \(E\)에서 \(M\)으로의 derivation들의 representation를 \(\lMod{E}\)에서 찾을 수 있다.
우선 \(E\otimes_AE\)를 보자. 앞서의 논증에서 \(E\otimes_AE\) 위에 정의된 \((E,E)\)-bimodule structure는 다음의 식
\[x(u\otimes v)y=(xu)\otimes(vy)\]으로 주어진 것이었다. 만일 지금의 가정처럼 \(E\)가 commutative였다면, \(E\otimes_AE\)는 (commutative) ring이며 다음 식
\[x(u\otimes v)y=(xu)\otimes(vy)=(x\otimes y)(u\otimes v)\]으로부터 이 bimodule stucture가 실은 \(E\otimes_AE\)의 ring structure와 같은 것임을 안다. 따라서 \(\mathfrak{I}\)는 \(E\otimes_AE\)의 ideal이다.
이제 더 좋은 상황을 가정하자. 즉 \(E\)가 이번에는 commutative \(A\)-algebra라 가정하자. 그럼 임의의 \(E\)-module \(M\)은 \((E,E)\)-bimodule로 볼 수 있다. 한편, 위에서 등장한 \(E\otimes_AE\)의 \((E,E)\)-bimodule 구조는, 이번 경우에는, \(E\otimes_AE\)의 곱셈으로 주어지고, 따라서 \(E\otimes_AE\)의 sub-\((E,E)\)-bimodule이었던 \(\mathfrak{I}\)는 이제는 \(E\otimes_AE\)의 ideal이 된다. 뿐만 아니라, ring에서의 multiplication map \(m\)은 surjective이므로 우리는 다음의 canonical isomorphism
\[(E\otimes_AE)/\mathfrak{I}\cong E\]을 얻는다.
한편, 임의의 \(E\)-module \(M\)은 그 action을 left action이자 right action으로 보는 것으로서 \((E,E)\)-bimodule로 생각할 수 있다. 다른 한편으로 multiplication map \(m:E\otimes_AE \rightarrow E\)에 의해 \(E\)-module \(M\)를 \(E\otimes_AE\)-module \(M\)으로 본다면, 다음의 adjoint
\[\Hom_{(E,E)}(\mathfrak{I}, M) \rightarrow \Hom_{E\otimes_AE}(\mathfrak{I}, M)\]로부터 우리는 다음 isomorphism들
\[\Hom_{E\otimes_AE}(\mathfrak{I}, M)\cong \Hom_{(E,E)}(\mathfrak{I}, M)\cong\Der_A(E, M)\]을 얻는다. 이제 우리는 여기에 더해 추가로
\[\Hom_E(\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2, M)\cong \Hom_{E\otimes_AE}(\mathfrak{I}, M)\cong \Hom_{(E,E)}(\mathfrak{I}, M)\cong\Der_A(E, M)\]임을 보인다. 우선 임의의 \(z\in M\)과 \(\mathfrak{I}\)의 임의의 generator \(1\otimes x-x\otimes1\)에 대하여, \(\mathfrak{I}\)를 위와 같이 \(E\otimes_AE\)-module로 보자. 그럼 \(E\)의 commutativity는 다음의 식
\[(1\otimes x-x\otimes1)z=0\]을 주므로 \(\mathfrak{I}M=0\)이다. 따라서 \(\mathfrak{I}\)는 \(E\otimes_AE\)-module \(M\)의 annihilator에 속하고, 따라서 \(M\)를 \((E\otimes_AE)/\mathfrak{I}\)-module로 취급할 수 있다. 한편 여기에 맞추어 \(A\)-module \(\mathfrak{I}\)를 다음의 식
\[((E\otimes_AE)/\mathfrak{I})\otimes_A\mathfrak{I}\cong\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\]로 바꿔주고 나면 이로부터 원하는 주장을 얻는다. 즉 다음이 성립한다.
명제 8 Commutative \(A\)-algebra \(E\)와 multiplication map \(m:E\otimes_AE \rightarrow E\), 그리고 \(m\)의 kernel \(\mathfrak{I}\)를 생각하자. 그럼 canonical isomorphism
\[(E\otimes_AE)/\mathfrak{I}\cong E\]을 통해 \(\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\)에 \(E\)-module structure를 주자.
