사실 지금부터 할 내용은 일반적으로 집합론보다는 범주론이나 대수기하학 등에서 나오는 것이 더 자연스럽기는 하다. 하지만 [Bou]는 이 내용을 집합론에서 다루고 있기도 하고, 또 우리가 앞으로 사용할 것들을 모아둔다는 측면에서는 이것이 충분히 일리가 있으므로 우리도 지금 inverse limit과 direct limit에 대한 내용을 살펴본다.
Inverse system과 inverse limit
정의 1 \(I\)가 preordered set이고, family \((A_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 여기에 추가적으로 \(i\leq j\)를 만족하는 쌍 \((i,j)\)마다 함수 \(f_{ij}:A_j\rightarrow A_i\)가 정의되어, 다음의 두 조건
- \(i\leq j\leq k\)이면 \(f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}\),
- 각각의 \(i\in I\)마다 \(f_{ii}=\id_{A_i}\)
을 만족한다면, \(\bigl((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j}\bigr)\)들을 inverse system, 혹은 projective system이라 부른다.
[Bou]에서는 위의 정의와 같이 \(I\)에 preordered set이라는 조건 외에는 어떠한 조건도 주지 않았지만, 곧바로 살펴볼 directed system을 생각하면 \(I\)가 right directed set인 경우를 생각하는 것이 조금 더 자연스럽고, 실제로 우리가 마주치게 되는 예시도 대부분 \(I\)가 right directed set인 경우이다.
우리는 이미 집합들 간의 합과 곱을 정의하며 universal property를 소개했고, 이들이 얼마나 강력한 도구인지도 조금 살펴보았다. Inverse limit과 direct limit 또한 universal property에 의해 정의된다.
정의 2 집합 \(\varprojlim A_i\)와, 함수 \(f_i: \varprojlim A_i\rightarrow A_i\)들의 family \((f_i)_{i\in I}\)가 \(\bigl((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j}\bigr)\)의 inverse limit역극한 혹은 projective limit 사영극한이라는 것은 임의의 \(i\leq j\)에 대하여
\[f_i=f_{ij}\circ f_j\]가 성립하고, 추가적으로 다음의 universal property를 만족하는 것이다.
만일 어떤 집합 \(B\)와 함수들의 모임 \(u_i:B\rightarrow A_i\)가 주어져서 \(i\leq j\)마다 다음의 식
\[u_i=f_{ij}\circ u_j\]를 만족한다면, 함수 \(u:B\rightarrow \varprojlim A_i\)가 유일하게 존재하여, 모든 \(i\in I\)에 대하여
\[u_i=f_i\circ u\]가 성립한다.
집합의 합과 곱의 universal property를 소개할 때에도 이야기했지만, 이 정의가 말이 되기 위해서는 \(\bigl(\varprojlim A_i, (f_i)_{i\in I}\bigr)\)가 적어도 하나는 존재한다는 것을 직접 보여야 한다.
이를 위해, 우선 집합 \(\prod_{i\in I} A_i\)와 성분함수들 \((\pr_i)_{i\in I}\)을 생각하자. 그 후, 집합 \(A\)를 다음의 조건
\[\pr_i x=f_{ij}(\pr_j x)\]를 만족하는 모든 \(x\)들의 부분집합으로 정의하고, 또 \(f_i\)들을 \(\pr_i\vert_{A}\)으로 정의하자. 그럼 이렇게 정의된 \(\bigl(A, (f_i)\bigr)\)가 위의 universal property를 만족한다.
예시 3 예를 들어, 만일 \(I\)가 일반적인 \(\leq\)가 주어진 \(\mathbb{N}\)이었다면 inverse system은
\[\cdots\overset{f_{3,4}}{\longrightarrow} A_3\overset{f_{2,3}}{\longrightarrow}A_2\overset{f_{1,2}}{\longrightarrow}A_1\overset{f_{0,1}}{\longrightarrow}A_0\]과 같은 모습1일 것이고, 이 때 위에서 정의한 집합 \(A\)는 무한한 순서쌍
\[(x_0, x_1,\ldots )\in A_0\times A_1\times\cdots=\prod_{i\in\mathbb{N}} A_i\]의 모임이며 이들 순서쌍들은 \(f_{i, i+1}(x_{i+1})=x_i\)를 만족하는 순서쌍들이고, \(f_i\)들은 그냥 \(A\) 위로 제한된 성분함수들이다.
