Adjoint representation
Lie group에는 자연스러운 (finite-dimensional) representation \(\Ad: G \rightarrow \Aut(\mathfrak{g})\)이 존재한다. (§리 군, ⁋정의 19) 이는 각각의 \(g\in G\)가 정의하는 conjugation \(h\mapsto ghg^{-1}\)의 \(h=e\)에서의 미분이며, 만일 \(G\)와 \(\Aut(\mathfrak{g})\)를 모두 Lie group으로 보아 이를 미분한다면 우리는 \(\mathfrak{g}\)의 representation
\[\ad: \mathfrak{g}\rightarrow \Lie(\Aut(\mathfrak{g}))\]을 얻을 수 있으며 §리 군, ⁋정리 15을 생각하면 본질적으로 \(\Ad\)가 알고있는 정보는 여기에 다 담겨있다고 생각해도 된다. 어차피 벡터공간의 Lie algebra를 생각하는 것은 자기자신을 생각하는 것과 같으므로 우리는 \(\mathfrak{g}\)를 reresentation space \(\mathfrak{g}\)를 이용하여 표현한다 생각할 수 있고, 이 때 \(\ad\)는 명시적으로
\[\ad(X)Y=[X,Y]\]을 통해 계산해줄 수 있다.
표현론의 결과들을 사용하는 데에 중요한 것은 임의의 finite-dimensional representation은 항상 unitary라는 것이었다. 이 결과를 증명할 때 사용하는 논리는 \(V\) 위에 \(G\)-invariant inner product를 택할 수 있다는 것인데, 엄밀히 말하자면 우리는 orthogonal complement에 관심이 있으므로 non-degenerate symmetric form만 있어도 충분하다. 그런데 Lie algebra 위에는 자연스러운 bilinear form이 하나 존재한다.
정의 1 Lie algebra \(\mathfrak{g}\) 위에 다음의 식
\[K(X,Y)=\tr(\ad(X)\ad(Y))\]으로 정의된 symmetric bilinear form을 Killing form이라 부른다.
Killing form이 symmetric이고, \(\mathbb{C}\)-bilnear인 것은 정의에 의해 자명하다. 심지어 이 Killing form은 별도의 조작을 거치지 않아도 이미 \(G\)에 의한 adjoint action에 대해 invariant하기도 하다. 즉 다음 식
\[K(\Ad_g(X), \Ad_g(Y))=K(X,Y)\]이 성립하며, 이를 \(g=e\)에서 \(Z\) 방향으로 미분하면 다음의 \(\ad\)-invariance
\[0=\frac{d}{dt}\bigg\vert_{t=0}K(\Ad_{\exp(tZ)}X, \Ad_{\exp(tZ)},Y)=K([Z,X],Y)+K(X,[Z,Y])\]을 얻는다. 남아있는 것은 이것이 non-degenerate인 조건이다.
정의 2 Lie algebra \(\mathfrak{g}\)이 simple단순이라는 것은 \(\mathfrak{g}\)가 non-abelian Lie algebra이고 \(\mathfrak{g}\)의 ideal이 \(0\)과 자기자신 뿐인 것이다. Simple Lie algebra들의 direct sum으로 쓸 수 있는 Lie algebra를 semisimple이라 부른다.
그럼 다음이 성립한다.
명제 3 유한차원 Lie algebra \(\mathfrak{g}\)에 대하여, 다음이 모두 동치이다.
- \(\mathfrak{g}\)가 semisimple이다.
- Killing form이 non-degenerate이다.
- \(\mathfrak{g}\)가 nonzero abelian ideal을 갖지 않는다.
- \(\mathfrak{g}\)가 nonzero solvable ideal을 갖지 않는다.
- \(\mathfrak{g}\)의 radical이 \(0\)이다.
이에 대한 증명이 당장 중요한 것은 아니므로 넘어가기로 한다.
카르탕 부분대수
선형대수학에서 아주 강력한 도구 중 하나는 대각화였으며, 우리는 Lie group에서는 이를 weight decomposition을 통해 담아냈다. (§원환면의 작용, ⁋정의 4) 이에 대응되는 Lie algebra의 개념은 다음과 같다.
정의 4 Semisimple Lie algebra \(\mathfrak{g}\)에 대하여, \(\mathfrak{g}\)의 Cartan subalgebra카르탕 부분대수는 \(\ad(H)\)가 모든 \(H\in \mathfrak{h}\)에 대하여 diagonalizable이도록 하는 abelian subalgebra \(\mathfrak{h}\) 중 maximal인 것이다.
두 diagonalizable operator \(A,B\)가 simultaneously diagonalizable인 것은 이들 두 operator가 commute하는 것과 동치이므로, 정의에 의하여 \(\mathfrak{h}\)의 모든 원소들은 simultaneously diagonalizable이다. 이제 simultaneously diagonalizable operator들의 family \(\{H\in \mathfrak{h}\}\)를 사용하여 \(\mathfrak{g}\)를 분해하자. 만일 simultaneously diagonalizable operator들의
와 같은 형태이지만, 현재 우리 상황에서는 \(\mathfrak{h}\)가 벡터공간이므로 linear functional \(\mathfrak{\alpha}: \mathfrak{h}\rightarrow \mathbb{C}\)를 택하여 \(\alpha(H)\)가 각각의 \(H\)의 고유값 역할을 해주도록 하는 것이 낫다. 따라서 다음과 같이 정의한다.
