근계

Adjoint representation

Lie group에는 자연스러운 (finite-dimensional) representation $\Ad: G \rightarrow \Aut(\mathfrak{g})$이 존재한다. (§리 군, ⁋정의 19) 이는 각각의 $g\in G$가 정의하는 conjugation $h\mapsto ghg^{-1}$의 $h=e$에서의 미분이며, 만일 $G$와 $\Aut(\mathfrak{g})$를 모두 Lie group으로 보아 이를 미분한다면 우리는 $\mathfrak{g}$의 representation

\[\ad: \mathfrak{g}\rightarrow \Lie(\Aut(\mathfrak{g}))\]

을 얻을 수 있으며 §리 군, ⁋정리 15을 생각하면 본질적으로 $\Ad$가 알고있는 정보는 여기에 다 담겨있다고 생각해도 된다. 어차피 벡터공간의 Lie algebra를 생각하는 것은 자기자신을 생각하는 것과 같으므로 우리는 $\mathfrak{g}$를 reresentation space $\mathfrak{g}$를 이용하여 표현한다 생각할 수 있고, 이 때 $\ad$는 명시적으로

\[\ad(X)Y=[X,Y]\]

을 통해 계산해줄 수 있다.

표현론의 결과들을 사용하는 데에 중요한 것은 임의의 finite-dimensional representation은 항상 unitary라는 것이었다. 이 결과를 증명할 때 사용하는 논리는 $V$ 위에 $G$-invariant inner product를 택할 수 있다는 것인데, 엄밀히 말하자면 우리는 orthogonal complement에 관심이 있으므로 non-degenerate symmetric form만 있어도 충분하다. 그런데 Lie algebra 위에는 자연스러운 bilinear form이 하나 존재한다.

정의 1 Lie algebra $\mathfrak{g}$ 위에 다음의 식

\[K(X,Y)=\tr(\ad(X)\ad(Y))\]

으로 정의된 symmetric bilinear form을 Killing form이라 부른다.

Killing form이 symmetric이고, $\mathbb{C}$-bilnear인 것은 정의에 의해 자명하다. 심지어 이 Killing form은 별도의 조작을 거치지 않아도 이미 $G$에 의한 adjoint action에 대해 invariant하기도 하다. 즉 다음 식

\[K(\Ad_g(X), \Ad_g(Y))=K(X,Y)\]

이 성립하며, 이를 $g=e$에서 $Z$ 방향으로 미분하면 다음의 $\ad$-invariance

\[0=\frac{d}{dt}\bigg\vert_{t=0}K(\Ad_{\exp(tZ)}X, \Ad_{\exp(tZ)},Y)=K([Z,X],Y)+K(X,[Z,Y])\]

을 얻는다. 남아있는 것은 이것이 non-degenerate인 조건이다.

정의 2 Lie algebra $\mathfrak{g}$이 simple_단순이라는 것은 $\mathfrak{g}$가 non-abelian Lie algebra이고 $\mathfrak{g}$의 ideal이 $0$과 자기자신 뿐인 것이다. Simple Lie algebra들의 direct sum으로 쓸 수 있는 Lie algebra를 semisimple이라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 3 유한차원 Lie algebra $\mathfrak{g}$에 대하여, 다음이 모두 동치이다.

1. $\mathfrak{g}$가 semisimple이다.
2. Killing form이 non-degenerate이다.
3. $\mathfrak{g}$가 nonzero abelian ideal을 갖지 않는다.
4. $\mathfrak{g}$가 nonzero solvable ideal을 갖지 않는다.
5. $\mathfrak{g}$의 radical이 $0$이다.

이에 대한 증명이 당장 중요한 것은 아니므로 넘어가기로 한다.

카르탕 부분대수

선형대수학에서 아주 강력한 도구 중 하나는 대각화였으며, 우리는 Lie group에서는 이를 weight decomposition을 통해 담아냈다. (§원환면의 작용, ⁋정의 4) 이에 대응되는 Lie algebra의 개념은 다음과 같다.

정의 4 Semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$에 대하여, $\mathfrak{g}$의 Cartan subalgebra_{카르탕 부분대수}는 $\ad(H)$가 모든 $H\in \mathfrak{h}$에 대하여 diagonalizable이도록 하는 abelian subalgebra $\mathfrak{h}$ 중 maximal인 것이다.

두 diagonalizable operator $A,B$가 simultaneously diagonalizable인 것은 이들 두 operator가 commute하는 것과 동치이므로, 정의에 의하여 $\mathfrak{h}$의 모든 원소들은 simultaneously diagonalizable이다. 이제 simultaneously diagonalizable operator들의 family $\{H\in \mathfrak{h}\}$를 사용하여 $\mathfrak{g}$를 분해하자. 만일 simultaneously diagonalizable operator들의 유한한 family $A_1,\ldots, A_n$이 주어졌다면, simultaneous eigenspace로 공간을 분해하는 것은

\[V=\bigoplus V_\alpha,\qquad \text{$A_i v_\alpha=\lambda_i v_\alpha$ for all $v_\alpha\in V$ for all $i$}\]

와 같은 형태이지만, 현재 우리 상황에서는 $\mathfrak{h}$가 벡터공간이므로 linear functional $\mathfrak{\alpha}: \mathfrak{h}\rightarrow \mathbb{C}$를 택하여 $\alpha(H)$가 각각의 $H$의 고유값 역할을 해주도록 하는 것이 낫다. 따라서 다음과 같이 정의한다.

