K

Grad. student in mathematics

이 카테고리의 글에서 우리는 field에 대해 다룬다. 특히 Galois theory를 소개하는 것이 이 카테고리의 목적이다.

소체

우선 다음 정의를 기억해보자.

정의 1 Commutative division ring을 field라 부른다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋정의 3)

보편적으로 field는 \(\mathbb{K}\)와 같이 적는다. 한편 field는 특정한 조건을 만족하는 ring이므로, 이들만을 모아 \(\Ring\)의 subcategory \(\Field\)를 만들 수 있다. 즉 \(\Field\)는 \(\Ring\)의 full subcategory이다.

앞서 우리는 \(\Ring\)의 모든 대상이 \(1\)을 갖고, 모든 ring homomorphism은 \(1\)을 보존하는 것으로 정의하였다. ([대수적 구조] §환의 정의, ⁋정의 3) 따라서 ring \(A\)의 임의의 subring도 곱셈에 대한 항등원을 가지며 이는 정확히 \(A\)의 곱셈에 대한 항등원 \(1\)과 같다. 또, 이로부터 \(\mathbb{Z}\)가 \(\Ring\)의 initial object라는 것을 안다.

다음 명제는 자명하지만 꽤나 흥미로운 것으로, field 사이의 ring homomorphism은 inclusion이거나 zero map 뿐임을 보여준다.

명제 2 임의의 field \(\mathbb{K},\mathbb{K}'\)가 주어졌다 하고, ring homomorphism \(f:\mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}'\)을 생각하자. 그럼 \(f\)는 zero map이거나 inclusion이다.

증명

\(\ker f\)는 \(\mathbb{K}\)의 ideal이다. 이제 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 4를 보라.

한편, 해당 글 [대수적 구조] §분수체에서 우리는 \(\mathbb{Q}\)를 \(\mathbb{Z}\)의 total field of fractions \(\Frac(\mathbb{Z})\)로 얻어낼 수 있었다. 한편 다음 예시는 \(\mathbb{Q}\)와는 다른 field의 예시를 보여준다.

예시 3 소수 \(p\)를 고정하고 \(\mathbb{Z}\)에 대한 quotient ring \(\mathbb{F}_p := \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)는 field이다.

이를 확인하기 위해 임의의 nonzero \(a+p\mathbb{Z}\in \mathbb{F}_p\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\gcd(a,p)=1\)이므로, [환론] §정역, ⁋따름정리 9로부터

\[1=ax+bp\]

를 만족하는 \(x, b\in \mathbb{Z}\)가 존재하고, 양 변을 \(p\)로 나눈 나머지를 생각해주면 된다.

이들을 묶어 우리는 prime field소체라 부른다. 그럼 다음이 성립한다.

정리 4 Ring \(A\)가 어떤 subfield를 가진다고 하자. 그러면 \(A\)는 유일한 prime subfield \(\mathbb{P}\)를 가진다. 이 때, \(\mathbb{K}\)는 \(A\)의 center에 속하고, \(A\)의 모든 subfield에 포함된다.

증명

\(\mathbb{K}\)를 \(A\)의 subfield라고 하자. \(C\)를 \(A\)의 center라 하면, \(\mathbb{K}':= \mathbb{K} \cap C\)도 \(A\)의 subfield이다.

\(\mathbb{Z}\)에서 \(A\)로 가는 유일한 ring homomorphism \(f: \mathbb{Z} \to A\)를 생각하고 그 kernel을 \(\mathfrak{p}\)라 하자. 그럼 \(A\)의 모든 subring은 \(\im(f)\)를 포함하므로, 특히 \(\mathbb{K}'\)도 \(\im(f)\)를 포함한다. 이제 \(\mathbb{K}'\)는 field이므로 integral domain이고, 따라서 \((0)\)은 \(\mathbb{K}'\)의 prime ideal이므로 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 9에 의하여 \(\mathfrak{p} = (0)\)이거나 적당한 prime \(p\)에 대해 \(\mathfrak{p} = (p)\)이다.