예시 4 임의의 index set \(I\) 위에 ordering이 \(=\)로 주어졌다 하자. 그럼 이들 사이의 함수들은 오직 \(f_{ii}=\id_{A_i}\)꼴만 존재한다. 따라서, 위의 construction 상에서
\[\pr_i(x)=f_{ij}(\pr_j(x))\]가 모든 \(i,j\)에 대해 vacuous하게 성립하므로 \(A\)는 \(\prod A_i\) 전체가 된다. 따라서 이 경우 \(\varprojlim A_i=\prod A_i\)이다.
많은 경우 inverse system은 예시 3과 같은 형태로 등장하게 된다. 이제 약속했던 것과 같이 정의 2를 뒷받침하는 다음의 보조정리를 보이자.
보조정리 5 위에서 만들어낸 \(\bigl(A, (f_i)\bigr)\)는 inverse limit의 universal property를 만족한다.
증명
우선, 조건
\[u_i=f_i\circ u\qquad\text{for all $i\in I$}\]을 만족하는 \(u:B\rightarrow A\)가 존재한다면 이러한 \(u\)가 유일하다는 것은 어렵지 않게 보일 수 있다. \(v:B\rightarrow A\)가 마찬가지 조건을 만족한다 가정하자. \(u(y)\)와 \(v(y)\)는 모두 \(\prod A_i\)의 원소이므로, 성분함수들 \(\pr_i\)에 의한 image에 의해 결정된다. 따라서 \(u(y)\)에 \(\pr_i\)를 적용해보면,
\[\pr_i(u(y))=f_i(u(y))=u_i(y)=f_i(v(y))=\pr_i(v(y))\]이고 따라서 \(u(y)=v(y)\)이다.
유일성 증명에서, \(u\)는 다음과 같은 식
\[u(y)=\big(u_i(y)\big)_{i\in I}\]으로 정의해야 한다는 것을 알 수 있다. 이렇게 정의한다면 \(u\)가 함수가 되는 것은 자명하므로, \(u\)의 image가 실제로 \(A\)에 속한다는 것만 보이면 된다. 즉,
\[\pr_i(u(y))=f_{ij}(\pr_j(u(y)))\]가 성립함을 보여야 한다. 그런데 \(\pr_i(u(y))=u_i(y)\)이므로, 위의 식은 정확히 주어진 조건인
\[u_i(y)=f_{ij}(u_j(y))\]가 되어 \(u(y)\in A\)이고 증명이 완료된다.
Inverse limit의 유일성을 보여주는 다음 따름정리는 언제나와 같이 universal property로부터 얻어지는 형식적인 정리이다.
따름정리 6 \(\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)\)의 inverse limit은 unique up to bijection이다.
뿐만 아니라, universal property를 통해 여러 명제들을 증명할 수 있다. 우선 다음의 정의부터 약속하자.
정의 7 두 개의 inverse system \(\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)\), \(\bigl((B_i), (g_{ij})\bigr)\)가 주어졌다 하자. 그럼 함수 \(u_i:A_i\rightarrow B_i\)들의 family \((u_i)_{i\in I}\)가 inverse system 사이의 함수라는 것은 임의의 \(i,j\)에 대해 다음의 식
\[g_{ij}\circ u_j=u_i\circ f_{ij}\]이 성립하는 것이다.
즉, 다음의 diagram이 모든 \(i\leq j\)에 대해 commute하는 것이다.
명제 8 두 개의 inverse system \(\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)\), \(\bigl((B_i), (g_{ij})\bigr)\), 그리고 inverse system 사이의 함수 \((u_i:A_i\rightarrow B_i)\)가 주어졌다 하자. 그럼 유일한 \(u:\varprojlim A_i\rightarrow \varprojlim B_i\)가 존재하여, 각각의 \(i\)마다 \(g_i\circ u=u_i\circ f_i\)가 성립하도록 할 수 있다.
바꿔 말하자면, \(u_i\)들이 적절한 조건을 만족한다면, 이들은 inverse limit 사이의 함수 \(u\)를 자연스럽게 유도한다.