정의 5 Semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$와 $\mathfrak{g}$의 Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$에 대하여,

\[\Phi=\left\{\alpha\in \mathfrak{h}^\ast\setminus\{0\}\mid \mathfrak{g}_\alpha\neq 0\right\}\]

의 원소들을 $\mathfrak{g}$의 root라 부른다. 이 때

\[\mathfrak{g}_\alpha=\left\{X\in \mathfrak{g}\mid [H,X]=\alpha(H)X\text{ for all $H\in \mathfrak{h}$}\right\}\]

이다. (§리 군, ⁋정의 19)

정의에 의하여 $\mathfrak{h}$는 자기 자신 위에는 $0$으로 작용한다. 즉 $\mathfrak{h}$는 $\mathfrak{g}$를 simultaneous eigenspace로 분해했을 때 eigenvalue $0$에 해당하는 부분이며 이로부터 우리는 다음의 decomposition

\[\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in \Phi}\mathfrak{g}_\alpha\]

을 얻는다. 이들이 다음 명제를 만족하는 것은 자명하다.

명제 6 Seimisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$, Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$와 그 root decomposition

\[\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Phi}\mathfrak{g}_\alpha\]

을 생각하고, $K(-,-)$이 $\mathfrak{g}$ 위의 Killing form이라 하자. 다음이 성립한다.

1. 임의의 $\alpha,\beta\in \Phi$에 대하여 $[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta]\subseteq \mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$가 성립한다.
2. 만일 $\alpha+\beta\neq 0$이라면 $\mathfrak{g}_\alpha$와 $\mathfrak{g}_\beta$는 $K$에 대해 orthogonal이다.
3. Killing form을 $\mathfrak{g}_\alpha\otimes \mathfrak{g}_{-\alpha}$로 제한하면 nondegenerate pairing이 된다.

증명

1. 임의의 $X\in \mathfrak{g}_\alpha, Y\in \mathfrak{g}_\beta$, $H\in \mathfrak{h}$에 대하여,

   \[[H,[X,Y]]=[[H,X],Y]+[X,[H,Y]]=[\alpha(H)X,Y]+[X,\beta(H)Y]=(\alpha+\beta)(H)[X,Y]\]

   이 성립한다.

2. 임의의 $X\in \mathfrak{g}_\alpha, Y\in \mathfrak{g}_\beta$, $H\in \mathfrak{h}$에 대하여, $K$의 $\ad$-invariance로부터

   \[0=K([H,X],Y)+K(X,[H,Y])=K(\alpha(H),X)+K(X,\beta(H)Y)=(\alpha+\beta)(H)K(X,Y)\]

   을 얻는다. 만일 $\alpha+\beta\neq 0$이라면 이 식이 항상 성립하기 위해서는 $K(X,Y)=0$이 항상 성립해야 한다.

3. Killing form은 $\mathfrak{g}$에서는 non-degenerate이므로, 임의의 $X\in \mathfrak{g}_\alpha$가 주어졌을 때마다 $K(X,Z)\neq 0$이도록 하는 $Z\in \mathfrak{g}$가 존재한다. 보여야 할 것은 $Z\in \mathfrak{g}_{-\alpha}$이도록 할 수 있다는 것이다. 이는 $Z$를 root decompose한 후 둘째 결과에 의해 $-\alpha$가 아닌 나머지 부분에 해당하는 성분들은 어차피 $X$와 pairing해봤자 $0$이 되기 때문에 자명하다.

예시: $\sl(2;\mathbb{C})$

우리는 §리 군, ⁋명제 12를 통해 $\sl(n;\mathbb{C})$는 $n\times n$ traceless 행렬들의 모임임을 안다. 따라서 $\sl(2;\mathbb{C})$는 다음의 세 원소를 basis로 갖는다.

\[H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad E=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad F=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\]

따라서 $\sl(2;\mathbb{C})$의 곱셈구조는 다음의 commutation relation들

\[[H,E]=2E,\quad [H,F]=-2F,\quad [E,F]=H\]

을 통해 얻어진다.

우리는 임의의 $\sl(2;\mathbb{C})$-representation이 irreducible representation들의 direct sum으로 나타난다는 것을 보인다. 이는 compact Lie group에 대해서는 자명한 결과이지만 $\SL(w,\mathbb{C})$와 같은 non-compact group에 대해서는 Haar measure의 존재성이 보장되지 않고 따라서 적분을 통해 내적을 평균내는 등의 아이디어를 사용할 수 없다는 것을 기억하자.