한편, \(\delta_{E/A}: E \rightarrow \mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\)를 다음의 식
\[x\mapsto (x\otimes 1-1\otimes x)+\mathfrak{I}^2\]으로 정의하면, \(\delta_{E/A}\)는 \(A\)-derivation이며 다음의 universal property를 만족한다.
임의의 \(E\)-module \(M\)과 임의의 \(A\)-derivation \(D:E \rightarrow M\)이 주어질 때마다, 유일한 \(A\)-linear map \(g:\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2 \rightarrow M\)이 존재하여 \(D=g\circ\delta_{E/A}\)가 성립한다.
정의 9 \(E\)-module \(\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\)는 \(A\)-differential들의 (\(E\)-)module이라 부르고 이를, \(\Omega_{A}(E)\) 혹은 \(\Omega_{E/A}\)로 표기한다. 또, \(\delta_{E/A}(x)\)를 \(d_{E/A}(x)\)라 적으며, 혼동의 여지가 없으면 이를 간단히 \(dx\)라 적기도 한다. 각 \(x \in E\)에 대해 \(d_{E/A}(x)\)를 \(x\)의 differential이라 한다.
따라서, 우리는 다음의 canonical isomorphism
\[\Hom_E(\Omega_{E/A}, N)\cong\Der_A(E, N)\]을 얻는다.
예시 10 Commutative ring \(A\)와 \(A\)-module \(M\)이 주어졌다 하자. 그럼 symmetric algebra \(\S(M)\)은 commutative \(A\)-algebra이다. 따라서, 임의의 \(\S(M)\)-module \(N\)과 \(A\)-derivation \(D:\S(M)\rightarrow N\)이 주어질 때마다 다음의 식
\[D=g\circ d_{\S(M)/A}\]이 성립하도록 하는 \(A\)-linear map \(g:\Omega_{\S(M)/A}\rightarrow N\)이 유일하게 존재한다.
한편, 우리는 임의의 \(A\)-derivation \(D:\S(M)\rightarrow L\)이 주어졌을 때, 이를 \(M\)으로 제한한 \(D\vert_M\)이 \(M\)에서 \(L\)로의 \(A\)-module homomorphism이며, 이 대응 \(D\mapsto D\vert_M\)이 실은 \(\S(M)\)-module isomorphism이라는 것을 명제 5를 통해 확인할 쑤 있다. 한편 \(L\)은 \(\S(M)\)-module이므로 [대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋명제 5에 의하여
\[\Hom_{\S(M)}(M\otimes_A\S(M),L)\cong\Hom_A(M,L)\]이 성립하므로, 이를 종합하면 임의의 \(A\)-derivation \(D:\S(M)\rightarrow N\)은 canonical homomorphism
\[M\rightarrow M\otimes_A\S(M);\qquad x\mapsto x\otimes1\]를 확장하여 얻어지는 \(A\)-derivation \(D_0\)과, 적당한 \(h\in \Hom_{\S(M)}(M\otimes_A\S(M),L)\)에 대하여 \(D=h\circ D_0\)의 꼴로 적을 수 있다는 것을 안다.
간단한 계산으로 첫째 계산에서 \(N=M\otimes_A\S(M)\)일 때 얻어지는 \(A\)-linear map \(\Omega_{\S(M)/A}\rightarrow M\otimes_A\S(M)\)과, 둘째 계산에서 \(L=\Omega_A(\S(M))\)일 때 얻어지는 \(h\)는 서로의 역함수이며 따라서 isomorphism
\[\Omega_{\S(M)/A}\cong M\otimes_A\S(M)\]이 성립함을 알고, 뿐만 아니라 이 isomorphism을 \(\omega:M\otimes_A\S(M)\rightarrow\Omega_{\S(M)/A}\)이라 적는다면 임의의 \(x\in M\)에 대하여 \(\omega(x\otimes1)=d_{\S(M)/A}(x)=dx\)임을 안다.
특히, 만일 \(M\)이 free \(A\)-module of finite rank \(n\)이라면, \(\S(M)\)은 polynomial algebra \(A[\x_1,\ldots, \x_n]\)과 identify할 수 있으며 이 identification 하에서 \(d\x_i\)들은
이제 \(\Omega_{E/A}\)의 성질들을 보이자. 앞으로 모든 ring은 commutative이고, 모든 algebra도 associative, commutative, unital algebra이며 algebra homomorphism도 unital이다.
