\(\delta\)-functor
우리는 앞서 \(\Ch(\mathcal{A})\)의 임의의 short exact sequence
\[0\longrightarrow A_\bullet\longrightarrow B_\bullet\longrightarrow C_\bullet\longrightarrow 0\]이 주어지면, 이를 통해 long exact sequence
\[\cdots\rightarrow H_n(A)\rightarrow H_n(B)\rightarrow H_n(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow \cdots\]를 만들 수 있다는 것을 증명했었다. 이 증명의 가장 핵심적인 부분은 connecting map \(\delta\)를 정의하는 부분인데, 이 과정을 일반화하여 다음과 같이 정의한다.
정의 1 두 abelian category \(\mathcal{A},\mathcal{B}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\mathcal{A}\)에서 \(\mathcal{B}\)로의 homological \(\delta\)-functor는 additive functor들 \(T_n:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}\) (\(n\geq 0\)), 그리고 임의의 short exact sequence
\[0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0\]마다 정의된 morphism들 \(\delta_n:T_n(C)\rightarrow T_{n-1}(A)\)을 의미한다. \(n<0\)인 경우, \(T_n\)을 모두 \(0\)인 것으로 생각한다. 이들은 다음 조건을 만족한다.
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(Long exact sequence) 다음의 sequence
\[\cdots\longrightarrow T_{n+1}(C)\overset{\delta}{\longrightarrow}T_n(A)\longrightarrow T_n(B)\longrightarrow T_n(C)\overset{\delta}{\longrightarrow}T_{n-1}(A)\longrightarrow \cdots\]가 exact이다.
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(Naturality) Short exact sequence들 사이의 homomorphism
이 주어졌을 때, 다음의 diagram
이 commute한다.
위의 정의를 \(T^n\)들, 그리고 \(\delta^n:T^n(C)\rightarrow T^{n+1}(A)\)로 바꾸어 쓰면 cohomological \(\delta\)-functor의 정의를 얻는다. 우리는 \(n<0\)일 경우, \(T_n\)과 \(T^n\)이 모두 \(0\)인 것으로 생각하기로 하였으므로 homological \(\delta\)-functor의 첫 번째 조건은 특히
\[\cdots\longrightarrow T_0(A)\longrightarrow T_0(B)\longrightarrow T_0(C)\longrightarrow0\longrightarrow 0\longrightarrow\cdots,\]즉 \(T_0\)이 right exact functor라는 의미가 된다. 마찬가지로 cohomological \(\delta\)-functor의 첫 번째 조건은 \(T^0\)이 left exact functor가 되도록 한다.
또, \(\delta\)-functor의 두 번째 조건인 naturality는 short exact sequence들의 모임 \(\mathbf{S}(\mathcal{A})\)에서 \(\mathcal{A}\)로 가는 두 functor \(T_i(C)\)와 \(T_{i-1}(A)\)를 생각할 때, \(\delta_i\)가 이들 사이의 natural transformation이 된다는 것을 의미한다.
언제나와 같이 cohomological \(\delta\)-functor의 경우는 homological \(\delta\)-functor로부터 쉽게 유도할 수 있으므로, 앞으로는 homological \(\delta\)-functor에 대해서만 생각하기로 한다.
정의 2 두 \(\delta\)-functor들 \(S,T\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(S\)에서 \(T\)로의 morphism \(S\rightarrow T\)는 \(S_n\)에서 \(T_n\)으로의 natural transformation들의 모임들 중, \(\delta\)와 commute하는 것들을 의미한다.
즉 다음의 diagram이 모든 short exact sequence
\[0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0\]마다 commute하도록 하는 \(\alpha_n:S_n\Rightarrow T_n\)들의 모임이다.
정의 3 임의의 \(\delta\)-functor \(T\)가 universal \(\delta\)-functor라는 것은 임의의 \(\delta\)-functor \(S\)와 natural transformation \(\alpha_0:S_0\rightarrow T_0\)이 주어질 때마다, 이를 확장하는 유일한 \(\delta\)-functor들 사이의 morphism \((\alpha_n:S_n\Rightarrow T_n)\)이 존재하는 것이다.
유도함자
두 abelian category \(\mathcal{A},\mathcal{B}\) 사이의 right exact functor \(F: \mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B}\)를 생각하자. 그럼 \(\mathcal{A}\)는 left exactness를 보존하지 않는다. 가령 \(F\)가 covariant functor였다 하면, 다음의 short exact sequence
\[0 \rightarrow A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow A_3 \rightarrow 0\]이 주어지더라도, 오직 다음의 sequence
\[F(A_1) \rightarrow F(A_2) \rightarrow F(A_3)\rightarrow 0\]의 exactness만이 보존된다. 마찬가지로 left exact functor는 right exactness를 보존하지 않는다.