정의 5 Semisimple Lie algebra \(\mathfrak{g}\)와 \(\mathfrak{g}\)의 Cartan subalgebra \(\mathfrak{h}\)에 대하여,
\[\Phi=\left\{\alpha\in \mathfrak{h}^\ast\setminus\{0\}\mid \mathfrak{g}_\alpha\neq 0\right\}\]의 원소들을 \(\mathfrak{g}\)의 root라 부른다. 이 때
\[\mathfrak{g}_\alpha=\left\{X\in \mathfrak{g}\mid [H,X]=\alpha(H)X\text{ for all $H\in \mathfrak{h}$}\right\}\]이다. (§리 군, ⁋정의 19)
정의에 의하여 \(\mathfrak{h}\)는 자기 자신 위에는 \(0\)으로 작용한다. 즉 \(\mathfrak{h}\)는 \(\mathfrak{g}\)를 simultaneous eigenspace로 분해했을 때 eigenvalue \(0\)에 해당하는 부분이며 이로부터 우리는 다음의 decomposition
\[\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in \Phi}\mathfrak{g}_\alpha\]을 얻는다. 이들이 다음 명제를 만족하는 것은 자명하다.
명제 6 Seimisimple Lie algebra \(\mathfrak{g}\), Cartan subalgebra \(\mathfrak{h}\)와 그 root decomposition
\[\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Phi}\mathfrak{g}_\alpha\]을 생각하고, \(K(-,-)\)이 \(\mathfrak{g}\) 위의 Killing form이라 하자. 다음이 성립한다.
- 임의의 \(\alpha,\beta\in \Phi\)에 대하여 \([\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta]\subseteq \mathfrak{g}_{\alpha+\beta}\)가 성립한다.
- 만일 \(\alpha+\beta\neq 0\)이라면 \(\mathfrak{g}_\alpha\)와 \(\mathfrak{g}_\beta\)는 \(K\)에 대해 orthogonal이다.
- Killing form을 \(\mathfrak{g}_\alpha\otimes \mathfrak{g}_{-\alpha}\)로 제한하면 nondegenerate pairing이 된다.
증명
-
임의의 \(X\in \mathfrak{g}_\alpha, Y\in \mathfrak{g}_\beta\), \(H\in \mathfrak{h}\)에 대하여,
\[[H,[X,Y]]=[[H,X],Y]+[X,[H,Y]]=[\alpha(H)X,Y]+[X,\beta(H)Y]=(\alpha+\beta)(H)[X,Y]\]이 성립한다.
-
임의의 \(X\in \mathfrak{g}_\alpha, Y\in \mathfrak{g}_\beta\), \(H\in \mathfrak{h}\)에 대하여, \(K\)의 \(\ad\)-invariance로부터
\[0=K([H,X],Y)+K(X,[H,Y])=K(\alpha(H),X)+K(X,\beta(H)Y)=(\alpha+\beta)(H)K(X,Y)\]을 얻는다. 만일 \(\alpha+\beta\neq 0\)이라면 이 식이 항상 성립하기 위해서는 \(K(X,Y)=0\)이 항상 성립해야 한다.
-
Killing form은 \(\mathfrak{g}\)에서는 non-degenerate이므로, 임의의 \(X\in \mathfrak{g}_\alpha\)가 주어졌을 때마다 \(K(X,Z)\neq 0\)이도록 하는 \(Z\in \mathfrak{g}\)가 존재한다. 보여야 할 것은 \(Z\in \mathfrak{g}_{-\alpha}\)이도록 할 수 있다는 것이다. 이는 \(Z\)를 root decompose한 후 둘째 결과에 의해 \(-\alpha\)가 아닌 나머지 부분에 해당하는 성분들은 어차피 \(X\)와 pairing해봤자 \(0\)이 되기 때문에 자명하다.
예시: \(\sl(2;\mathbb{C})\)
우리는 §리 군, ⁋명제 12를 통해 \(\sl(n;\mathbb{C})\)는 \(n\times n\) traceless 행렬들의 모임임을 안다. 따라서 \(\sl(2;\mathbb{C})\)는 다음의 세 원소를 basis로 갖는다.
\[H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad E=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad F=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\]따라서 \(\sl(2;\mathbb{C})\)의 곱셈구조는 다음의 commutation relation들
\[[H,E]=2E,\quad [H,F]=-2F,\quad [E,F]=H\]을 통해 얻어진다.
우리는 임의의 \(\sl(2;\mathbb{C})\)-representation이 irreducible representation들의 direct sum으로 나타난다는 것을 보인다. 이는 compact Lie group에 대해서는 자명한 결과이지만 \(\SL(w,\mathbb{C})\)와 같은 non-compact group에 대해서는 Haar measure의 존재성이 보장되지 않고 따라서 적분을 통해 내적을 평균내는 등의 아이디어를 사용할 수 없다는 것을 기억하자.