증명
우선 합성함수 \(u_j\circ f_j\)가 \(\varprojlim A_i\)에서 \(B_i\)로의 함수를 만든다는 것을 관찰하자. 때문에 이 함수들이 universal property가 적용될 수 있는 조건을 만족한다는 것을 보이면 함수 \(u\)를 잘 정의할 수 있다. 즉,
\[(u_i\circ f_i)=g_{ij}\circ (u_j\circ f_j)\]임을 보여야 한다. 그런데 \(u_i\)들은 inverse system 사이의 함수이므로, 앞선 정의에 의하여
\[g_{ij}\circ u_j=u_i\circ f_{ij}\]이 성립하고, 따라서
\[g_{ij}\circ (u_j\circ f_j)=(u_i\circ f_{ij})\circ f_j=u_i\circ f_i\]가 성립한다. 따라서, 모든 \(i\in I\)에 대해
\[(u_i\circ f_i)=g_i\circ u\]이도록 하는 유일한 함수 \(u:\varprojlim A_i\rightarrow\varprojlim B_i\)가 존재하고, 이 식이 바로 우리가 원하던 식이다.
따라서 이런 함수 \(u\)를 약간의 abuse of notation을 통해 \(u=\varprojlim u_i\)로 적기도 한다. 한편 앞선 명제의 결과로 얻어지는 유일성에 의해, 다음도 성립한다.
따름정리 9 세 개의 inverse system \(\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)\), \(\bigl((B_i), (g_{ij})\bigr)\), \(\bigl((C_i), (h_{ij})\bigr)\)가 주어졌다 하고, 이들 system들 사이의 함수 \((u_i:A_i\rightarrow B_i)\), \((v_i:B_i\rightarrow C_i)\)가 주어졌다 하자. 그럼
\[\varprojlim(v_i\circ u_i)=\bigl(\varprojlim v_i\bigr)\circ\bigl(\varprojlim u_i\bigr)\]이 성립한다.
정의 10 Inverse system \(\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)\)이 주어졌다 하자. 만일 \(A_i\)들의 부분집합 \(X_i\)들이 주어졌고, 이들 위에 \(f_{ij}\)를 제한하여 inverse system을 만들 수 있다면, 즉 다음의 식
\[f_{ij}(X_j)\subseteq X_i\]가 \(i\leq j\)마다 성립한다면 이들 system \(\bigl((X_i), (f_{ij}\vert_{X_j})\bigr)\)을 원래 system의 부분집합들의 inverse system이라 부른다.
그럼 어렵지 않게
\[\varprojlim X_i=\bigl(\varprojlim A_i\bigr)\cap\prod_{i\in I} X_i\]가 성립한다는 것을 확인할 수 있다.
이런 정의를 한 이유는 다음의 명제를 위해서다.
명제 11 두 개의 inverse system \(\bigl((A_i), (f_{ij})\bigr)\), \(\bigl((B_i), (g_{ij})\bigr)\), 그리고 inverse system 사이의 함수 \((u_i:A_i\rightarrow B_i)\)가 주어졌다 하자. 편의상 \(u=\varprojlim u_i\)라 하면, 각각의 \(y=(y_i)\in \varprojlim B_i\)에 대하여, \(u_i^{-1}(y_i)\)들이 \(A_i\)의 부분집합들의 inverse system을 이루며, inverse limit은
\[\varprojlim u_i^{-1}(y_i)=u^{-1}(y)\]으로 주어진다.
증명
우선 \(u_i^{-1}(y_i)\)들이 \(A_i\)의 부분집합들의 inverse system을 이룬다는 것부터 보이자. 즉, 임의의 \(x_j\in u_j^{-1}(y_j)\)에 대하여, 이를 \(f_{ij}\)를 타고 \(E_i\)로 보낸 값이 \(u_i^{-1}(y_i)\)에 속한다는 것을 보여야 한다. 즉, \(y_i=u_i(f_{ij}(x_j))\)임을 보이면 된다. 계산을 직접 해 보면
\[u_i(f_{ij}(x_j))=g_{ij}(u_j(x_j))=g_{ij}(y_j)=y_i\]가 성립하므로, 이 주장이 성립한다.
한편, \(x\in\varprojlim A_i\)가 \(u(x)=y\)를 만족한다는 것은 \(u\)의 정의로부터 정확히 \(u_i(x_i)=y_i\)가 모든 \(i\)에 대해 성립한다는 이야기이므로 두 번째 주장도 성립한다.
