사실 지금부터 할 내용은 일반적으로 집합론보다는 범주론이나 대수기하학 등에서 나오는 것이 더 자연스럽기는 하다. 하지만 [Bou]는 이 내용을 집합론에서 다루고 있기도 하고, 또 우리가 앞으로 사용할 것들을 모아둔다는 측면에서는 이것이 충분히 일리가 있으므로 우리도 지금 inverse limit과 direct limit에 대한 내용을 살펴본다.
Inverse system과 inverse limit
정의 1 $I$가 preordered set이고, family $(A_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하자. 여기에 추가적으로 $i\leq j$를 만족하는 쌍 $(i,j)$마다 함수 $f_{ij}:A_j\rightarrow A_i$가 정의되어, 다음의 두 조건
- $i\leq j\leq k$이면 $f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$,
- 각각의 $i\in I$마다 $f_{ii}=\id_{A_i}$
을 만족한다면, $\bigl((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j}\bigr)$들을 inverse system, 혹은 projective system이라 부른다.
[Bou]에서는 위의 정의와 같이 $I$에 preordered set이라는 조건 외에는 어떠한 조건도 주지 않았지만, 곧바로 살펴볼 directed system을 생각하면 $I$가 right directed set인 경우를 생각하는 것이 조금 더 자연스럽고, 실제로 우리가 마주치게 되는 예시도 대부분 $I$가 right directed set인 경우이다.
우리는 이미 집합들 간의 합과 곱을 정의하며 universal property를 소개했고, 이들이 얼마나 강력한 도구인지도 조금 살펴보았다. Inverse limit과 direct limit 또한 universal property에 의해 정의된다.
정의 2 집합 $\varprojlim A_i$와, 함수 $f_i: \varprojlim A_i\rightarrow A_i$들의 family $(f_i)_{i\in I}$가 $\bigl((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j}\bigr)$의 inverse limit역극한 혹은 projective limit 사영극한이라는 것은 임의의 $i\leq j$에 대하여
\[f_i=f_{ij}\circ f_j\]가 성립하고, 추가적으로 다음의 universal property를 만족하는 것이다.
만일 어떤 집합 $B$와 함수들의 모임 $u_i:B\rightarrow A_i$가 주어져서 $i\leq j$마다 다음의 식
\[u_i=f_{ij}\circ u_j\]를 만족한다면, 함수 $u:B\rightarrow \varprojlim A_i$가 유일하게 존재하여, 모든 $i\in I$에 대하여
\[u_i=f_i\circ u\]가 성립한다.
집합의 합과 곱의 universal property를 소개할 때에도 이야기했지만, 이 정의가 말이 되기 위해서는 $\bigl(\varprojlim A_i, (f_i)_{i\in I}\bigr)$가 적어도 하나는 존재한다는 것을 직접 보여야 한다.
이를 위해, 우선 집합 $\prod_{i\in I} A_i$와 성분함수들 $(\pr_i)_{i\in I}$을 생각하자. 그 후, 집합 $A$를 다음의 조건
\[\pr_i x=f_{ij}(\pr_j x)\]를 만족하는 모든 $x$들의 부분집합으로 정의하고, 또 $f_i$들을 $\pr_i|_{A}$으로 정의하자. 그럼 이렇게 정의된 $\bigl(A, (f_i)\bigr)$가 위의 universal property를 만족한다.
예시 3 예를 들어, 만일 $I$가 일반적인 $\leq$가 주어진 $\mathbb{N}$이었다면 inverse system은
\[\cdots\overset{f_{3,4}}{\longrightarrow} A_3\overset{f_{2,3}}{\longrightarrow}A_2\overset{f_{1,2}}{\longrightarrow}A_1\overset{f_{0,1}}{\longrightarrow}A_0\]과 같은 모습1일 것이고, 이 때 위에서 정의한 집합 $A$는 무한한 순서쌍
\[(x_0, x_1,\ldots )\in A_0\times A_1\times\cdots=\prod_{i\in\mathbb{N}} A_i\]의 모임이며 이들 순서쌍들은 $f_{i, i+1}(x_{i+1})=x_i$를 만족하는 순서쌍들이고, $f_i$들은 그냥 $A$ 위로 제한된 성분함수들이다.