만일 \(\mathbb{p}=0\)이라면, \(f\)는 \(\mathbb{Z}\)에서 \(\mathbb{K}'\)로의 embedding이고, 따라서 [대수적 구조] §분수체, ⁋정리 1로부터 \(\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{K}'\)가 유도된다.

만일 \(\mathfrak{p} = (p)\)라면, first isomorphism theorem에 의하여 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \mathbb{F}_p\)의 homomorphic image가 \(\mathbb{K}'\)의 subfield를 정의한다.

이로써 두 경우 모두 prime field \(\mathbb{P}\)가 \(\mathbb{K}'\) 안에 존재함을 알 수 있고, 이 \(\mathbb{P}\)는 \(A\) 안의 subfield이며 center \(C\) 안에 존재한다.

이제 \(A\)의 다른 subfield \(L\)을 생각하자. \(\mathbb{P} \cap L\)은 \(A\)의 subfield이며, \(\mathbb{P}\)의 부분집합이므로 \(\mathbb{P} \cap L = P\)이고, 따라서 \(\mathbb{P} \subseteq L\)이다. 즉, 모든 subfield는 \(\mathbb{P}\)를 포함하므로 \(\mathbb{P}\)는 \(A\)의 모든 subfield에 포함되고, prime field로서 유일하다.

우리는 대부분 ring \(A\)가 field인 경우에만 관심이 있으므로, 위의 정리의 전제는 별 의미가 없다. 가령 우리는 다음과 같은 따름정리들을 얻는다.

따름정리 5 Field \(\mathbb{K}\)는 유일한 prime subfield \(\mathbb{P}\)를 가지며, \(\mathbb{P}\)는 \(\mathbb{K}\)의 subfield 가운데 가장 작은 것이다.

따름정리 6 Field \(\mathbb{K}\)가 prime field일 필요충분조건은 \(\mathbb{K}\)가 자기 자신 외의 subfield를 갖지 않는 것이다.

이제 이로부터 임의의 field \(\mathbb{K}\)가 주어질 때마다, 유일한 방식으로 정의되는 prime field \(\mathbb{P}\)와 injection \(\mathbb{P}\hookrightarrow \mathbb{K}\)가 존재함을 안다. 일반적으로 우리는 ring homomorphism \(f:A \rightarrow B\)가 injective라면 이를 extension이라 부르므로, 이는 다음의 슬로건

임의의 field는 유일한 방식으로 어떠한 prime field의 extension이다.

으로 다시 쓸 수 있다.

표수

Prime field를 이용하면 ring의 characteristic을 정의할 수 있다. Ring \(A\)가 어떠한 subfield를 갖는다고 가정하자. 그럼 정리 4에 의하여 이 \(A\)는 유일한 prime subfield \(\mathbb{P}\)를 가진다. 한편 정리 4의 증명을 살펴보면 이 \(\mathbb{P}\)를 얻어내는 방법 또한 상당히 명시적으로 주어지는데, \(P\)는 반드시 \(A\)의 곱셈에 대한 항등원 \(1\)을 포함할 것이므로 이로부터

\[n.x=\underbrace{1+1+\cdots+1}_\text{\scriptsize$n$ times}\]

또한 \(\mathbb{P}\)에 속해야 하고, 이것이 만일 언젠가 \(0\)이 된다면 \(\mathbb{P}\)는 \(\mathbb{F}_p\)와 isomorphic하고, 그렇지 않다면 \(\mathbb{P}\)가 \(\mathbb{Q}\)가 된다. 이를 직관삼아 다음을 정의한다.

정의 7 Ring \(A\)가 subfield를 가진다고 가정하자. 이 때, 정리 4의 증명에서 \(f:\mathbb{Z} \rightarrow A\)의 kernel의 generator인 양의 정수 \(n\)을 ring \(A\)의 characteristic표수으로 정의하고 \(\ch(A)\)로 적는다.