임의의 finite-dimensional $\sl_2$-representation $V$가 주어졌다 하고, 각각의 $\lambda\in \mathbb{C}$에 대하여 weight space

\[V_\lambda=\{v\in V\mid H\cdot v=\lambda v\}\]

으로 정의하자. 그럼 앞서 살펴본 commutation relation에 의하여

\[E\cdot V_\lambda\subset V_{\lambda+2},\qquad F\cdot V_\lambda\subset V_{\lambda-2}\]

이 성립한다. 우리는 이러한 이유로 $E,F$를 각각 raising operator, lowering operator라 부르기도 한다. 한편 $V$는 유한차원이므로 weight decomposition

\[V=\bigoplus_{\lambda} V_\lambda\]

를 생각하면, $V_\mu\neq 0$이지만 $V_{\mu+2}=0$이 성립하는 $\mu$가 존재한다. 이러한 $\mu$를 heighest weight이라 부르고, $V_\mu$의 원소를 highest weight vector라 부른다. 그럼 highest weight vector $v$에 대하여 우리는 다음의 두 식

\[H\cdot v=\mu v,\qquad E\cdot v=0\]

이 성립하는 것을 안다.

명제 7 임의의 highest weight $v_0\in V_\mu$에 대하여,

\[v_j=\frac{1}{j!}F^j v_0\]

으로 정의하면 다음이 성립한다.

\[H\cdot v_j=(\mu-2j)v_j,\quad F\cdot v_j=(j+1)v_{j+1},\quad E\cdot v_j=(\mu-j+1)v_{j-1}.\]

증명

처음 두 식은 자명하므로, $E$에 대한 식만 보이면 충분하다. 귀납법으로 진행한다. $j=0$인 경우는 자명하며, 만일 주어진 식이 $j$에 대해 성립한다면

\[E\cdot v_{j+1}=\frac{1}{j+1}EF\cdot v_j=\frac{1}{j+1}(FE+H)\cdot v_j\]

이고, 귀납적 가정에 의해

\[E\cdot v_j=(\mu-j+1)v_{j-1}\]

이고 $H$에 대한 식으로부터 $H\cdot v_j=(\mu-2j)v_j$이므로 이들을 대입하면 원하는 결과를 얻는다.

한편 $V$가 유한차원이므로, $v_{m+1}=0$을 만족하는 가장 작은 정수 $m$이 존재한다. 그럼 이러한 $m$에 대하여,

\[0=E\cdot v_{m+1}=(\mu-m)v_m\]

과 $m$의 최소성으로부터 $\mu=m$이어야 한다는 것을 안다. 즉 highest weight는 반드시 양의 정수이다.

정의 8 고정된 정수 $m\geq 0$에 대하여, $\sl_2$의 representation $V(m)$을 $m+1$개의 vector들 $v_0,\ldots, v_m$과, 명제 7의 action

\[H\cdot v_j=(m-2j)v_j,\quad F\cdot v_j=(j+1)v_{j+1},\quad E\cdot v_j=(m-j+1)v_{j-1}\]

을 주어 정의한다. $v_{-1}=v_{m+1}=0$이다.

어렵지 않게 $V(m)$은 irrducible인 것을 보일 수 있다. 이제 임의의 $\sl_2$-representation $V$에 대하여, 우리는 $V$의 highest weight을 찾은 후 highest weight vector에 대하여 명제 7을 적용하고, 남아있는 highest weight vector가 있다면 다시 이를 반복하는 식으로 $V$를 irreducible $\sl_2$-representation으로 분해할 수 있다.

근계

위의 $\sl_2$-representation의 예시는 앞으로 해나갈 이야기에 큰 역할을 한다. 우선 다음을 정의하자.

정의 9 유한차원 벡터공간 $V$와 그 위에 정의된 inner product $( -,-)$을 고정하자. $V$의 non-zero vector들의 유한한 집합 $\Phi$가 root system이라는 것은 다음의 조건들이 만족되는 것이다.

1. $\Phi$의 원소들이 $V$를 span한다.
2. 만일 $\alpha\in \Phi$이고 $c\in \mathbb{R}$이라면 $c\alpha\in \Phi$이기 위해서는 $c=\pm 1$이어야 한다.

3. 각각의 root $\alpha\in\Phi$에 대하여, $\Phi$는 $\alpha$에 수직인 초평면에 대한 대칭이동 $s_\alpha$에 대해 닫혀있다. 즉, 임의의 $\alpha,\beta\in \Phi$에 대하여

   \[s_\alpha(\beta):=\beta-2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha\in \Phi\]

   이다.

4. 임의의 root $\alpha,\beta\in\Phi$에 대하여, 다음 식

   \[\langle \beta,\alpha\rangle:=2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\]

   은 항상 정수이다.

이제 semisimple complex Lie algebra $\mathfrak{g}$의 Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$를 고정하자. 그럼 우선 다음이 성립한다.

보조정리 10 Semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$, Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$, 그리고 root decomposition

\[\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in \Phi} \mathfrak{g}_\alpha\]

에 대하여 다음이 성립한다.

1. 임의의 $\alpha,\beta\in \Phi$에 대하여 $[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta]\subseteq \mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$가 성립한다.
2. 만일 $\alpha+\beta\neq 0$이라면 $\mathfrak{g}_\alpha$와 $\mathfrak{g}_\beta$가 orthogonal이다.
3. $\mathfrak{g}$ 위에 정의된 Killing form을 $\mathfrak{h}$로 제한한 것은 non-degenerate이다.
4. $\mathfrak{g}$ 위에 정의된 Killing form은 $\mathfrak{g}_\alpha\times \mathfrak{g}_{-\alpha} \rightarrow \mathbb{C}$로 제한했을 때 non-degenerate이다.