예시 4 임의의 index set $I$ 위에 ordering이 $=$로 주어졌다 하자. 그럼 이들 사이의 함수들은 오직 $f_{ii}=\id_{A_i}$꼴만 존재한다. 따라서, 위의 construction 상에서
\[\pr_i(x)=f_{ij}(\pr_j(x))\]가 모든 $i,j$에 대해 vacuous하게 성립하므로 $A$는 $\prod A_i$ 전체가 된다. 따라서 이 경우 $\varprojlim A_i=\prod A_i$이다.
많은 경우 inverse system은 예시 3과 같은 형태로 등장하게 된다. 이제 약속했던 것과 같이 정의 2를 뒷받침하는 다음의 보조정리를 보이자.
보조정리 5 위에서 만들어낸 $\bigl(A, (f_i)\bigr)$는 inverse limit의 universal property를 만족한다.
증명
우선, 조건
\[u_i=f_i\circ u\qquad\text{for all $i\in I$}\]을 만족하는 $u:B\rightarrow A$가 존재한다면 이러한 $u$가 유일하다는 것은 어렵지 않게 보일 수 있다. $v:B\rightarrow A$가 마찬가지 조건을 만족한다 가정하자. $u(y)$와 $v(y)$는 모두 $\prod A_i$의 원소이므로, 성분함수들 $\pr_i$에 의한 image에 의해 결정된다. 따라서 $u(y)$에 $\pr_i$를 적용해보면,
\[\pr_i(u(y))=f_i(u(y))=u_i(y)=f_i(v(y))=\pr_i(v(y))\]이고 따라서 $u(y)=v(y)$이다.
유일성 증명에서, $u$는 다음과 같은 식
\[u(y)=\big(u_i(y)\big)_{i\in I}\]으로 정의해야 한다는 것을 알 수 있다. 이렇게 정의한다면 $u$가 함수가 되는 것은 자명하므로, $u$의 image가 실제로 $A$에 속한다는 것만 보이면 된다. 즉,
\[\pr_i(u(y))=f_{ij}(\pr_j(u(y)))\]가 성립함을 보여야 한다. 그런데 $\pr_i(u(y))=u_i(y)$이므로, 위의 식은 정확히 주어진 조건인
\[u_i(y)=f_{ij}(u_j(y))\]가 되어 $u(y)\in A$이고 증명이 완료된다.
Inverse limit의 유일성을 보여주는 다음 따름정리는 언제나와 같이 universal property로부터 얻어지는 형식적인 정리이다.
따름정리 6 $\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)$의 inverse limit은 unique up to bijection이다.
뿐만 아니라, universal property를 통해 여러 명제들을 증명할 수 있다. 우선 다음의 정의부터 약속하자.
정의 7 두 개의 inverse system $\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)$, $\bigl((B_i), (g_{ij})\bigr)$가 주어졌다 하자. 그럼 함수 $u_i:A_i\rightarrow B_i$들의 family $(u_i)_{i\in I}$가 inverse system 사이의 함수라는 것은 임의의 $i,j$에 대해 다음의 식
\[g_{ij}\circ u_j=u_i\circ f_{ij}\]이 성립하는 것이다.
즉, 다음의 diagram이 모든 $i\leq j$에 대해 commute하는 것이다.
명제 8 두 개의 inverse system $\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)$, $\bigl((B_i), (g_{ij})\bigr)$, 그리고 inverse system 사이의 함수 $(u_i:A_i\rightarrow B_i)$가 주어졌다 하자. 그럼 유일한 $u:\varprojlim A_i\rightarrow \varprojlim B_i$가 존재하여, 각각의 $i$마다 $g_i\circ u=u_i\circ f_i$가 성립하도록 할 수 있다.
바꿔 말하자면, $u_i$들이 적절한 조건을 만족한다면, 이들은 inverse limit 사이의 함수 $u$를 자연스럽게 유도한다.