즉, 만일 \(A\)가 subfield를 가지고, 따라서 prime subfield \(\mathbb{P}\)를 가진다 할 때, \(\ch A=0\)인 것은 \(\mathbb{P}\cong \mathbb{Q}\)인 것과 동치이고 \(\ch A=p\)인 것은 \(\mathbb{P}\cong \mathbb{F}_p\)인 것과 동치이며 그 이외의 경우는 존재하지 않는다.

명제 8 \(A\)를 \(0\)이 아닌 ring이라 하자. 다음이 성립한다:

  1. \(A\)의 characteristic이 \(0\)인 것과, 임의의 \(n\neq 0\)에 대하여 \(x\mapsto n.x\)가 \(A\)에서 \(A\)로의 bijection인 것이다.
  2. 소수 \(p\)에 대하여, \(\ch(A)=p\)인 것과 모든 \(x\in A\)에 대해 \(p.x=0\)인 것이 동치이다.
증명

이는 임의의 정수 \(n\)과 원소 \(x\in A\)에 대하여, \(\mathbb{Z}\)에서 \(A\)로의 유일한 ring homomorphism \(f\)를 생각하면 다음의 식

\[n.x=\underbrace{1+1+\cdots+1}_\text{\scriptsize$n$ times}=f(n)x\]

이 성립하기 때문에 얻어진다.

우리가 익숙한 대상은 당연히 \(\ch(A)=0\)인 경우이다. 만일 \(\ch(A)=p\)라면 몇몇 흥미로운 결과가 성립한다. 이를 위해 우선 다음의 보조정리를 보이자.

보조정리 9 소수 \(p\)를 고정하자. 그럼 \(1 \leq i \leq p-1\)인 정수 \(i\)에 대하여, \(\binom{p}{i}\)는 \(p\)의 배수이다.

증명

\(i\)에 대한 수학적 귀납법으로 증명한다. \(i = 1\)인 경우 \(\binom{p}{1} = p\)이므로 더 증명할 것이 없다. 이제 \(2 \leq i \leq p-1\)에 대해 \(\binom{p}{i-1}\)이 \(p\)로 나누어떨어진다고 가정하자. 그럼 다음의 항등식

\[i \cdot \binom{p}{i} = (p - i + 1) \cdot \binom{p}{i-1}\]

에서, 우변은 귀납적 가정에 의해 \(p\)의 배수이다. 한편 \(i\)는 \(p\)의 배수가 아니므로 이 식이 성립하기 위해서는 \(\binom{p}{i}\)가 \(p\)의 배수여야 한다.

이제 다음이 성립한다.

정리 10 \(A\)를 characteristic \(p>0\)인 commutative ring이라 하자. 그럼 함수

\[\Frob_p: A \rightarrow A;\qquad a \mapsto a^p\]

는 \(A\)의 endomorphism이다. 즉, 다음의 두 식

\[(a + b)^p = a^p + b^p,\qquad (ab)^p = a^p b^p\]

이 모든 \(a,b\in A\)에 대해 성립한다.

증명

곱셈에 대한 식은 \(A\)가 commutative이므로 더 보일 것이 없다. (1)의 경우, 이항전개

\[(a + b)^p = a^p + b^p + \sum_{i = 1}^{p-1} \binom{p}{i}. a^i b^{p-i}\]

를 생각하면 보조정리 9에 의해 \(1 \leq i \leq p-1\)인 모든 \(i\)에 대해 \(\binom{p}{i} \equiv 0 \pmod{p}\)이고, 따라서 명제 8에 의해

\[\binom{p}{i}. a^i b^{p-i} = 0\]

가 모든 \(1\leq i\leq p-1\)에 대해 성립한다. 이로부터 원하는 등식을 얻는다.

정의 11 Commutative ring \(A\)의 characteristic이 \(p\)일 때, 정리 10의 함수

\[A \to A,\qquad a \mapsto a^p\]

를 Frobenius endomorphism이라고 한다.