증명

처음 주장은 자명하다. 둘째 주장의 경우, 임의의 $X_\alpha\in \mathfrak{g}_\alpha,X_\beta\in \mathfrak{g}_\beta$ 그리고 임의의 $H\in \mathfrak{h}$에 대하여, $K$의 $\ad$-invariance로부터 다음의 식

\[0=K([H,X_\alpha],X_\beta)+K(X_\alpha, [H,X_\beta])=K(\alpha(H)X_\alpha, X_\beta)+K(X_\alpha,\beta(H)X_\beta)=(\alpha+\beta)(H)K(X_\alpha,X_\beta)\]

을 얻는다. 따라서 $\alpha+\beta\neq 0$이라면 $\mathfrak{g}_\alpha$와 $\mathfrak{g}_\beta$는 $K$에 대해 orthogonal이다.

이제 셋째 주장을 보이기 위해 임의의 $H\in \mathfrak{h}$에 대하여 $X\in \mathfrak{g}$가 존재하여 $K(H,X)\neq 0$이도록 할 수 있다는 것을 기억하자. 새롭게 보여야 할 것은 $X$를 $\mathfrak{h}$에서 뽑을 수 있다는 것이다. 이를 위해 $X$를 root decomposition $\sum X_\alpha$의 꼴로 쓰면, 우리는 위의 결과에 의하여 $K(H,-)$를 취했을 때 $X_0\in \mathfrak{h}$를 제외한 모든 $X_\alpha$가 $0$을 준다는 것을 안다. 따라서 $K(H,H_0)\neq 0$이다.

넷째 주장은 셋째 주장과 정확히 동일하게 증명하면 된다.

이제 $\mathfrak{g}$ 위에 정의된 Killing form이 $\mathfrak{h}$위에서도 non-degenerate이므로 이로부터 유도되는 다음의 isomorphism

\[\mathfrak{h}\rightarrow \mathfrak{h}^\ast;\qquad H\mapsto K(H, -)\]

이 존재한다. 그럼 $\Phi\subseteq \mathfrak{h}^\ast$는 $\mathfrak{h}^\ast$의 spanning set이다. $\Phi$의 원소들의 일차결합으로 나타나지 않는 $\mathfrak{h}^\ast$의 원소가 있다 하면, 이에 해당하는 $\mathfrak{h}$의 원소는 모든 $\alpha\in H$에 대하여 $\alpha(H)$를 만족하여야 한다. 이제 임의의 root space $\mathfrak{g}_\alpha$에 대하여, $H$는

\[[H,X]=\alpha(H)X=0\qquad\text{for all $X\in \mathfrak{g}_\alpha$}\]

으로 작용하고, $\mathfrak{h}$는 abelian이므로 이 위에는 $0$으로 작용한다. 즉 $\mathfrak{g}$의 root decomposition을 생각하면 $H$는 $\mathfrak{g}$ 위의 모든 원소에 대하여 $0$으로 작용하고, 이로부터 $H$는 $\mathfrak{g}$의 모든 원소와 Lie bracket에 대해 commute함을 안다. 그런데 명제 4에 의하여 $\mathfrak{g}$는 nonzero abelian ideal을 가질 수 없고, 특히 $Z(\mathfrak{g})=0$이 성립해야 하므로 $H=0$이어야 한다.

이로부터 $\Phi$는 $\mathfrak{h}^\ast$을 span하는 것을 안다. 그러나 $\mathfrak{h}^\ast$는 complex vector space이고, 이 위에 정의된 Killing form 또한 positive definite라는 보장이 없으므로 inner product가 아니다. 이를 해소하기 위해 우리는 $\Phi$의 dual element들의 real span을 생각하고 여기로 Killing form을 제한했을 때 positive-definite가 된다는 것을 보인다. 이를 위해서는 root decomposition에 대한 조금 더 자세한 분석이 필요하다.

각각의 root들 $\alpha\in\Phi$에 대하여, Killing form의 non-degeneracy로부터 다음의 식

\[\alpha(X)=K(H_\alpha,X)\qquad\text{for all $X\in \mathfrak{h}$}\]

을 만족하는 $H_\alpha\in \mathfrak{h}$이 존재한다. 우리의 첫 번째 관찰은 다음의 보조정리이다.

보조정리 11 임의의 $E\in \mathfrak{g}_\alpha$와 $F\in \mathfrak{g}_{-\alpha}$에 대하여, $[E,F]=K(E,F)H_\alpha$이 성립한다.