증명
우선 합성함수 $u_j\circ f_j$가 $\varprojlim A_i$에서 $B_i$로의 함수를 만든다는 것을 관찰하자. 때문에 이 함수들이 universal property가 적용될 수 있는 조건을 만족한다는 것을 보이면 함수 $u$를 잘 정의할 수 있다. 즉,
\[(u_i\circ f_i)=g_{ij}\circ (u_j\circ f_j)\]임을 보여야 한다. 그런데 $u_i$들은 inverse system 사이의 함수이므로, 앞선 정의에 의하여
\[g_{ij}\circ u_j=u_i\circ f_{ij}\]이 성립하고, 따라서
\[g_{ij}\circ (u_j\circ f_j)=(u_i\circ f_{ij})\circ f_j=u_i\circ f_i\]가 성립한다. 따라서, 모든 $i\in I$에 대해
\[(u_i\circ f_i)=g_i\circ u\]이도록 하는 유일한 함수 $u:\varprojlim A_i\rightarrow\varprojlim B_i$가 존재하고, 이 식이 바로 우리가 원하던 식이다.
따라서 이런 함수 $u$를 약간의 abuse of notation을 통해 $u=\varprojlim u_i$로 적기도 한다. 한편 앞선 명제의 결과로 얻어지는 유일성에 의해, 다음도 성립한다.
따름정리 9 세 개의 inverse system $\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)$, $\bigl((B_i), (g_{ij})\bigr)$, $\bigl((C_i), (h_{ij})\bigr)$가 주어졌다 하고, 이들 system들 사이의 함수 $(u_i:A_i\rightarrow B_i)$, $(v_i:B_i\rightarrow C_i)$가 주어졌다 하자. 그럼
\[\varprojlim(v_i\circ u_i)=\bigl(\varprojlim v_i\bigr)\circ\bigl(\varprojlim u_i\bigr)\]이 성립한다.
정의 10 Inverse system $\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)$이 주어졌다 하자. 만일 $A_i$들의 부분집합 $X_i$들이 주어졌고, 이들 위에 $f_{ij}$를 제한하여 inverse system을 만들 수 있다면, 즉 다음의 식
\[f_{ij}(X_j)\subseteq X_i\]가 $i\leq j$마다 성립한다면 이들 system $\bigl((X_i), (f_{ij}|_{X_j})\bigr)$을 원래 system의 부분집합들의 inverse system이라 부른다.
그럼 어렵지 않게
\[\varprojlim X_i=\bigl(\varprojlim A_i\bigr)\cap\prod_{i\in I} X_i\]가 성립한다는 것을 확인할 수 있다.
이런 정의를 한 이유는 다음의 명제를 위해서다.
명제 11 두 개의 inverse system $\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)$, $\bigl((B_i), (g_{ij})\bigr)$, 그리고 inverse system 사이의 함수 $(u_i:A_i\rightarrow B_i)$가 주어졌다 하자. 편의상 $u=\varprojlim u_i$라 하면, 각각의 $y=(y_i)\in \varprojlim B_i$에 대하여, $u_i^{-1}(y_i)$들이 $A_i$의 부분집합들의 inverse system을 이루며, inverse limit은
\[\varprojlim u_i^{-1}(y_i)=u^{-1}(y)\]으로 주어진다.
증명
우선 $u_i^{-1}(y_i)$들이 $A_i$의 부분집합들의 inverse system을 이룬다는 것부터 보이자. 즉, 임의의 $x_j\in u_j^{-1}(y_j)$에 대하여, 이를 $f_{ij}$를 타고 $E_i$로 보낸 값이 $u_i^{-1}(y_i)$에 속한다는 것을 보여야 한다. 즉, $y_i=u_i(f_{ij}(x_j))$임을 보이면 된다. 계산을 직접 해 보면
\[u_i(f_{ij}(x_j))=g_{ij}(u_j(x_j))=g_{ij}(y_j)=y_i\]가 성립하므로, 이 주장이 성립한다.
