앞서 §대수적 구조, §§몫구조에서 우리는 동치관계 \(R\)이 마그마 \(A\)의 연산과 compatible할 경우 그 몫집합 \(A/R\) 위에 자연스러운 방식으로 마그마 구조를 줄 수 있다는 것을 증명하였으며, 뿐만 아니라 §반군, 모노이드, 군의 말미에서 우리는 \(A\)가 group일 경우, 이 방식으로 만들어진 마그마 \(A/R\) 또한 group이 된다는 것을 살펴보았다. 이 때 group \(A/R\)을 quotient group몫군이라 부른다.
정규부분군
한편 [집합론] §동치관계, ⁋명제 7을 통해 우리는 다음 두 가지가 같다는 것을 안다.
집합 \(G\)에 동치관계 \(R\)을 주는 것 \(\iff\) 집합 \(G\)의 분할 \((G_i)_{i\in I}\)을 택하는 것
따라서, 동치관계 \(R\)이 \(G\)의 연산과 compatible할 것을 요구하는 것이 오른쪽에서는 어떠한 것을 의미하는지를 생각해볼 수 있다.
우선 \(R\)이 \(G\)의 연산과 compatible하다고 가정하자. 그럼 \(G/R\)의 각 원소들이 \(G\)의 분할을 이루며, 특히 그 중 항등원을 포함하는 집합은 \([e]\) 뿐이다.
명제 1 Quotient group \(G/R\)에 대하여, \([e]\)는 \(G\)의 subgroup이다.
증명
\(a,b\in [e]\)라 하자. 즉 \(a\sim e\sim b\)이다. 이제 \(R\)은 \(G\)의 연산과 compatible하므로, \(a\sim b\)의 양 변의 오른쪽에 \(b^{-1}\)을 곱하여 \(ab^{-1}\sim e\)를 얻는다. 즉 \(ab^{-1}\in[e]\)이므로 §반군, 모노이드, 군, ⁋명제 15에 의하여 \([e]\)는 subgroup인 것을 안다.
반대로 \(G\)의 임의의 subgroup \(H\)가 주어졌다 하자. 위의 증명의 \([e]\)를 \(H\)로 바꾸어 다음의 관계를 정의할 수 있다.
\[a\sim_{\tiny r}b\iff ab^{-1}\in H\]이렇게 정의된 \(\sim_{\tiny r}\)이 동치관계라는 것을 쉽게 보일 수 있다. 이를 통해 quotient group을 정의하기 위해서는 이 동치관계가 \(G\)의 연산과 compatible해야 한다. 임의의 \(a,b,c\in G\)가 주어졌다 하자. 우선 만일 \(a\sim_{\tiny r}b\)가 성립한다 하면,
\[(ac)(bc)^{-1}=acc^{-1}b^{-1}=ab^{-1}\in H\]이므로 \(ac\sim_{\tiny r} bc\)이 성립한다. 즉 \(\sim_{\tiny r}\)은 \(G\)의 연산과 right compatible하다. 그러나
\[(ca)(cb)^{-1}=cab^{-1}c^{-1}\]이므로, 일반적으로 \(\sim_{\tiny r}\)이 \(G\)의 연산과 left compatible일 필요는 없다. 그러나 만일 임의의 \(x\in H\)에 대하여, \(cxc^{-1}\in H\)가 모든 \(c\in G\)에 대해 성립한다면 우변은 \(H\)의 원소가 될 것이고, 따라서 \(\sim_{\tiny r}\)이 \(G\) 위에 compatible한 동치관계를 정의한다.
참고 동치관계 \(\sim_r\) 대신 다음의 관계
\[a\sim_{\tiny l} b\iff a^{-1}b\in H\]를 정의했다면, \(\sim_{\tiny l}\)은 left compatible하며,
\[(ac)^{-1}(bc)=c^{-1}(a^{-1}b)c\]이므로 right compatible은 아니다. 이 관계가 right compatible이기 위해서는 임의의 \(c\in G\)와 임의의 \(x\in H\)에 대해 \(c^{-1}xc\in H\)가 성립해야 하며, 이는 위에서 얻어낸 조건과 같다.
정의 2 Group \(G\)의 subgroup \(H\)가 normal subgroup정규부분군이라는 것은 임의의 \(g\in G\)와 임의의 \(h\in H\)에 대하여, \(ghg^{-1}\in H\)가 항상 성립하는 것이다.
한편, \(g\)를 임의로 택할 수 있으므로, \(H\)가 normal subgroup인 것은 임의의 \(g\)에 대하여 \(gHg^{-1}=H\)가 성립하는 것과 동치라는 것을 보일 수 있다. 위의 논의에 의하여, \(G\)의 normal subgroup \(H\)가 주어졌을 때 그에 해당하는 quotient group을 얻을 수 있다. 이 때 얻어지는 quotient group을 \(G/H\)로 적는다.