그럼 Frobenius endomorphism을 \(f\)번 합성한 \(\Frob_p^f\)는 다음의 식

\[a\mapsto a^{p^f}\]

로 주어지며, 이는 여전히 \(A\)의 endomorphism이므로 특히

\[(a_1+\cdots+a_n)^{p^f}=a_1^{p^f}+\cdots+a_n^{p^f}\]

이 항상 성립하고 각각의 \(a_k^{p^f}\)는 \(A\)의 원소이다. 더 일반적으로 \(A\)의 부분집합 \(S\)에 대하여, Frobenius endomorphism을 \(f\)번 합성한 image를 \(S^{p^f}\)라 적는다.

추가로 몇 개의 notation을 도입한다. \(A\)의 subring \(K\)와 임의의 부분집합 \(S\subset A\)에 대하여, \(K[S]\)는 \(A\)의 subring 중 \(K\cup S\)에 의해 생성되는 subring을 의미한다. 만일 \(A\)가 field라면, [대수적 구조] §분수체, ⁋정리 1에 의해 \(K[S]\hookrightarrow A\)로부터 ring homomorphism

\[\Frac(K[S]) \rightarrow A\]

가 유도되며 이를 통해 \(\Frac(K[S])\)를 \(A\)의 subfield로 생각할 수 있다. 우리는 이를 \(K(S)\)로 적기로 한다. 그럼 \(K(S)\)는 정의에 의해 \(K\cup S\)를 포함하는 \(A\)의 subfield 중 가장 작은 것이다.

그럼 이러한 표기법 상에서 다음이 성립한다.

명제 12 Characteristic \(p>0\)의 commutative ring \(A\), \(A\)의 subring \(K\), \(A\)의 부분집합 \(S\)와 양의 정수 \(f\)를 고정하자.

  1. \(K[S]^{p^f} = K^{p^f}[S^{p^f}]\)가 성립한다. 만약 \(A\)가 field이면 \(K(S)^{p^f} = K^{p^f}(S^{p^f})\)도 성립한다.
  2. 집합 \(\{a_i\}_{i \in I}\)가 \(K[S]\)를 생성하는 \(K\)-module이라면, 집합 \(\{a_i^{p^f}\}_{i \in I}\)는 \(K[S]^{p^f}\)를 생성하는 \(K^{p^f}\)-module이 된다.
증명
  1. 등식의 좌변은 \(\Frob_p^f(K[S])\)이므로, 주장은 \(K^{p^f}\cup S^{p^f}=\Frob_p^f(K)\cup\Frob_p^f(S)\)로 생성되는 \(A\)의 subring이 \(\Frob_p^f(K[S])\)와 같다는 것으로, 자명하다.
  2. \(K[S]\)가 \(a_i\)들의 \(K\)-linear combination으로 생성되므로, \(K[S]^{p^f}\)는 각 \(a_i^{p^f}\)의 \(K^{p^f}\)-선형 결합으로 생성됨을 이항전개와 정리 10으로부터 알 수 있다.

완전환

이제 다음을 정의한다.

정의 13 Characteristic \(p \neq 0\)인 ring \(A\)와 Frobenius map \(\Frob_p : A \to A\)를 생각하자.

  1. 만일 \(\Frob_p\)가 sujective이면 \(A\)를 semi-perfect ring이라고 한다.
  2. 만일 \(\Frob_p\)가 bijective이면 \(A\)를 perfect ring이라고 한다.

만일 \(A\)가 perfect ring이라면 \(\Frob_p^{-1}\) 또한 \(A\)에서 \(A\)로의 (auto)morphism이므로, 이를 \(a\mapsto a^{p^{-f}}\) 혹은 \(a^{1/p^f}\)로 적으면 적절할 것이다. 앞에서와 마찬가지로 \(A\)의 부분집합 \(S\)에 대하여, \((\Frob_p^{-1})^f\)에 의한 \(S\)의 image를 \(S^{1/p^f}\)로 적는다.

정의 14 Characteristic \(p \ne 0\)인 commutative ring \(A\)에 대하여, perfect closure란 다음 두 조건을 만족하는 쌍 \((A^{1/p^\infty}, \phi)\)이다.

  • \(A^{1/p^\infty}\)는 characteristic \(p\)인 perfect ring이다.
  • \(\phi : A \to A^{1/p^\infty}\)는 ring homomorphism이며, 다음의 universal property를 만족한다.

