이번 글에서 우리는 ring \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)를 고정하고, 이로부터 만들어지는 두 가지 graded \(A\)-algebra를 정의한다.
Associated graded module
정의 1 Ring \(A\)의 \(\mathfrak{a}\)에 대한 associated graded ring을
\[\gr_\mathfrak{a}A= A/\mathfrak{a}\oplus \mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\oplus\cdots\]으로 정의한다.
위의 정의에서, \(\gr_\mathfrak{a}A\)에서의 곱셈은 임의의 \(a\in \mathfrak{a}^k/\mathfrak{a}^{k+1}\), \(b\in \mathfrak{a}^l/\mathfrak{a}^{l+1}\)이 주어졌을 때 이들의 곱 \(ab\)는 우선 \(a,b\) 각각의 representative \(\tilde{a}\in \mathfrak{a}^k, \tilde{b}\in \mathfrak{a}^l\)들의 곱 \(\tilde{a}\tilde{b}\)를 계산한 후 이를 다시 \(\mathfrak{a}^{k+l}/\mathfrak{a}^{k+l+1}\)로 제한시켜 얻어진다.
보조정리 2 위에서 정의한 \(\gr_\mathfrak{a}A\)의 곱셈은 잘 정의된다.
증명
서로 다른 representative \(\tilde{a}',\tilde{b}'\)를 택했다 하고, 적당한 \(x\in \mathfrak{a}^{k+1}\)과 \(y\in \mathfrak{a}^{l+1}\)에 대하여 \(\tilde{a}'=\tilde{a}+x,\tilde{b}'=\tilde{b}+y\)라 하자. 그럼
\[\tilde{a}'\tilde{b}'=\tilde{a}\tilde{b}+y\tilde{a}+x\tilde{b}+xy\]이고, 여기서 \(x\tilde{b},y\tilde{a}\in \mathfrak{a}^{k+l+1}\), \(xy\in \mathfrak{a}^{k+l+2}\subseteq \mathfrak{a}^{k+l+1}\)이므로 증명이 완료된다.
이를 \(A\)-module로 일반화시키기 위해 다음을 정의한다.
정의 3 Ring \(A\)와 \(A\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\), \(A\)-module \(M\)에 대하여 다음의 filtration
\[M=M_0\supseteq M_1\supseteq\cdots\]이 \(\mathfrak{a}\)-filtration\(I\)-여과라는 것은 모든 \(k\)에 대하여 \(\mathfrak{a}M_k\subseteq M_{k+1}\)이 성립하는 것이다. 추가로 만일 어떠한 \(n\)이 존재하여 \(k>n\)일 때마다 \(\mathfrak{a}M_k=M_{k+1}\)이 성립하도록 할 수 있으면 이 filtration이 \(\mathfrak{a}\)-stable\(I\)-안정적 여과이라 한다.
이제 임의의 \(\mathfrak{a}\)-filtration
\[\mathcal{J}:\quad M=M_0\supseteq M_1\supseteq\cdots\]에 대하여, \(M\)의 \(\mathcal{J}\)에 대한 associated graded module을
\[\gr_\mathcal{J}M=M/M_1\oplus M_1/M_2\oplus\cdots\]으로 정의한다.
위의 정의에서 \(\gr_\mathcal{J}M\)은 \(\gr_\mathfrak{a}A\)-module 구조를 가지며, 이는 임의의 \(a\in \mathfrak{a}^k/\mathfrak{a}^{k+1}\)과 \(x\in M_l/M_{l+1}\)에 대하여 이들의 representative \(\tilde{a}\in \mathfrak{a}^k\), \(\tilde{x}\in M_l\)을 택한 후 \(\tilde{a}\tilde{x}\)를 \(M_{k+l}/M_{k+l+1}\)로 제한시킨 것이며, 보조정리 2와 유사한 계산을 통해 이것이 잘 정의된다는 것을 확인할 수 있다. 특별히 \(M=A\)이고 \(M_i\)들이 \(A\)의 ideal들인 경우, 정의 1과 마찬가지로 \(\gr_\mathcal{J}A\) 또한 ring의 구조를 가지며, 이 또한 filtration \(\mathcal{J}\)에 대한 associated graded ring이라 부른다.
이제 다음이 성립한다.
명제 4 Finitely generated module \(M\)의 \(\mathfrak{a}\)-stable filtration \(\mathcal{J}\)가 주어졌다 하고, \(\mathcal{J}\)의 모든 항 \(M_k\)가 \(M\)의 finitely generated submodule이라 하자. 그럼 \(\gr_\mathcal{J}A\)는 finitely generated \(\gr_\mathfrak{a}A\)-module이다.