임의의 finite-dimensional \(\sl_2\)-representation \(V\)가 주어졌다 하고, 각각의 \(\lambda\in \mathbb{C}\)에 대하여 weight space
\[V_\lambda=\{v\in V\mid H\cdot v=\lambda v\}\]으로 정의하자. 그럼 앞서 살펴본 commutation relation에 의하여
\[E\cdot V_\lambda\subset V_{\lambda+2},\qquad F\cdot V_\lambda\subset V_{\lambda-2}\]이 성립한다. 우리는 이러한 이유로 \(E,F\)를 각각 raising operator, lowering operator라 부르기도 한다. 한편 \(V\)는 유한차원이므로 weight decomposition
\[V=\bigoplus_{\lambda} V_\lambda\]를 생각하면, \(V_\mu\neq 0\)이지만 \(V_{\mu+2}=0\)이 성립하는 \(\mu\)가 존재한다. 이러한 \(\mu\)를 heighest weight이라 부르고, \(V_\mu\)의 원소를 highest weight vector라 부른다. 그럼 highest weight vector \(v\)에 대하여 우리는 다음의 두 식
\[H\cdot v=\mu v,\qquad E\cdot v=0\]이 성립하는 것을 안다.
명제 7 임의의 highest weight \(v_0\in V_\mu\)에 대하여,
\[v_j=\frac{1}{j!}F^j v_0\]으로 정의하면 다음이 성립한다.
\[H\cdot v_j=(\mu-2j)v_j,\quad F\cdot v_j=(j+1)v_{j+1},\quad E\cdot v_j=(\mu-j+1)v_{j-1}.\]증명
처음 두 식은 자명하므로, \(E\)에 대한 식만 보이면 충분하다. 귀납법으로 진행한다. \(j=0\)인 경우는 자명하며, 만일 주어진 식이 \(j\)에 대해 성립한다면
\[E\cdot v_{j+1}=\frac{1}{j+1}EF\cdot v_j=\frac{1}{j+1}(FE+H)\cdot v_j\]이고, 귀납적 가정에 의해
\[E\cdot v_j=(\mu-j+1)v_{j-1}\]이고 \(H\)에 대한 식으로부터 \(H\cdot v_j=(\mu-2j)v_j\)이므로 이들을 대입하면 원하는 결과를 얻는다.
한편 \(V\)가 유한차원이므로, \(v_{m+1}=0\)을 만족하는 가장 작은 정수 \(m\)이 존재한다. 그럼 이러한 \(m\)에 대하여,
\[0=E\cdot v_{m+1}=(\mu-m)v_m\]과 \(m\)의 최소성으로부터 \(\mu=m\)이어야 한다는 것을 안다. 즉 highest weight는 반드시 양의 정수이다.
정의 8 고정된 정수 \(m\geq 0\)에 대하여, \(\sl_2\)의 representation \(V(m)\)을 \(m+1\)개의 vector들 \(v_0,\ldots, v_m\)과, 명제 7의 action
\[H\cdot v_j=(m-2j)v_j,\quad F\cdot v_j=(j+1)v_{j+1},\quad E\cdot v_j=(m-j+1)v_{j-1}\]을 주어 정의한다. \(v_{-1}=v_{m+1}=0\)이다.
어렵지 않게 \(V(m)\)은 irrducible인 것을 보일 수 있다. 이제 임의의 \(\sl_2\)-representation \(V\)에 대하여, 우리는 \(V\)의 highest weight을 찾은 후 highest weight vector에 대하여 명제 7을 적용하고, 남아있는 highest weight vector가 있다면 다시 이를 반복하는 식으로 \(V\)를 irreducible \(\sl_2\)-representation으로 분해할 수 있다.
근계
위의 \(\sl_2\)-representation의 예시는 앞으로 해나갈 이야기에 큰 역할을 한다. 우선 다음을 정의하자.
정의 9 유한차원 벡터공간 \(V\)와 그 위에 정의된 inner product \(( -,-)\)을 고정하자. \(V\)의 non-zero vector들의 유한한 집합 \(\Phi\)가 root system이라는 것은 다음의 조건들이 만족되는 것이다.
- \(\Phi\)의 원소들이 \(V\)를 span한다.
- 만일 \(\alpha\in \Phi\)이고 \(c\in \mathbb{R}\)이라면 \(c\alpha\in \Phi\)이기 위해서는 \(c=\pm 1\)이어야 한다.
-
각각의 root \(\alpha\in\Phi\)에 대하여, \(\Phi\)는 \(\alpha\)에 수직인 초평면에 대한 대칭이동 \(s_\alpha\)에 대해 닫혀있다. 즉, 임의의 \(\alpha,\beta\in \Phi\)에 대하여
\[s_\alpha(\beta):=\beta-2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha\in \Phi\]이다.
-
임의의 root \(\alpha,\beta\in\Phi\)에 대하여, 다음 식
\[\langle \beta,\alpha\rangle:=2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\]은 항상 정수이다.
이제 semisimple complex Lie algebra \(\mathfrak{g}\)의 Cartan subalgebra \(\mathfrak{h}\)를 고정하자. 그럼 우선 다음이 성립한다.
보조정리 10 Semisimple Lie algebra \(\mathfrak{g}\), Cartan subalgebra \(\mathfrak{h}\), 그리고 root decomposition
\[\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in \Phi} \mathfrak{g}_\alpha\]에 대하여 다음이 성립한다.
- 임의의 \(\alpha,\beta\in \Phi\)에 대하여 \([\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta]\subseteq \mathfrak{g}_{\alpha+\beta}\)가 성립한다.
- 만일 \(\alpha+\beta\neq 0\)이라면 \(\mathfrak{g}_\alpha\)와 \(\mathfrak{g}_\beta\)가 orthogonal이다.
- \(\mathfrak{g}\) 위에 정의된 Killing form을 \(\mathfrak{h}\)로 제한한 것은 non-degenerate이다.
