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Grad. student in mathematics

이번 글에서 우리는 abelian category의 개념과 chain complex, exact sequence의 개념을 정의한다.

Additive category

Abelian category를 정의하기 위해서는 우선 additive category를 정의해야 한다.

정의 1 Category $\mathcal{A}$가 $\Ab$-category라는 것은 $\Hom_\mathcal{C}(A,B)$가 모두 abelian group의 구조를 갖고 있으며, 이 때 $(\Hom_\mathcal{C}(A,B),+)$가 합성에 대한 분배법칙을 만족하는 것이다. 즉, 임의의 $g_1,g_2\in\Hom_\mathcal{C}(B,C)$와, 임의의 $f:A\rightarrow B$ 혹은 $h:C\rightarrow D$에 대하여

\[(g_1+g_2)\circ f=g_1\circ f+g_2\circ f,\qquad h\circ(g_1+g_2)=h\circ g_1+h\circ g_2\]

이 모두 성립하는 것이다. Zero object $0$을 가지고, 임의의 두 object에 대해 이들의 곱이 존재하는 $\Ab$-category를 additive category덧셈 카테고리라 부른다.

두 additive category $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 사이의 functor $F:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}$가 additive functor덧셈함자라는 것은 $F$가 abelian group $\Hom_\mathcal{A}(A,B)$에서 $\Hom_\mathcal{B}(F(A),F(B))$ 사이의 group homomorphism을 유도하는 것이다.

Additive category에서는 임의의 $A,B\in\obj(\mathcal{A})$에 대하여, zero map영사상 $0_{AB}:A\rightarrow B$가 $A\rightarrow 0\rightarrow B$로 정의된다. 이렇게 정의한 zero map은 물론 abelian group $\Hom_\mathcal{A}(A,B)$의 덧셈에 대한 항등원이 된다.

명제 2 임의의 additive category $\mathcal{A}$와 두 대상 $A,B\in\obj(\mathcal{A})$에 대하여, 위에서 정의한 zero map $0_{AB}$는 $\Hom_\mathcal{A}(A,B)$의 덧셈에 대한 항등원이다.

증명

Zero object $0$에서 $B$로의 morphism $0_{0B}$가 유일하게 존재한다. 따라서 $0_{0B}+0_{0B}=0_{0B}$가 성립한다. 이제 주어진 명제는 다음의 식

\[0_{AB}+0_{AB}=0_{0B}\circ0_{A0}+0_{0B}\circ0_{A0}=(0_{0B}+0_{0B})\circ 0_{A0}=0_{0B}\circ 0_{A0}=0_{AB}\]

으로부터 자명하다.

Abelian category

이제 abelian category를 정의할 수 있다.

정의 3 Additive category $\mathcal{A}$가 abelian category아벨 카테고리라는 것은 다음 조건들이 추가로 성립하는 것이다.

  1. 임의의 homomorphism이 kernel과 cokernel을 갖는다.
  2. 임의의 monomorphism $f$는 $\coker f$의 kernel과 같다.
  3. 임의의 epimorphism $f$는 $\ker f$의 cokernel과 같다.

Additive category $\mathcal{A}$의 임의의 morphism $f:A \rightarrow B$의 kernel은 $0:A \rightarrow B$와의 equalizer $\Eq(f,0)$으로 정의되며, 비슷하게 $f$의 cokernel은 $0$과의 coequalizer $\CoEq(f,0)$으로 정의된다.

특히, 이러한 상황에서는 다음의 exact sequence

\[0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C\]

가 주어졌을 때 $A$를 $B \rightarrow C$의 kernel과 동일시할 수 있고, 또 다음의 exact sequence

\[A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0\]

이 주어졌을 때 $C$를 $A \rightarrow B$의 cokernel과 동일시할 수 있다. Abelian category에서는 임의의 homomorphism $f:A\rightarrow B$에 대해 $f$의 kernel $i:\ker f\rightarrow A$와 cokernel $p:B\rightarrow \coker f$가 존재한다.

임의의 abelian category $\mathcal{A}$에서, $f$의 image는 다음의 morphism

\[\ker(\coker f)\rightarrow\coker f\]

으로 정의된다. 비슷하게, $f$의 coimage는 다음의 morphism

\[\coim(f)=\coker(\ker(f))\]

으로 정의한다.

일반적인 abelian category에서, monomorphism $f:A\rightarrow B$가 주어진다면 $\coker f$를 quotient object라 부르고 $B\rightarrow B/A$, 혹은 더 간단히 $B/A$라 표기한다.

사슬 복합체

정의 4 Additive category $\mathcal{A}$에서 정의된 다음의 데이터를 생각하자.

  • 대상들의 모임 $(A_n)_{n\in \mathbb{Z}}$,
  • morphism들의 모임 $(d_n:A_n \rightarrow A_{n-1})_{n\in \mathbb{Z}}$

만일 이들 데이터가 조건 $d_n\circ d_{n-1}=0$을 만족한다면, 이를 chain complex사슬복합체라 부르고 $A_\bullet$으로 적는다.

한편, chain complex $A_\bullet$, $B_\bullet$ 사이의 morphism을 chain map이라 부르며, 이는 조건 $d_n^B\circ f_n=f_{n-1}\circ d_n^A$를 만족하는 morphism들의 모임 $(f_n: A_n \rightarrow B_n)_{n\in \mathbb{Z}}$으로 주어진다. 이를 통해 chain complex들의 category $\Ch(\mathcal{A})$를 정의할 수 있다.

