미분

미분의 정의

우리는 이제 미분의 개념을 도입한다. 더 정확히 말하자면 우리가 생각할 것은 미분형식의 개념으로, 이를 다루기 위해서는 graded algebra가 필요하다. 앞으로 graded algebra의 구조를 주는 abelian group을 \(\Delta\)로 표기하기로 한다.

정의 1 Abelian group \((\Delta, +, 0)\)에 대하여, 함수 \(\varepsilon : \Delta \times \Delta \to \{ \pm 1 \}\)가 다음의 세 조건을 만족한다 하자.

• \[\varepsilon(\alpha + \alpha', \beta) = \varepsilon(\alpha, \beta)\varepsilon(\alpha', \beta)\]
• \[\varepsilon(\alpha, \beta + \beta') = \varepsilon(\alpha, \beta)\varepsilon(\alpha, \beta')\]
• \[\varepsilon(\beta, \alpha) = \varepsilon(\alpha, \beta)\]

이 때, \(\varepsilon\)을 commutation factor라 부른다.

그럼 특히 \(\varepsilon(2.\alpha, \beta) = \varepsilon(\alpha, 2.\beta) = 1\)이다.

우리가 가장 관심있는 예시는 \(\Delta=\mathbb{Z}\)인 경우이다. 이 경우, 정의 1에 의하여 \(\varepsilon\)은 \(\varepsilon(1,1)\)에서의 값에 의해 완전하게 결정되며, 따라서 \(\Delta=\mathbb{Z}\)에 정의되는 commutation factor는 오직

\[\varepsilon(p,q)=1,\qquad \varepsilon(p,q)=(-1)^{pq}\]

뿐이다. Commutation factor는 degree \(p\)와 degree \(q\)의 원소의 곱을 생각할 때, 이들이 서로 순서를 바꿀 때 생겨나는 부호로써 등장할 것이다.

이제 commutative ring \(A\), \(\Delta\)-graded \(A\)-module \(E\), \(E'\), \(E''\), \(F\), \(F'\), $F’’$$A$-bilinear map들

\[\mu: E \times E' \to E'', \qquad \lambda_1: F \times E' \to F', \qquad \lambda_2: E \times F' \to F''\]

그리고 이들이 유도하는 \(A\)-linear map들

\[E \otimes_A E' \to E'', \qquad F \otimes_A E' \to F'', \qquad E \otimes_A F' \to F''\]

을 생각하고, 이 세 \(A\)-linear map들이 모두 degree \(0\) graded homomorphism이라 하자. 이들은 각각 곱셈에 해당하는 연산들로, 우리는 가령 \(x\otimes x'\)의 \(E''\)에서의 image를 간단히 \(xx'\)로 적을 것이다. \(E\otimes_A E'\)에서 원소 \(x\otimes x'\)는 degree \(\degree(x)+\degree(x')\)에 있으므로, 위와 같은 가정에서 \(xx'\)는 \(E''\)의 degree \(\degree(x)+\degree(x')\) 성분에 있게 된다.

이제 다음을 정의한다.

정의 2 위의 상황에 더해 commutation factor \(\varepsilon: \Delta \times \Delta \to \{ \pm 1 \}\)이 주어졌다 하자. 그럼 \((E, E', E'')\)에서 \((F, F', F'')\)로 가는 degree \(\delta\)의 \((A, \varepsilon)\)-derivation_{\((A,\varepsilon)\)-미분} 혹은 간단히 \(\varepsilon\)-derivation은 다음의 조건

\[d''(xx') = (dx)x' + \varepsilon(\delta, \deg(x))x(d'x')\]

을 만족하는 degree \(\delta\) graded \(A\)-module homomorphism들의 triple \(d: E \rightarrow F\), \(d': E' \rightarrow F'\), \(d'': E'' \rightarrow F''\)이다. 만일 \(\varepsilon\)이 항상 \(1\)이 되어, 위의 식에서 \(\varepsilon\)을 없앨 수 있다면 \((d,d',d'')\)를 간단히 derivation이라 부른다.

