벡터다발
이제 우리는 벡터장을 정의해야 하는데, $C^\infty$ 벡터장과 같은 개념을 정의하기 위해서는 벡터다발의 개념을 먼저 정의하는 것이 좋다. 우선 위상공간 위에 정의된 벡터다발을 먼저 정의하자.
정의 1 위상공간 $B$ 위에 정의된 vector bundle벡터다발은 $\pi:E \rightarrow B$는 다음과 같이 정의된 대상이다.
- Total space $E$와 base space $B$는 모두 위상공간이며, $\pi:E \rightarrow B$는 연속인 전사함수다.
- 각각의 $b\in B$에 대하여, $E_b=\pi^{-1}(b)$는 $k$차원 벡터공간의 구조를 갖는다.
- 각각의 $b_0\in B$마다 적당한 열린근방 $U\subseteq B$, 그리고 homeomorphism $h:U\times\mathbb{R}^k \rightarrow\pi^{-1}(U)$가 존재하여, 모든 $b\in U$마다 $x\mapsto h(b,x)$가 isomorphism이도록 할 수 있다.
이 때 $k$를 vector bundle $E\rightarrow B$의 rank라 부른다. 셋째 조건의 homomorphism $h$를 local trivialization이라 부르며, 만일 $U=B$로 둘 수 있다면 $E$를 trivial vector bundle이라 부른다.
이와 유사하게 manifold 위에도 vector bundle을 정의할 수 있다. 이를 위해서는 $E$와 $B$를 모두 manifold로, $\pi$를 $C^\infty$인 전사함수로 바꾸고, 셋째 조건을
각각의 $b_0\in B$마다 적당한 coordinate system $U\subseteq B$, 그리고 diffeomorphism $h:U\times\mathbb{R}^k\rightarrow\pi^{-1}(U)$가 존재하여, 모든 $b\in U$마다 $x\mapsto h(b,x)$가 isomorphism이도록 할 수 있다.
으로 바꾸면 된다.
접다발
Vector bundle의 대표적인 예시는 tangent bundle이다.
예시 2 (Tangent bundle) 집합 $TM$을
\[TM=\bigsqcup_{p\in M} T_pM\]으로 정의하자. 그럼 자연스러운 projection map $\pi:TM\rightarrow M$이 존재한다. $TM$을 vector bundle로 보기 위해서는 여기에 manifold 구조를 주어야 한다.
우선 $TM$ 위에 coorindate system을 정의하자. 임의의 coordinate system $(U,\varphi)$에 대하여, 함수 $\tilde{\varphi}:\pi^{-1}(U)\rightarrow\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^m$을 다음의 식
\[\tilde{\varphi}(v)=\bigl(x^1(\pi(v)), \ldots, x^m(\pi(v)), dx^1(v),\ldots, dx^m(v)\bigr)\]으로 정의하자. 그럼 $\tilde{\varphi}$는 $\pi^{-1}(U)$에서 $\mathbb{R}^{2m}$의 열린집합 $\varphi(U)\times\mathbb{R}^m$으로의 bijection이다.
이들은 $C^\infty$-compatible이다. 또 다른 coordinate system $(V,\psi)$, $\psi=(y^j)_{j=1}^m$가 주어졌다 하고, $\tilde{\psi}$를 위와 같이 정의하자. 그럼 $\pi^{-1}(U)\cap\pi^{-1}(V)=\pi^{-1}(U\cap V)$ 위에서
\[\begin{aligned}(\tilde{\psi}\circ\tilde{\varphi}^{-1})(p^1, \ldots, p^m, v^1, \ldots, v^m)&=\tilde{\psi}\left(\varphi^{-1}(p), \sum v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_{\varphi^{-1}(p)}\right)\end{aligned}\]이다. 여기에서 $v=\sum v^i\frac{\partial}{\partial x^i}$라 하면 우변은 간단히
\[\left((\psi\circ\varphi^{-1})(p), dy^1(v), \ldots, dy^m(v)\right)\]로 쓸 수 있다. 이제 임의의 $j$에 대하여
\[dy^j\left(\sum v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_{\varphi^{-1}(p)}\right)=\sum_{i=1}^m v^i\frac{\partial y^j}{\partial x^i}\bigg|_{\varphi^{-1}(p)}\]가 된다. 따라서, 위의 transition map $\tilde{\psi}\circ\tilde{\varphi}^{-1}$의 각 성분들이 $C^\infty$이므로 $\tilde{\psi}\circ\tilde{\varphi}^{-1}$도 $C^\infty$이다.
