일반화된 고유공간
앞서 우리는 diagonalizable operator \(A\)가 주어질 때마다 주어진 공간을 eigenspace들로 분해하여 이 위에서는 \(A\)가 스칼라곱처럼 행동하도록 할 수 있음을 보았다. 그러나 §고유공간분해, ⁋명제 6에서 살펴봤듯, 설령 \(\mathbb{K}\)가 algebraically closed field라 가정하여도 (그리고, 해당 명제 이후에 살펴봤듯 우리는 항상 이를 가정할 것이다.) 모든 linear operator가 항상 diagonalizable인 것은 아니다.
§고유공간분해, ⁋명제 6의 둘째 조건은 \(A\)의 어떤 고유값 \(\lambda\)에 대하여, \(\lambda\)의 기하적 중복도가 \(\lambda\)의 대수적 중복도보다 작을 때 발생한다는 것을 알려준다. (§고유공간분해, ⁋명제 5) 즉, 직관적으로 다음의 벡터공간
\[E_\lambda(A)=\ker(A-\lambda I)\]이
보조정리 1 유한차원 벡터공간 \(V\) 위에 정의된 임의의 linear operator \(L:V\rightarrow V\)이 주어졌다 하자. 표기의 편의를 위하여 \(L^0=\id_V\)라 하면, 다음 filtration
\[0=\ker L^0\subsetneq \ker L^1\subsetneq \ker L^2\subsetneq \cdots \subsetneq \ker L^{k-1}\subsetneq \ker L^k=\ker L^{k+1}\]이 존재한다.
증명
우선 임의의 \(i\)에 대하여 만일 \(v\in \ker L^{i}\)가 성립한다면,
\[L^{i+1}v=L(L^iv)=L(0)=0\]이므로 \(\ker L^i\subseteq \ker L^{i+1}\)인 것이 당연하다. 한편 \(V\)가 유한차원이므로 이 filtration은 언젠가는 증가하기를 멈춰야 한다. 우리가 보여야 할 것은 만일 \(\ker L^k=\ker L^{k+1}\)이라면, 이 이후의 항들은
과 base step \(\ker L^k=\ker L^{k+1}\)로부터 원하는 결과를 얻는다.
우리의 핵심 관찰은, 고유공간 \(E_\lambda(A)\)는 그 차원이 부족하지만, 보조정리 1을 \(L=A-\lambda I\)에 사용하여 이 공간을 늘려가다 보면 “맞는 차원”을 얻게 된다는 것이다.
예시 2 다음의 행렬
\[A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\]을 생각하자. 우리는 앞선 글에서 이 행렬의 특성다항식은 \((\x-1)^3=0\)이지만 (즉 유일한 고유값 \(1\)의 대수적 중복도가 \(3\)이지만) 이에 해당하는 고유공간 \(E_1(A)\)는 벡터 \((1,0,0)\)으로 생성되는 \(1\)차원 공간임을 보았다.
이제 linear operator
\[A-1I=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\]에 위의 보조정리를 적용해보자. 언급한 것과 같이
\[\ker (A-I)=\span \{(1,0,0)\}\]이다. 그런데 높은 차수의 계산을 수행해보면,
\[(A-I)^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]이므로
\[\ker(A-I)^2=\span \{(1,0,0), (0,1,0)\}\]그리고
\[(A-I)^3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]이므로
\[\ker (A-I)^3=\span \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}\]임을 안다.
직관이라 이름붙이기는 다소 거창하지만, 적어도 이 예시의 경우에서는 앞서 말한 관찰이 잘 성립한다는 것을 확인할 수 있다. 이제 본격적인 이야기를 위해 다음 정의를 도입하자.
정의 3 유한차원 벡터공간 \(V\) 위에 정의된 linear operator \(A\)와 \(A\)의 한 eigenvalue \(\lambda\)에 대하여, \(A\)의 \(\lambda\)에 대한 generalized eigenspace를 다음의 식
\[G_\lambda(A)=\left\{v\in V\mid (A-\lambda I)^kv=0\text{ for some $k\geq 0$}\right\}\]으로 정의한다.
그럼 우리는 보조정리 1로부터 다음을 얻는다.