위의 정의에서 혼동을 피하기 위해서는 각 항들이 어디에 속하는지, 가령 우변의 \((dx)x'\)는 \(dx\in F\)와 \(x'\in E'\)를 \(\lambda_1\)에 의해 곱하여 얻은 \(F''\)의 원소라는 것 등을 살펴보는 것도 좋다. 그러나 실제로는 우리는 다음과 같은 특별한 두 경우에 관심이 있다.

1. \(E=F\), \(E'=F'\), \(E''=F''\), 그리고 세 개의 bilinear map \(\mu, \lambda_1, \lambda_2\)가 모두 동일한 경우

2. \(E=E'=E''\), \(F=F'=F''\)이고, 따라서 \(\mu:E\otimes_A E \rightarrow E\)에 의해 \(E\)가 graded algebra가 되며,

   \[\lambda_1: F \otimes_A E \to F, \qquad \lambda_2: E \otimes_A F \to F\]

   인 경우. 이 경우, 임의의 \(x,y\in E\)에 대하여 다음의 식

   \[d(xy)=(dx)y+\varepsilon(\delta, \deg(x))x(dy)\]

   을 만족하는 단일한 \(d:E \rightarrow F\)를 \(E\)에서 \(F\)로의 \(\varepsilon\)-derivation이라 부른다.

두 번째 경우를 motivation 삼아 우리는 표기의 편의상 \(d, d', d''\)를 모두 같은 문자 \(d\)로 통일하여 쓰기도 하며, 그럼 정의 2의 식은

\[d(xx')=(dx)x'+\varepsilon(\delta,\deg(x))x (dx)\]

로 쓸 수 있으며, 우리가 다루는 대부분의 경우에서는 이 정도 표기법의 남용은 혼동을 주지 않을 것이다.

만일 위의 두 경우가 모두 성립하여 \(E=E'=E''=F=F'=F''\)이고 \(\lambda_1, \lambda_2\)가 \(E\)에서의 곱셈이며, derivation이 단일한 graded endomorphism \(d: E \rightarrow E\)인 경우가 가장 많이 등장한다. 그럼 \(\varepsilon\)-derivation은 \(A\)에서 \(A\)로 가는 함수로 생각할 수 있으므로 이 경우 우리는 \(\varepsilon\)-derivation을 간단히 \(A\)의 \(\varepsilon\)-derivation이라 부른다.

한편 우리는 앞에서 \(\Delta=\mathbb{Z}\)인 경우가 우리의 주된 관심사라 하였는데, 이 경우 non-trivial한 commutation factor \(\varepsilon(p,q)=(-1)^{pq}\)를 생각하면, 이 \(\varepsilon\)에 대하여 임의의 짝수 차수 \(\varepsilon\)-derivation은 항상 \(\varepsilon\)의 영향을 무시할 수 있다는 것을 안다. 홀수 차수의 경우, 임의의 homogeneous element \(x\in E\)에 대하여 다음의 식

\[d(xx')=(dx)x'+(-1)^{\deg x}x(dx')\]

이 성립한다. 이 경우 \(d\)를 anti-derivation이라 부른다.

미분형식

지금까지의 논의가 어떻게 적용될 수 있는지를 알기 위해, 잠시 간단한 예시를 살펴보자. 여기에서 \(\mathbb{K}\)는 field이고 polynomial algebra \(E=\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)이다.

우선 degree \(0\) derivation은 항상 commutation factor를 무시할 수 있으므로, \(E\)를 non-graded \(\mathbb{K}\)-algebra로 본 후 \(E\)에서 \(E\)로의 derivation을 생각하면 \(\varepsilon\)은 등장하지 않는다. 이제 각각의 \(i\)에 대하여, \(\partial_i:E \rightarrow E\)를 편미분 \(\partial/\partial \x_i\)로 정의하면 Leibniz rule에 의해 정의 2의 등식이 만족된다.

