K

Grad. student in mathematics

The first isomorphism theorem

가벼운 보조정리부터 시작한다.

보조정리 1 임의의 homomorphism \(f:G\rightarrow G'\)에 대하여, \(\ker f\)는 \(G\)의 normal subgroup이다.

증명

임의의 \(g\in G\)와 \(x\in \ker f\)에 대하여,

\[f(gxg^{-1})=f(g)f(x)f(g^{-1})=f(g)e'f(g)^{-1}=f(g)f(g)^{-1}=e'.\]

그런데 \(\ker f\)에 의하여 정의되는 동치관계

\[x\sim y\iff xy^{-1}\ker f\]

를 생각하면, 다음 식

\[f(y)=e'f(y)=f(xy^{-1})f(y)=f(xy^{-1}y)=f(x)\]

으로부터 \(x\sim y\iff f(x)=f(y)\)임을 알 수 있다. 즉, \(\sim\)은 별다른 것이 아니라 함수 \(f\)에 의해 정의되는 동치관계이며 ([집합론] §동치관계의 예시들, ⁋정의 2), quotient group의 정의로부터 canonical map \(p:G\rightarrow G/\ker f\)는 homomorphism이 된다. 이제 \(f\)의 canonical decomposition을 생각하면 전단사함수 \(h:G/\ker f\rightarrow\im f\)를 얻는다. 그럼 임의의 \([x], [x']\in G/\ker f\)에 대하여

\[h([x][x'])=h([xx'])=f(xx')=f(x)f(x')=h([x])h([x'])\]

이므로 \(h\)는 homomorphism이고, 따라서 isomorphism이다.

정리 2 (The first isomorphism theorem) 임의의 homomorphism \(f:G\rightarrow G'\)에 대하여, \(G/\ker f\cong \im f\)가 항상 성립한다.

한편 [집합론] §동치관계의 예시들, ⁋명제 7을 이용하면 다음 명제를 얻는다.

명제 3 임의의 homomorphism \(f:G\rightarrow G'\)와 \(G\)의 normal subgroup \(N\)에 대하여, \(f=\bar{f}\circ p\)를 만족하는 \(\bar{f}:G/N\rightarrow G'\)가 존재할 필요충분조건은 \(N\leq \ker f\)인 것이다.

The second isomorphism theorem

두 번째 isomorphism theorem을 증명하기 위해서는 다음 보조정리를 보여야 한다. 다음 명제에서 \(N\vee K\)는 합집합 \(N\cup K\)를 포함하는 가장 작은 \(G\)의 subgroup, 즉 \(\langle N\cup K\rangle\)을 의미하며, \(NK\)는 집합

\[NK=\{nk\mid n\in N,k\in K\}\]

을 의미한다.

보조정리 4 Group \(G\)의 subgroup \(K\), normal subgroup \(N\)이 주어졌다 하자. 그럼 다음이 성립한다.

  1. \(N\cap K\)는 \(K\)의 normal subgroup이다.
  2. \(N\)은 \(N\vee K\)의 normal subgroup이다.
  3. \(NK=N\vee K=KN\)이 성립한다.
증명
  1. 임의의 \(n\in N\cap K\)와 \(k\in K\)에 대하여, \(knk^{-1}\)은 \(K\)의 원소들의 곱이므로 \(K\)의 원소이며, 동시에 \(N\)이 \(G\)의 normal subgroup이므로 \(N\)의 원소이다. 따라서 \(knk^{-1}\in N\cap K\)이다.
  2. \(N\)은 \(N\vee K\)의 subgroup임이 자명하다. 또, 임의의 \(g\in N\vee K\)와 \(n\in N\)에 대하여 \(gng^{-1}\in N\)이 성립한다.
  3. 임의의 \(nk\in NK\)에 대하여, \(n,k\in N\vee K\)이므로 \(nk\in N\vee K\)가 성립한다. 따라서 반대방향만 보이면 된다. \(N\)과 \(K\)의 원소들의 곱 \(n_1k_1\cdots n_rk_r\)들을 모두 포함하는 \(G\)의 부분집합을 생각하자. 이 집합이 subgroup인 것을 쉽게 확인할 수 있으며, 또한 이 subgroup은 \(N\)과 \(K\)를 모두 포함하므로 \(N\vee K\) 또한 포함한다.1
    따라서 임의의 \(N\vee K\)의 원소는 모두 \(n_1k_1\cdots n_rk_r\)의 꼴로 쓸 수 있다. 이제 \(N\)이 \(N\vee K\)의 normal subgroup이므로, \(k_1n_2=n_2'k_1\)을 만족하는 \(n_1'\in N\)이 존재한다. 이 과정을 계속해서 반복하면 \(n_1k_1\cdots n_rk_r\)을 \(NK\)의 원소의 형태로 바꾸어 쓸 수 있다.