증명
\(\mathcal{J}\)가 \(\mathfrak{a}\)-stable filtration이므로 적당한 \(n\)이 존재하여 \(\mathfrak{a}M_k=M_{k+1}\)이 모든 \(k>n\)에 대하여 성립한다. 따라서, 이러한 \(k\)에 대하여는 \((\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2)(M_k/M_{k+1})=M_{k+1}/M_{k+2}\)이 성립한다. 따라서 \(\gr_\mathcal{J}M\)의 성분들 중
\[M_0/M_1, M_1/M_2,\ldots, M_{n+1}/M_{n+2}\]들을 생성하는 것들만 모으면 이들이 \(\gr_\mathcal{J}M\)을 모두 생성하게 된다. 이제 각각의 \(M_i\)들이 finitely generated라는 가정으로부터 원하는 주장이 성립한다.
부풀림 대수
정의 5 Ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(\mathfrak{a}\)의 \(A\)에서의 blowup algebra부풀림 대수는 다음의 graded \(A\)-algebra
\[\Bl_\mathfrak{a}A=A\oplus \mathfrak{a}\oplus \mathfrak{a}^2\oplus\cdots\cong A[t \mathfrak{a}]\subseteq A[t]\]를 의미한다.
그럼 \(\Bl_\mathfrak{a}A/\mathfrak{a}\Bl_\mathfrak{a}A=\gr_\mathfrak{a}A\)임이 자명하다. 한편 더 일반적으로, 임의의 \(A\)-module \(M\), \(\mathfrak{a}\)-filtration \(\mathcal{J}: M_0\supseteq M_1\supseteq\cdots\)에 대하여 다음의 식
\[\Bl_\mathcal{J}M =M\oplus M_1\oplus\cdots\]으로 정의한 \(\Bl_\mathcal{J}M\)은 graded \(\Bl_\mathfrak{a}A\)-module이 된다는 것 또한 쉽게 확인할 수 있다. 이제 다음이 성립한다.
명제 6 \(M\)의 \(\mathfrak{a}\)-filtration \(\mathcal{J}\)가 \(\mathfrak{a}\)-stable인 것과, \(\Bl_\mathcal{J}M\)이 \(\Bl_\mathfrak{a}A\)-module로서 finitely generated인 것이 동치이다.
증명
우선 만일 \(\Bl_\mathcal{J}M\)이 finitely generated라면, 적당한 \(n\)이 존재하여 이들 generator들이 \(\Bl_\mathcal{J}M\)의 앞의 \(n\)개의 항에 포함되도록 할 수 있다. 이제 이들을 모두 homogeneous element들의 합으로 바꿔두면 이들 homogeneous element들로 \(\Bl_\mathcal{J}M\)이 생성된다. 이로부터 \(\mathcal{J}\)가 \(\mathfrak{a}\)-stable임을 안다. 이 논증은 반대방향으로도 작동한다.
아틴-리스 보조정리
이제 우리는 다음의 유용한 아틴-리스 보조정리를 증명한다.
보조정리 7 (Artin-Rees) Noetherian ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{a}\subseteq A\)를 고정하고, finitely generated \(A\)-module \(M\)과 그 submodule \(M'\)을 고정하자. 만일
\[\mathcal{J}:\quad M=M_0\supseteq M_1\supseteq\cdots\]이 \(\mathcal{a}\)-stable filtration이라면 이로부터 유도되는 다음의 filtration
\[\mathcal{J}':\quad M'\supseteq M'\cap M_1\supseteq M'\cap M_2\supseteq\cdots\]또한 \(\mathfrak{a}\)-stable이다.
증명
\(\mathcal{J}\)가 \(\mathfrak{a}\)-stable이므로 \(\Bl_\mathcal{J}M\)은 \(\Bl_\mathfrak{a}A\)-module로서 finitely generated이다. 한편 \(\Bl_\mathfrak{a}A\)는 finitely generated \(A\)-algebra이고 \(A\)가 noetherian이므로 §기본개념들, §§Finiteness condition에 의하여 \(\Bl_\mathfrak{a}A\)도 noetherian이다. 따라서, \(\Bl_\mathcal{J}M\)의 submodule \(\Bl_{\mathcal{J}'}M'\) 또한 finitely generated이고, 다시 명제 6을 적용하면 원하는 결과를 얻는다.
따름정리 8 (Krull intersection theorem) Noetherian ring \(A\), 그 ideal \(\mathfrak{a}\)와 finitely generated \(A\)-module \(M\)을 고정하자. 그럼 다음이 성립한다.
- \((1-a)\left(\bigcap_1^\infty \mathfrak{a}^i M\right)=0\)이도록 하는 \(a\in \mathfrak{a}\)가 존재한다.
- 만일 \(A\)가 domain이거나 local ring이고 \(\mathfrak{a}\)가 proper ideal이라면 \(\bigcap \mathfrak{a}^i=0\)이 성립한다.