$\mathcal{A}$가 abelian category였다면 이를 조금 더 자세히 살펴볼 수 있다. 이러한 상황에서 chain complex를 다룰 때 흔히 사용하는 이름과 표기를 고정하자. 우선, 각각의 $d_n$들은 문맥에 따라 differential 혹은 boundary map이라 부른다.

이들의 kernel과 image를 각각

\[Z_n=\ker(d_{n-1}),\qquad B_n=\im(d_n)\]

으로 표기하며, 이들의 원소들은 각각 $n$-cycle과 $n$-boundary라 부른다. $C_n$의 원소는 $n$-chain이라 부른다. 어렵지 않게 다음의 monomorphism들

\[Z_n \hookrightarrow B_n \hookrightarrow C_n\]

이 존재함을 확인할 수 있으며, 이 때 cokernel $Z_n/B_n$을 $A_\bullet$의 $n$-th homology라 부르고 $H_n(A_\bullet)$ 혹은 간단히 $H_n(A)$로 적는다.

$\mathcal{A}^\op$에서의 chain complex는 cochain complex공사슬복합체라 부른다.

정의 5 임의의 chain complex $A_\bullet$이 주어졌다 하자. 그럼

\[\cdots \rightarrow A_{n+1}\overset{d_{n+1}}{\longrightarrow}A_n\overset{d_n}{\longrightarrow}A_{n-1}\rightarrow\cdots\]

이 $A_n$에서 exact라는 것은 위의 monomorphism $Z_n \rightarrow B_n$이 isomorphism인 것이다. 모든 곳에서 exact인 chain complex를 exact sequence라 부른다.

예시 6 다음의 chain complex

\[\cdots 0 \rightarrow 0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0 \rightarrow 0 \rightarrow \cdots\]

을 short exact sequence짧은 완전열이라 부르고, 이를 간단하게

\[0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0\]

으로 적는다.

Additive functor $F:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B}$가 주어졌다 하자. 그럼 $\mathcal{A}$에서 정의된 임의의 chain complex $A_\bullet$에 대하여, 다음의 데이터

\[\cdots \rightarrow F(A_{n+1}) \overset{F(d_{n+1})}{\longrightarrow} F(A_n) \overset{F(d_n)}{\longrightarrow} F(A_{n-1})\rightarrow\cdots\]

가 chain complex가 된다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 즉 additive functor $F$는 functor $\Ch(\mathcal{A})\rightarrow \Ch(\mathcal{B})$를 유도한다. 그러나 일반적인 functor에 대하여, 원래의 chain complex $A_\bullet$이 exact라는 것이 위와 같이 얻어진 새로운 complex $F(A_\bullet)$가 exact라는 것을 보장해주지는 않는다.

정의 7 Additive functor $F: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$가 left exact인 것은 임의의 short exact sequence

\[0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0\]

에 대하여 다음의 sequence

\[0 \rightarrow F(A) \rightarrow F(B) \rightarrow F(C)\]

가 exact인 것이다. 비슷하게 $F$가 right exact인 것은 위와 같이 임의의 short exact sequence가 주어졌을 때, 다음의 sequence

\[A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0\]

이 exact인 것이다. Left exact인 동시에 right exact인 functor를 exact functor라 부른다.

즉, kernel을 보존하는 additive functor를 left exact functor라 부르고, cokernel을 보존하는 functor를 right exact functor라 부른다. 그럼 특히 left adjoint functor는 right exact이고, right adjoint functor는 left exact임을 확인할 수 있다.

$F$가 contravariant였더라도 위의 정의와 마찬가지로 left exactness와 right exactness를 정의할 수 있다.

Freyd-Mitchell embedding theorem

한편, 앞서 살펴본 것처럼 abelian category에서는 kernel, cokernel, image와 quotient 등이 모두 정의된다. 이로부터 $\lMod{A}$에서의 정리들을 임의의 abelian category로 옮겨올 수 있다. 가령 first isomorphism theorem을 임의의 abelian category의 언어로 바꾸어 쓰자면,

임의의 abelian category $\mathcal{A}$의 morphism $f:A\rightarrow B$가 주어졌다 하자. 그럼 $A/\ker f\cong \im f$가 성립한다.

와 같이 적을 수 있으며, 좌변은 $i:\ker f\rightarrow A$로부터 얻어지는 quotient object가 된다. 이러한 종류의 정리들은 모두 abelian category로 올릴 수 있고, 증명 또한 kernel과 cokernel의 universal property 등만 이용하여 진행할 수 있으나 그 증명은 다소 복잡하다.

따라서, 일반적으로는 이러한 정리들을 일일히 보이는 대신 다음 정리를 사용한다.

정리 8 (Freyd-Mitchell embedding theorem) 임의의 small abelian category $\mathcal{A}$에 대하여, 적당한 ring $A$와 fully faithful, exact functor $F:\mathcal{A}\rightarrow\lMod{A}$이 존재한다.

따라서, 임의의 abelian category의 대상들을 $A$-module로 생각하고, 이들의 morphism을 $A$-linear map으로 생각한 후 계산을 해도 무관하다.

참고문헌

[Wei] C.A. Weibel. An Introduction to Homological Algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, 1995.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: foundations of algebraic geometry. 2015. Preprint. 링크

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