부풀림 대수

서로 다른 representative $\tilde{a}’,\tilde{b}’$를 택했다 하고, 적당한 $x\in \mathfrak{a}^{k+1}$과 $y\in \mathfrak{a}^{l+1}$에 대하여 $\tilde{a}’=\tilde{a}+x,\tilde{b}’=\tilde{b}+y$라 하자. 그럼

이고, 여기서 $x\tilde{b},y\tilde{a}\in \mathfrak{a}^{k+l+1}$, $xy\in \mathfrak{a}^{k+l+2}\subseteq \mathfrak{a}^{k+l+1}$이므로 증명이 완료된다.

$\mathcal{J}$가 $\mathfrak{a}$-stable filtration이므로 적당한 $n$이 존재하여 $\mathfrak{a}M_k=M_{k+1}$이 모든 $k>n$에 대하여 성립한다. 따라서, 이러한 $k$에 대하여는 $(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2)(M_k/M_{k+1})=M_{k+1}/M_{k+2}$이 성립한다. 따라서 $\gr_\mathcal{J}M$의 성분들 중

들을 생성하는 것들만 모으면 이들이 $\gr_\mathcal{J}M$을 모두 생성하게 된다. 이제 각각의 $M_i$들이 finitely generated라는 가정으로부터 원하는 주장이 성립한다.

우선 만일 $\Bl_\mathcal{J}M$이 finitely generated라면, 적당한 $n$이 존재하여 이들 generator들이 $\Bl_\mathcal{J}M$의 앞의 $n$개의 항에 포함되도록 할 수 있다. 이제 이들을 모두 homogeneous element들의 합으로 바꿔두면 이들 homogeneous element들로 $\Bl_\mathcal{J}M$이 생성된다. 이로부터 $\mathcal{J}$가 $\mathfrak{a}$-stable임을 안다. 이 논증은 반대방향으로도 작동한다.

$\mathcal{J}$가 $\mathfrak{a}$-stable이므로 $\Bl_\mathcal{J}M$은 $\Bl_\mathfrak{a}A$-module로서 finitely generated이다. 한편 $\Bl_\mathfrak{a}A$는 finitely generated $A$-algebra이고 $A$가 noetherian이므로 §기본개념들, §§Finiteness condition에 의하여 $\Bl_\mathfrak{a}A$도 noetherian이다. 따라서, $\Bl_\mathcal{J}M$의 submodule $\Bl_{\mathcal{J}’}M’$ 또한 finitely generated이고, 다시 명제 6을 적용하면 원하는 결과를 얻는다.

$M$의 $\mathfrak{a}$-stable filtration

을 생각하자. 그럼 보조정리 7에 의하여, 다음의 filtration

또한 $\mathfrak{a}$-stable이다. 즉, 적당한 $n$에 대하여

이도록 할 수 있다. 이제 위 식의 좌변과 우변을 각각 정리하면

을 얻으므로, §정수적 확장, ⁋보조정리 7을 적용하면 첫째 결과를 얻는다.

둘째 결과를 보이기 위해 $M=A$로 두자. 첫째 결과에서 얻어진 $a$에 대하여, $1-a$가 zerodivisor가 아님을 보이면 충분하다. 우선 $\mathfrak{a}$가 $A$의 proper ideal이므로 $1-a\neq 0$이고, 이로부터 $A$가 domain인 경우는 더 이상 증명할 것이 없다. 만일 $A$가 local ring이라면 $\mathfrak{a}$는 $A$의 (유일한) maximal ideal $\mathfrak{m}$에 속할 것이므로 $a\in \mathfrak{m}$이고, 이로부터 $1-a$가 unit이어야 한다.

$A$에서 $ab=0$임을 가정하고, $a,b=0$임을 보이면 충분하다. 이제 $\gr_\mathfrak{a}A$에서 $\initial(a)\initial(b)=0$이 성립해야 하고, 따라서 $\initial(x)$ 혹은 $\initial(y)$가 $0$이어야 한다. 이제 위의 따름정리로부터 $\bigcap \mathfrak{a}^n=0$이므로, $a=0$이거나 $b=0$이어야 한다.