완전열

[다중선형대수학] 카테고리에서 우리는 module의 성질에 대해 살펴본다. [대수적 구조]에서 우리는 module의 성질을 살펴보긴 하였으나, 해당 카테고리에서는 일반적인 대수적인 구조들에서 공통적으로 정의하고 증명할 수 있는 것들에 초점을 두었다면, 이 카테고리에서는 조금 더 module만이 갖는 성질에 집중한다는 차이가 있다.

예컨대 특별히 field $\mathbb{k}$ 위에 정의된 module들, 즉 $\mathbb{k}$-벡터공간들에 대한 결과들은 [선형대수학]에서 살펴보았었는데, 여기에서 $\mathbb{k}$-벡터공간들의 기저를 잡거나 이를 사용하여 linear map을 행렬로 표현하는 등의 일들은 일반적인 대수적 구조에서 기대하기는 힘든 일들이다.

이와 같은 관점에서[다중선형대수학] 카테고리의 가장 큰 목표는 [선형대수학]에서의 결과들을 $\mathbb{k}$ 대신 일반적인 ring $A$로 바꾸어 최대한 일반화하는 것이라 할 수 있다. 한편 해당 카테고리의 글들은 비전공자 혹은 저년차 학부생을 염두에 두고 작성한 글들로 특히 [범주론]의 언어를 거의 사용하지 않았었는데, 이와 같이 [선형대수학]의 내용들을 현대적인 언어로 바꾸는 것 또한 목표 중 하나이다.

이 카테고리의 글들에서 $A$-module은 항상 left $A$-module을 뜻하며, 적절한 방식으로 동일한 논증을 right $A$-module에 대해서도 펼칠 수 있다. 같은 글 안에 left $A$-module과 right $A$-module이 동시에 등장해야 할 경우에는 혼동을 피하기 위해 이렇게 생략하지 않지만, 이러한 경우에도 left $A$-module을 right $A$-module로, right $A$-module을 left $A$-module로 서로 바꾸면 동일한 논증을 펼칠 수 있다.

가군의 합

이번 글의 목표는 몇 가지 exact sequence들을 소개하고, splitting exact sequence의 개념을 정의하는 것이다. 우선 다음의 간단한 보조정리부터 시작한다.

보조정리 1 $A$-module $M$의 submodule들의 family $(N_i)_{i\in I}$에 대하여, 교집합 $\bigcap_{i\in I} N_i$는 $M$의 submodule이다.

증명

[선형대수학] §벡터공간의 기저, ⁋보조정리 3의 증명은 $\mathbb{k}$가 field라는 사실을 사용하지 않았으므로 해당 증명을 동일하게 사용하면 된다.

정의 2 $A$-module $M$의 부분집합 $X$가 주어졌다 하자. 그럼 $X$를 포함하는 $M$의 submodule 중 가장 작은 것을 $\langle X\rangle$로 적고, 이를 $X$에 의해 생성되는 submodule이라 부른다. 이 경우 $X$를 $\langle X\rangle$의 생성집합_{generating set}이라 부른다.

만일 $M$의 어떤 submodule $N$에 대하여, $N=\langle X\rangle$이도록 하는 유한집합 $X$를 찾을 수 있다면 $N$이 finitely generated_유한생성이라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 3 $A$-module $M$의 임의의 부분집합 $X$에 대하여, $\langle X\rangle$은 $X$의 원소들로 이루어진 임의의 일차결합들의 집합과 같다.

증명

[선형대수학] §벡터공간의 기저, ⁋보조정리 4과 동일하게 증명하면 된다.

특별히 $A$-module $M$의 submodule들의 family $(N_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하자. 그럼 $M$의 부분집합 $\bigcup N_i$로 생성된 $M$의 submodule $\left\langle \bigcup N_i\right\rangle$을 $\sum N_i$로 표기한다. 이제 각각의 $i$에 대하여, $N_i$는 $M$의 submodule이므로 inclusion들 $N_i \hookrightarrow M$이 존재한다. 이로부터 다음의 canonical morphism

\[\bigoplus_{i\in I} N_i \rightarrow M\]

이 존재한다. 한편 $\bigoplus N_i$는 canonical inclusion들 $N_i\hookrightarrow\bigoplus_{i\in I}N_i$의 합집합에 의해 생성되고, 위의 canonical morphism에 의한 이 합집합의 image가 $\bigoplus N_i$이므로 다음이 성립한다.

