K

Grad. student in mathematics

앞선 글의 말미는 단사함수와 전사함수의 새로운 정의를 내릴 수 있도록 해 준다. (§함수들 사이의 연산, ⁋참고)

명제 1 함수 $f:A\rightarrow B$를 생각하자. 만일 어떠한 $r:B\rightarrow A$가 존재하여 $r\circ f=\id_A$라면 $f$는 단사함수다. 또 어떠한 $s:B\rightarrow A$가 존재하여 $f\circ s=\id_B$라면 $f$는 전사함수다.

반대로, 만일 $f$가 전사함수라면 어떤 $s:B\rightarrow A$가 존재하여 $f\circ s=\id_B$이고, 만일 $f$가 단사함수라면 어떤 $r:B\rightarrow A$가 존재하여 $r\circ f=\id_A$이다.

증명

두 번째 부분은 이미 이전 글에서 보였다. 따라서 처음 부분만 보이면 된다. 우선 $r\circ f=\id_A$라 하자. 만일 $f(x)=f(y)$라면

\[x=\id_{A}(x)=(r\circ f)(x)=r\circ(f(x))=r\circ(f(y))=(r\circ f)(y)=\id_{A}(y)=y\]

이므로 $f$는 단사함수이다. 이와 비슷하게, 만일 $f\circ s=\id_{B}$라면 임의의 $y\in B$에 대하여

\[y=\id_{B}(y)=(f\circ s)(y)=f(s(y))\]

이므로 $y\in f(A)$이고, 따라서 $f$는 전사함수이다.

따라서 함수 $f:A\rightarrow B$가 단사함수라는 것은 다음의 diagram

injection

이 commute하도록 하는 $r:B\rightarrow A$가 있다는 것과 같은 말이고, $f:A\rightarrow B$가 전사함수라는 것은 다음의 diagram

surjection

이 commute하도록 하는 $s:B\rightarrow A$가 있다는 것과 같은 말이다. 이러한 성질을 만족하는 $r,s$에도 이름이 있다.

정의 2 $f$가 $A$에서 $B$로의 단사함수라 하자. 그럼 $r\circ f=\id_A$를 만족하는 함수 $r:B\rightarrow A$를 $f$의 retraction수축이라 한다.
만일 $f$가 $A$에서 $B$로의 전사함수라면, $f\circ s=\id_B$를 만족하는 함수 $s:B\rightarrow A$를 $f$의 section단면이라 부른다.

만일 $f$가 단사함수이고 $r$이 retraction이라면 $f$를 $r$의 section으로 볼 수 있고, 반대로 $f$가 전사함수이고 $s$가 section이라면 $f$를 $s$의 retraction으로 볼 수도 있다. 따라서 retraction은 전사이고 section은 단사이다.

다음 명제의 증명은 모두 자명하지만, 결과는 기억할 필요가 있다.

명제 3 두 함수 $f:A\rightarrow B$와 $f’:B\rightarrow C$에 대하여, $f’‘=f’\circ f$라 하자.

  1. 만일 $f$와 $f’$가 모두 단사함수라면 $f’’$ 또한 마찬가지이다.
    이 때 $r$과 $r’$을 $f$와 $f’$ 각각의 retraction이라 하면, $r\circ r’$이 $f’‘$의 retraction이 된다.
  2. 만일 $f$와 $f’$가 모두 전사함수라면, $f’’$ 또한 마찬가지이다.
    이 때 $s$와 $s’$를 $f$와 $f’$ 각각의 section이라 하면, $s\circ s’$는 $f’‘$의 section이 된다.
  3. $f’‘$가 단사함수라면 $f$ 또한 단사함수다.
    특히 $r’‘$이 $f’‘$의 retraction이라면, $r’‘\circ f’$이 $f$의 retraction이다.
  4. 만일 $f’‘$가 전사함수라면 $f’$ 또한 전사함수다.
    특히 $s’‘$이 $f’‘$의 section이라면, $f\circ s’‘$이 $f’$의 section이다.
증명

