K

Grad. student in mathematics

부분다양체의 정의Permalink

정의 1 두 manifold M,NM,N과 C∞C^\infty 함수 F:N→MF:N\rightarrow M이 주어졌다 하자.

  1. FF가 immersion몰입이라는 것은 모든 p∈Np\in N에 대하여 dFpdF_p가 단사인 것이고, 비슷하게 FF가 submersion침몰이라는 것은 모든 p∈Np\in N에 대하여 dFpdF_p가 전사인 것이다.
  2. 만일 FF가 immersion인 동시에 단사함수이기도 하다면, FF를 MM의 submanifold부분다양체라 한다.
  3. 만일 FF가 MM의 submanifold일 뿐만 아니라, subspace topology가 주어진 F(N)⊆MF(N)\subseteq M과 NN 사이의 homeomorphism을 정의하기도 하다면 FF를 embedding매장, 혹은 2번의 정의와 맞추어 embedded submanifold라 부른다.

3번의 embedded submanifold와 더 명확하게 구별하기 위해 2번을 immersed submanifold라 부르기도 한다. 우리는 위의 정의 그대로, 수식어 없는 submanifold를 immersed manifold의 뜻으로 사용하고, embedded submanifold는 축약하지 않고 그대로 사용한다.

함수 F:N→MF:N\rightarrow M이 submanifold라는 것은 직관적으로 FF가 inclusion N↪MN\hookrightarrow M의 역할을 하는 것으로 생각할 수 있다. 이 때, FF의 image F(N)⊆MF(N)\subseteq M에 위상구조를 주는 방법은 두 가지가 있는데, 하나는 전단사함수 F:N→F(N)F:N\rightarrow F(N)을 통해 NN의 위상을 옮겨오는 것이고, 다른 하나는 MM에 주어진 위상구조를 subspace topology를 통해 가져오는 것이다. 만일 이 두 위상이 서로 동일하다면 FF를 embedded submanifold라 부르는 것이고, 그렇지 않다면 이를 단순히 submanifold라 부른다.

Immersion, submanifold, immersion

예를 들어, 위의 그림에서 N=RN=\mathbb{R}, M=R2M=\mathbb{R}^2이며, (a)는 immersion이지만 submanifold는 아니고, (b)는 submanifold이지만 embedded submanifold는 아니며, (c)는 embedded submanifold이다. 편의상 (b)에서 t→∞t\rightarrow \infty일 때 F(t)F(t)가 향하는 점을 F(0)F(0)이라 하면, R\mathbb{R}에서 (−1,1)(-1,1)은 열린집합이지만, NN에 주어진 subspace topology 상에서 F((−1,1))F\bigl((-1,1)\bigr)은 열린집합이 될 수 없다.

예시 2 Manifold MM과 그 open submanifold UU에 대하여, ι:U↪M\iota:U\hookrightarrow M은 MM의 embedded submanifold이다. 모든 p∈Up\in U에 대하여 dιpd\iota_p가 injective라는 것은 TpUT_pU와 Tι(p)MT_{\iota(p)}M 사이의 isomorphism이라는 사실로부터 명확하고, 또 open submanifold의 정의에 의해 ι(U)\iota(U)에는 subspace topology가 주어져 있다.

예시 3 두 manifold M,NM,N과 그 product M×NM\times N을 생각하자. 그럼 임의의 q∈Nq\in N에 대하여, 부분집합 M×{q}M\times\{q\}은 MM과 diffeomorphic한 M×NM\times N의 embedded submanifold이고, 비슷하게 임의의 p∈Mp\in M에 대하여 부분집합 {p}×N\{p\}\times N은 NN과 diffeomorphic한 embedded submanifold이며, 이 때의 embedding은 각각 x↦(x,q)x\mapsto (x,q)와 y↦(p,y)y\mapsto (p,y)으로 주어진다.

더 일반적으로 두 manifold M,NM,N과, open submanifold U⊆MU\subseteq M에서 정의된 C∞C^\infty 함수 f:U→Nf:U\rightarrow N이 주어졌다 하자. 그럼 ff의 그래프

graph⁡(f)={(x,y)∈M×N∣x∈U,y=f(x)}\graph(f)=\{(x,y)\in M\times N\mid x\in U, y=f(x)\}

또한 embedded submanifold이며, 이 때 embedding은 당연히 x↦(x,f(x))x\mapsto (x,f(x))으로 주어진다.