증명

$K$의 $\ad$-invariance에 의하여

\[K([E,F],H)=K(F,[H,E])\]

이 모든 $H\in \mathfrak{h}$에 대해 성립한다. 한편 $E\in \mathfrak{g}_\alpha$이므로

\[[H,E]=\alpha(H)E=K(H_\alpha,H)E\]

이고 이를 위의 식에 대입하면

\[K([E,F],H)=K(F,[H,E])=K(F, K(H_\alpha,H)E)=K(H_\alpha,H)K(F,E)=K(K(F,E)H_\alpha,H)\]

이 모든 $H$에 대해 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

한편 우리는 보조정리 10으로부터 $E\in \mathfrak{g}_\alpha$, $F\in \mathfrak{g}_{-\alpha}$를 택하여 $K(E,F)\neq 0$이도록 할 수 있다. 그럼 위의 결과로부터 이들은 다음의 relation

\[[E,F]=K(E,F)H_\alpha,\quad [H_\alpha,E]=\alpha(H_\alpha)E=K(\alpha,\alpha)E,\quad [H_\alpha,F]=-\alpha(H_\alpha)F=-K(\alpha,\alpha)F\]

를 만족한다는 것을 안다. 이는 위에서 살펴본 $\sl_2$-representation의 commutation relation과 유사한 꼴이며, 실제로 어렵지 않게 $(\alpha,\alpha)\neq 0$임을 보일 수 있다. 따라서

\[h_\alpha=\frac{2}{K(\alpha,\alpha)}H_\alpha\]

으로 정의하고, 비슷하게 $E$와 $F$ 대신 적절한 scaling을 통해

\[(e_\alpha,f_\alpha)(\alpha,\alpha)=2\]

을 만족하는 $e_\alpha\in \mathfrak{g}_\alpha$, $f_\alpha\in \mathfrak{g}_{-\alpha}$을 택할 수 있으며 이들은 다음 commutation relation

\[[e_\alpha,f_\alpha]=h_\alpha,\quad [h_\alpha,e_\alpha]=2e_\alpha,\quad [h_\alpha,f_\alpha]=-2f_\alpha\]

을 만족한다. 즉 이들은 $\mathfrak{g}$ 안에서 $\sl_2$과 isomorphic한 subalgebra를 준다. 이를 $\sl_{2,\alpha}$라 하자. 그럼 adjoint action을 통해 $\mathfrak{g}$를 $\sl_{2,\alpha}$-representation으로 볼 수 있다.

특히 $h_\alpha$가 $\mathfrak{g}$의 원소들에 어떻게 작용하는지를 살펴보자. 우선 $\mathfrak{g}$의 root space $\mathfrak{g}_\beta$에 $h_\alpha$의 adjoint action이 어떻게 작용하는지를 보면

\[[h_\alpha, x]=\beta(h_\alpha)x\qquad\text{for all $x\in \mathfrak{g}_\beta$}\]

이므로 $\mathfrak{g}_\beta$는 이 action에 대한 weight $\beta(h_\alpha)$의 weight space이다. 그런데 앞서 살펴봤듯 $\sl_2$-representation의 weight은 항상 정수이므로, 이 값 $\beta(h_\alpha)=\frac{2K(\alpha,\beta)}{K(\alpha,\alpha)}$은 반드시 정수여야 함을 안다. 또 $\sl_2$ representation의 임의의 weight subspace는 $1$차원이므로 각각의 $\mathfrak{g}_\beta$들도 $1$차원이다.

한편, 앞서 우리는 $\mathfrak{h}$이 $H_\alpha$들에 의해 생성되는 것을 보았으므로, 그 상수배인 $h_\alpha$들도 $\mathfrak{h}$를 생성한다. 앞서 말했듯 우리는 여기에 root system 구조를 주기 위해 $h_\alpha$들로 생성되는 real vector space

\[\mathfrak{h}_\mathbb{R}=\span_\mathbb{R}\{h_\alpha\mid \alpha\in\Phi\}\]

을 생각할 것이다. 그럼 이 위에서 두 basis $h_\alpha,h_\beta$에 대하여

\[K(h_\alpha,h_\beta)=\tr_\mathfrak{g}(\ad h_\alpha\ad h_\beta)=\sum_{\gamma\in\Phi}\gamma(h_\alpha)\gamma(h_\beta)\]

가 성립한다. 우리는 앞서 이들 $\gamma(h_\alpha),\gamma(h_\beta)$들이 정수임을 증명하였으며 따라서 $K(h_\alpha,h_\beta)$도 그러하다. 즉, $\mathfrak{h}_\mathbb{R}$로 제한했을 때 $K$는 real-valued이며, 이제 임의의 $h\in \mathfrak{h}_\mathbb{R}$에 대하여

\[K(h,h)=\tr(\ad_h\ad_h)=\sum_{\gamma\in\Phi}\gamma(h)^2\geq 0\]

을 주므로 우리는 $K$가 $\mathfrak{h}_\mathbb{R}$ 위에서 positive definite인 것을 안다. 특히 이를 다시 $\mathfrak{h}^\ast$로 옮겨주면 $\mathfrak{h}^\ast$에서 $\Phi$의 real span이 Euclidean space를 이룬다는 것을 확인할 수 있고, 이를 보이는 과정에서 우리는 이들 root들이 정의 9의 네 번째 조건을 만족하는 것도 보였다. 이제 우리가 보여야 할 것은 나머지 조건들이다.