- \(\mathfrak{g}\) 위에 정의된 Killing form은 \(\mathfrak{g}_\alpha\times \mathfrak{g}_{-\alpha} \rightarrow \mathbb{C}\)로 제한했을 때 non-degenerate이다.
증명
처음 주장은 자명하다. 둘째 주장의 경우, 임의의 \(X_\alpha\in \mathfrak{g}_\alpha,X_\beta\in \mathfrak{g}_\beta\) 그리고 임의의 \(H\in \mathfrak{h}\)에 대하여, \(K\)의 \(\ad\)-invariance로부터 다음의 식
\[0=K([H,X_\alpha],X_\beta)+K(X_\alpha, [H,X_\beta])=K(\alpha(H)X_\alpha, X_\beta)+K(X_\alpha,\beta(H)X_\beta)=(\alpha+\beta)(H)K(X_\alpha,X_\beta)\]을 얻는다. 따라서 \(\alpha+\beta\neq 0\)이라면 \(\mathfrak{g}_\alpha\)와 \(\mathfrak{g}_\beta\)는 \(K\)에 대해 orthogonal이다.
이제 셋째 주장을 보이기 위해 임의의 \(H\in \mathfrak{h}\)에 대하여 \(X\in \mathfrak{g}\)가 존재하여 \(K(H,X)\neq 0\)이도록 할 수 있다는 것을 기억하자. 새롭게 보여야 할 것은 \(X\)를 \(\mathfrak{h}\)에서 뽑을 수 있다는 것이다. 이를 위해 \(X\)를 root decomposition \(\sum X_\alpha\)의 꼴로 쓰면, 우리는 위의 결과에 의하여 \(K(H,-)\)를 취했을 때 \(X_0\in \mathfrak{h}\)를 제외한 모든 \(X_\alpha\)가 \(0\)을 준다는 것을 안다. 따라서 \(K(H,H_0)\neq 0\)이다.
넷째 주장은 셋째 주장과 정확히 동일하게 증명하면 된다.
이제 \(\mathfrak{g}\) 위에 정의된 Killing form이 \(\mathfrak{h}\)위에서도 non-degenerate이므로 이로부터 유도되는 다음의 isomorphism
\[\mathfrak{h}\rightarrow \mathfrak{h}^\ast;\qquad H\mapsto K(H, -)\]이 존재한다. 그럼 \(\Phi\subseteq \mathfrak{h}^\ast\)는 \(\mathfrak{h}^\ast\)의 spanning set이다. \(\Phi\)의 원소들의 일차결합으로 나타나지 않는 \(\mathfrak{h}^\ast\)의 원소가 있다 하면, 이에 해당하는 \(\mathfrak{h}\)의 원소는 모든 \(\alpha\in H\)에 대하여 \(\alpha(H)\)를 만족하여야 한다. 이제 임의의 root space \(\mathfrak{g}_\alpha\)에 대하여, \(H\)는
\[[H,X]=\alpha(H)X=0\qquad\text{for all $X\in \mathfrak{g}_\alpha$}\]으로 작용하고, \(\mathfrak{h}\)는 abelian이므로 이 위에는 \(0\)으로 작용한다. 즉 \(\mathfrak{g}\)의 root decomposition을 생각하면 \(H\)는 \(\mathfrak{g}\) 위의 모든 원소에 대하여 \(0\)으로 작용하고, 이로부터 \(H\)는 \(\mathfrak{g}\)의 모든 원소와 Lie bracket에 대해 commute함을 안다. 그런데 명제 4에 의하여 \(\mathfrak{g}\)는 nonzero abelian ideal을 가질 수 없고, 특히 \(Z(\mathfrak{g})=0\)이 성립해야 하므로 \(H=0\)이어야 한다.
이로부터 \(\Phi\)는 \(\mathfrak{h}^\ast\)을 span하는 것을 안다. 그러나 \(\mathfrak{h}^\ast\)는 complex vector space이고, 이 위에 정의된 Killing form 또한 positive definite라는 보장이 없으므로 inner product가 아니다. 이를 해소하기 위해 우리는 \(\Phi\)의 dual element들의 real span을 생각하고 여기로 Killing form을 제한했을 때 positive-definite가 된다는 것을 보인다. 이를 위해서는 root decomposition에 대한 조금 더 자세한 분석이 필요하다.
각각의 root들 \(\alpha\in\Phi\)에 대하여, Killing form의 non-degeneracy로부터 다음의 식
\[\alpha(X)=K(H_\alpha,X)\qquad\text{for all $X\in \mathfrak{h}$}\]을 만족하는 \(H_\alpha\in \mathfrak{h}\)이 존재한다. 우리의 첫 번째 관찰은 다음의 보조정리이다.
보조정리 11 임의의 \(E\in \mathfrak{g}_\alpha\)와 \(F\in \mathfrak{g}_{-\alpha}\)에 대하여, \([E,F]=K(E,F)H_\alpha\)이 성립한다.
증명
\(K\)의 \(\ad\)-invariance에 의하여
\[K([E,F],H)=K(F,[H,E])\]이 모든 \(H\in \mathfrak{h}\)에 대해 성립한다. 한편 \(E\in \mathfrak{g}_\alpha\)이므로
\[[H,E]=\alpha(H)E=K(H_\alpha,H)E\]이고 이를 위의 식에 대입하면
\[K([E,F],H)=K(F,[H,E])=K(F, K(H_\alpha,H)E)=K(H_\alpha,H)K(F,E)=K(K(F,E)H_\alpha,H)\]이 모든 \(H\)에 대해 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.