이번에는 graded algebra의 예시를 보자. 위와 같이 정의된 polynomial algebra \(E\)에 대하여, free \(A\)-module \(M\)을 다음의 원소들

\[d\x_1,d\x_2,\ldots, d\x_n\]

로 생성되도록 잡고 exterior algebra \(\bigwedge(M)\)을 생각하면 이 exterior algebra는 \(\mathbb{Z}\)-graded \(E\)-algebra

\[\bigwedge(M)=\bigoplus_{d=0}^n{\bigwedge}^d(M)\]

으로 주어지며, 이 때 \(\bigwedge^0(M)=A\)이고 각각의 \(k\)에 대하여 \(\bigwedge^k(M)\)은

\[d\x_J=d\x_{j_1}\wedge d\x_{j_2}\wedge\cdots\wedge d\x_{j_k},\qquad j_1<\cdots< j_k\]

의 꼴로 생성되는 free \(E\)-module이다. ([다중선형대수학] §텐서대수, ⁋명제 13) 이제 각각의 basis

\[f\; d\x_{j_1}\wedge d\x_{j_2}\wedge\cdots\wedge d\x_{j_d}\in {\bigwedge}^k(M)\]

에 대하여 다음의 식

\[d(f\; d\x_{j_1}\wedge d\x_{j_2}\wedge\cdots\wedge d\x_{j_k})=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial \x_i}d\x_i\wedge d\x_{j_1}\wedge d\x_{j_2}\wedge\cdots\wedge d\x_{j_k}\in{\bigwedge}^{k+1}(M)\]

으로 정의하면 이를 확장하여 \(d: \bigwedge M \rightarrow \bigwedge M\)을 정의할 수 있다. 그럼 \(d\)는 degree \(1\)을 갖는 \(\bigwedge(M)\)의 antiderivation이 된다.

Bracket

한편, 위의 두 경우 중 첫째 조건이 성립한다 가정하자. 그럼 \(d=(d,d',d'')\)은 \((E,E',E'')\)에서 자기자신으로의 함수로 생각할 수 있으므로, \(\varepsilon\)-derivation들의 합성 또한 생각할 수 있다. 그러나 일반적으로 정의 2의 식을 보면, 임의로 주어진 두 degree \(\delta_1\), \(\delta_2\)의 \(\varepsilon\)-derivation \(d_1,d_2\)와 임의의 \(x\in E\), \(x'\in E'\)에 대하여

\[\begin{aligned}(d_2\circ d_1)(xx')&=d_2((d_1x)x'+\varepsilon(\delta_1, \deg(x))x(d_1'x'))\\&=(d_2d_1x)x'+\varepsilon(\delta_2,\deg(d_1x))(d_1x)(d_2'x')+\varepsilon(\delta_1, \deg(x))(d_2x)(d_1'x')+\varepsilon(\delta_1, \deg(x))\varepsilon(\delta_2, \deg(x))x(d_2' d_1'x')\end{aligned}\]

이므로 일반적인 상황에서 \(\varepsilon\)-derivation들의 합성은 \(\varepsilon\)-derivation이 아니다. 즉, 일반적으로 \(\Delta\)-graded \(A\)-module들의 triple들로 이루어진 category를 생각하고, 고정된 triple \((E,E',E'')\)의 endomorphism algebra

\[\End_{\bgr_\Delta \Alg{A}^3}(E, E', E'')\]

를 생각하면, \(\varepsilon\)-derivation들의 모임은 이 endomorphism algebra의 subalgebra를 정의하지 않는다. 그러나 위의 계산을 살펴본다면, 이 위에 어떠한 종류의 곱셈을 정의해야 \(\varepsilon\)-derivation들의 모임을 정의할 수 있는지도 명확하다. 즉 우변의 네 항 중, 가운데의 두 항을 없애주면 \(d_2d_1\)이 degree \(\delta_1+\delta_2\)의 \(\varepsilon\)-derivation이 될 것이다.