우선 reflection operator를 적용한

\[s_\alpha(\beta)=\beta-\frac{2K(\alpha,\beta)}{K(\alpha,\alpha)}\alpha\]

가 다시 root가 된다는 것을 보여야 하는데, 이는 $\ad f_\alpha$를 $\lvert \beta(h_\alpha)\rvert$번 작용하면 $\mathfrak{g}_\beta$와 $\mathfrak{g}_{s_\alpha(\beta)}$ 사이의 isomorphism이 얻어지기 때문에 자명하다.

둘째 조건의 경우, 만일 $\beta=c\alpha$라 한다면

\[\frac{2K(\alpha,\beta)}{K(\alpha,\alpha)}=2c,\quad \frac{2K(\alpha,\beta)}{K(\beta,\beta)}=\frac{2}{c}\]

가 모두 정수이기 위해서는 $c$는 $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 1/2$ 중 하나여야 하고, 다시 이를 $\sl_2$-representation theory로 옮긴 후 integrality를 적용하면 원하는 결과를 얻는다. 즉 우리는 다음을 증명하였다.

명제 12 정의 4에서 정의한 root들의 모임 $\Phi$는 $\mathfrak{h}^\ast$의 root system이다.

예시들

이제 다음의 예시들을 살펴보자.

예시 13 우선 standard Euclidean space $\mathbb{R}^{n+1}$을 생각하고, $\mathbb{R}^{n+1}$의 subspace

\[V_n=\left\{(x_1,\ldots, x_{n+1}\mid x_1+\cdots+x_{n+1}=0\right\}\]

을 생각하자. 우리는 이 벡터공간의 부분집합

\[\Phi(A_n)=\left\{e_i-e_j\mid 1\leq i\neq j\leq n+1\right\}\]

을 생각한다. 그럼 이 집합이 정의 5의 조건을 모두 만족하는 것을 안다. 첫째 조건인 $\Phi(A_n)$이 $V_n$을 span하는 것과, 둘째 조건이 성립하는 것은 자명하다. 셋째 조건의 경우, 임의의 벡터 $\mathbf{x}=(x_1,\ldots, x_{n+1})$와 임의의 $\mathbf{e}_{ij}=e_i-e_j$에 대하여 다음 식

\[s_{ij}(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{ij}\rangle\mathbf{e}_{ij}=(x_1,\ldots, x_{n+1})-(x_i-x_j)\mathbf{e}_{ij}\]

이고 이는 $\mathbf{x}$의 $i$번째와 $j$번째의 성분을 바꾼 것으로 주어진다. 따라서 이로부터 정의 5의 셋째 조건이 성립하는 것을 알고 넷째 조건은 자명하다.

비슷하게 다음의 예시를 생각할 수 있다.

예시 14 이번에는 standard Euclidean space $\mathbb{R}^n$을 생각하자. 이번에는 다음 집합

\[\Phi(D_n)=\left\{\pm e_i\pm e_j\mid 1\leq i \neq j\leq n\right\}\]

을 생각한다. 이들 벡터들이 $\mathbb{R}^n$을 span하는 것은 자명하다. 이번에는 임의의 $\mathbf{e}_{ij}^\pm =e_i\pm e_j$들이 어떠한 reflection을 정의하는지를 살펴보아야 한다. 우리는 $e_i-e_j$들이 벡터 $\mathbf{x}$의 $i$번째와 $j$번째 성분을 바꿔주는 것을 알고 있으며 따라서 $e_i+e_j$가 어떠한 reflection을 정의하는지를 알뗜 충분하다. 즉 다음의 계산

\[s_{ij}^+(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\langle\mathbf{x}, \mathbf{e}_{ij}^+\rangle\mathbf{e}_{ij}^+=(x_1,\ldots, x_n)-(x_i+x_j)\mathbf{e}_{ij}\]

을 생각하면, $s_{ij}^+$는 주어진 벡터의 $i$번째 성분과 $j$번째 성분을 바꾼 후 부호까지 반대로 바꾸어주는 것이다.

위의 예시들에서 살펴볼 수 있듯이 root system을 묘사하기 위해 모든 root들이 필요한 것은 아니다. 가령 $\Phi(A_n)$의 경우,

\[e_i-e_k=(e_i-e_j)+(e_j-e_k)\]

이 성립하며 이로부터 $\Phi(A_n)$을 묘사하기 위해서는 $e_i-e_{i+1}$ 꼴의 원소들만 필요함을 안다. 이와 비슷한 방식으로 우리는 다음을 정의한다.

정의 15 Root system $\Phi$에 대하여, 우리는 $\Phi$의 부분집합 $\Phi^+$가 positive root들의 부분집합이라는 것은 각각의 root $\alpha\in \Phi$에 대하여, $\alpha$와 $-\alpha$ 중 정확하게 하나만이 $\Phi$에 속하며, 임의의 두 $\alpha,\beta\in \Phi^+$가 주어질 때마다 $\alpha+\beta\in \Phi^+$ 또한 성립하는 것이다. Simple root들의 모임 $\Phi^+$을 고정하였을 때, $\Phi^+$의 원소 $\alpha$가 simple root라는 것은 $\alpha$를 $\Phi^+$의 두 원소들의 합으로 나타낼 수 없는 것이다.