한편, $x\in\varprojlim A_i$가 $u(x)=y$를 만족한다는 것은 $u$의 정의로부터 정확히 $u_i(x_i)=y_i$가 모든 $i$에 대해 성립한다는 이야기이므로 두 번째 주장도 성립한다.
때문에, 만일 $u_i$가 모두 injective라면 $u$ 또한 그러해야 한다.
Directed system과 direct limit
정의 12 $I$가 right directed set이고, family $(A_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하자. 여기에 추가적으로 $i\leq j$를 만족하는 쌍 $(i,j)$마다 함수 $f_{ij}:A_i\rightarrow A_j$가 정의되어, 다음의 두 조건
- $i\leq j\leq k$이면 $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$,
- 각각의 $i\in I$마다 $f_{ii}=\id_{E_i}$.
을 만족한다면, $\bigl((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j}\bigr)$를 directed system이라 부른다.
Inverse system과 directed system은 모두 right directed set를 index로 갖는다. 그 대신 inverse system에서는 함수 $f_{ij}$들이 index가 큰 집합에서 작은 집합으로 가도록 정의되었고, directed system에서는 함수 $f_{ij}$들이 작은 index에서 큰 index로 가도록 정의되었다.
정의 13 집합 $\varinjlim A_i$와, 함수 $f_i: A_i\rightarrow \varinjlim A_i$들의 family $(f_i)_{i\in I}$가 $\bigl((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j}\bigr)$의 direct limit직접극한 혹은 injective limit 귀납적 극한이라는 것은 임의의 $i\leq j$에 대하여
\[f_i=f_{ij}\circ f_j\]가 성립하고, 추가적으로 다음의 universal property를 만족하는 것이다.
만일 어떤 집합 $B$와 함수들의 모임 $u_i:A_i\rightarrow B$가 주어져서 $i\leq j$마다 다음의 식
\[u_j\circ f_{ji}=u_i\]를 만족한다면, 함수 $u:\varprojlim A_i\rightarrow B$가 유일하게 존재하여, 모든 $i\in I$에 대하여
\[u_i=u\circ f_i\]가 성립한다.
이러한 성질을 갖는 대상과 함수를 만들기 위해서는 기존에 알던 다른 대상들을 사용할 필요가 있다. 집합들의 모임 $A_i$들에 대해, $S=\sum A_i$라 하자. Inclusion $A_i\hookrightarrow S$를 통해 $A_i$와 그 image를 동일하게 취급하면, 임의의 $x\in S$에 대하여 $x\in A_i$이도록 하는 유일한 index $i$가 존재한다. 이를 $\lambda(x)$라 적자. 그럼 다음의 관계
$x\mathrel{R} y$인 것은, $i=\lambda(x)$, $j=\lambda(y)$보다 크거나 같은 $k$가 존재하여 $f_{ki}(x)=f_{kj}(y)$를 만족하는 것이다.
이 동치관계가 된다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 quotient set $A=S/R$이 잘 정의되고, 자연스러운 합성
\[f_i: A_i\hookrightarrow S\twoheadrightarrow S/R=A\]또한 주어진다.
보조정리 14 위에서 만들어낸 $\bigl(A, (f_i)\bigr)$는 direct limit의 universal property를 만족한다.
어렵지 않게 inverse limit을 정의하며 살펴보았던 정리들을 direct limit에서도 도입할 수 있다. 이를 반복하는 것보다는 특히 많이 사용되는 예시를 소개하는 것이 효율적이다.
예시 15 두 집합 $A,B$가 주어졌다 하자. Directed set $I$에 대하여, $A$의 부분집합들의 family $(A_i)$를 다음의 조건
\[i\leq j\iff A_j\subseteq A_i\]이 만족되도록 잡자. 각각의 $i$에 대하여, 집합 $F_i$를
으로 정의할 수 있다. 이와 같은 상황에서는 흔히 $\varinjlim A_i$의 원소들을 germ들이라 부른다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.
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물론 inverse system의 정의 상, 예를 들어 함수 $f_{2,4}$도 존재해야 하는데 이는 $f_{2,4}=f_{2,3}\circ f_{3,4}$으로 주어질 것이다. ↩
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