명제 1에서, 임의의 \(a\in [e]\)에 대하여 다음 식
\[a\sim e\implies gag^{-1}\sim geg^{-1}=e\]으로부터 \([e]\)는 normal subgroup이 된다는 것을 안다. 또한 \(H=[e]\)로 두었을 때, 이에 해당하는 \(\sim_{\tiny r}\)은 정확하게 원래의 동치관계 \(\sim\)와 동일하므로 \(G/H\)와 \(G/R\)이 서로 같다. 거꾸로 임의의 normal subgroup \(H\)에서 정의된 \(\sim_{\tiny r}\)에 대해 \(G/H=G/{\sim_{\tiny r}}\) 또한 성립한다. 이로부터 \(G\)에 compatible한 동치관계를 주는 것은 \(G\)의 normal subgroup을 택하는 것과 같음을 안다.
잉여류
이제 group \(G\)와, 임의의 subgroup \(H\)를 생각하자. \(H\)가 normal이 아니더라도 위의 논의에서 얻어낸 \(\sim_{\tiny r}\)과 \(\sim_{\tiny l}\)은 어쨌든 동치관계이므로,
우선 \(G/{\sim_{\tiny r}}\)의 원소를 생각해보자. 임의의 \(a\in G\)와 그 equivalence class \([a]_{\tiny r}\)에 대하여,
\[x\in [a]_{\tiny r}\iff x\sim_{\tiny r} a\iff xa^{-1}\in H\]임을 안다. 따라서 집합 \(Ha\)를 다음의 식
\[Ha:=\{ha\mid h\in H\}\]으로 정의하면 \([a]_{\tiny r}=Ha\)가 성립한다. 비슷하게, \(G/{\sim_{\tiny l}}\)에 대하여는 \([a]_{\tiny l}=aH\)가 성립한다. 물론 \(G\)의 연산이 덧셈으로 적혀있었다면 이들은 각각 \(H+a\)와 \(a+H\)로 적는 것이 관례이다.
정의 3 위에서 정의한 두 집합 \(Ha\)와 \(aH\)를 각각 right coset오른쪽 잉여류 그리고 left coset왼쪽 잉여류이라 부른다.
따라서 \(G\)의 임의의 subgroup \(H\)가 주어졌을 때, 두 동치관계 \(\sim_{\tiny r}\)과 \(\sim_{\tiny l}\)은 \(G\)를 각각 right coset들과 left coset들로 분할한다. 이 경우 \(\sim_{\tiny r}\)에 의한 \(G\)의 몫집합은 \(H\setminus G\), 그리고 \(\sim_{\tiny l}\)에 의한 \(G\)의 몫집합은 \(G/H\)로 적는다.1 일반적으로 \(Ha\neq aH\)이지만, 사실 \(Ha=aH\)가 성립할 필요충분조건은 \(H\)가 normal이라는 것을 쉽게 확인할 수 있다.
뿐만 아니라, 임의의 \(a\in G\)에 대하여
\[{a\cdot}: H\rightarrow aH;\quad h\mapsto ah,\qquad {a^{-1}\cdot}: aH\rightarrow H;\quad ah\mapsto h\]은 서로의 역함수임을 알 수 있으므로 right coset들과 left coset들은 모두 \(H\)와 같은 cardinality를 갖는 것을 알 수 있다. 또한 함수 \(H\setminus G\rightarrow G/H\)를 다음의 식
\[Ha\mapsto a^{-1}H\]으로 정의하면 이 함수가 전단사임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉 \(\lvert H\setminus G\rvert=\lvert G/H\rvert\)이다.
정의 4 Group \(G\)와 subgroup \(H\)에 대하여, \(H\)의 index \([G:H]\)를 \(\lvert G/H\rvert\)으로 정의한다.
앞서 살펴본 \(G/H\)의 구조와 \(G/H\)의 각 원소들의 크기로부터 다음 명제가 자명하다.
명제 5 (Lagrange) Group \(G\)와 subgroup \(H\)에 대하여 \(\lvert G\rvert=[G:H]\lvert H\rvert\)이 성립한다.
이 명제는 \(G\) 혹은 \(H\)가 무한집합일 때에도 성립하지만, 특별히 이들이 유한일 경우,
참고문헌
[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.
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Right coset의 표기법은 차집합의 표기와 겹치지만, right coset을 많이 사용할 일은 없으므로 별도의 표기법을 정하지는 않기로 한다. ↩
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