이를 위해 우선 가장 일반적으로 임의의 \(\Delta\)-graded algebra \(G\)와 고정된 commutation factor \(\varepsilon\)에 대하여, \(G\)의 두 homogeneous element \(x,y\)에 대하여 이들의 \(\varepsilon\)-bracket을 다음의 식

\[[x,y]_\varepsilon=xy-\varepsilon(\deg(x),\deg(y))yx\]

으로 정의하자. 그럼 이를 통해 \(G=\End_{\bgr_\Delta \Alg{A}^3}(E, E', E'')\)에서의 \(\varepsilon\)-bracket을 정의할 수 있다.

명제 3 \(d_1, d_2\)를 \((E, E', E'')\) 위의 \(\varepsilon\)-derivation들이라 하자. 각각의 degree를 \(\delta_1\), \(\delta_2\)라 하면, 이들의 \(\varepsilon\)-bracket

\[[d_1, d_2]_\varepsilon = d_1 \circ d_2 - \varepsilon_{\delta_1, \delta_2} \, d_2 \circ d_1\]

은 degree \(\delta_1 + \delta_2\)를 갖는 또 다른 \(\varepsilon\)-derivation이 된다. 특히, 만일 \(d\)가 degree \(\delta\)를 갖는 \(\varepsilon\)-derivation이고, \(\varepsilon_{\delta, \delta} = -1\)이라면, \(d^2 = d \circ d\)는 derivation이다.

이에 대한 증명은 앞에서 계산한 \((d_2\circ d_1)(xx')\)의 전개식을 사용하면 자명하다.

그럼 특히 \(\Delta=\mathbb{Z}\)인 경우로 한정지으면, 위의 명제는 다음의 따름정리를 갖는다.

따름정리 4 \(\Delta = \mathbb{Z}\)라 하자. 이때 다음이 성립한다.

1. Antiderivation의 제곱은 derivation이다.
2. 두 derivation의 bracket은 derivation이다.
3. antiderivation과 짝수 차수 derivation의 bracket은 antiderivation이다.
4. \(d_1\), \(d_2\)가 antiderivation이면, \(d_1 d_2 + d_2 d_1\)은 derivation이다.

한편, polynomial algebra 위에 정의된 편미분을 보면 이들은 임의의 \(i,j\)에 대하여 \(\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i\)를 만족한다. 이제 일반적인 미분연산자처럼 \(D=\partial_i+\partial_j\)를 적고, \(D^2\)를 생각하면 이는

\[D^2=(\partial_i+\partial_j)^2=\partial_i^2+\partial_i\partial_j+\partial_j\partial_i+\partial_j^2\]

와 같이 전개할 수 있으며, \(\partial_i\)와 \(\partial_j\)가 commute하므로 이를 더 간단히

\[D^2=\partial_i^2+2\partial_i\partial_j+\partial_j^2\]

와 같이 적을 수도 있다. 다음 명제는 이를 더욱 일반화한 것이다.

명제 5 위 가정과 표기 아래에서, 미지수 \(T_1, \dots, T_n, T_1', \dots, T_n'\)에 대한 다항식 \(F \in A[\x_1, \dots, \x_k]\)가 주어졌다고 하자. 즉 \(F(T)\), \(F(T')\)는 각각

\[F(T) = F(T_1, \dots, T_n), \qquad F(T') = F(T_1', \dots, T_n')\]

를 뜻한다. 비슷하게

\[F(T + T') = F(T_1 + T_1', \dots, T_n + T_n')\]

라고 정의하자.

이제 만일 다항식 \(P\)가 다음의 식

\[P(T + T') = \sum_i Q_i(T) R_i(T')\]

을 만족한다면, 임의의 \(x\in E\), \(x\'\in E'\)에 대하여 다음의 식

\[P(D)(x x') = \sum_i (Q_i(D) x)(R_i(D) x')\]

이 성립한다.