  1. 우선 $f’‘(a_1)=f’‘(a_2)$라 하자. 그럼 $f’(f(a_1))=f’(f(a_2))$이므로, $f’$와 $f$가 단사라는 사실을 순서대로 써 주면 $a_1=a_2$를 얻는다. 즉 $f’‘$은 단사함수이다.
    이제 $r$, $r’$을 각각 $f$, $f’$의 retraction이라 하자. 즉 $r\circ f=\id_A$이고 $r’\circ f’=\id_B$이다. 그럼 임의의 $a\in A$에 대하여,

    \[((r\circ r')\circ(f'\circ f))(a)=(r\circ\id_{B}\circ f)(a)=(r\circ f)(a)=\id_{A}(a)=a\]

    이므로 $r\circ r’$는 $f’‘$의 retraction이다.

  2. $c\in C$라 하자. 그럼 $f’$가 전사이므로 $f’(b)=c$이도록 하는 $b\in B$가 존재한다. 이제 다시 $f$가 전사이므로 $f(a)=b$이도록 하는 $a\in A$가 존재한다. 따라서 $f’‘(a)=c$이고 $f’‘$는 전사함수이다. 이제 $s$와 $s’$를 $f$와 $f’$ 각각의 section이라 하면, 임의의 $c\in C$에 대하여

    \[((f'\circ f)\circ(s\circ s'))(c)=(f'\circ\id_{B}\circ s')(c)=(f'\circ s')(c)=\id_{C}(c)=c\]

    이므로 $s\circ s’$는 $f’‘$의 section이다.

  3. 어떠한 $a_1$, $a_2\in A$에 대하여 $f(a_1)=f(a_2)$라 하자. 그럼 $f’‘(a_1)=f’(f(a_1))=f’(f(a_2))=f’‘(a_2)$이고, $f’‘$가 단사함수이므로 $a_1=a_2$이다. 따라서 $f$도 단사함수다. 이제 임의의 $a\in A$에 대하여,

    \[((r''\circ f')\circ f)(a)=(r''\circ f'')(a)=\id_A(a)=a\]

    이므로 $r’‘\circ f’$는 $f$의 retraction이다.

  4. $f’‘$가 전사함수이므로, 어떠한 $c\in C$에 대하여 $f’‘(a)=c$인 $a\in A$가 존재한다. 따라서 $f’(f(a))=c$이므로, $f(a)=b\in B$가 $f’(b)=c$를 만족한다. 또 임의의 $c\in C$에 대하여

    \[(f'\circ(f\circ s''))(c)=(f''\circ s'')(c)=\id_C(c)=c.\]

명제 4

  1. $A,B,C$가 집합이라 하고, 전사함수 $g:A\rightarrow B$와 함수 $f:A\rightarrow C$를 생각하자. 그럼 $f=h\circ g$를 만족하는 $h:B\rightarrow C$가 존재하는 것은 $(g(x)=g(y))\implies(f(x)=f(y))$가 성립하는 것과 동치이다.
    만약 이 조건들이 만족되면, $f=h\circ g$를 만족하는 $h$는 $h$는 $f$에 의해 유일하게 결정되며, 만일 $s$가 $g$의 section이라면 $h=f\circ s$이다.
  2. $A,B,C$가 집합이고, 단사함수 $g:A\rightarrow B$와 함수 $f:C\rightarrow B$를 생각하자. 그럼 어떤 함수 $h:C\rightarrow A$가 존재하여 $f=g\circ h$인 것은 $f(C)\subseteq g(A)$인 것과 동치이다.
    만약 이 조건들이 만족되면 $h$는 $f$에 의해 유일하게 결정되며, 만일 $r$이 $g$의 retraction이라면 $h=r\circ f$이다.

1번의 결과는 다음의 diagram

surjection

이 commute하도록 하는 $h$가 존재한다는 것이고, 2번의 경우는 다음과 같은 diagram

injection

이 commute하도록 하는 $h$가 존재한다는 것이다.

