체

이 카테고리의 글에서 우리는 field에 대해 다룬다. 특히 Galois theory를 소개하는 것이 이 카테고리의 목적이다.

체의 확장

우선 다음 정의를 기억해보자.

정의 1 Commutative division ring을 field라 부른다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋정의 3)

보편적으로 field는 $\mathbb{K}$와 같이 적는다. 한편 field는 특정한 조건을 만족하는 ring이므로, 이들만을 모아 $\Ring$의 subcategory $\Field$를 만들 수 있다. 즉 $\Field$는 $\Ring$의 full subcategory이다.

앞서 우리는 $\Ring$의 모든 대상이 $1$을 갖고, 모든 ring homomorphism은 $1$을 보존하는 것으로 정의하였다. ([대수적 구조] §환의 정의, ⁋정의 3) 따라서 ring $A$의 임의의 subring도 곱셈에 대한 항등원을 가지며 이는 정확히 $A$의 곱셈에 대한 항등원 $1$과 같다. 또, 이로부터 $\mathbb{Z}$가 $\Ring$의 initial object라는 것을 안다.

다음 명제는 자명하지만 꽤나 흥미로운 것으로, field 사이의 ring homomorphism은 inclusion이거나 zero map 뿐임을 보여준다.

명제 2 임의의 field $\mathbb{K},\mathbb{K}’$가 주어졌다 하고, ring homomorphism $f:\mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}’$을 생각하자. 그럼 $f$는 zero map이거나 inclusion이다.

증명

$\ker f$는 $\mathbb{K}$의 ideal이다. 이제 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 4를 보라.

한편, 해당 글 [대수적 구조] §분수체에서 우리는 $\mathbb{Q}$를 $\mathbb{Z}$의 total field of fractions $\Frac(\mathbb{Z})$로 얻어낼 수 있었다. 한편 다음 예시는 $\mathbb{Q}$와는 다른 field의 예시를 보여준다.

예시 3 소수 $p$를 고정하고 $\mathbb{Z}$에 대한 quotient ring $\mathbb{F}_p := \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$는 field이다.

이를 확인하기 위해 임의의 nonzero $a+p\mathbb{Z}\in \mathbb{F}_p$가 주어졌다 하자. 그럼 $\gcd(a,p)=1$이므로, [환론] §정역, ⁋따름정리 9로부터

\[1=ax+bp\]

를 만족하는 $x, b\in \mathbb{Z}$가 존재하고, 양 변을 $p$로 나눈 나머지를 생각해주면 된다.

이들을 묶어 우리는 prime field_소체라 부른다. 그럼 다음이 성립한다.

정리 4 Ring $A$가 어떤 subfield를 가진다고 하자. 그러면 $A$는 유일한 prime subfield $\mathbb{P}$를 가진다. 이 때, $\mathbb{K}$는 $A$의 center에 속하고, $A$의 모든 subfield에 포함된다.

증명

$\mathbb{K}$를 $A$의 subfield라고 하자. $C$를 $A$의 center라 하면, $\mathbb{K}’:= \mathbb{K} \cap C$도 $A$의 subfield이다.

$\mathbb{Z}$에서 $A$로 가는 유일한 ring homomorphism $f: \mathbb{Z} \to A$를 생각하고 그 kernel을 $\mathfrak{p}$라 하자. 그럼 $A$의 모든 subring은 $\im(f)$를 포함하므로, 특히 $\mathbb{K}’$도 $\im(f)$를 포함한다. 이제 $\mathbb{K}’$는 field이므로 integral domain이고, 따라서 $(0)$은 $\mathbb{K}’$의 prime ideal이므로 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 9에 의하여 $\mathfrak{p} = (0)$이거나 적당한 prime $p$에 대해 $\mathfrak{p} = (p)$이다.

만일 $\mathbb{p}=0$이라면, $f$는 $\mathbb{Z}$에서 $\mathbb{K}’$로의 embedding이고, 따라서 [대수적 구조] §분수체, ⁋정리 1로부터 $\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{K}’$가 유도된다.

만일 $\mathfrak{p} = (p)$라면, first isomorphism theorem에 의하여 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \mathbb{F}_p$의 homomorphic image가 $\mathbb{K}’$의 subfield를 정의한다.

이로써 두 경우 모두 prime field $\mathbb{P}$가 $\mathbb{K}’$ 안에 존재함을 알 수 있고, 이 $\mathbb{P}$는 $A$ 안의 subfield이며 center $C$ 안에 존재한다.