역함수 정리와 그 결과들Permalink

이제 우리는 유클리드 공간에서의 역함수 정리와 음함수 정리를 각각 manifold의 단계로 가져올 것이다. 우선 유클리드 공간에서의 역함수 정리는 다음과 같다.

정리 4 (역함수 정리) U⊂RmU\subset\mathbb{R}^m이 열린집합이라 하고, f:U→Rmf:U\rightarrow\mathbb{R}^m이 C∞C^\infty 함수라 하자. 임의의 점 p0∈Up_0\in U에서 다음의 Jacobian matrix

(∂(r1∘f)/∂r1∂(r1∘f)/∂r2⋯∂(r1∘f)/∂rm∂(r2∘f)/∂r1∂(r2∘f)/∂r2⋯∂(r2∘f)/∂rm⋮⋮⋱⋮∂(rm∘f)/∂r1∂(rm∘f)/∂r2⋯∂(rm∘f)/∂rm)\begin{pmatrix}\partial(r^1\circ f)/\partial r^1&\partial(r^1\circ f)/\partial r^2&\cdots&\partial(r^1\circ f)/\partial r^m\\\partial(r^2\circ f)/\partial r^1&\partial(r^2\circ f)/\partial r^2&\cdots&\partial(r^2\circ f)/\partial r^m\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\partial(r^m\circ f)/\partial r^1&\partial(r^m\circ f)/\partial r^2&\cdots&\partial(r^m\circ f)/\partial r^m\end{pmatrix}

가 nonsingular라면, p0∈V⊆Up_0\in V\subseteq U를 만족하는 적당한 열린집합 VV가 존재하여 f∣Vf|_V가 VV와 f(V)f(V) 사이의 diffeomorphism을 정의한다.

이를 통해 일반적인 manifold 사이의 함수들에 대한 정리들을 증명할 수 있다.

따름정리 5 F:M→NF:M\rightarrow N이 manifold들 사이의 C∞C^\infty 함수이고 p∈Mp\in M이라 하자. 만일 dFp:TpM→TF(p)NdF_p:T_pM\rightarrow T_{F(p)}N이 isomorphism이라면 적당한 열린집합 U⊆MU\subseteq M이 존재하여, p∈Up\in U이고 F∣U:U→F(U)F|_U:U\rightarrow F(U)가 UU와 F(U)F(U) 사이의 diffeomorphism을 정의한다.

증명

우선 dFpdF_p가 isomorphism인 것으로부터 dim⁡M=dim⁡TpM=dim⁡TF(p)N=dim⁡N\dim M=\dim T_pM=\dim T_{F(p)}N=\dim N을 얻는다. 이제 점 F(p)F(p)를 포함하는 coordinate system (W,τ)(W,\tau)를 잡고, F(V)⊆WF(V)\subseteq W를 만족하도록 pp를 포함하는 coordinate system (V,φ)(V,\varphi)를 잡자. 그럼 함수 (τ∘F∘φ−1)∣φ(V)(\tau\circ F\circ\varphi^{-1})|_{\varphi(V)}는 같은 차원을 갖는 유클리드 공간 사이의 함수이며, 또 dFpdF_p가 isomorphism인 것으로부터 이 함수의 점 φ(p)\varphi(p)에서의 Jacobian matrix가 nonsingular라는 것을 안다.

따라서 역함수정리에 의해, φ(p)∈U′⊂φ(V)\varphi(p)\in U’\subset\varphi(V)를 만족하는 열린집합 U′U’가 존재하여 (τ∘F∘φ−1)∣U′(\tau\circ F\circ\varphi^{-1})|_{U’}이 U′U’와 τ∘F∘φ−1(U′)\tau\circ F\circ\varphi^{-1}(U’) 사이의 diffeomorphism을 정의한다. 이제 U=φ−1(U)U=\varphi^{-1}(U)로 잡으면 함수

τ−1∘((τ∘F∘φ−1)∣U′)∘φ\tau^{-1}\circ\bigl((\tau\circ F\circ\varphi^{-1})|_{U'}\bigr)\circ\varphi

가 UU와 F(U)F(U) 사이의 diffeomorphism을 정의한다.