\(A\)-대수의 미분

이제 우리는 정의 2 이후 다뤘던 두 가지 특별한 경우 중 두 번째 경우를 살펴본다. 즉 \(\Delta\)-graded \(A\)-algebra \(E\)와 graded \(A\)-module \(F\), 그리고 두 개의 곱셈 \(E\otimes_AF \rightarrow F\)와 \(F\otimes_AE \rightarrow F\)가 주어졌다 하자.

명제 6 Degree \(\delta\)의 \(\varepsilon\)-derivation \(d:E \to F\)에 대하여, \(\ker(d)\)는 \(E\)의 graded subalgebra이며, 만약 \(E\)가 \(1\)을 갖는다면 \(1 \in \ker(d)\)이다.

증명

우선 \(\ker(d)\)가 \(E\)의 \(A\)-submodule인 것은 자명하므로, \(\ker(d)\)가 곱셈에 대해 닫혀있다는 것만 보이면 된다. 임의의 homogeneous \(x, y \in \ker(d)\)에 대하여,

\[d(xy) = (dx)y + \varepsilon(\delta, \deg(x))x(dy) = 0\]

이므로 \(xy \in \ker(d)\)이다. 따라서 \(\ker(d)\)는 graded subalgebra이다.

이제 만일 \(E\)가 \(1\)을 갖는다면 \(1\)은 degree \(0\)이므로,

\[d(1) = d(1 \cdot 1) = (d1) \cdot 1 + \varepsilon_{\delta, 0} \cdot 1 \cdot (d1) = d1 + d1 = 2d1\]

이 되어, \(d(1) = 0\)임을 알 수 있다.

따라서 만일 \(d_1,d_2\)가 \(E\)에서 \(F\)로의 degree \(\delta\) \(\varepsilon\)-derivation이고 이들이 \(A\)의 algebra로서의 generator에서 그 값이 모두 같다면 \(d_1=d_2\)여야 한다. 한편 역원에 대해서는 다음이 성립한다.

명제 7 \(E\)가 \(1\)을 갖는 \(\Delta\)-graded \(A\)-algebra라 하고, degree \(\delta\)의 \(\varepsilon\)-derivation \(d:E \to F\)를 생각하자. 만일 \(x\)가 \(E\)의 invertible homogeneous element라면, 그 역원 \(x^{-1}\)에 대하여 다음의 식

\[d(x^{-1}) = -\varepsilon_{\delta, \deg(x)} x^{-1}(d(x))x^{-1} = -\varepsilon_{\delta, \deg(x)} (d(x)) x^{-2}\]

이 성립한다.

증명

명제 5에 의해 \(d(1) = 0\)이므로,

\[0 = d(xx^{-1}) = d(x))x^{-1} + \varepsilon_{\delta, \deg(x)}x(d(x^{-1})\]

이다. 양변의 왼쪽에 \(x^{-1}\)를 곱하면

\[0 = x^{-1}(d(x))x^{-1} + \varepsilon_{\delta, \deg(x)} d(x^{-1})\]

이고, 정리하면

\[d(x^{-1}) = -\varepsilon_{\delta, \deg(x)} x^{-1}(d(x))x^{-1}.\]

을 얻는다. 또한 \(x^{-1}\)의 차수는 \(-\deg(x)\)인 것을 이용하여 \(d(x^{-1}x)\)를 계산하면 둘째 등식을 얻는다.

명제 8 어떤 \(A\)-algebra \(E\)가 integral domain이라 하고, 그 field of fraction \(K=\Frac E\)를 생각하자. 임의의 \(K\)-vector space \(F\)를 \(E\)-module로 보아 \(A\)-derivation \(d:E \rightarrow F\)를 생각하면, \(d\)는 유일한 방식으로 \(K\)에서 \(F\)로의 \(A\)-derivation으로 확장된다.

증명

임의의 derivation \(d:E \rightarrow f\)가 주어졌다 하고, \(d\)를 \(K\) 위로 확장한 \(\bar{d}\)가 존재한다면, 명제 7을 적용하여 다음의 식

\[\bar{d}(u/v) = v^{-1} d(u) - v^{-2} u\, d(v)\]

이 성립해야 한다는 것을 알고, 따라서 \(\bar{d}\)가 만일 존재한다면 그 표현은 유일하다.

