대수적 폐포

우리는 앞선 글에서 algebraic extension이 어떠한 것인지를 정의했다. 우선 다음 명제를 보자.

명제 1 Field \(\mathbb{K}\)에 대하여 다음이 모두 동치이다.

1. \(\mathbb{K}[\x]\)의 임의의 non-constant polynomial은 항상 일차식들의 곱으로 나타난다.
2. \(\mathbb{K}[\x]\)의 임의의 non-constant polynomial은 항상 적어도 하나의 근을 갖는다.
3. \(\mathbb{K}[\x]\)의 irreducible polynomial은 일차식 뿐이다.
4. \(\mathbb{K}\)의 임의의 algebraic extension은 항상 degree \(1\)이다.

증명

우선 첫째 조건과 둘째 조건이 동치임은 자명하다. 만일 첫째 조건이 성립한다면 셋째 조건이 성립하는 것은 자명하다. 또, [환론] §다항식환, ⁋명제 6에 의하여 \(\mathbb{K}[\x]\)의 임의의 원소는 irreducible polynomial의 곱으로 나타낼 수 있고, 일차식은 자명한 이유로 \(\mathbb{K}\) 안에서 근을 가지므로 셋째 조건이 둘째 조건을 함의한다. 따라서 첫째 조건부터 셋째 조건까지가 모두 동치이다.

이제 셋째 조건과 넷째 조건이 동치임을 보이자. 우선 셋째 조건이 성립한다 가정하면, 우리는 algebraic extension \(\mathbb{L}/\matbb{K}\)의 임의의 원소 \(x\)의 minimal polynomial이 irreducible이므로 (§대수적 확장, ⁋정리 15) 셋째 조건으로부터 이 minimal polynomial이 일차식이어야 함을 안다.

이제 넷째 조건을 가정하자. \(\mathbb{K}[\x]\)의 irreducible polynomial \(f\)에 대하여, \(\mathbb{K}[\x]/(f)\)를 생각하면 이는 \(\mathbb{K}\)의 degree \(n\) algebraic extension이다. 우리는 이 extension의 degree가 \(1\)이어야 함을 가정하고 있으므로, 셋째 조건이 얻어진다.

정의 2 위의 동치조건을 만족하는 field \(\mathbb{K}\)를 algebraically closed field_{대수적으로 닫힌 체}라 부른다.

만일 field extension \(\Omega/\mathbb{K}\)에 대하여, \(\Omega\)의 원소 중 \(\mathbb{K}\)에 대해 algebraic 한 것들이 모두 \(\mathbb{K}\)에 속한다면 \(\mathbb{K}\)가 \(\Omega\)에서 relatively algebraically closed field_{상대적으로 대수적으로 닫힌 체}라 부른다. 일반적으로 relatively algebraically closed field는 algebraically closed일 필요가 없지만, 다음이 성립한다.

명제 3 Algebraically closed field \(\Omega\)와 subfield \(\mathbb{K}\)에 대하여, \(\mathbb{K}\)의 \(\Omega\)에서의 relative algebraic closure \(\overline{\mathbb{K}}\)는 algebraically closed field이다.

이는 임의의 \(f\in \overline{\mathbb{K}}[\x]\)가 주어졌을 때, \(f\)는 \(\Omega[\x]\)의 원소로 볼 수도 있으므로 \(\Omega\)가 algebraically closed라는 가정으로부터 \(f\)의 \(\Omega\)에서의 한 근을 찾을 수 있고, 이 근이 \(\overline{\mathbb{K}}\)에 속해야 하기 때문이다. 다음 사실은 소수가 무한하다는 유클리드의 증명을 활용한 것이다.

명제 4 임의의 algebraically closed field는 무한하다.

증명

결론에 반하여 \(\Omega\)가 finite algebraically closed field라 하고, 다음의 다항식

\[1+\prod_{a\in \Omega}(\x-a)\]

을 생각하자. 이 다항식은 어떠한 \(a\)도 근으로 갖지 않는다.

정리 5 Algebraic extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 주어졌다 하고, \(\Omega\)가 \(\mathbb{K}\)의 algebraically closed extension이라 하자. 그럼 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에서 \(\Omega/\mathbb{K}\)로의 morphism이 존재한다.

이에 대한 증명은 §대수적 확장, ⁋명제 8로부터 자명하다.

분해확대체

위에서 살펴본 algebraically closed extension을 constructive하게 얻어낼 생각을 해 보면, 우리는 다음의 정의를 해야 함을 안다.

정의 6 Field \(\mathbb{K}\)와 다항식들 \(f_i\in \mathbb{K}[\x]\)에 대하여, 이들 다항식들의 splitting extension_{분해확대체}는 다음의 조건을 만족하는 field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이다.

1. 모든 \(f_i\)들이 \(\mathbb{L}[\x]\)에서 일차식의 곱으로 인수분해된다.
2. 각각의 \(i\)에 대하여, \(R_i\)를 \(\mathbb{L}\)에서 \(f_i\)들의 근들이 모임이라 하면 \(\mathbb{L}=\mathbb{K}(\bigcup R_i)\)이다.

그럼 splitting extension의 존재성을 증명해야 한다.

명제 7 Field \(\mathbb{K}\)와 다항식들 \(f_i\in \mathbb{K}[\x]\)에 대하여, 이들 다항식들의 splitting extension이 존재한다.