한편 우리는 보조정리 10으로부터 \(E\in \mathfrak{g}_\alpha\), \(F\in \mathfrak{g}_{-\alpha}\)를 택하여 \(K(E,F)\neq 0\)이도록 할 수 있다. 그럼 위의 결과로부터 이들은 다음의 relation
\[[E,F]=K(E,F)H_\alpha,\quad [H_\alpha,E]=\alpha(H_\alpha)E=K(\alpha,\alpha)E,\quad [H_\alpha,F]=-\alpha(H_\alpha)F=-K(\alpha,\alpha)F\]를 만족한다는 것을 안다. 이는 위에서 살펴본 \(\sl_2\)-representation의 commutation relation과 유사한 꼴이며, 실제로 어렵지 않게 \((\alpha,\alpha)\neq 0\)임을 보일 수 있다. 따라서
\[h_\alpha=\frac{2}{K(\alpha,\alpha)}H_\alpha\]으로 정의하고, 비슷하게 \(E\)와 \(F\) 대신 적절한 scaling을 통해
\[(e_\alpha,f_\alpha)(\alpha,\alpha)=2\]을 만족하는 \(e_\alpha\in \mathfrak{g}_\alpha\), \(f_\alpha\in \mathfrak{g}_{-\alpha}\)을 택할 수 있으며 이들은 다음 commutation relation
\[[e_\alpha,f_\alpha]=h_\alpha,\quad [h_\alpha,e_\alpha]=2e_\alpha,\quad [h_\alpha,f_\alpha]=-2f_\alpha\]을 만족한다. 즉 이들은 \(\mathfrak{g}\) 안에서 \(\sl_2\)과 isomorphic한 subalgebra를 준다. 이를 \(\sl_{2,\alpha}\)라 하자. 그럼 adjoint action을 통해 \(\mathfrak{g}\)를 \(\sl_{2,\alpha}\)-representation으로 볼 수 있다.
특히 \(h_\alpha\)가 \(\mathfrak{g}\)의 원소들에 어떻게 작용하는지를 살펴보자. 우선 \(\mathfrak{g}\)의 root space \(\mathfrak{g}_\beta\)에 \(h_\alpha\)의 adjoint action이 어떻게 작용하는지를 보면
\[[h_\alpha, x]=\beta(h_\alpha)x\qquad\text{for all $x\in \mathfrak{g}_\beta$}\]이므로 \(\mathfrak{g}_\beta\)는 이 action에 대한 weight \(\beta(h_\alpha)\)의 weight space이다. 그런데 앞서 살펴봤듯 \(\sl_2\)-representation의 weight은 항상 정수이므로, 이 값 \(\beta(h_\alpha)=\frac{2K(\alpha,\beta)}{K(\alpha,\alpha)}\)은 반드시 정수여야 함을 안다. 또 \(\sl_2\) representation의 임의의 weight subspace는 \(1\)차원이므로 각각의 \(\mathfrak{g}_\beta\)들도 \(1\)차원이다.
한편, 앞서 우리는 \(\mathfrak{h}\)이 \(H_\alpha\)들에 의해 생성되는 것을 보았으므로, 그 상수배인 \(h_\alpha\)들도 \(\mathfrak{h}\)를 생성한다. 앞서 말했듯 우리는 여기에 root system 구조를 주기 위해 \(h_\alpha\)들로 생성되는 real vector space
\[\mathfrak{h}_\mathbb{R}=\span_\mathbb{R}\{h_\alpha\mid \alpha\in\Phi\}\]을 생각할 것이다. 그럼 이 위에서 두 basis \(h_\alpha,h_\beta\)에 대하여
\[K(h_\alpha,h_\beta)=\tr_\mathfrak{g}(\ad h_\alpha\ad h_\beta)=\sum_{\gamma\in\Phi}\gamma(h_\alpha)\gamma(h_\beta)\]가 성립한다. 우리는 앞서 이들 \(\gamma(h_\alpha),\gamma(h_\beta)\)들이 정수임을 증명하였으며 따라서 \(K(h_\alpha,h_\beta)\)도 그러하다. 즉, \(\mathfrak{h}_\mathbb{R}\)로 제한했을 때 \(K\)는 real-valued이며, 이제 임의의 \(h\in \mathfrak{h}_\mathbb{R}\)에 대하여
\[K(h,h)=\tr(\ad_h\ad_h)=\sum_{\gamma\in\Phi}\gamma(h)^2\geq 0\]을 주므로 우리는 \(K\)가 \(\mathfrak{h}_\mathbb{R}\) 위에서 positive definite인 것을 안다. 특히 이를 다시 \(\mathfrak{h}^\ast\)로 옮겨주면 \(\mathfrak{h}^\ast\)에서 \(\Phi\)의 real span이 Euclidean space를 이룬다는 것을 확인할 수 있고, 이를 보이는 과정에서 우리는 이들 root들이 정의 9의 네 번째 조건을 만족하는 것도 보였다. 이제 우리가 보여야 할 것은 나머지 조건들이다.