이 정의가 \(B\)의 원소 표기 \(u/v\)의 선택에 의존하지 않음을 보이자. 즉, \(u/v = u'/v'\)일 때도

\[v^{-1} d(u) - v^{-2} u\, d(v) = v'^{-1} d(u') - v'^{-2} u'\, d(v')\]

이어야 한다.

\(uv' = u'v\)라고 두자. 양변에 \(d\)를 취하면

\[v' d(u) + u\, d(v') = v\, d(u') + u'\, d(v)\]

이므로 양변에 \(vv'\)를 곱하면

\[v v' d(u) - u\, v\, d(v') = v v' d(u') - u'\, v'\, d(v)\]

이고, 이를 정리하면

\[v' d(u) - v^{-1} u\, d(v) = v' d(u') - v'^{-1} u'\, d(v')\]

이다. 따라서 정의는 \(F\)의 원소 \(u/v\)의 표현에 무관하게 잘 정의되어 있다. 이제 \(\bar{d}\)가 실제로 \(K\)에서 \(F\)로의 \(A\)-derivation의 조건을 ㅁ낮곻나다는 것은 단순한 계산이다.

다음 명제에서, 표기의 편의를 위해 임의의 degree \(\delta\) \(\varepsilon\)-derivation \(d:A \rightarrow E\)에 대하여

\[Z_\varepsilon=\{a\in A\mid \text{$xa_d=\varepsilon(\deg(a),\deg(x))a_dx$ for all homogeneous component $a_d$ of $a$ and for all homogeneous $x\in E$.}\}\]

으로 정의하자.

명제 9 \(A\)가 unital graded associative \(A\)-algebra이고 \(E\)가 graded \((A, A)\)-bimodule이라 하자. 이제 \(d: A \to E\)가 degree \(\delta\)의 \(\varepsilon\)-derivation이고, \(a\)가 degree \(\alpha\)의 \(Z_\varepsilon\)의 homogeneous element라 하자. 그러면 morphism

\[x \mapsto a (d x)\]

는 degree \(\delta + \alpha\)의 \(\varepsilon\)-derivation이다.

증명

주어진 morphism을 \(d'\)로 적으면 이 morphism은 자명하게 \(A\)-linear이다. 이제 \(d'\)가 \(\varepsilon\)-derivation임을 보이기 위해 임의의 degree \(\delta'\) homogeneous element \(x\)와 임의의 \(y\in A\)에 대하여

\[\begin{aligned}d'(xy)&=a(dx)y+\varepsilon(\delta, \delta')a(x(dy))\\&=a(dx)y+\varepsilon(\delta, \delta')\varepsilon(\alpha,\delta')xa(dy)\\&=(d'x)y+\varepsilon(\delta+\alpha,\delta')x(d'y)\end{aligned}\]

이므로 \(d'\)는 degree \(\delta + \alpha\) \(\varepsilon\)-derivation이 된다.

한편 \(E\)가 \(\varepsilon\)-bracket이 주어진 \(\Delta\)-graded (associative) \(A\)-algebra라면 이 위에는 자연스러운 \(\varepsilon\)-derivation이 존재한다.

정의 10 Graded \(A\)-algebra \(E\)의 homogeneous element \(z\in E\)에 대하여, 다음의 morphism

\[x\mapsto [z,x]_\varepsilon\]

을 \(\ad_\varepsilon(z)\)으로 적는다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 11 \(E\)가 graded \(A\)-algebra라 하자.

1. 임의의 \(\varepsilon\)-derivation \(d : E \rightarrow E\)와 \(E\)의 모든 homogeneous 원소 \(z\)에 대하여 \({[d, \ad(a)]_\varepsilon = \ad(dz)}\)이 성립한다.
2. 만일 \(A\)가 associative라면, \(\ad(z)\)는 \(A\)의 \(\varepsilon\)-derivation이며, 그 degree는 \(\deg(z)\)이다.

