[다중선형대수학] 카테고리에서 우리는 module의 성질에 대해 살펴본다. [대수적 구조]에서 우리는 module의 성질을 살펴보긴 하였으나, 해당 카테고리에서는 일반적인 대수적인 구조들에서 공통적으로 정의하고 증명할 수 있는 것들에 초점을 두었다면, 이 카테고리에서는 조금 더 module만이 갖는 성질에 집중한다는 차이가 있다.
예컨대 특별히 field 위에 정의된 module들, 즉 -벡터공간들에 대한 결과들은 [선형대수학]에서 살펴보았었는데, 여기에서 -벡터공간들의 기저를 잡거나 이를 사용하여 linear map을 행렬로 표현하는 등의 일들은 일반적인 대수적 구조에서 기대하기는 힘든 일들이다.
이와 같은 관점에서[다중선형대수학] 카테고리의 가장 큰 목표는 [선형대수학]에서의 결과들을 대신 일반적인 ring 로 바꾸어 최대한 일반화하는 것이라 할 수 있다. 한편 해당 카테고리의 글들은 비전공자 혹은 저년차 학부생을 염두에 두고 작성한 글들로 특히 [범주론]의 언어를 거의 사용하지 않았었는데, 이와 같이 [선형대수학]의 내용들을 현대적인 언어로 바꾸는 것 또한 목표 중 하나이다.
이 카테고리의 글들에서 -module은 항상 left -module을 뜻하며, 적절한 방식으로 동일한 논증을 right -module에 대해서도 펼칠 수 있다. 같은 글 안에 left -module과 right -module이 동시에 등장해야 할 경우에는 혼동을 피하기 위해 이렇게 생략하지 않지만, 이러한 경우에도 left -module을 right -module로, right -module을 left -module로 서로 바꾸면 동일한 논증을 펼칠 수 있다.
가군의 합Permalink
이번 글의 목표는 몇 가지 exact sequence들을 소개하고, splitting exact sequence의 개념을 정의하는 것이다. 우선 다음의 간단한 보조정리부터 시작한다.
보조정리 1 -module 의 submodule들의 family 에 대하여, 교집합 는 의 submodule이다.
증명
[선형대수학] §벡터공간의 기저, ⁋보조정리 3의 증명은 가 field라는 사실을 사용하지 않았으므로 해당 증명을 동일하게 사용하면 된다.
정의 2 -module 의 부분집합 가 주어졌다 하자. 그럼 를 포함하는 의 submodule 중 가장 작은 것을 로 적고, 이를 에 의해 생성되는 submodule이라 부른다. 이 경우 를 의 생성집합generating set이라 부른다.
만일 의 어떤 submodule 에 대하여, 이도록 하는 유한집합 를 찾을 수 있다면 이 finitely generated유한생성이라 부른다.
그럼 다음이 성립한다.
명제 3 -module 의 임의의 부분집합 에 대하여, 은 의 원소들로 이루어진 임의의 일차결합들의 집합과 같다.
증명
[선형대수학] §벡터공간의 기저, ⁋보조정리 4과 동일하게 증명하면 된다.
특별히 -module 의 submodule들의 family 가 주어졌다 하자. 그럼 의 부분집합 로 생성된 의 submodule 을 로 표기한다. 이제 각각의 에 대하여, 는 의 submodule이므로 inclusion들 이 존재한다. 이로부터 다음의 canonical morphism
이 존재한다. 한편 는 canonical inclusion들 의 합집합에 의해 생성되고, 위의 canonical morphism에 의한 이 합집합의 image가 이므로 다음이 성립한다.
명제 4 위에서 정의한 canonical morphism 의 image가 이다.
즉 다음의 exact sequence
가 존재한다.
이번에는 -module 의 submodule들의 family 가 주어졌다 하고, canonical surjection들 가 주어졌다 하자. 그럼 이들로부터 다음의 canonical morphism
이 주어진다. 다음 명제 또한 자명하다.
명제 5 위에서 정의한 canonical morphism 의 kernel이 이다.
즉, 다음의 exact sequence
이 존재한다.
가군의 직합과 합Permalink
주어진 -module 과 의 submodule들의 family 에 대하여, 만일 canonical morphism 이 isomorphism이라면, 을 들의 direct sum이라 부른다. 이를 위해서는 우선 로부터 여야 함을 안다. 즉 의 모든 원소들이 의 원소들의 일차결합으로 표현되어야 한다. 한편, canonical morphism 이 injective라는 것은 이렇게 일차결합을 적는 방법이 유일하다는 것과 동치임을 확인할 수 있다. 더 일반적으로 다음이 성립한다.