증명

Algebraic extension을 할 때는 어차피 다항식의 근만이 중요하므로, 주어진 다항식들 \(f_i\)들이 모두 monic polynomial이라 가정하여도 된다. 각각의 \(f_i\)가 degree \(d_i\) monic polynomial이라 하자. 그럼 [다중선형대수학] §대칭텐서, ⁋명제 13에 의하여, 각각의 \(i\)마다 다음의 두 조건

1. \(A_i\)는 \(\mathbb{K}\)-algebra로서 \(\xi_{i,1},\ldots, \xi_{i, d_i}\)에 의해 생성된다.
2. \(A_i[\x]\)에서 \(f_i(\x)=\prod_{k=1}^{d_i} (\x-\xi_{i,k})\)이 성립한다.

을 만족하는 \(\mathbb{K}\)-algebra \(A_i\), 원소들 \(\xi_{i,1},\ldots, \xi_{i, d_i}\in A_i\)를 잡아줄 수 있다.

이제 이들을 이용하여 \(\mathbb{K}\)의 extension을 만들어야 한다.

\[A=\bigotimes_{i\in I} A_i\]

이라 하면, Krull theorem에 의하여 \(A\)의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)이 존재하므로 \(\mathbb{L}=A/\mathfrak{m}\)이라 할 수 있으며, 이것이 원하는 splitting extension을 준다.

뿐만 아니라, splitting extension은 다음과 같은 센스에서 유일하다.

명제 8 Field \(\mathbb{K}\)와 다항식들 \(f_i\in \mathbb{K}[\x]\)이 주어졌다 하고, extension \(\Omega/\mathbb{K}\)를 고정하자. 만일 두 subextension \(\mathbb{L}_1\), \(\mathbb{L}_2\)가 이들의 splitting extension이라면, \(\mathbb{L}_1=\mathbb{L}_2\)이다.

대수적 폐포

이제 다음을 정의한다.

정의 9 Field \(\mathbb{K}\)의 algebraic closure는 \(\mathbb{K}\)의 algebraic extension 중 그 자체로 algebraically closed인 것을 뜻한다.

Algebraic closure의 존재성을 보이기 위해서 \(\mathbb{K}[\x]\)의 모든 (non-constant) 다항식들의 splitting field \(\Omega\)를 생각하는 것이 자연스러울 것이다. 그러나 \(\Omega\)가 algebraically closed임을 보이려면, \(\mathbb{K}\)에서 넣어준 근들을 계수로 갖는 다항식의 근들 또한 다시 \(\Omega\)에 속한다는 것을 보여야 하므로 이는 그렇기게 간단하지는 않다. 다음 명제는 이러한 상황을 고민할 필요가 없다는 것을 보여준다.

명제 10 Algebraic extension \(\Omega/\mathbb{K}\)가 algebraically closed인 것은 \(\mathbb{K}[\x]\)의 임의의 non-constant polynomial이 \(\Omega[\x]\) 안에서 일차식의 곱으로 인수분해되는 것과 동치이다.

증명

당연히 한쪽 방향만 보이면 충분하다. 이를 위해 \(\Omega\)의 임의의 algebraic extension \(\Omega'\)를 잡고, \(x\in\Omega'\)라 하자. 우리는 \(x\in \Omega\)임을 보여야 한다. 우선 \(x\)는 \(\Omega\)에 대해 algebraic이고, \(\Omega/\mathbb{K}\)가 algebraic이므로 \(x\)는 \(\mathbb{K}\)에 대해서도 algebraic이다. 이제 \(u\in \mathbb{K}[\x]\)를 \(x\)의 minimal polynomial이라 하면, \(u\)는 \(\Omega[\x]\)에서 일차식들의 곱으로 쪼개지며 따라서 \(x\in \Omega\)이다.

따라서, 주어진 field \(\mathbb{K}\)의 algebraic closure를 찾기 위해서는 \(\mathbb{K}\)의 임의의 non-constant polynomial들의 splitting field를 생각하면 된다. 이는 명제 8에 의해 반드시 유일하다.

명제 11 Field \(\mathbb{K}\)의 algebraic extension \(\Omega/\mathbb{K}\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. 만일 \(\Omega\)가 algebraically closed라면, \(\mathbb{K}\)의 임의의 algebraic extension은 \(\Omega/\mathbb{K}\)의 어떠한 subextension과 isomorphic하다.
2. 거꾸로, 만일 \(\mathbb{K}\)의 임의의 finite degree algebraic extension이 \(\Omega\)의 subextension과 isomorphic하다면 \(\Omega\)는 algebraically closed이다.

따라서 \(\mathbb{K}\)의 algebraic closure는 isomorphism에 대해 유일하게 존재한다. \(\mathbb{K}\)의 하나 이상의 algebraic extension이 주어졌을 때 우리는 이들을 (아무) 공통된 algebraic closure에 넣어서 비교할 수 있는데, 이러한 상황에서는 \(\mathbb{K}\)의 특정한 algebraic closure를 택할 필요가 없으므로 이를 간단히 \(\overline{\mathbb{K}}\)로 적는다. 어차피 우리는 field를 다룰 때, 언제나 그러하듯 isomorphic한 field들은 같은 것으로 취급하므로 약간의 남용을 통해 \(\mathbb{2}\)의 모든 algebraic extension들을 \(\overline{\mathbb{K}}\)의 subextension으로 생각하기로 한다.