Manifold MM과 p∈Mp\in M에 대하여, Cp∞(M)C_p^\infty(M)의 원소들 y1,…,yky^1, \ldots, y^k가 주어졌다 하자. 만일 이들의 differential dyidy^i들이 Tp∗MT_p^\ast M의 linearly independent인 부분집합이 된다면 이들을 점 pp에서 independent한 함수들이라 한다.

따름정리 6 mm차원 manifold MM을 생각하자. 만일 y1,…,ymy^1, \ldots, y^m들이 점 p0∈Mp_0\in M에서 independent라면, (y1,…,ym)(y^1, \ldots, y^m)은 pp 근방에서 coordinate system이 된다.

증명

우선 Tp∗MT_p^\ast M의 차원을 생각하면 주어진 함수들의 differential이 Tp∗MT_p^\ast M의 basis가 된다는 것을 알 수 있다.

mm개의 함수 yiy^i들이 모두 p0p_0의 열린근방 UU에서 정의되었다 하자.1 주어진 것와 같이 φ:U→Rm\varphi:U\rightarrow\mathbb{R}^m을

φ(p)=(y1(p),…,ym(p))\varphi(p)=(y^1(p),\ldots, y^m(p))

으로 정의하면, 각각의 성분함수 yiy^i들이 모두 C∞C^\infty이므로 φ\varphi도 C∞C^\infty이다. 이제 (dφp0)∗:Tφ(p0)∗Rm→Tp0∗M(d\varphi_{p_0})^\ast:T_{\varphi(p_0)}^\ast\mathbb{R}^m\rightarrow T_{p_0}^\ast M을 생각하자. (dφp0)∗(d\varphi_{p_0})^\ast에 dri∣φ(p0)dr^i|_{\varphi(p_0)}들을 대입하면,

dφp0(dri∣φ(p0))=(dri∣φ(p0))∘(dφp0)=d(ri∘φ)p0=dyi∣p0d\varphi_{p_0}\left(dr^i|_{\varphi(p_0)}\right)=\left(dr^i|_{\varphi(p_0)}\right)\circ\left(d\varphi_{p_0}\right)=d(r^i\circ\varphi)_{p_0}=dy^i|_{p_0}

이므로, Tφ(p0)∗RmT_{\varphi(p_0)}^\ast\mathbb{R}^m에서의 basis dri∣φ(p0)dr^i|_{\varphi(p_0)}들이 모두 Tp0∗MT_{p_0}^\ast M의 basis로 각각 옮겨지고 따라서 (dφp0)∗(d\varphi_{p_0})^\ast는 isomorphism이다. 따라서 dφp0d\varphi_{p_0}도 isomorphism이며, 따라서 따름정리 5를 적용하면 p0∈V⊆Up_0\in V\subseteq U를 만족하는 적당한 VV가 존재하여 φ∣V:V→φ(V)\varphi|_V:V\rightarrow\varphi(V)가 coordinate system이 된다는 것을 알 수 있다.

위의 따름정리로부터 다음 두 따름정리들을 얻어내는 것은 본질적으로 학부 선형대수의 내용이다.

따름정리 7 mm차원 manifold MM과 p0∈Mp_0\in M, 정수 0<k<m0<k<m에 대하여, CM,p0∞\mathcal{C}_{M,p_0}^\infty의 원소들 y1,…,yky^1,\ldots, y^k가 p0p_0에서 independent한 함수들이라 하자. 그럼 적당한 함수 xk+1,…,xmx^{k+1},\ldots, x^{m}들이 존재하여 (y1,…,yk,xk+1,…,xm)(y^1,\ldots, y^k, x^{k+1}, \ldots, x^m)들이 p0p_0 근방에서 coordinate system을 정의한다.

증명

점 p0p_0에 대한 coordinate system (U,φ)(U,\varphi), φ=(xi)i=1m\varphi=(x^i)_{i=1}^{m}이 주어졌다 하자. 그럼 dxidx^i들이 Tp0∗MT_{p_0}^\ast M의 basis가 된다. 이제 [선형대수학] §백터공간의 차원, ⁋보조정리 2의 증명과 마찬가지로 dyidy^i들을 하나씩 넣고, dxjdx^j들을 하나씩 빼며 적절히 index를 수정해주면 된다.