명제 6 위와 같은 상황에서 다음이 모두 동치이다.
- 이다.
- 만일 를 만족하는 들에 대하여 이라면 모든 에 대하여 이다.
- 임의의 에 대하여, 와 의 교집합이 이다.
증명
처음 두 조건의 동치관계는 자명하며, 또 를 좌표별로 써 보면 첫 번째 조건이 마지막 조건을 함의하는 것도 자명하다. 이제 마지막 조건을 가정하고 두 번째 조건을 보이자. 을 만족하는 들이 주어졌다 하자. 그럼 임의의 에 대하여,
이고, 마지막 조건을 가정한다면 위의 식으로부터 이어야 하므로 증명이 완료된다.
보조부분가군Permalink
다음 명제는 특별히 이 두 개의 submodule 의 direct sum일 때 명제 6을 조금 더 직관적으로 살펴보도록 도와준다.
명제 7 -module 의 두 submodule 가 주어졌다 하자. 그럼 다음의 두 exact sequence
와
이 존재한다. 여기서 는 각각 canonical morphism들
이며 는 각각 다음의 식
으로 정의된 morphism들이다.
이에 대한 증명은 단순 계산이므로 생략한다. 어쨌든 첫 번째 exact sequence를 설명하자면,
이므로 안에서 과 이 어떻게 놓여있든지 과 의 원소는 안에서는 각각 그리고 꼴의 원소로 나타나기 때문에 이들은 서로 다른 것으로 취급된다. 특히 이더라도, 가 이 아닌 이상 과 는 안에서는 다른 원소이다. 그런데
를 통해 이를 로 보내고 나면 이러한 방식으로 다르게 취급된 원소들은 그 image가 이 되어야 하고, 따라서 의 kernel이 정확히 가 된다.
한편, 우리는 다음과 같이 정의한다.
정의 8 임의의 -module 과 의 두 submodule 에 대하여, 만일 이 과 의 direct sum이라면 를 서로에 대한 supplementary submodule보조부분가군이라 부른다. 만일 의 submodule 이 supplementary submodule을 갖는다면 을 의 direct summand라 부른다.
즉, 이와 같은 상황에서 이고 이다. 그럼 이를 이용하여 canonical morphism 의 정의역을 로 제한한 것이 isomorphism이고, 비슷하게 의 정의역을 으로 제한한 것이 isomorphism임을 확인할 수 있다.
분해완전열Permalink
마지막으로 splitting exact sequence를 정의하기 전에 다음 보조정리를 소개한다. 이에 대한 증명은 [호몰로지 대수학] §Diagram chasing, ⁋명제 1에 있다.
보조정리 9 (Four lemma) 각 행들이 exact인 commutative diagram
이 주어졌다 하고, 가 전사이고, 가 단사라 가정하자. 그럼
- 만일 가 전사라면 또한 전사이다.
- 만일 가 단사라면 또한 단사이다.
이제 다음 명제를 통해 splitting exact sequence를 정의한다. Splitting exact sequence는 다음의 exact sequence
와 같은 형태의 exact sequence를 의미하는데, 이를 정확히 풀어쓰자면 다음과 같다.
명제 10 -module들의 exact sequence
에 대하여, 다음 조건들이 모두 동치이다.
- 의 linear retraction 이 존재한다. ([집합론] §Retraction과 section, ⁋정의 2)
- 의 linear section 이 존재한다. ([집합론] §Retraction과 section, ⁋정의 2)
-
다음의 diagram
을 commute하도록 하는 isomorphism 이 존재한다.
증명
우선 3번 조건을 가정하자. 그럼 로 두면 1번 조건을 얻으며, 비슷하게 canonical inclusion 과 를 합성하여 으로 두면 2번 조건을 얻는다.
나머지 방향은 1번과 2번 조건을 각각 가정하고 3번 조건을 보인다. 만일 1번 조건이 성립한다면 을 로 정의하고, 2번 조건이 성립한다면 을 로 정의한다. 그럼 보조정리 9에 의하여 가 3번 조건에서 요구하는 isomorphism을 정의한다는 것을 알 수 있다.
댓글남기기