Derived functor의 철학은 이와 같이 왼쪽 혹은 오른쪽에서 손실되는 정보를 무한히 많은 항들을 이용해 보충하는 것이다. 즉 right exact functor \(F\)에 대하여, 우리는 \(T_0=F\)를 만족하는 homological \(\delta\)-functor들을 찾는 것이 목표이며, 비슷하게 left exact functor에 대해서는 cohomological \(\delta\)-functor들을 찾는 것이 목표이다.
정의 4 Right exact functor \(F:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B}\)가 주어졌다 하고, \(\mathcal{A}\)가 enough projective를 갖는다 하자. 그럼 \(F\)의 left derived functor왼쪽 유도함자들 \(L_iF\)를 다음의 식
\[(L_iF)(A)=H_i(F(P_\bullet)),\qquad\text{$P_\bullet$ a projective resolution of $A$}\]으로 정의한다.
이 정의가 말이 되기 위해서는 \(L_iF(A)\)가 위에서 선택한 \(P_\bullet\)의 선택에 의존하지 않아야 한다.
보조정리 5 \(L_iF(A)\)가 위에서 선택한 \(P_\bullet\)의 선택에 의존하지 않는다.
증명
두 개의 projective resolution들을 두고, §분해, ⁋정리 6을 identity map에 대해 적용하면 된다.
이제 left derived functor를 조금 더 자세히 살펴보자. 우선 \(F\)가 right exact인 것으로부터 다음 sequence
\[F(P_1) \overset{Fd_1}{\longrightarrow} F(P_0) \overset{F\epsilon_0}{\longrightarrow} F(A) \longrightarrow 0\]가 exact임을 안다. 따라서
\[L_0F(A)=H_i(F(P))=\frac{F(P_0)}{\im Fd_1}=\frac{F(P_0)}{\ker F\epsilon_0}\cong F(A)\]을 얻는다.
\(L_\bullet F\)들이 homological \(\delta\)-functor임을 보이기 위해서는 우선 이들이 additive functor임을 보이고, connecting map \(\delta\)들을 만들어야 한다. 이를 두 스텝으로 나눈다.
보조정리 6 \(L_iF\)들은 additive functor이다.
증명
우선 임의의 \(f: A' \rightarrow A\)와 \(A'\), \(A\)의 projective resolution들이 각각 주어졌을 때 §분해, ⁋정리 6을 적용하여 \(L_nF(f)\)를 얻을 수 있다. 이것이 functoriality와 additivity를 만족한다는 것은 universal property로부터 자명하다.
보조정리 7 \(L_iF\)들은 homological \(\delta\)-functor이다.
증명
우선 short exact sequence
\[0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0\]이 주어졌다 하자. \(A\)와 \(C\)의 projective resolution들 \(P_\bullet\), \(R_\bullet\)이 주어졌다 하면 §분해, ⁋보조정리 7을 이용하여 projective resolution \(Q_\bullet \rightarrow B\)를 얻는다. 한편, 각각의 \(n\)에 대해 \(R_n\)이 projective이므로
\[0 \rightarrow P_n \rightarrow Q_n \rightarrow R_n \rightarrow 0\]은 split exact이다. 이로부터
\[0 \rightarrow F(P_\bullet) \rightarrow F(Q_\bullet) \rightarrow F(R_\bullet) \rightarrow 0\]또한 short exact sequence이며 ([다중선형대수학] §Hom과 텐서곱, ⁋명제 1, 여기에서 homology sequence를 생각하면 원하는 connecting map들과, left derived functor들의 long exact sequence
\[\cdots\overset{\partial}{\longrightarrow}L_iF(A')\longrightarrow L_iF(A)\longrightarrow L_iF(A'')\overset{\partial}{\longrightarrow}L_{i-1}F(A')\longrightarrow L_{i-1}F(A)\longrightarrow L_iF(A'')\overset{\partial}{\longrightarrow}\cdots\]를 얻는다. 이렇게 얻어진 정보가 정의 1의 두 번째 조건을 만족한다는 것은 §분해, ⁋정리 6을 사용하면 된다.
뿐만 아니라, 이들은 정의 3의 센스에서 universal homological \(\delta\)-functor를 정의한다. 이에 대한 증명은 생략하였다.
명제 8 Enough projective를 갖는 abelian category \(\mathcal{A}\)와, 임의의 right exact functor \(F: \mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B}\)를 생각하자. 그럼 derived functor들 \(L_nF\)는 universal \(\delta\)-functor들이다.
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