정리 5 (The second isomorphism theorem) Group \(G\)의 subgroup \(K\), normal subgroup \(N\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(K/(N\cap K)\cong NK/N\)이 성립한다.

증명

우선 앞선 보조정리로부터, \(N\)은 \(NK=N\vee K=KN\)의 normal subgroup이 된다. 한편, \(K\subset NK\)이므로, 다음과 같은 homomorphism의 composition

\[K\overset{\iota}{\hookrightarrow}NK\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}NK/N\]

을 생각할 수 있다. 그럼

\[\ker(\pi\iota)=(\pi\iota)^{-1}(e)=\iota^{-1}(\ker\pi)=\iota^{-1}(N)=K\cap N\]

이므로, \(\pi\iota\)에 first isomorphism theorem을 적용하면

\[K/\ker(\pi\iota)=K/(K\cap N)\cong\im(\pi\iota)\]

를 얻는다. 그런데 \(NK/N\)의 임의의 원소는 모두 \(nkN\)의 꼴이고, 적당한 \(n'\in N\)이 존재하여 \(nk=kn'\)이라 할 수 있으므로, \(NK/N\)의 임의의 원소 \(nkN\)은

\[nkN=kn'N=kN=\pi(k)=\pi(\iota(k))\in\im(\pi\iota)\]

을 만족하므로 원하는 결과를 얻는다.

The third isomorphism theorem

정리 6 (The third isomorphism theorem) \(H\), \(K\)가 group \(G\)의 normal subgroup이고, \(K<H\)라 하자. 그럼 \(H/K\)는 \(G/K\)의 normal subgroup이며 \((G/K)/(H/K)\cong G/H\)가 성립한다.

증명

[집합론] §동치관계의 예시들, ⁋정의 8 이후의 decomposition.

The fourth isomorphism theorem

다음 정리는 아주 많이 쓰이고, 그 증명 또한 어렵지는 않지만 보여야 할 것이 너무 많아 증명을 생략하기로 한다.

정리 7 (The fourth isomorphism theorem) \(G\)가 group이고, \(N\)이 \(G\)의 normal subgroup이라 하자. 그럼 \(N\)을 포함하는 \(G\)의 subgroup들의 집합과 \(G/N\)의 subgroup들의 집합 사이의 inclusion-preserving bijection이 존재한다. 뿐만 아니라, 이 bijection은 교집합이나 index, normal subgroup등의 관계를 모두 보존한다.

준동형사상의 coequalizer

이제 두 group homomorphism \(f,g:G \rightarrow H\)가 주어졌다 하자. 앞서 우리는 \(f,g\)의 equalizer \(\Eq(f,g)\)는 항상 \(G\)의 subgroup이 된다는 것을 살펴보았다. 이들의 coequalizer는 상황이 조금 복잡하다.

우선 coequalizer의 universal property를 생각하면, \(q:H\rightarrow\CoEq(f,g)\)는 \(q\circ f=q\circ g\)를 만족하는 것들 중 initial인 것이다. 만일 우리가 \(\Set\)에서 이러한 상황을 마주쳤다면 \(H\) 위에 equivalence relation \(\sim\)을

\[f(x)\sim g(x)\qquad\text{for all $x\in G$}\]

에 의해 생성되는 relation으로 준 후, projection \(H\rightarrow H/{\sim}\)을 생각하면 이것이 coequalizer가 될 것이나 \(\Grp\)에서는 위에서 정의한 \(\sim\)이 \(H\)의 group operation과 compatible한지를 알 수 없다. 즉 다음 subset

\[S=\{f(x)g(x)^{-1}:x\in X\}\]

이 normal subgroup이 아니므로, \(H/S\)가 정의되지 않는다.

이를 해결하기 위해 \(\overline{S}\)를 \(S\)의 normal closure, 즉 \(S\)를 포함하는 normal subgroup 중 가장 작은 것이라 하자. 그럼 \(\overline{S}\)에 의한 \(H\)의 quotient \(H/\overline{S}\)가 잘 정의된다.

명제 8 위와 같이 정의된 quotient \(q: H \rightarrow H/\overline{S}\)는 coequalizer이다.

증명

임의의 group homomorphism \(q': G \rightarrow H'\)가 존재하여 \(q'\circ f=q'\circ g\)를 만족한다 하자. 그럼 보조정리 1에 의해 \(\ker q'\)는 normal subgroup이고, 조건 \(q'\circ f=q'\circ g\)에 의하여

\[q'(f(x))=q'(g(x))\iff q'(f(x)g(x)^{-1})=e\]

이므로 \(f(x)g(x)^{-1}\in\ker q'\)이 모든 \(x\in g\)에 대해 성립한다. 따라서, \(\overline{S}\)의 정의에 의해 \(\overline{S}\leq\ker q'\)이고, 명제 3을 적용하면 원하는 결과를 얻는다.

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

  1. 반대방향 포함관계가 성립하는 것 또한 쉽게 보일 수 있다. ↩

댓글남기기