명제 4 위에서 정의한 canonical morphism $\bigoplus N_i \rightarrow M$의 image가 $\sum N_i$이다.

즉 다음의 exact sequence

\[\bigoplus_{i\in I} N_i \rightarrow M \rightarrow M\bigg/\sum_{i\in I} N_i \rightarrow 0\tag{$\ast$}\]

가 존재한다.

이번에는 $A$-module $M$의 submodule들의 family $(N_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하고, canonical surjection들 $M \twoheadrightarrow M/N_i$가 주어졌다 하자. 그럼 이들로부터 다음의 canonical morphism

\[M \rightarrow \prod_{i\in I} M/N_i\]

이 주어진다. 다음 명제 또한 자명하다.

명제 5 위에서 정의한 canonical morphism $M \rightarrow \prod_{i\in I} M/N_i$의 kernel이 $\bigcap N_i$이다.

즉, 다음의 exact sequence

\[0 \rightarrow \bigcap_{i\in I} N_i \rightarrow M \rightarrow\prod_{i\in I} M/N_i\]

이 존재한다.

가군의 직합과 합

주어진 $A$-module $M$과 $M$의 submodule들의 family $(N_i)_{i\in I}$에 대하여, 만일 canonical morphism $\bigoplus N_i \rightarrow M$이 isomorphism이라면, $M$을 $N_i$들의 direct sum이라 부른다. 이를 위해서는 우선 $(\ast)$로부터 $M=\sum N_i$여야 함을 안다. 즉 $M$의 모든 원소들이 $N_i$의 원소들의 일차결합으로 표현되어야 한다. 한편, canonical morphism $\bigoplus N_i \rightarrow M$이 injective라는 것은 이렇게 일차결합을 적는 방법이 유일하다는 것과 동치임을 확인할 수 있다. 더 일반적으로 다음이 성립한다.

명제 6 위와 같은 상황에서 다음이 모두 동치이다.

1. $\sum_{i\in I} N_i=\bigoplus_{i\in I} N_i$이다.
2. 만일 $x_i\in N_i$를 만족하는 $x_i$들에 대하여 $\sum_{i\in I} x_i=0$이라면 모든 $i$에 대하여 $x_i=0$이다.
3. 임의의 $j\in I$에 대하여, $N_j$와 $\sum_{i\neq j} N_i$의 교집합이 $0$이다.

증명

처음 두 조건의 동치관계는 자명하며, 또 $\bigoplus N_i$를 좌표별로 써 보면 첫 번째 조건이 마지막 조건을 함의하는 것도 자명하다. 이제 마지막 조건을 가정하고 두 번째 조건을 보이자. $\sum x_i=0$을 만족하는 $x_i\in N_i$들이 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $j\in I$에 대하여,

\[x_j=\sum_{i\neq j}(-x_i)\]

이고, 마지막 조건을 가정한다면 위의 식으로부터 $x_j=0$이어야 하므로 증명이 완료된다.

보조부분가군

다음 명제는 특별히 $M$이 두 개의 submodule $N_1,N_2$의 direct sum일 때 명제 6을 조금 더 직관적으로 살펴보도록 도와준다.

명제 7 $A$-module $M$의 두 submodule $N_1,N_2$가 주어졌다 하자. 그럼 다음의 두 exact sequence

\[0 \longrightarrow N_1\cap N_2 \overset{\Delta}{\longrightarrow} N_1\oplus N_2 \overset{i_1-i_2}{\longrightarrow} N_1+N_2\longrightarrow 0\]

와

\[0 \longrightarrow M/(N_1\cap N_2)\overset{\Delta'}{\longrightarrow}(M/N_1)\oplus(M/N_2)\overset{p_1-p_2}{\longrightarrow}M/(N_1+N_2)\longrightarrow 0\]

이 존재한다. 여기서 $i_k,p_k$는 각각 canonical morphism들

\[i_k: N_k \rightarrow N_1+N_2,\qquad p_k:M/N_k \rightarrow M/(N_1+N_2)\]

이며 $\Delta, \Delta’$는 각각 다음의 식

\[\Delta(x)=(x,x),\qquad \Delta'(x+(N_1+N_2))=(x+N_1,x+N_2)\]

으로 정의된 morphism들이다.