이제 $A$의 다른 subfield $L$을 생각하자. $\mathbb{P} \cap L$은 $A$의 subfield이며, $\mathbb{P}$의 부분집합이므로 $\mathbb{P} \cap L = P$이고, 따라서 $\mathbb{P} \subseteq L$이다. 즉, 모든 subfield는 $\mathbb{P}$를 포함하므로 $\mathbb{P}$는 $A$의 모든 subfield에 포함되고, prime field로서 유일하다.

우리는 대부분 ring $A$가 field인 경우에만 관심이 있으므로, 위의 정리의 전제는 별 의미가 없다. 가령 우리는 다음과 같은 따름정리들을 얻는다.

따름정리 5 Field $\mathbb{K}$는 유일한 prime subfield $\mathbb{P}$를 가지며, $\mathbb{P}$는 $\mathbb{K}$의 subfield 가운데 가장 작은 것이다.

따름정리 6 Field $\mathbb{K}$가 prime field일 필요충분조건은 $\mathbb{K}$가 자기 자신 외의 subfield를 갖지 않는 것이다.

이제 이로부터 임의의 field $\mathbb{K}$가 주어질 때마다, 유일한 방식으로 정의되는 prime field $\mathbb{P}$와 injection $\mathbb{P}\hookrightarrow \mathbb{K}$가 존재함을 안다. 일반적으로 우리는 ring homomorphism $f:A \rightarrow B$가 injective라면 이를 extension이라 부르므로, 이는 다음의 슬로건

임의의 field는 유일한 방식으로 어떠한 prime field의 extension이다.

으로 다시 쓸 수 있다.

표수

Prime field를 이용하면 ring의 characteristic을 정의할 수 있다. Ring $A$가 어떠한 subfield를 갖는다고 가정하자. 그럼 정리 4에 의하여 이 $A$는 유일한 prime subfield $\mathbb{P}$를 가진다. 한편 정리 4의 증명을 살펴보면 이 $\mathbb{P}$를 얻어내는 방법 또한 상당히 명시적으로 주어지는데, $P$는 반드시 $A$의 곱셈에 대한 항등원 $1$을 포함할 것이므로 이로부터

\[n.x=\underbrace{1+1+\cdots+1}_\text{\scriptsize$n$ times}\]

또한 $\mathbb{P}$에 속해야 하고, 이것이 만일 언젠가 $0$이 된다면 $\mathbb{P}$는 $\mathbb{F}_p$와 isomorphic하고, 그렇지 않다면 $\mathbb{P}$가 $\mathbb{Q}$가 된다. 이를 직관삼아 다음을 정의한다.

정의 7 Ring $A$가 subfield를 가진다고 가정하자. 이 때, 정리 4의 증명에서 $f:\mathbb{Z} \rightarrow A$의 kernel의 generator인 양의 정수 $n$을 ring $A$의 characteristic_표수으로 정의하고 $\ch(A)$로 적는다.

즉, 만일 $A$가 subfield를 가지고, 따라서 prime subfield $\mathbb{P}$를 가진다 할 때, $\ch A=0$인 것은 $\mathbb{P}\cong \mathbb{Q}$인 것과 동치이고 $\ch A=p$인 것은 $\mathbb{P}\cong \mathbb{F}_p$인 것과 동치이며 그 이외의 경우는 존재하지 않는다.

명제 8 $A$를 $0$이 아닌 ring이라 하자. 다음이 성립한다:

1. $A$의 characteristic이 $0$인 것과, 임의의 $n\neq 0$에 대하여 $x\mapsto n.x$가 $A$에서 $A$로의 bijection인 것이다.
2. 소수 $p$에 대하여, $\ch(A)=p$인 것과 모든 $x\in A$에 대해 $p.x=0$인 것이 동치이다.

증명

이는 임의의 정수 $n$과 원소 $x\in A$에 대하여, $\mathbb{Z}$에서 $A$로의 유일한 ring homomorphism $f$를 생각하면 다음의 식

\[n.x=\underbrace{1+1+\cdots+1}_\text{\scriptsize$n$ times}=f(n)x\]

이 성립하기 때문에 얻어진다.

우리가 익숙한 대상은 당연히 $\ch(A)=0$인 경우이다. 만일 $\ch(A)=p$라면 몇몇 흥미로운 결과가 성립한다. 이를 위해 우선 다음의 보조정리를 보이자.

보조정리 9 소수 $p$를 고정하자. 그럼 $1 \leq i \leq p-1$인 정수 $i$에 대하여, $\binom{p}{i}$는 $p$의 배수이다.