증명
\(M\)의 \(\mathfrak{a}\)-stable filtration
\[M\supseteq \mathfrak{a}M \supseteq \mathfrak{a}^2 M\supseteq\cdots\]을 생각하자. 그럼 보조정리 7에 의하여, 다음의 filtration
\[\left(\bigcap \mathfrak{a}^iM\right) \cap M\supseteq \left(\bigcap \mathfrak{a}^iM\right)\cap \mathfrak{a}M \supseteq \left(\bigcap \mathfrak{a}^iM\right) \cap \mathfrak{a}^2 M\supseteq\cdots\]또한 \(\mathfrak{a}\)-stable이다. 즉, 적당한 \(n\)에 대하여
\[\mathfrak{a}\left(\left(\bigcap \mathfrak{a}^iM\right)\cap \mathfrak{a}^p M\right)=\left(\bigcap \mathfrak{a}^iM\right)\cap \mathfrak{a}^{n+1} M\]이도록 할 수 있다. 이제 위 식의 좌변과 우변을 각각 정리하면
\[\mathfrak{a}\left(\bigcap \mathfrak{a}^iM\right)=\left(\bigcap \mathfrak{a}^iM\right)\]을 얻으므로, §정수적 확장, ⁋보조정리 7을 적용하면 첫째 결과를 얻는다.
둘째 결과를 보이기 위해 \(M=A\)로 두자. 첫째 결과에서 얻어진 \(a\)에 대하여, \(1-a\)가 zerodivisor가 아님을 보이면 충분하다. 우선 \(\mathfrak{a}\)가 \(A\)의 proper ideal이므로 \(1-a\neq 0\)이고, 이로부터 \(A\)가 domain인 경우는 더 이상 증명할 것이 없다. 만일 \(A\)가 local ring이라면 \(\mathfrak{a}\)는 \(A\)의 (유일한) maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 속할 것이므로 \(a\in \mathfrak{m}\)이고, 이로부터 \(1-a\)가 unit이어야 한다.
마지막으로 다음을 정의한다.
정의 9 \(\mathfrak{a}\)-filtration
\[\mathcal{J}:\qquad M=M_0\supseteq M_1\supseteq\cdots\]이 주어진 \(A\)-module \(M\)과 associated graded module \(\gr_\mathcal{J}M\)이 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(x\in M\)에 대하여, \(x\)의 initial form \(\initial(x)\)를 다음의 식
\[\initial(x)=x+M_{k+1}\quad\text{in $M_k/M_{k+1}$,}\qquad\text{where $k$ is the greatest integer satisfying $x\in M_k$}\]으로 정의한다.
위와 같은 상황에서, 임의의 \(A\)-submodule \(M'\subseteq M\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(\gr_\mathcal{J}M\)를 \(\gr_\mathfrak{a}A\)-module으로 보고, \(\initial(M')\)을 \(x\in M'\)들에 대해 \(\initial(x)\)으로 생성된 \(\gr_\mathcal{J}M\)의 \(\gr_\mathfrak{a}A\)-submodule로 정의할 수 있다.
예시 10 \(A=\mathbb{K}[\x,\y]\)라 하고, \(\mathfrak{a}=(\x,\y)\)라 하자. 그럼 \(\gr_\mathfrak{a}A\)는 다항식의 차수를 통해 grading이 결정된 graded ring이다. 이제 \(M=A\)로 두고, \(M\)의 \(A\)-submodule (즉 \(A\)의 ideal) \(\mathfrak{b}=(\x^2, \y^2)\)를 생각하자. 그럼 \(\mathfrak{b}\)의 임의의 원소는
\[f(\x,\y)\x^2+g(\x,\y)\y^2\]의 꼴이므로, \(\initial(\mathfrak{b})\)는 \(\x^2, \y^2\)으로 생성되는 \(\gr_\mathcal{a}A\)의 homogeneous ideal이다.
그러나 일반적으로 \(\initial(M')\)은 \(M'\)의 generator들의 initial form들로 생성되지는 않는다.
따름정리 11 Noetherian local ring \(A\)와, \(A\)의 proper ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, 만일 \(\gr_\mathfrak{a}A\)가 domain이라면 \(A\) 또한 그러하다.
증명
\(A\)에서 \(ab=0\)임을 가정하고, \(a,b=0\)임을 보이면 충분하다. 이제 \(\gr_\mathfrak{a}A\)에서 \(\initial(a)\initial(b)=0\)이 성립해야 하고, 따라서 \(\initial(x)\) 혹은 \(\initial(y)\)가 \(0\)이어야 한다. 이제 위의 따름정리로부터 \(\bigcap \mathfrak{a}^n=0\)이므로, \(a=0\)이거나 \(b=0\)이어야 한다.
참고문헌
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
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