우선 reflection operator를 적용한
\[s_\alpha(\beta)=\beta-\frac{2K(\alpha,\beta)}{K(\alpha,\alpha)}\alpha\]가 다시 root가 된다는 것을 보여야 하는데, 이는 \(\ad f_\alpha\)를 \(\lvert \beta(h_\alpha)\rvert\)번 작용하면 \(\mathfrak{g}_\beta\)와 \(\mathfrak{g}_{s_\alpha(\beta)}\) 사이의 isomorphism이 얻어지기 때문에 자명하다.
둘째 조건의 경우, 만일 \(\beta=c\alpha\)라 한다면
\[\frac{2K(\alpha,\beta)}{K(\alpha,\alpha)}=2c,\quad \frac{2K(\alpha,\beta)}{K(\beta,\beta)}=\frac{2}{c}\]가 모두 정수이기 위해서는 \(c\)는 \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 1/2\) 중 하나여야 하고, 다시 이를 \(\sl_2\)-representation theory로 옮긴 후 integrality를 적용하면 원하는 결과를 얻는다. 즉 우리는 다음을 증명하였다.
명제 12 정의 4에서 정의한 root들의 모임 \(\Phi\)는 \(\mathfrak{h}^\ast\)의 root system이다.
예시들
이제 다음의 예시들을 살펴보자.
예시 13 우선 standard Euclidean space \(\mathbb{R}^{n+1}\)을 생각하고, \(\mathbb{R}^{n+1}\)의 subspace
\[V_n=\left\{(x_1,\ldots, x_{n+1}\mid x_1+\cdots+x_{n+1}=0\right\}\]을 생각하자. 우리는 이 벡터공간의 부분집합
\[\Phi(A_n)=\left\{e_i-e_j\mid 1\leq i\neq j\leq n+1\right\}\]을 생각한다. 그럼 이 집합이 정의 5의 조건을 모두 만족하는 것을 안다. 첫째 조건인 \(\Phi(A_n)\)이 \(V_n\)을 span하는 것과, 둘째 조건이 성립하는 것은 자명하다. 셋째 조건의 경우, 임의의 벡터 \(\mathbf{x}=(x_1,\ldots, x_{n+1})\)와 임의의 \(\mathbf{e}_{ij}=e_i-e_j\)에 대하여 다음 식
\[s_{ij}(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{ij}\rangle\mathbf{e}_{ij}=(x_1,\ldots, x_{n+1})-(x_i-x_j)\mathbf{e}_{ij}\]이고 이는 \(\mathbf{x}\)의 \(i\)번째와 \(j\)번째의 성분을 바꾼 것으로 주어진다. 따라서 이로부터 정의 5의 셋째 조건이 성립하는 것을 알고 넷째 조건은 자명하다.
비슷하게 다음의 예시를 생각할 수 있다.
예시 14 이번에는 standard Euclidean space \(\mathbb{R}^n\)을 생각하자. 이번에는 다음 집합
\[\Phi(D_n)=\left\{\pm e_i\pm e_j\mid 1\leq i \neq j\leq n\right\}\]을 생각한다. 이들 벡터들이 \(\mathbb{R}^n\)을 span하는 것은 자명하다. 이번에는 임의의 \(\mathbf{e}_{ij}^\pm =e_i\pm e_j\)들이 어떠한 reflection을 정의하는지를 살펴보아야 한다. 우리는 \(e_i-e_j\)들이 벡터 \(\mathbf{x}\)의 \(i\)번째와 \(j\)번째 성분을 바꿔주는 것을 알고 있으며 따라서 \(e_i+e_j\)가 어떠한 reflection을 정의하는지를 알뗜 충분하다. 즉 다음의 계산
\[s_{ij}^+(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\langle\mathbf{x}, \mathbf{e}_{ij}^+\rangle\mathbf{e}_{ij}^+=(x_1,\ldots, x_n)-(x_i+x_j)\mathbf{e}_{ij}\]을 생각하면, \(s_{ij}^+\)는 주어진 벡터의 \(i\)번째 성분과 \(j\)번째 성분을 바꾼 후 부호까지 반대로 바꾸어주는 것이다.
위의 예시들에서 살펴볼 수 있듯이 root system을 묘사하기 위해 모든 root들이 필요한 것은 아니다. 가령 \(\Phi(A_n)\)의 경우,
\[e_i-e_k=(e_i-e_j)+(e_j-e_k)\]이 성립하며 이로부터 \(\Phi(A_n)\)을 묘사하기 위해서는 \(e_i-e_{i+1}\) 꼴의 원소들만 필요함을 안다. 이와 비슷한 방식으로 우리는 다음을 정의한다.
정의 15 Root system \(\Phi\)에 대하여, 우리는 \(\Phi\)의 부분집합 \(\Phi^+\)가 positive root들의 부분집합이라는 것은 각각의 root \(\alpha\in \Phi\)에 대하여, \(\alpha\)와 \(-\alpha\) 중 정확하게 하나만이 \(\Phi\)에 속하며, 임의의 두 \(\alpha,\beta\in \Phi^+\)가 주어질 때마다 \(\alpha+\beta\in \Phi^+\) 또한 성립하는 것이다. Simple root들의 모임 \(\Phi^+\)을 고정하였을 때, \(\Phi^+\)의 원소 \(\alpha\)가 simple root라는 것은 \(\alpha\)를 \(\Phi^+\)의 두 원소들의 합으로 나타낼 수 없는 것이다.
따라서 simple root들 사이의 정수값들
\[\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle=2\frac{(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_j,\alpha_j)}\]들이 어떻게 정의되었는지만 안다면, 임의의 root \(\alpha_j\)에 대한 reflection \(s_j\)가 다른 root \(\alpha_i\)을 어떻게 옮기는지를 알 수 있다.