따라서 simple root들 사이의 정수값들

\[\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle=2\frac{(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_j,\alpha_j)}\]

들이 어떻게 정의되었는지만 안다면, 임의의 root $\alpha_j$에 대한 reflection $s_j$가 다른 root $\alpha_i$을 어떻게 옮기는지를 알 수 있다.

이제 root system $\Phi$와 simple root들의 모임 $\Delta=\left\{\alpha_1,\ldots, \alpha_l\right\}$이 고정되었다고 하자. 그럼 Cartan matrix는 다음과 같이 정의된다.

정의 16 위와 같은 세팅에서, 다음의 행렬

\[A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq l},\qquad a_{ij}=\langle \alpha_i,\alpha_j\rangle\]

을 Cartan matrix라 부른다.

Root system의 정의에 의하여 각각의 성분 $a_{ij}$는 정수이다. 또 각각의 $i$에 대하여 $a_{ii}=2$인 것 또한 자명하다.

한편, 우리는 다음의 식

\[\langle\alpha,\beta\rangle \langle\beta,\alpha\rangle=4\frac{(\alpha,\beta)^2}{\lvert\alpha\rvert^2\lvert\beta\rvert^2}=4(\cos\theta)^2\]

과, 좌변이 정수라는 사실로부터 임의의 두 root $\alpha,\beta$에 대해 $\langle\alpha,\beta\rangle$이 취할 수 있는 값은 $0, \pm 1, \pm 2$ 뿐인 것을 안다. 여기서 $\cos\theta$는 두 root $\alpha,\beta$가 이루는 사잇각이며 이것이 취할 수 있는 값은

\[0, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \pm 1\]

이 된다. 여기서 $\pm 1$의 경우는 정의 5의 둘째 조건에 의해 배제되므로 root들은 각각 $30$도 (혹은 $150$도), $45$도 (혹은 $135$도), $60$도 (혹은 $120$도)의 각도만 이룰 수 있다.

예시를 위해 만일 두 root $\alpha,\beta$가 이루는 각이 $30$도이거나 $150$도라 하자. 그럼

\[\langle\alpha,\beta\rangle\langle\beta,\alpha\rangle=3\]

으로부터 $\langle\alpha,\beta\rangle$은 $\pm 1$이거나 $\pm 3$이어야 한다. 이제 다음 식

\[\langle \alpha,\beta\rangle =2\frac{(\alpha,\beta)}{\lvert\beta\rvert^2}=\frac{2\lvert\alpha\rvert\lvert\beta\rvert\cos\theta}{\lvert\beta\rvert^2}=\frac{\pm \sqrt{3}\lvert\alpha\rvert}{\lvert\beta\rvert}\]

의 값이 $\pm 1$ 혹은 $\pm 3$이라는 것으로부터 우리는 $\alpha$와 $\beta$의 길이비가 $\sqrt{3}$이어야 함을 안다. 비슷하게 두 root $\alpha,\beta$가 이루는 각이 $45$도 혹은 $135$도라면, 이들 두 root의 길이비는 $\sqrt{2}$여야 하고 $60$도 혹은 $120$도의 경우에는 길이비가 $1$이어야 함을 안다.

Weyl group

Root system $\Phi$의 각 root $\alpha$에 대하여 reflection $s_\alpha$는 $\Phi$의 automorphism을 정의한다. 이들 reflection들로 생성되는 군을 생각하자.

정의 17 Root system $\Phi$의 Weyl group은 reflection들 $s_\alpha$ ($\alpha\in\Phi$)로 생성되는 $\Aut(\Phi)$의 부분군이다.

\[W(\Phi)=\langle s_\alpha\mid \alpha\in\Phi\rangle\]

Weyl group은 유한군이다. 실제로 $W$는 $\Phi$가 속한 Euclidean space의 orthogonal group의 부분군이고, $\Phi$가 유한집합이므로 $W$ 역시 유한하다. 또한 명제 12에서 확인한 것과 같이 reflection $s_\alpha$가 $\alpha$에 수직인 초평면에 대한 대칭이동이므로, $W$는 Coxeter group의 구조를 갖는다.

예시 18 예시 13에서 살펴본 $\Phi(A_n)$의 경우, reflection $s_{ij}$는 $i$번째와 $j$번째 좌표를 교환하는 transposition에 해당한다. 따라서 $W(\Phi(A_n))\cong S_{n+1}$이다. 예시 14의 $\Phi(D_n)$의 경우, reflection들은 좌표의 교환과 부호 변화를 모두 포함하므로 $W(\Phi(D_n))\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{n-1}\rtimes S_n$이다.

Lie group과의 연결

지금까지 우리는 semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$의 root system $\Phi$를 정의하고, 그 대칭성을 포착하는 Weyl group을 reflection들 $s_\alpha$로 생성되는 유한군으로 정의하였다. 한편 §원환면의 작용, §§극대 원환면에서 우리는 compact Lie group $G$의 Weyl group을 $W=N(T)/T$로 정의하였다. 이 절에서는 두 정의가 자연스럽게 일치함을 보인다.