명제 11 다음의 commutative diagram
이 주어졌다 하고, 수직방향의 함수들을 통해 \(E,E'\)를 각각 \(A,A'\)-algebra로 생각하자. 그럼 다음의 diagram
을 commute하게 하는 유일한 \(A\)-linear mapping
\[\nu: \Omega_{E/A} \rightarrow \Omega_{E'/A'}\]가 존재한다.
증명
이에 대한 증명은 명제 8을 증명할 때 쓰였던 다른 universal property들을 적절히 이용한 것에 불과하다.
이로부터 \(\Omega\)를 \(A\)-algebra \(A \rightarrow E\)를 받아 그 differential들의 module \(\Omega_A(E)\)를 내놓는 대응으로 본다면, \(\Omega\)는 functoriality 또한 갖는다는 것을 안다.
한편 \(\Omega_{A'}(E')\)는 \(A'\)-module이므로, [대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋명제 5에 의하여 우리는 명제 11로부터 다음의 \(A'\)-linear map
\[\Omega_0(u):\Omega_A(E)\otimes_E E'\rightarrow\Omega_{A'}(E')\]를 얻으며, \(i_E\)를 canonical morphism \(\Omega_A(E)\rightarrow \Omega_A(E)\otimes_EE'\)라 하면 \(\Omega(u)=\Omega_0(u)\circ i_E\)임을 안다.
한편 명제 8의 universal property가 주는 다음의 isomorphism
\[\Hom_E(\Omega_A(E), M)\cong\Der_A(E, M)\]을 생각하면, 우리는 다음의 commutative diagram
을 얻는다. 여기서 오른쪽의 수직방향 함수는 위의 isomorphism과 [대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋명제 5의 isomorphism을 합친
\[\Hom_{E'}(\Omega_A(E)\otimes_EE', N) \rightarrow \Hom_E(\Omega_A(E), N)\rightarrow\Der_A(E, N)\]이고 아래쪽 수평방향의 함수는 \(\Der\)의 functoriality로부터 얻어지는
\[\Der_{A'}(E', N) \rightarrow \Der_A(E, N);\qquad D\mapsto D\circ u\]이다.
명제 12 \(E' = E \otimes_AA'\)라고 하고, \(\eta : A \to E'\), \(u : E \to E'\)를 canonica morphism들이라 하면, \(A'\)-linear map
\[\Omega_0(u) : \Omega_{E/A}\otimes_EE'\rightarrow\Omega_{E'/A'}\]는 isomorphism이다.
증명
우선 수직방향 함수들이 모두 isomorphism이므로, \(C(u)\)가 isomorphism인 것을 보이면 임의의 \(N\)에 대해
\[\Hom_{E'}(\Omega_{E'/A'} , N) \rightarrow \Hom_{E'}(\Omega_{E/A}\otimes_AE',N)\]이 isomorphism이라는 것을 안다. 즉, 다음의 sequence
\[0\rightarrow\Hom_{E'}(\Omega_{E'/A'} , N) \rightarrow \Hom_{E'}(\Omega_{E/A}\otimes_AE',N)\rightarrow 0\]가 임의의 \(N\)에 대하여 exact이다. 이제 \(\Hom\)이 left exact functor이므로 (§사영가군, 단사가군, 평탄가군, ⁋명제 2) 위의 sequence가 모든 \(N\)에 대해 exact라는 것은 다음의 sequence
\[0 \rightarrow\Omega_{E/A}\otimes_EE'\rightarrow\Omega_{E'/A'}\rightarrow 0\]이 exact라는 것과 동치이다. 따라서 주장을 보이기 위해서는 \(C(u)\)가 bijective라는 것만 보이면 충분하다.
우선
\[\Hom(u, \id_N):\Hom_{A'}(E\otimes_AA', N) \rightarrow \Hom_A(E, N)\]는 isomorphism이고, \(C(u)\)는 이를 \(\Der_{A'}(E', N)\)으로 제한한 것에 불과하므로 \(C(u)\)가 injective임은 자명하다. \(C(u)\)가 surjective라는 것 또한 어렵지 않게 증명할 수 있다.