    Characteristic \(p\)의 perfect ring \(B\)와 ring homomorphism \(f:A \rightarrow B\)가 주어질 때마다, 유일한 ring homomorphism \(\hat{f}: A^{1/p^\infty} \rightarrow B\)가 존재하여 \(f=\hat{f}\circ\phi\)이도록 할 수 있다.

만일 \(A\)의 perfect closure가 존재한다면 정의에 의해 유일하게 결정된다. 다음 정리는 characteristic \(p\neq 0\)의 ring은 항상 perfect closure를 갖는다는 것을 보여준다.

정리 15 Characteristic \(p \ne 0\)인 commutative ring \(A\)에 대하여, \(A\)의 perfect closure \((A^{1/p^\infty}, \phi)\)가 존재한다. 더 나아가 다음이 성립한다.

  1. \(\phi\)의 kernel은 \(A\)의 모든 nilpotent element들의 집합이다.
  2. 임의의 \(x \in A^{1/p^\infty}\)에 대해, 어떤 \(n > 0\)가 존재하여 \(x^{p^n} \in \phi(A)\)이다.

증명 대신 간단히 흐름을 소개한다. 직관적으로 \(\Frob_p\)가 bijective라는 조건은 \(A\)의 임의의 원소가 (유일한) \(p\)-거듭제곱근을 갖는다는 것을 의미한다. 따라서 \(A\)의 perfect closure는 \(A\)의 임의의 원소의 \(p\)-거듭제곱근들을 추가하여 얻어진다.

이를 위해 우리는 다음의 directed system

\[A_0=A\overset{\Frob_p}{\longrightarrow} A_1=A\overset{\Frob_p}{\longrightarrow} A_2=A\rightarrow\cdots\]

을 생각한다. 이 directed system의 direct limit

\[\varinjlim A=\left(\coprod A\right)\bigg/{\sim},\qquad \text{$a_i\sim a_j\iff \Frob_p^{k-i}(a_i)=\Frob_p^{k-j}(a_j)$ for some $k\geq i,j$}\]

을 생각하면, \(\varinjlim A\)의 임의의 원소는 적당한 \(i\)와 \(a_i\in A_i\)를 통해 represent된다. 이를

\[[a_i\in A_i]\]

로 표기하고, canonical morphism들을

\[\phi_i: A_i \rightarrow \varinjlim A;\qquad a_i\mapsto [a_i\in A_i]\]

으로 정의하자. 우리의 주장은 \(A^{1/p^\infty}=\varinjlim A\)와 \(\phi=\phi_0\)이 원하는 조건을 만족한다는 것이다.

이는 \(\varinjlim A\)의 곱셈을 명시적으로 써 보면 우리의 직관에 부합한다. 정의에 의하여 \(\varinjlim A\)에서 두 원소 \([a_i\in A_i]\)와 \([a_j\in A_j]\)의 곱셈은, 일반성을 잃지 않고 \(j\geq i\)라 가정하면, 다음의 식

\[[\Frob_p^{j-i}(a_j)\in A_j]=[a_i^{p^{j-i}}a_j\in A_j]\]

로 주어진다. 우리의 직관은 \([a_j\in A_j]\)는 \(\varinjlim A\)에서 \(a_j^{1/p^j}\)에 해당한다는 것이고, 이는 즉

\[[a_j\in A_0]=[a_j\in A_j]^{p^j}\]

라는 것이다. 그럼 우변은 \([a_j^{p^j}\in A_j]=[\Frob_p^j(a_j)]\)이므로 위의 식이 성립한다.

주의할 것은 정리의 첫째 결과에서 알 수 있듯이, \(\phi: a\mapsto [a\in A_0]\)은 injective가 아니라는 것이며, 이는 약간의 계산을 통하여도 자명하다.

통일된 표기를 위해서는 \(\ch A=0\)인 경우를 \(1\)로 두는 것이 편할 때가 있다. 이를 위해 우리는 field \(\mathbb{K}\)의 characteristic exponent를 \(\ch A=0\)일 경우 \(1\), \(\ch A=p>0\)일 경우 \(p\)로 둔다.