때문에, 만일 \(u_i\)가 모두 injective라면 \(u\) 또한 그러해야 한다.
Directed system과 direct limit
정의 12 \(I\)가 right directed set이고, family \((A_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 여기에 추가적으로 \(i\leq j\)를 만족하는 쌍 \((i,j)\)마다 함수 \(f_{ij}:A_i\rightarrow A_j\)가 정의되어, 다음의 두 조건
- \(i\leq j\leq k\)이면 \(f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}\),
- 각각의 \(i\in I\)마다 \(f_{ii}=\id_{E_i}\).
을 만족한다면, \(\bigl((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j}\bigr)\)를 directed system이라 부른다.
Inverse system과 directed system은 모두 right directed set를 index로 갖는다. 그 대신 inverse system에서는 함수 \(f_{ij}\)들이 index가 큰 집합에서 작은 집합으로 가도록 정의되었고, directed system에서는 함수 \(f_{ij}\)들이 작은 index에서 큰 index로 가도록 정의되었다.
정의 13 집합 \(\varinjlim A_i\)와, 함수 \(f_i: A_i\rightarrow \varinjlim A_i\)들의 family \((f_i)_{i\in I}\)가 \(\bigl((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j}\bigr)\)의 direct limit직접극한 혹은 injective limit 귀납적 극한이라는 것은 임의의 \(i\leq j\)에 대하여
\[f_i=f_{ij}\circ f_j\]가 성립하고, 추가적으로 다음의 universal property를 만족하는 것이다.
만일 어떤 집합 \(B\)와 함수들의 모임 \(u_i:A_i\rightarrow B\)가 주어져서 \(i\leq j\)마다 다음의 식
\[u_j\circ f_{ji}=u_i\]를 만족한다면, 함수 \(u:\varprojlim A_i\rightarrow B\)가 유일하게 존재하여, 모든 \(i\in I\)에 대하여
\[u_i=u\circ f_i\]가 성립한다.
이러한 성질을 갖는 대상과 함수를 만들기 위해서는 기존에 알던 다른 대상들을 사용할 필요가 있다. 집합들의 모임 \(A_i\)들에 대해, \(S=\sum A_i\)라 하자. Inclusion \(A_i\hookrightarrow S\)를 통해 \(A_i\)와 그 image를 동일하게 취급하면, 임의의 \(x\in S\)에 대하여 \(x\in A_i\)이도록 하는 유일한 index \(i\)가 존재한다. 이를 \(\lambda(x)\)라 적자. 그럼 다음의 관계
\(x\mathrel{R} y\)인 것은, \(i=\lambda(x)\), \(j=\lambda(y)\)보다 크거나 같은 \(k\)가 존재하여 \(f_{ki}(x)=f_{kj}(y)\)를 만족하는 것이다.
이 동치관계가 된다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 quotient set \(A=S/R\)이 잘 정의되고, 자연스러운 합성
\[f_i: A_i\hookrightarrow S\twoheadrightarrow S/R=A\]또한 주어진다.
보조정리 14 위에서 만들어낸 \(\bigl(A, (f_i)\bigr)\)는 direct limit의 universal property를 만족한다.
어렵지 않게 inverse limit을 정의하며 살펴보았던 정리들을 direct limit에서도 도입할 수 있다. 이를 반복하는 것보다는 특히 많이 사용되는 예시를 소개하는 것이 효율적이다.
예시 15 두 집합 \(A,B\)가 주어졌다 하자. Directed set \(I\)에 대하여, \(A\)의 부분집합들의 family \((A_i)\)를 다음의 조건
\[i\leq j\iff A_j\subseteq A_i\]이 만족되도록 잡자. 각각의 \(i\)에 대하여, 집합 \(F_i\)를
으로 정의할 수 있다. 이와 같은 상황에서는 흔히 \(\varinjlim A_i\)의 원소들을 germ들이라 부른다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.
-
물론 inverse system의 정의 상, 예를 들어 함수 \(f_{2,4}\)도 존재해야 하는데 이는 \(f_{2,4}=f_{2,3}\circ f_{3,4}\)으로 주어질 것이다. ↩
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