한편 $TM$의 위상은 다음의 집합들
\[\{\tilde{\varphi}^{-1}(W)\mid \text{$W$ open in $\mathbb{R}^{2m}$, $(U,\varphi)\in\mathcal{A}$}\}\]을 basis로 하여 얻어진다. $W=\mathbb{R}^{m}$으로 두면 위의 집합에 의해 만들어지는 위상에서 $\pi^{-1}(U)$들이 모두 열린집합임을 확인할 수 있고, 이 위상이 $2m$차원의 topological manifold를 만든다는 것도 확인할 수 있다.
이제 남은 것은 $TM$에서의 local trivialization 뿐이다. 임의의 coordinate system $(U,\varphi)$에 대하여, $\phi:\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times\mathbb{R}^m$을 이번에는 다음의 식
\[v|_p\mapsto (p, dx^1(v),\ldots, dx^m(v))\]으로 정의하면 된다. 고정된 $\pi^{-1}(p)$ 위에서 $\phi$가 벡터공간 사이의 isomorphism이 되는 것은 자명하고, 또 임의의 $v_x$에 대하여 $(\pi\circ\phi)(x,v)=x$임도 자명하다. $\phi$가 diffeomorphism이 된다는 것은
\[\tilde{\varphi}=(\varphi\times\id_{\mathbb{R}^m})\circ\phi\]이고, 이 식에서 $\phi$를 제외한 두 함수가 모두 diffeomorphism이기 때문에 성립한다.
특별히 $TM$이 trivial bundle일 경우, $M$을 parallelizable manifold라 부른다.
Smooth functors
Tangent bundle $TM$이 중요한 것은 manifold 위에 정의된 대다수의 vector bundle이 $TM$으로부터 정의되기 때문이다. 가령 cotangent bundle $T^\ast M$은 각각의 $p\in M$마다 tangent space의 dual space인 cotangent space $T_p^\ast M$이 붙어있는 vector bundle이다. 이와 비슷하게, 각 점 $p$마다 선형대수에서의 연산들(예시 5)을 통해 다양한 vector bundle이 정의된다.
원래대로라면 이들을 정의할 때마다 이들이 vector bundle의 조건을 만족한다는 것을 보여야 하지만, [Mil]에 조금 더 근본적인 방식이 있다.
정의 3 두 vector bundle $E\rightarrow B$, $E’\rightarrow B’$가 주어졌다 하자. 그럼 $E \rightarrow B$에서 $E’ \rightarrow B’$의 bundle map벡터다발 준동형사상은 다음의 diagram
을 commute하도록 하는 쌍 $E\rightarrow E’, B \rightarrow B’$ 중, $E_b\rightarrow E’_{b’}$가 isomorphism인 것들을 의미한다.
이제 morphism들이 isomorphism으로 구성된 유한차원 $\mathbb{R}$-벡터공간들의 category $\mathbf{FVect}_\text{iso}$를 생각하자. 그럼 $\mathbf{FVect}_\text{iso}\times\mathbf{FVect}_\text{iso}$는
- 유한차원 벡터공간들의 pair $(V,W)$들이 object,
- 유한차원 벡터공간들 사이의 isomorphism들의 pair $(V,W)\overset{(f,g)}{\longrightarrow}(V’,W’)$가 morphism
인 category이다. 따라서 $\mathbf{FVect}_\text{iso}\times\mathbf{FVect}_\text{iso}$에서 $\mathbf{FVect}_\text{iso}$로의 functor $F$는 $(V,W)$를 받아 $\mathbb{R}$-벡터공간 $F(V,W)$를, $(f,g)$를 받아 isomorphism $F(f,g)$를 내놓아야 한다.
정의 4 Functor $F:\mathbf{FVect}_\text{iso}\times\mathbf{FVect}_\text{iso}\rightarrow \mathbf{FVect}_\text{iso}$이 smooth functor매끄러운 함자라는 것은 $F(f,g)$가 $f,g$에 대해 smooth하게 의존하는 것이다.
만일 $f\in\Hom(V,V’), g\in\Hom(W,W’)$라면 $F(f,g)\in\Hom(F(V,W),F(V’,W’))$이다. 이들은 모두 벡터공간이므로 §미분다양체의 예시들, ⁋예시 2와 같은 미분구조가 주어져 있고, 이를 통해 위의 정의를 적용할 수 있다. 또, 어렵지 않게 이 정의를 일반적인 $k$-fold product
\[\mathbf{FVect}_\text{iso}\times\cdots\times\mathbf{FVect}_\text{iso}\rightarrow \mathbf{FVect}_\text{iso}\]으로도 확장할 수 있다.