명제 4의 증명

  1. 우선 $f=h\circ g$라 하자. 만일 $g(x)=g(y)$라면

    \[f(x)=(h\circ g)(x)=h(g(x))=h(g(y))=(h\circ g)(y)=f(y)\]

    이므로 $(g(x)=g(y))\implies(f(x)=f(y))$가 성립한다. 우리는 이 명제의 반대방향을 보여서 이 두 조건들이 동치임을 보여야 하고, 또 이 동치인 두 조건이 만족되면 $h$가 $h=f\circ s$로 유일하게 결정됨을 보여야 한다.
    우선 이 조건들이 만족되면 $h$는 유일할 수밖에 없다는 것을 먼저 관찰하자.
    $h$는 $B$에서의 각각의 원소 $y$들의 함숫값에 의해 결정되는데, $g$가 전사함수이므로 $g$의 어떤 section $s$에 대하여 $s(y)=x$이도록 할 수 있다. 이제

    \[h(y)=(f\circ s)(y)=f(x)\]

    이다. 또 다른 section $s’$가 존재하여 $s’(y)=x’$라 하더라도,

    \[g(x)=g(s(y))=y=g(s'(y))=g(x')\]

    이므로 동치인 조건 중 나중의 조건에 의하여 $f(x)=f(x’)$이고, 따라서 $h(y)$의 값은 $s$의 선택에 관계없이 동일하다. 즉, $h$는 존재한다면 유일하다.

    이제 주어진 동치관계의 반대방향을 증명해야 한다. $(g(x)=g(y))\implies(f(x)=f(y))$를 가정하자. $s$를 $g$의 section이라 하고, 유일성 증명에서 힌트를 얻어 $h=f\circ s$로 정의하자. 그럼 임의의 $x\in A$에 대하여

    \[(h\circ g)(x)=((f\circ s)\circ g)(x)=f(s(g(x)))\]

    이 성립한다. 한편

    \[g(s(g(x)))=\id_B(g(x))=g(x)\]

    이므로, 주어진 조건에 의해 $f(s(g(x)))=f(x)$이다. 즉 $h(g(x))=f(x)$이므로 주어진 조건을 만족하는 $h$가 존재한다.

  2. 우선 $f=g\circ h$라 하자. 그럼 임의의 $y\in f(C)$에 대하여 $y=f(x)$라 하면 $y=f(x)=g(h(x))\in g(A)$ 이므로 $f(C)\subseteq g(A)$임은 자명하다. 1의 증명과 마찬가지로, 먼저 $h$의 유일성을 보이자. $h$는 $f=g\circ h$를 만족하는 함수로 정의되므로, $h$가 임의의 $y\in G$에 대하여 유일한 함숫값을 가짐을 보이기 위해서는 다음의 식

    \[h(y)=(\id_A\circ h)(y)=((r\circ g)\circ h)(y)=(r \circ f)(y)\]

    의 우변이 retraction $r$의 선택에 관계없이 동일한 값을 가짐을 보이면 된다. 그런데 $r\circ g=r’\circ g=\id_A$이므로, 임의의 $g(x)\in g(A)$에 대하여 $r(g(x))=x=r’(g(x))$이다. 즉, $r|_{g(A)}=r’|_{g(A)}$이다. 이제 동치인 조건 중 나중의 조건에 의하여 $r$과 $r’$은 $f(y)\in f(C)\subseteq g(A)$ 위에서 같은 값을 가져야 한다. 따라서 $h$는 존재한다면 유일하다.

    이제 반대방향을 보여야 한다. 유일성 증명에서 힌트를 얻어 $h=r\circ f$로 정의하자. 만일 $f(C)\subseteq g(A)$라면, 임의의 $x\in C$에 대하여

    \[(g\circ h)(x)=(g\circ(r\circ f))(x)=(g\circ r)(f(x))\]

    이 성립한다. 그런데 $f(x)\in f(C)\subseteq g(A)$이므로, $f(x)=g(y)$라 하면

    \[(g\circ r)(f(x))=(g\circ r)(g(y))=(g\circ(r\circ g))(y)=(g\circ\id_A)(y)=g(y)=f(x)\]

    이므로 $(g\circ h)(x)=f(x)$가 모든 $x\in C$에 대해 성립한다. 즉 주어진 조건을 만족하는 $h$가 존재한다.

참고문헌

[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.

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