명제 16 Characteristic exponent \(q\)의 field \(\mathbb{K}\)를 생각하자. 그럼 각각의 \(f\geq 0\)에 대하여, \(x\mapsto x^{q^f}\)는 \(\mathbb{K}\)에서 \(\mathbb{K}\)의 어떠한 subfield \(\mathbb{K}^{q^f}\)로의 isomorphism을 유도한다.

증명

\(p=0\)이면 \(q=1\)이고 따라서 주어진 함수는 항등함수이므로 증명할 것이 없다. 만일 \(q \ne 1\)이라면 \(q\)는 양의 소수이므로 \(K\)의 characteristic은 양의 소수 \(p\)이고, \(q = p\)이다. 그럼 주어진 함수는 Frobenius endomorphism의 \(f\)-fold composition이며 \(\mathbb{K}\)에서 \(\mathbb{K}^{q^f}\)로의 surjective ring homomorphism이다. 이것이 injective인 것은 \(\mathbb{K}\)가 field이고, 따라서 nilpotent element가 없기 때문에 자명하다.

정의 17 Characteristic exponent가 \(q\)인 field \(\mathbb{K}\)에 대하여, 명제 16의 함수가 \(\mathbb{K}\)에서 \(\mathbb{K}\)로의 isomorphism이라면 \(\mathbb{K}\)를 perfect field완전체라 부른다. 그렇지 않다면 이를 imperfect field불완전체라 부른다.

즉, field \(\mathbb{K}\)가 perfect이기 위해서는 (1) characteristic exponent가 \(1\)이거나, (2) characteristic exponent가 \(q\)이고 정의 14의 센스에서 perfect ring이어야 한다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 18 Field \(\mathbb{K}\)에 대하여, 다음이 성립한다.

  1. 만일 \(\ch(\mathbb{K})=0\)이라면 \(\mathbb{K}\)는 perfect이다.
  2. 만일 \(\mathbb{K}\)가 유한집합이라면 \(\mathbb{K}\)는 perfect이다.
증명

둘째 주장만 보이면 충분하며, 명제 16의 함수 \(\mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}^{q^f}\subset \mathbb{K}\)는 \(\mathbb{K}\)에 대한 조건 없이 항상 injective라는 것을 이미 해당 명제의 증명에서 살펴보았다. 이제 만일 \(\mathbb{K}\)가 유한집합이라면, 그 크기 때문에 \(\mathbb{K}^{q^f}=\mathbb{K}\)여야 한다.

한편 우리는 임의의 commutative ring \(A\)와 그 polynomial algebra \(E=A[\x_i]_{i\in I}\)에 대하여, Kähler differential들의 module \(\Omega_{E/A}\)를 살펴본 적이 있다. ([다중선형대수학] §미분가군, ⁋예시 10) 이 구조에 따르면, 임의의 다항식 \(f\in E\)에 대하여 \(df\in\Omega_{E/A}\)는 다음의 식

\[df=\sum_{i\in I} \frac{\partial f}{\partial\x_i}\mathop{d\x_i}\]

으로 주어진다. 따라서, 만일 \(A\)가 characteristic \(p\)라면 다항식 \(\x_i^p\)의 \(\Omega_{E/A}\)에서의 image는 \(0\)이 될 것이다. 다음 명제는 이 관찰을 더 완전하게 다듬은 것이다.

명제 19 Commutative ring \(A\), polynomial algebra \(E=A[\x_i]_{i\in I}\)에 대하여, \(E\)의 부분집합 \(S\)를 \(df=0\)을 만족하는 다항식들 \(f\)의 집합이라 하자. 그럼 다음이 성립한다.

  1. 만일 \(\ch(A)=0\)이라면 \(S=A\)이다.
  2. 만일 \(\ch(A)=p\)라면 \(S=A[\x_i^p]_{i\in I}\)이고, 더 나아가 만일 \(A\)가 perfect라면 \(A=E^p\)가 성립한다.

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