예시 5 $\Hom(-,-)$은 smooth functor이다. 임의의 두 isomorphism $f:V\rightarrow V’$, $g:W\rightarrow W’$이 주어져 있다 하자. 그럼 $\Hom(f,g)$는 $\Hom(V,W)$에서 $\Hom(V’,W’)$로의 functor이며 아래 diagram
을 commute하도록 한다. 이를 식으로 쓰면 $\Hom(f,g)(u)=g\circ u\circ f^{-1}$이라 할 수 있다. $\Hom(f,g)$가 $g$에 smooth하게 의존한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 대응 $g\mapsto \Hom(f,g)$를 생각하자. 그럼 $\Hom(W,W’)$의 basis $w_i^j$에 대하여,
\[(g+tw_i^j)\circ u\circ f^{-1}=g\circ u\circ f^{-1}+tw_i^j\circ u\circ f^{-1}\]가 모든 $u$에 대해 성립하므로 이 대응의 $w_i^j$-방향미분은 $u\mapsto w_i^j\circ u\circ f^{-1}$가 되어 연속이다. 뿐만 아니라 이 논증은 $g$ 자리에 어떠한 linear map를 집어넣어도 성립하므로, 이로부터 $g\mapsto\Hom(f,g)$의 임의의 고차 방향미분이 항상 연속이라는 것을 안다. 즉, $g\mapsto\Hom(f,g)$는 $C^\infty$이다. 이 대응이 $f$에도 smooth하게 의존한다는 것은 $g$보다는 번거롭지만, $f$가 isomorphism이라는 것으로부터 $t$를 충분히 작게 택하여 $f+tw_i^j$가 invertible하도록 할 수 있고, 이후 위의 논증을 반복하면 된다.
다음은 모두 smooth functor의 예시들이다.
- Dual functor $(-)^\ast$ ([선형대수학] §쌍대공간),
- $k$-th tensor functor $\mathcal{T}^k(-)$ ([다중선형대수] §다중선형대수),
- $k$-th symmetric functor $\mathcal{S}^k(-)$ ([다중선형대수] §대칭대수와 외대수),
- $k$-th exterior functor $\bigwedge\nolimits^k(-)$ ([다중선형대수] §대칭대수와 외대수),
- Tensor product $-\otimes -$,
- Direct sum $-\oplus-$.
다음 정리의 증명은 [MS]의 정리 3.6에서 찾을 수 있다.
정리 6 임의의 smooth functor $F:(\mathbf{FVect}_\text{iso})^n\rightarrow \mathbf{FVect}_\text{iso}$, 그리고 공통된 base space $B$를 갖는 $n$개의 vector bundle들 $E_i\rightarrow B$들이 주어졌다 하자. 그럼 각각의 $b\in B$에서의 fiber가
\[E_b=F((E_1)_b,\ldots,(E_n)_b)\]로 주어진 vector bundle $E\rightarrow B$가 존재한다.
위와 같은 과정으로 얻어지는 vector bundle $E$를 간단히 $F(E_1,\ldots, E_n)$과 같이 표기한다.
여접다발
임의의 manifold $M$과 tangent bundle $E=TM\rightarrow M$, 그리고 dual functor $(-)^\ast$에 위의 정리 6을 적용하면 다음을 얻는다.
정의 7 Manifold $M$ 위에 정의된 cotangent bundle여접다발은 정리 6에 의해 얻어진 vector bundle $(TM)^\ast$을 의미한다. Cotangent space $T_p^\ast M$의 표기에 맞추어 이를 $T^\ast M$으로 표기한다.
$T^\ast M$은 점 $p$마다 벡터공간 $T_p^\ast M$이 붙어있는 공간이다. 이 때 $T_p^\ast M$은 벡터공간 $T_pM$의 dual space, 곧 $T_pM$의 벡터를 하나 받아 실수를 내놓는 linear map들의 공간이다. 또 다른 smooth functor들을 적용하여 얻어지는 vector bundle들은 조만간 다시 살펴보게 된다.
참고문헌
[MS] J.W. Milnor and J.D. Stasheff, Characteristic classes, Princeton university press, 1974.
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