증명

$i$에 대한 수학적 귀납법으로 증명한다. $i = 1$인 경우 $\binom{p}{1} = p$이므로 더 증명할 것이 없다. 이제 $2 \leq i \leq p-1$에 대해 $\binom{p}{i-1}$이 $p$로 나누어떨어진다고 가정하자. 그럼 다음의 항등식

\[i \cdot \binom{p}{i} = (p - i + 1) \cdot \binom{p}{i-1}\]

에서, 우변은 귀납적 가정에 의해 $p$의 배수이다. 한편 $i$는 $p$의 배수가 아니므로 이 식이 성립하기 위해서는 $\binom{p}{i}$가 $p$의 배수여야 한다.

이제 다음이 성립한다.

정리 10 $A$를 characteristic $p>0$인 commutative ring이라 하자. 그럼 함수

\[\Frob_p: A \rightarrow A;\qquad a \mapsto a^p\]

는 $A$의 endomorphism이다. 즉, 다음의 두 식

\[(a + b)^p = a^p + b^p,\qquad (ab)^p = a^p b^p\]

이 모든 $a,b\in A$에 대해 성립한다.

증명

곱셈에 대한 식은 $A$가 commutative이므로 더 보일 것이 없다. (1)의 경우, 이항전개

\[(a + b)^p = a^p + b^p + \sum_{i = 1}^{p-1} \binom{p}{i}. a^i b^{p-i}\]

를 생각하면 보조정리 9에 의해 $1 \leq i \leq p-1$인 모든 $i$에 대해 $\binom{p}{i} \equiv 0 \pmod{p}$이고, 따라서 명제 8에 의해

\[\binom{p}{i}. a^i b^{p-i} = 0\]

가 모든 $1\leq i\leq p-1$에 대해 성립한다. 이로부터 원하는 등식을 얻는다.

정의 11 Commutative ring $A$의 characteristic이 $p$일 때, 정리 10의 함수

\[A \to A,\qquad a \mapsto a^p\]

를 Frobenius endomorphism이라고 한다.

그럼 Frobenius endomorphism을 $f$번 합성한 $\Frob_p^f$는 다음의 식

\[a\mapsto a^{p^f}\]

로 주어지며, 이는 여전히 $A$의 endomorphism이므로 특히

\[(a_1+\cdots+a_n)^{p^f}=a_1^{p^f}+\cdots+a_n^{p^f}\]

이 항상 성립하고 각각의 $a_k^{p^f}$는 $A$의 원소이다. 더 일반적으로 $A$의 부분집합 $S$에 대하여, Frobenius endomorphism을 $f$번 합성한 image를 $S^{p^f}$라 적는다.

추가로 몇 개의 notation을 도입한다. $A$의 subring $K$와 임의의 부분집합 $S\subset A$에 대하여, $K[S]$는 $A$의 subring 중 $K\cup S$에 의해 생성되는 subring을 의미한다. 만일 $A$가 field라면, [대수적 구조] §분수체, ⁋정리 1에 의해 $K[S]\hookrightarrow A$로부터 ring homomorphism

\[\Frac(K[S]) \rightarrow A\]

가 유도되며 이를 통해 $\Frac(K[S])$를 $A$의 subfield로 생각할 수 있다. 우리는 이를 $K(S)$로 적기로 한다. 그럼 $K(S)$는 정의에 의해 $K\cup S$를 포함하는 $A$의 subfield 중 가장 작은 것이다.

그럼 이러한 표기법 상에서 다음이 성립한다.

명제 12 Characteristic $p>0$의 commutative ring $A$, $A$의 subring $K$, $A$의 부분집합 $S$와 양의 정수 $f$를 고정하자.

1. $K[S]^{p^f} = K^{p^f}[S^{p^f}]$가 성립한다. 만약 $A$가 field이면 $K(S)^{p^f} = K^{p^f}(S^{p^f})$도 성립한다.
2. 집합 $\{a_i\}_{i \in I}$가 $K[S]$를 생성하는 $K$-module이라면, 집합 $\{a_i^{p^f}\}_{i \in I}$는 $K[S]^{p^f}$를 생성하는 $K^{p^f}$-module이 된다.

증명

1. 등식의 좌변은 $\Frob_p^f(K[S])$이므로, 주장은 $K^{p^f}\cup S^{p^f}=\Frob_p^f(K)\cup\Frob_p^f(S)$로 생성되는 $A$의 subring이 $\Frob_p^f(K[S])$와 같다는 것으로, 자명하다.
2. $K[S]$가 $a_i$들의 $K$-linear combination으로 생성되므로, $K[S]^{p^f}$는 각 $a_i^{p^f}$의 $K^{p^f}$-선형 결합으로 생성됨을 이항전개와 정리 10으로부터 알 수 있다.