증명

1. \(d\)가 degree \(\delta\) \(\varepsilon\)-derivation이라 하고, \(\zeta = \deg(z)\)라고 하자. 이제 \(f = [d, \ad(z)]_\varepsilon\)라 하면, 모든 degree \(\xi\) homogeneous element \(x \in A\)에 대해,

   \[\begin{aligned}f(x)&=d(z x - \varepsilon(\zeta, \xi) x z) - \varepsilon(\delta, \zeta) (z (dx) - \varepsilon(\zeta, \delta+\xi) (dx) z) \\&= d(z x) - \varepsilon(\zeta, \xi) d(x z) - \varepsilon(\delta, \zeta) z (dx) + \varepsilon(\zeta,2.\delta+\xi) d(x) z \\&=(dz)x+\varepsilon(\delta, \zeta)z(dx)-\varepsilon(\zeta,\xi)((dx)z+\varepsilon(\delta, \xi)x(dz))- \varepsilon(\delta, \zeta) z (dx) + \varepsilon(\zeta,2.\delta+\xi) (dx) z\\&=(dz)x+\varepsilon(\delta,\zeta)z(dx)-\varepsilon(\zeta,\xi)(dx)z-\varepsilon(\delta+\zeta,\xi)x(dz)-\varepsilon(\delta,\zeta)z (dx)+\varepsilon(\zeta,\xi)(dx)z\\&=(dz)x-\varepsilon(\delta+\zeta,\xi)x(dz)=[dz,x]_\varepsilon=\ad_\varepsilon(dz)(x)\end{aligned}\]

   이므로 원하는 결과를 얻는다.

2. 모든 degree \(\xi\) homogeneous element \(x \in A\)와 degree \(\eta\) homogeneous element \(y \in A\)에 대해,

   \[\begin{aligned}\ad(z)(x y) &= z(x y) - \varepsilon(\zeta, \xi + \eta)(x y) z \\&= (z x) y - \varepsilon(\zeta, \xi) x z y + \varepsilon(\zeta, \xi) x z y - \varepsilon(\zeta, \xi + \eta) x y z \\&= (ax-\varepsilon(\zeta,\xi xz)y+\varepsilon(zeta,\xi)x(ay-\varepsilon(\zeta,\eta)ya)\\&=\ad(z)(x) \cdot y + \varepsilon(\zeta, \xi) x \cdot \ad(z)(y)\end{aligned}\]

   이다.

따라서, \(E\)가 associative graded \(A\)-algebra라면 정의 10을 통해 \(E\)의 임의의 homogeneous가 \(E\)에서 자기 자신으로의 \(\varepsilon\)-derivation을 정의하며, 우리는 이를 inner \(\varepsilon\)-derivation이라 부른다.

이것이 성립할 경우, 위의 식에서 \(d\)를 inner \(\varepsilon\)-derivation으로 대체해주면 다음 따름정리를 얻는다.

따름정리 12 Associative graded algebra \(E\)의 두 homogeneous 원소 \(x,y\)에 대해 다음의 식

\[{[\ad_\varepsilon(x), \ad_\varepsilon(y)]_\varepsilon = \ad_\varepsilon([x,y]_\varepsilon)}\]

이 항상 성립한다.

또한, 위의 따름정리의 등식은 임의의 homogeneous \(z\in E\)에 대해 확인함으로써 얻을 수 있으므로, \(x,y,z\)가 각각 degree \(\xi,\eta,\zeta\)의 homogeneous element라 하면 다음의 식

\[{\varepsilon}_{\xi, \zeta} [[x, [y,z]_{\varepsilon}]_{\varepsilon} + \varepsilon_{\eta,\xi} [y, [z,x]_{\varepsilon}]_{\varepsilon} + \varepsilon_{\zeta,\eta} [z, [x,y]_{\varepsilon}]_{\varepsilon} = 0\]

이 성립하며, 우리는 이를 Jacobi identity라 부른다.