특별히 \(\rho:A \rightarrow A'\)가 \(\id_A: A\rightarrow A'\)이고, 따라서 \(u:E\rightarrow E'\)가 \(A\)-algebra homomorphism인 경우를 생각하자. 그럼 위의 과정을 통해 \(u\)는 \(E'\)-linear homomorphism
\[\Omega_0(u): \Omega_{E/A}\otimes_AE'\rightarrow\Omega_{E'/A}\]을 유도한다. 한편, \(E'\)를 \(E\rightarrow E'\)를 사용하여 \(E\)-algebra로 취급하면, 여기에서 얻어지는 derivation \(d_{E'/E}: E' \rightarrow\Omega_{E'/E}\)는 \(A\)-derivation이기도 하므로 \(\Omega_{E'/A}\)의 universal property에 의하여 다음의 factorization
\[E'\overset{d_{E'/A}}{\longrightarrow}\Omega_{E'/A}\overset{\Omega_u}{\longrightarrow}\Omega_{E'/E}\]이 존재한다. 그럼 다시 universal property에 의하여 다음의 commutative diagram
이 존재한다.
이제 자주 쓰이는 두 개의 exact sequence를 소개한다.
명제 13 \(E'\)-module들의 sequence
\[\Omega_A(E)\otimes_EE'\overset{\Omega_0(u)}{\longrightarrow}\Omega_{E'/A}\overset{\Omega_u}{\longrightarrow}\Omega_{E'/E}\longrightarrow0\]가 exact이다.
증명
다시 \(\Hom\)이 left exact functor라는 사실로부터 (§사영가군, 단사가군, 평탄가군, ⁋명제 2) 다음의 sequence
\[0 \rightarrow \Hom_{E'}(\Omega_{E'/E},N) \rightarrow \Hom_{E'}(\Omega_{E'/A}, N) \rightarrow \Hom_{E'}(\Omega_{E/A}\otimes_EE',N)\]가 임의의 \(E'\)-module \(N\)에 대하여 exact라는 것을 보이면 충분하다. 그런데 명제 12 이전과 이후에 사용한 commutative diagram을 이용하면, 이를 derivation들의 module들의 sequence
\[0 \rightarrow \Der_E(E', N) \rightarrow \Der_A(E', N) \rightarrow \Der_A(E, N)\]으로 바꿀 수 있으며, 이것이 exact라는 것은 명제 2 직후에 보였다.
이번에는 특히 \(u:E \rightarrow E'\)가 surjective이고, 따라서 \(\mathfrak{I}=\ker u\)에 대하여 isomorphism \(E'\cong E/\mathfrak{I}\)인 경우를 생각하자. 그럼 canonical derivation \(d=d_{E/A}\)의 \(\mathfrak{I}\)로의 restriction
\[\mathfrak{I}\overset{d\vert_{\mathfrak{I}}}{\longrightarrow}\Omega_{E/A}\overset{i_E}{\longrightarrow}\Omega_{E/A}\otimes_EE'\]을 \(d'\)라 하면, 임의의 \(x,y\in \mathfrak{I}\)에 대하여
\[d'(xy)=d(xy)\otimes1=dy\otimes u(x)+dx\otimes u(y)=0\]이므로 다음의 \(E\)-linear map
\[\overline{d}:\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\rightarrow\Omega_{E/A}\otimes_EE'\]이 잘 정의된다. 뿐만 아니라 \(\mathfrak{I}\)가 \(\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\)를 annihilate하므로, \(\overline{d}\)는 \(E'=E/\mathfrak{I}\)-linear map이다.
명제 14 위의 상황에서, 다음의 \(E'=\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\)-linear map들의 sequence
\[\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\overset{\overline{d}}{\longrightarrow}\Omega_{E/A}\otimes_EE'\overset{\Omega_0(u)}{\longrightarrow}\Omega_{E'/A}\longrightarrow0\]이 exact이다.
증명
앞선 논증의 표기에서, 우리는 \(\Omega_{E/A}\otimes_EE'\)를 \(\Omega_{E/A}/\mathfrak{I}\Omega_{E/A}\)와 identify할 수 있다. 그럼 이 identification 하에서, \(\overline{d)\)의 image는 \(d(\mathfrak{I})\subset\Omega_{E/A}\)의 quotient module \(\Omega_{E/A}/\mathfrak{I}\Omega_{E/A}\)에서의 image가 된다. 따라서, \(\Omega_{E/A}\)의 \(A\)-submodule \(I\)를 \(\mathfrak{I}\Omega_{E/A}\)와 \(d(\mathfrak{I})\)에 의해 생성되는 것으로 잡으면 다음의 isomorphism
\[\frac{\Omega_{E/A}\otimes_EE'}{\im(\overline{d})}\cong\frac{\Omega_{E/A}}{I}\]을 얻으며, 이를 통해 원하는 결과를 얻는다.
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