따름정리 8 mm차원 manifold MM과 점 p0∈Mp_0\in M에 대하여, CM,p0∞\mathcal{C}_{M,p_0}^\infty의 원소들 y1,…,yky^1,\ldots, y^k들이 주어졌다 하자. 만일 dyidy^i들이 Tp0∗MT_{p_0}^\ast M을 span한다면 집합 {y1,…,yk}\{y_1,\ldots, y_k\}의 적절한 부분집합이 p0p_0 근방의 coordinate system을 이룬다.

증명

Tp0∗MT_{p_0}^\ast M의 basis를 이루는 집합 {dy1,…,dyk}\{dy^1,\ldots, dy^k\}의 적절한 부분집합을 찾으면 이 부분집합은 반드시 mm개의 원소로 이루어져 있다. 따라서 따름정리 6을 적용하면 된다.

다음 두 따름정리들은 앞으로 rank theorem이라는 이름으로 자주 사용하게 된다.

따름정리 9 (Rank theorem, Submersion case) 두 manifold M,NM,N과 C∞C^\infty 함수 F:M→NF:M\rightarrow N에 대하여, dFpdF_p가 surjective라 하자. 그럼 점 F(p)F(p) 근방에서 정의된 coordinate system ψ=(yj)j=1n\psi=(y^j)_{j=1}^n에 대하여 적당한 함수들 xn+1,…,xmx^{n+1},\ldots, x^m이 존재하여 다음의 함수들

x1=y1∘F,x2=y2∘F,…,xn=yn∘F,xn+1,…,xmx^1=y^1\circ F,\quad x^2=y^2\circ F,\quad\ldots,\quad x^n=y^n\circ F,\qquad x^{n+1},\quad \ldots,\quad x^m

이 pp 근방에서의 coordinate system을 이루도록 할 수 있다.

증명

dFpdF_p가 surjective이므로, 그 dual (dFp)∗:TF(p)∗N→Tp∗M(dF_p)^\ast:T_{F(p)}^\ast N\rightarrow T_p^\ast M은 injective이다. 즉, 다음의 원소들

(dFp)∗(dyi∣F(p))=dyi∣F(p)∘dFp=d(yi∘F)p=dxj∣p(dF_p)^\ast(dy^i|_{F(p)})=dy^i|_{F(p)}\circ dF_p=d(y^i\circ F)_p=dx^j|_p

이 Tp∗MT_p^\ast M에서 linearly independent하다. 따라서 따름정리 7에 의하여 원하는 결과를 얻는다.

따름정리 10 (Rank theorem, Immersion case) 두 manifold M,NM,N과 C∞C^\infty 함수 F:M→NF:M\rightarrow N에 대하여, dFpdF_p가 injective라 하자. 그럼 점 F(p)F(p) 근방에서 정의된 coordinate system ψ=(yj)j=1n\psi=(y^j)_{j=1}^n에 대하여, 다음 집합

{xj=yj∘F∣j=1,…,n}\{x^j=y^j\circ F\mid j=1,\ldots, n\}

의 부분집합이 점 pp 근방에서 MM의 coordinate system을 이룬다.

증명

dFpdF_p가 injective이므로, 그 dual (dFp)∗:TF(p)∗N→Tp∗M(dF_p)^\ast:T_{F(p)}^\ast N\rightarrow T_p^\ast M은 surjective이다. 즉, 다음의 원소들

(dFp)∗(dyi∣F(p))=dyi∣F(p)∘dFp=d(yi∘F)p=dxj∣p(dF_p)^\ast(dy^i|_{F(p)})=dy^i|_{F(p)}\circ dF_p=d(y^i\circ F)_p=dx^j|_p

들이 Tp∗MT_p^\ast M을 span해야 하고, 따라서 따름정리 8에 의해 주어진 집합의 부분집합이 pp 근방에서 MM의 coordinate system을 이룬다.

참고문헌

[War] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 2013
[Lee] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2012

  1. 이는 yiy^i들이 유한 개이기 때문에 가능하다. 즉, yiy^i들이 각각 UiU^i에서 정의되었다면, U=⋂UiU=\bigcap U^i로 잡으면 된다. ↩

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