이제 root system \(\Phi\)와 simple root들의 모임 \(\Delta=\left\{\alpha_1,\ldots, \alpha_l\right\}\)이 고정되었다고 하자. 그럼 Cartan matrix는 다음과 같이 정의된다.
정의 16 위와 같은 세팅에서, 다음의 행렬
\[A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq l},\qquad a_{ij}=\langle \alpha_i,\alpha_j\rangle\]을 Cartan matrix라 부른다.
Root system의 정의에 의하여 각각의 성분 \(a_{ij}\)는 정수이다. 또 각각의 \(i\)에 대하여 \(a_{ii}=2\)인 것 또한 자명하다.
한편, 우리는 다음의 식
\[\langle\alpha,\beta\rangle \langle\beta,\alpha\rangle=4\frac{(\alpha,\beta)^2}{\lvert\alpha\rvert^2\lvert\beta\rvert^2}=4(\cos\theta)^2\]과, 좌변이 정수라는 사실로부터 임의의 두 root \(\alpha,\beta\)에 대해 \(\langle\alpha,\beta\rangle\)이 취할 수 있는 값은 \(0, \pm 1, \pm 2\) 뿐인 것을 안다. 여기서 \(\cos\theta\)는 두 root \(\alpha,\beta\)가 이루는 사잇각이며 이것이 취할 수 있는 값은
\[0, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \pm 1\]이 된다. 여기서 \(\pm 1\)의 경우는 정의 5의 둘째 조건에 의해 배제되므로 root들은 각각 \(30\)도 (혹은 \(150\)도), \(45\)도 (혹은 \(135\)도), \(60\)도 (혹은 \(120\)도)의 각도만 이룰 수 있다.
예시를 위해 만일 두 root \(\alpha,\beta\)가 이루는 각이 \(30\)도이거나 \(150\)도라 하자. 그럼
\[\langle\alpha,\beta\rangle\langle\beta,\alpha\rangle=3\]으로부터 \(\langle\alpha,\beta\rangle\)은 \(\pm 1\)이거나 \(\pm 3\)이어야 한다. 이제 다음 식
\[\langle \alpha,\beta\rangle =2\frac{(\alpha,\beta)}{\lvert\beta\rvert^2}=\frac{2\lvert\alpha\rvert\lvert\beta\rvert\cos\theta}{\lvert\beta\rvert^2}=\frac{\pm \sqrt{3}\lvert\alpha\rvert}{\lvert\beta\rvert}\]의 값이 \(\pm 1\) 혹은 \(\pm 3\)이라는 것으로부터 우리는 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 길이비가 \(\sqrt{3}\)이어야 함을 안다. 비슷하게 두 root \(\alpha,\beta\)가 이루는 각이 \(45\)도 혹은 \(135\)도라면, 이들 두 root의 길이비는 \(\sqrt{2}\)여야 하고 \(60\)도 혹은 \(120\)도의 경우에는 길이비가 \(1\)이어야 함을 안다.
Weyl group
Root system \(\Phi\)의 각 root \(\alpha\)에 대하여 reflection \(s_\alpha\)는 \(\Phi\)의 automorphism을 정의한다. 이들 reflection들로 생성되는 군을 생각하자.
정의 17 Root system \(\Phi\)의 Weyl group은 reflection들 \(s_\alpha\) (\(\alpha\in\Phi\))로 생성되는 \(\Aut(\Phi)\)의 부분군이다.
\[W(\Phi)=\langle s_\alpha\mid \alpha\in\Phi\rangle\]Weyl group은 유한군이다. 실제로 \(W\)는 \(\Phi\)가 속한 Euclidean space의 orthogonal group의 부분군이고, \(\Phi\)가 유한집합이므로 \(W\) 역시 유한하다. 또한 명제 12에서 확인한 것과 같이 reflection \(s_\alpha\)가 \(\alpha\)에 수직인 초평면에 대한 대칭이동이므로, \(W\)는 Coxeter group의 구조를 갖는다.
예시 18 예시 13에서 살펴본 \(\Phi(A_n)\)의 경우, reflection \(s_{ij}\)는 \(i\)번째와 \(j\)번째 좌표를 교환하는 transposition에 해당한다. 따라서 \(W(\Phi(A_n))\cong S_{n+1}\)이다. 예시 14의 \(\Phi(D_n)\)의 경우, reflection들은 좌표의 교환과 부호 변화를 모두 포함하므로 \(W(\Phi(D_n))\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{n-1}\rtimes S_n\)이다.
Lie group과의 연결
지금까지 우리는 semisimple Lie algebra \(\mathfrak{g}\)의 root system \(\Phi\)를 정의하고, 그 대칭성을 포착하는 Weyl group을 reflection들 \(s_\alpha\)로 생성되는 유한군으로 정의하였다. 한편 §원환면의 작용, §§극대 원환면에서 우리는 compact Lie group \(G\)의 Weyl group을 \(W=N(T)/T\)로 정의하였다. 이 절에서는 두 정의가 자연스럽게 일치함을 보인다.
우선 \(\mathfrak{g}\)가 compact connected Lie group \(G\)의 Lie algebra라고 하자. \(\mathfrak{g}\)가 semisimple인 것은 \(G\)의 universal cover가 \(\mathbb{R}^n\)을 factor로 갖지 않는 것과 동치이다. 이 경우 \(G\)의 maximal torus \(T\)의 Lie algebra \(\mathfrak{t}\)가 \(\mathfrak{g}\)의 Cartan subalgebra가 된다.