완전환

이제 다음을 정의한다.

정의 13 Characteristic $p \neq 0$인 ring $A$와 Frobenius map $\Frob_p : A \to A$를 생각하자.

1. 만일 $\Frob_p$가 sujective이면 $A$를 semi-perfect ring이라고 한다.
2. 만일 $\Frob_p$가 bijective이면 $A$를 perfect ring이라고 한다.

만일 $A$가 perfect ring이라면 $\Frob_p^{-1}$ 또한 $A$에서 $A$로의 (auto)morphism이므로, 이를 $a\mapsto a^{p^{-f}}$ 혹은 $a^{1/p^f}$로 적으면 적절할 것이다. 앞에서와 마찬가지로 $A$의 부분집합 $S$에 대하여, $(\Frob_p^{-1})^f$에 의한 $S$의 image를 $S^{1/p^f}$로 적는다.

정의 14 Characteristic $p \ne 0$인 commutative ring $A$에 대하여, perfect closure란 다음 두 조건을 만족하는 쌍 $(A^{1/p^\infty}, \phi)$이다.

• $A^{1/p^\infty}$는 characteristic $p$인 perfect ring이다.
• $\phi : A \to A^{1/p^\infty}$는 ring homomorphism이며, 다음의 universal property를 만족한다.

  Characteristic $p$의 perfect ring $B$와 ring homomorphism $f:A \rightarrow B$가 주어질 때마다, 유일한 ring homomorphism $\hat{f}: A^{1/p^\infty} \rightarrow B$가 존재하여 $f=\hat{f}\circ\phi$이도록 할 수 있다.

만일 $A$의 perfect closure가 존재한다면 정의에 의해 유일하게 결정된다. 다음 정리는 characteristic $p\neq 0$의 ring은 항상 perfect closure를 갖는다는 것을 보여준다.

정리 15 Characteristic $p \ne 0$인 commutative ring $A$에 대하여, $A$의 perfect closure $(A^{1/p^\infty}, \phi)$가 존재한다. 더 나아가 다음이 성립한다.

1. $\phi$의 kernel은 $A$의 모든 nilpotent element들의 집합이다.
2. 임의의 $x \in A^{1/p^\infty}$에 대해, 어떤 $n > 0$가 존재하여 $x^{p^n} \in \phi(A)$이다.

증명 대신 간단히 흐름을 소개한다. 직관적으로 $\Frob_p$가 bijective라는 조건은 $A$의 임의의 원소가 (유일한) $p$-거듭제곱근을 갖는다는 것을 의미한다. 따라서 $A$의 perfect closure는 $A$의 임의의 원소의 $p$-거듭제곱근들을 추가하여 얻어진다.

이를 위해 우리는 다음의 directed system

\[A_0=A\overset{\Frob_p}{\longrightarrow} A_1=A\overset{\Frob_p}{\longrightarrow} A_2=A\rightarrow\cdots\]

을 생각한다. 이 directed system의 direct limit

\[\varinjlim A=\left(\coprod A\right)\bigg/{\sim},\qquad \text{$a_i\sim a_j\iff \Frob_p^{k-i}(a_i)=\Frob_p^{k-j}(a_j)$ for some $k\geq i,j$}\]

을 생각하면, $\varinjlim A$의 임의의 원소는 적당한 $i$와 $a_i\in A_i$를 통해 represent된다. 이를

\[[a_i\in A_i]\]

로 표기하고, canonical morphism들을

\[\phi_i: A_i \rightarrow \varinjlim A;\qquad a_i\mapsto [a_i\in A_i]\]

으로 정의하자. 우리의 주장은 $A^{1/p^\infty}=\varinjlim A$와 $\phi=\phi_0$이 원하는 조건을 만족한다는 것이다.

이는 $\varinjlim A$의 곱셈을 명시적으로 써 보면 우리의 직관에 부합한다. 정의에 의하여 $\varinjlim A$에서 두 원소 $[a_i\in A_i]$와 $[a_j\in A_j]$의 곱셈은, 일반성을 잃지 않고 $j\geq i$라 가정하면, 다음의 식

\[[\Frob_p^{j-i}(a_j)\in A_j]=[a_i^{p^{j-i}}a_j\in A_j]\]

로 주어진다. 우리의 직관은 $[a_j\in A_j]$는 $\varinjlim A$에서 $a_j^{1/p^j}$에 해당한다는 것이고, 이는 즉

\[[a_j\in A_0]=[a_j\in A_j]^{p^j}\]

라는 것이다. 그럼 우변은 $[a_j^{p^j}\in A_j]=[\Frob_p^j(a_j)]$이므로 위의 식이 성립한다.