이에 대한 증명은 단순 계산이므로 생략한다. 어쨌든 첫 번째 exact sequence를 설명하자면,

\[N_1\oplus N_2=\{(x_1,x_2): x_k\in N_k\}\]

이므로 $M$ 안에서 $N_1$과 $N_2$이 어떻게 놓여있든지 $N_1$과 $N_2$의 원소는 $N_1\oplus N_2$ 안에서는 각각 $(x_1,0)$ 그리고 $(0,x_2)$꼴의 원소로 나타나기 때문에 이들은 서로 다른 것으로 취급된다. 특히 $x\in N_1\cap N_2$이더라도, $x$가 $0$이 아닌 이상 $x\in N_1$과 $x\in N_2$는 $N_1\oplus N_2$ 안에서는 다른 원소이다. 그런데

\[i_1-i_2:N_1\oplus N_2 \rightarrow N_1+N_2;\qquad (x_1,x_2)\mapsto x_1-x_2\]

를 통해 이를 $N_1+N_2$로 보내고 나면 이러한 방식으로 다르게 취급된 원소들은 그 image가 $0$이 되어야 하고, 따라서 $i_1-i_2$의 kernel이 정확히 $N_1\cap N_2$가 된다.

한편, 우리는 다음과 같이 정의한다.

정의 8 임의의 $A$-module $M$과 $M$의 두 submodule $N_1, N_2$에 대하여, 만일 $M$이 $N_1$과 $N_2$의 direct sum이라면 $N_1,N_2$를 서로에 대한 supplementary submodule_{보조부분가군}이라 부른다. 만일 $M$의 submodule $N$이 supplementary submodule을 갖는다면 $N$을 $M$의 direct summand라 부른다.

즉, 이와 같은 상황에서 $N_1+N_2=M$이고 $N_1\cap N_2=0$이다. 그럼 이를 이용하여 canonical morphism $M \rightarrow M/N_1$의 정의역을 $N_2$로 제한한 것이 isomorphism이고, 비슷하게 $M \rightarrow M/N_2$의 정의역을 $N_1$으로 제한한 것이 isomorphism임을 확인할 수 있다.

분해완전열

마지막으로 splitting exact sequence를 정의하기 전에 다음 보조정리를 소개한다. 이에 대한 증명은 [호몰로지 대수학] §Diagram chasing, ⁋명제 1에 있다.

보조정리 9 (Four lemma) 각 행들이 exact인 commutative diagram

이 주어졌다 하고, $\alpha$가 전사이고, $\delta$가 단사라 가정하자. 그럼

1. 만일 $\gamma$가 전사라면 $\beta$ 또한 전사이다.
2. 만일 $\beta$가 단사라면 $\gamma$ 또한 단사이다.

이제 다음 명제를 통해 splitting exact sequence를 정의한다. Splitting exact sequence는 다음의 exact sequence

\[0\rightarrow N_1\hookrightarrow N_1\oplus N_2\twoheadrightarrow N_2 \rightarrow 0\]

와 같은 형태의 exact sequence를 의미하는데, 이를 정확히 풀어쓰자면 다음과 같다.

명제 10 $A$-module들의 exact sequence

\[0\longrightarrow M \overset{u}{\longrightarrow}L \overset{v}{\longrightarrow}N \longrightarrow 0\]

에 대하여, 다음 조건들이 모두 동치이다.

1. $u$의 linear retraction $r:L \rightarrow M$이 존재한다. ([집합론] §Retraction과 section, ⁋정의 2)
2. $v$의 linear section $s:N \rightarrow L$이 존재한다. ([집합론] §Retraction과 section, ⁋정의 2)

3. 다음의 diagram

   img

   을 commute하도록 하는 isomorphism $\alpha: L \rightarrow M\oplus N$이 존재한다.

증명

우선 3번 조건을 가정하자. 그럼 $r=\pr_M\circ\alpha$로 두면 1번 조건을 얻으며, 비슷하게 canonical inclusion $i_N: N \rightarrow M\oplus N$과 $\alpha$를 합성하여 $s=\alpha^{-1}\circ i_N$으로 두면 2번 조건을 얻는다.

나머지 방향은 1번과 2번 조건을 각각 가정하고 3번 조건을 보인다. 만일 1번 조건이 성립한다면 $\beta: M\oplus N \rightarrow L$을 $(x,y)\mapsto u(x)+s(y)$로 정의하고, 2번 조건이 성립한다면 $\alpha:L \rightarrow M\oplus N$을 $z\mapsto (r(z), v(z))$로 정의한다. 그럼 보조정리 9에 의하여 $\alpha,\beta^{-1}$가 3번 조건에서 요구하는 isomorphism을 정의한다는 것을 알 수 있다.