우선 $\mathfrak{g}$가 compact connected Lie group $G$의 Lie algebra라고 하자. $\mathfrak{g}$가 semisimple인 것은 $G$의 universal cover가 $\mathbb{R}^n$을 factor로 갖지 않는 것과 동치이다. 이 경우 $G$의 maximal torus $T$의 Lie algebra $\mathfrak{t}$가 $\mathfrak{g}$의 Cartan subalgebra가 된다.

이제 $N(T)$가 $\mathfrak{t}^\ast$ 위에 작용하는 방식을 살펴보자. 임의의 $n\in N(T)$에 대하여, adjoint representation $\Ad(n)$은 $\mathfrak{g}$ 위의 automorphism이고 $nTn^{-1}=T$이므로 $\mathfrak{t}$를 보존한다. 따라서 $\Ad(n)\vert_\mathfrak{t}$는 $\mathfrak{t}$의 automorphism이고, 이를 dual로 옮기면 $\mathfrak{t}^\ast$ 위의 linear action을 얻는다.

명제 19 $N(T)$의 $\mathfrak{t}^\ast$ 위의 action은 root system $\Phi$를 보존한다.

증명

임의의 $n\in N(T)$와 $\alpha\in\Phi$에 대하여, $\Ad(n)$이 $\mathfrak{g}_\alpha$를 $\mathfrak{g}_{n\cdot\alpha}$로 보낸다는 것을 보이면 충분하다. 임의의 $X\in\mathfrak{g}_\alpha$와 $H\in\mathfrak{t}$에 대하여,

\[[H,\Ad(n)X]=\Ad(n)[\Ad(n)^{-1}H,X]\]

인데, $\Ad(n)^{-1}H\in\mathfrak{t}$이고 $X\in\mathfrak{g}_\alpha$이므로

\[[\Ad(n)^{-1}H,X]=\alpha(\Ad(n)^{-1}H)X=(n^{-1}\cdot\alpha)(H)\cdot X\]

이다. 따라서

\[[H,\Ad(n)X]=(n^{-1}\cdot\alpha)(H)\cdot\Ad(n)X\]

이고, 이는 $\Ad(n)X\in\mathfrak{g}_{n^{-1}\cdot\alpha}$임을 의미한다. 즉 $\Ad(n)$은 $\mathfrak{g}_\alpha$를 $\mathfrak{g}_{n^{-1}\cdot\alpha}$로 보내고, 이로부터 $n\cdot\alpha\in\Phi$임을 안다.

따라서 우리는 $W=N(T)/T$가 $\mathfrak{t}^\ast$ 위에, 특히 root system $\Phi$ 위에 잘 정의된 action을 갖는다는 것을 안다. 이제 핵심적인 결과는 다음과 같다.

명제 20 각각의 root $\alpha\in\Phi$에 대하여, $\Ad(n_\alpha)\vert_\mathfrak{t}=s_\alpha$를 만족하는 $n_\alpha\in N(T)$가 존재한다. 따라서 Lie group에서 정의한 Weyl group $W=N(T)/T$와 root system의 Weyl group은 isomorphic하다.

증명

임의의 root $\alpha\in\Phi$에 대하여, 앞서 살펴본 것과 같이 $\sl_{2;\alpha}=\langle e_\alpha, f_\alpha, h_\alpha\rangle$는 $\sl(2;\mathbb{C})$와 isomorphic한 $\mathfrak{g}$의 subalgebra이다. 이에 대응하는 $G$의 Lie subgroup $G_\alpha$는 $\SU(2)$ 혹은 $\SO(3)$와 locally isomorphic하다.

$G_\alpha$는 $T$와 교집합을 취했을 때 1차원 torus $T_\alpha=T\cap G_\alpha$를 이룬다. 이제 $N(T)$의 원소 중 $\Ad$-action이 $\mathfrak{t}$ 위에서 reflection $s_\alpha$를 유도하는 것을 찾아야 한다. 이를 위해 다음 원소

\[n_\alpha=\exp(e_\alpha)\exp(-f_\alpha)\exp(e_\alpha)\]

를 생각하자. $\SU(2)$에서의 계산에 의하면 이는

\[\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\]

에 해당하며, 이 원소는 $T_\alpha$의 원소를 $t\mapsto t^{-1}$로 보낸다. 따라서 $\Ad(n_\alpha)$는 $h_\alpha$를 $-h_\alpha$로 보내고, $\ker\alpha$를 보존한다. 즉 $\Ad(n_\alpha)\vert_\mathfrak{t}=s_\alpha$이다.

마지막으로 $n_\alpha\in N(T)$임을 확인하자. $\Ad(n_\alpha)$가 $\mathfrak{t}$를 보존하므로 $n_\alpha Tn_\alpha^{-1}$과 $T$는 같은 Lie algebra를 갖고, 둘 다 connected이므로 $n_\alpha Tn_\alpha^{-1}=T$이다.

이로부터 우리는 두 관점에서의 Weyl group이 본질적으로 같은 대상임을 안다. Lie group 관점에서 $W=N(T)/T$는 maximal torus의 conjugation action을 포착하고, Lie algebra 관점에서의 $W$는 root system의 대칭성을 포착한다. 두 정의의 일치는 compact Lie group의 구조가 그 Lie algebra의 root system에 의해 완전히 결정된다는 사실의 구체적인 표현이다.