주의할 것은 정리의 첫째 결과에서 알 수 있듯이, $\phi: a\mapsto [a\in A_0]$은 injective가 아니라는 것이며, 이는 약간의 계산을 통하여도 자명하다.

통일된 표기를 위해서는 $\ch A=0$인 경우를 $1$로 두는 것이 편할 때가 있다. 이를 위해 우리는 field $\mathbb{K}$의 characteristic exponent를 $\ch A=0$일 경우 $1$, $\ch A=p>0$일 경우 $p$로 둔다.

명제 16 Characteristic exponent $q$의 field $\mathbb{K}$를 생각하자. 그럼 각각의 $f\geq 0$에 대하여, $x\mapsto x^{q^f}$는 $\mathbb{K}$에서 $\mathbb{K}$의 어떠한 subfield $\mathbb{K}^{q^f}$로의 isomorphism을 유도한다.

증명

$p=0$이면 $q=1$이고 따라서 주어진 함수는 항등함수이므로 증명할 것이 없다. 만일 $q \ne 1$이라면 $q$는 양의 소수이므로 $K$의 characteristic은 양의 소수 $p$이고, $q = p$이다. 그럼 주어진 함수는 Frobenius endomorphism의 $f$-fold composition이며 $\mathbb{K}$에서 $\mathbb{K}^{q^f}$로의 surjective ring homomorphism이다. 이것이 injective인 것은 $\mathbb{K}$가 field이고, 따라서 nilpotent element가 없기 때문에 자명하다.

정의 17 Characteristic exponent가 $q$인 field $\mathbb{K}$에 대하여, 명제 16의 함수가 $\mathbb{K}$에서 $\mathbb{K}$로의 isomorphism이라면 $\mathbb{K}$를 perfect field_완전체라 부른다. 그렇지 않다면 이를 imperfect field_불완전체라 부른다.

즉, field $\mathbb{K}$가 perfect이기 위해서는 (1) characteristic exponent가 $1$이거나, (2) characteristic exponent가 $q$이고 정의 14의 센스에서 perfect ring이어야 한다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 18 Field $\mathbb{K}$에 대하여, 다음이 성립한다.

1. 만일 $\ch(\mathbb{K})=0$이라면 $\mathbb{K}$는 perfect이다.
2. 만일 $\mathbb{K}$가 유한집합이라면 $\mathbb{K}$는 perfect이다.

증명

둘째 주장만 보이면 충분하며, 명제 16의 함수 $\mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}^{q^f}\subset \mathbb{K}$는 $\mathbb{K}$에 대한 조건 없이 항상 injective라는 것을 이미 해당 명제의 증명에서 살펴보았다. 이제 만일 $\mathbb{K}$가 유한집합이라면, 그 크기 때문에 $\mathbb{K}^{q^f}=\mathbb{K}$여야 한다.

한편 우리는 임의의 commutative ring $A$와 그 polynomial algebra $E=A[\x_i]_{i\in I}$에 대하여, Kähler differential들의 module $\Omega_{E/A}$를 살펴본 적이 있다. ([다중선형대수학] §미분가군, ⁋예시 10) 이 구조에 따르면, 임의의 다항식 $f\in E$에 대하여 $df\in\Omega_{E/A}$는 다음의 식

\[df=\sum_{i\in I} \frac{\partial f}{\partial\x_i}\mathop{d\x_i}\]

으로 주어진다. 따라서, 만일 $A$가 characteristic $p$라면 다항식 $\x_i^p$의 $\Omega_{E/A}$에서의 image는 $0$이 될 것이다. 다음 명제는 이 관찰을 더 완전하게 다듬은 것이다.

명제 19 Commutative ring $A$, polynomial algebra $E=A[\x_i]_{i\in I}$에 대하여, $E$의 부분집합 $S$를 $df=0$을 만족하는 다항식들 $f$의 집합이라 하자. 그럼 다음이 성립한다.

1. 만일 $\ch(A)=0$이라면 $S=A$이다.
2. 만일 $\ch(A)=p$라면 $S=A[\x_i^p]_{i\in I}$이고, 더 나아가 만일 $A$가 perfect라면 $A=E^p$가 성립한다.