이제 \(N(T)\)가 \(\mathfrak{t}^\ast\) 위에 작용하는 방식을 살펴보자. 임의의 \(n\in N(T)\)에 대하여, adjoint representation \(\Ad(n)\)은 \(\mathfrak{g}\) 위의 automorphism이고 \(nTn^{-1}=T\)이므로 \(\mathfrak{t}\)를 보존한다. 따라서 \(\Ad(n)\vert_\mathfrak{t}\)는 \(\mathfrak{t}\)의 automorphism이고, 이를 dual로 옮기면 \(\mathfrak{t}^\ast\) 위의 linear action을 얻는다.
명제 19 \(N(T)\)의 \(\mathfrak{t}^\ast\) 위의 action은 root system \(\Phi\)를 보존한다.
증명
임의의 \(n\in N(T)\)와 \(\alpha\in\Phi\)에 대하여, \(\Ad(n)\)이 \(\mathfrak{g}_\alpha\)를 \(\mathfrak{g}_{n\cdot\alpha}\)로 보낸다는 것을 보이면 충분하다. 임의의 \(X\in\mathfrak{g}_\alpha\)와 \(H\in\mathfrak{t}\)에 대하여,
\[[H,\Ad(n)X]=\Ad(n)[\Ad(n)^{-1}H,X]\]인데, \(\Ad(n)^{-1}H\in\mathfrak{t}\)이고 \(X\in\mathfrak{g}_\alpha\)이므로
\[[\Ad(n)^{-1}H,X]=\alpha(\Ad(n)^{-1}H)X=(n^{-1}\cdot\alpha)(H)\cdot X\]이다. 따라서
\[[H,\Ad(n)X]=(n^{-1}\cdot\alpha)(H)\cdot\Ad(n)X\]이고, 이는 \(\Ad(n)X\in\mathfrak{g}_{n^{-1}\cdot\alpha}\)임을 의미한다. 즉 \(\Ad(n)\)은 \(\mathfrak{g}_\alpha\)를 \(\mathfrak{g}_{n^{-1}\cdot\alpha}\)로 보내고, 이로부터 \(n\cdot\alpha\in\Phi\)임을 안다.
따라서 우리는 \(W=N(T)/T\)가 \(\mathfrak{t}^\ast\) 위에, 특히 root system \(\Phi\) 위에 잘 정의된 action을 갖는다는 것을 안다. 이제 핵심적인 결과는 다음과 같다.
명제 20 각각의 root \(\alpha\in\Phi\)에 대하여, \(\Ad(n_\alpha)\vert_\mathfrak{t}=s_\alpha\)를 만족하는 \(n_\alpha\in N(T)\)가 존재한다. 따라서 Lie group에서 정의한 Weyl group \(W=N(T)/T\)와 root system의 Weyl group은 isomorphic하다.
증명
임의의 root \(\alpha\in\Phi\)에 대하여, 앞서 살펴본 것과 같이 \(\sl_{2;\alpha}=\langle e_\alpha, f_\alpha, h_\alpha\rangle\)는 \(\sl(2;\mathbb{C})\)와 isomorphic한 \(\mathfrak{g}\)의 subalgebra이다. 이에 대응하는 \(G\)의 Lie subgroup \(G_\alpha\)는 \(\SU(2)\) 혹은 \(\SO(3)\)와 locally isomorphic하다.
\(G_\alpha\)는 \(T\)와 교집합을 취했을 때 1차원 torus \(T_\alpha=T\cap G_\alpha\)를 이룬다. 이제 \(N(T)\)의 원소 중 \(\Ad\)-action이 \(\mathfrak{t}\) 위에서 reflection \(s_\alpha\)를 유도하는 것을 찾아야 한다. 이를 위해 다음 원소
\[n_\alpha=\exp(e_\alpha)\exp(-f_\alpha)\exp(e_\alpha)\]를 생각하자. \(\SU(2)\)에서의 계산에 의하면 이는
\[\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\]에 해당하며, 이 원소는 \(T_\alpha\)의 원소를 \(t\mapsto t^{-1}\)로 보낸다. 따라서 \(\Ad(n_\alpha)\)는 \(h_\alpha\)를 \(-h_\alpha\)로 보내고, \(\ker\alpha\)를 보존한다. 즉 \(\Ad(n_\alpha)\vert_\mathfrak{t}=s_\alpha\)이다.
마지막으로 \(n_\alpha\in N(T)\)임을 확인하자. \(\Ad(n_\alpha)\)가 \(\mathfrak{t}\)를 보존하므로 \(n_\alpha Tn_\alpha^{-1}\)과 \(T\)는 같은 Lie algebra를 갖고, 둘 다 connected이므로 \(n_\alpha Tn_\alpha^{-1}=T\)이다.
이로부터 우리는 두 관점에서의 Weyl group이 본질적으로 같은 대상임을 안다. Lie group 관점에서 \(W=N(T)/T\)는 maximal torus의 conjugation action을 포착하고, Lie algebra 관점에서의 \(W\)는 root system의 대칭성을 포착한다. 두 정의의 일치는 compact Lie group의 구조가 그 Lie algebra의 root system에 의해 완전히 결정된다는 사실의 구체적인 표현이다.
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