따름정리 4 유한차원 벡터공간 \(V\) 위에 정의된 linear operator \(A:V\rightarrow V\)과 그 eigenvalue \(\lambda\)에 대하여, 적당한 양의 정수 \(k\)가 존재하여 \(G_\lambda(A)=\ker(A-\lambda I)^k\)이다.
증명
보조정리 1을 linear operator \(A-\lambda I\)에 적용하면,
\[\ker(A-\lambda I)^k=\ker(A-\lambda I)^{k+1}=\cdots\]를 만족하는 \(k\)가 존재한다. 한편, \(v\in G_\lambda(A)\)가 주어질 때마다, 정의에 의하여 다음의 식
\[(A-\lambda I)^lv=0\]을 만족하는 \(l\)이 존재한다. 그런데 \(k'=\max (k,l)\)로 잡으면 \(k'\geq l\)인 것으로부터
\[(A-\lambda I)^{k'}v =0\]임을 안다. 즉 \(v\in\ker (A-\lambda I)^{k'}\)이다. 그런데 \(k\)의 정의에 의하여 \(\ker(A-\lambda I)^k=\ker(A-\lambda I)^{k'}\)이고 이로부터 \(v\in \ker (A-\lambda I)^k\)이다. (\(k'\)는 \(v\)에 의존하지만, \(k\)는 그렇지 않다.) 포함관계 \(\ker (A-\lambda I)^k\subset G_\lambda(A)\)은 자명하므로 원하는 결과를 얻는다.
직관적으로 generalized eigenspace들은 진짜 고유벡터들 뿐만 아니라, linear operator \((A-\lambda I)\)를 거듭해서 적용했을 때 결국 \(0\)이 되는 벡터들을 포함하는 공간이다.
일차분해정리
본격적인 결과를 소개하기 전에 §고유공간분해, ⁋명제 11의 증명을 간단히 요약해보자. \(A\)의 diagonalizability를 보이기 위해, 우리는 고정된 고유값 \(\lambda\)에 대하여 다음 식
\[\ker(A-\lambda I)=\ker(A-\lambda I)^2\]이 성립하는 것을 가정하고, 그럼 §고유공간분해, ⁋보조정리 10에 의하여
\[\ker (A-\lambda I)\cap \im (A-\lambda I)=\{0\}\]이므로 반드시 \(V=\ker (A-\lambda I)\oplus \im(A-\lambda I)\) 꼴로 나타낼 수 있다는 것을 보았다. 그럼 \(\im (A-\lambda I)\)가 \(A\)-invariant가 되어 \(A\)를 이 위의 linear operator로 볼 수 있고 그 때 (§고유공간분해, ⁋명제 4에 의해 \(E_\lambda(A)\cap E_\mu(A)=\{0\}\)이므로) 고유값–고유벡터가 맞아떨어지므로 이를 귀납적으로 반복하여 고유공간분해를 얻는 것이 증명의 요지였다.
이제 위의 관점에서 정의 3을 어떻게 활용할지를 생각해보면, 우리는 임의의 linear operator \(L\)과
\[\ker L^k=\ker L^{k+1}=\cdots\]을 만족하는 \(k\)에 대하여 다음 식
\[\ker L^k=\ker L^{2k}\]이 성립하는 것을 알고있다. 바꿔말하면, \(L^k:V \rightarrow V\)에 대하여 §고유공간분해, ⁋보조정리 10의 전제가 만족되는 것이다. 이를 \(L=A-\lambda I\)에 적용하여 귀납법의 첫 단계—-즉, direct sum decomposition \(V=\ker (A-\lambda I)^k \oplus \im (A-\lambda I)^k\)를 얻을 수 있다. §고유공간분해, ⁋명제 11의 증명에서와 마찬가지로 이를
\[V=G_\lambda(A)\oplus W_\lambda(A)\]으로 쓰자. 그럼 \(W_\lambda(A)\)가 \(A\)-invariant이고 따라서 \(A\vert_{W_\lambda(A)}\)가 linear operator \(A\vert_{W_\lambda(A)}:W_\lambda(A)\rightarrow W_\lambda(A)\)을 정의하는 것 까지는 자명하다. 다소 신경써야 할 부분은 다음 보조정리이다.
보조정리 5 유한차원 벡터공간 \(V\) 위에 정의된 linear operator \(A:V\rightarrow V\)와 \(A\)의 서로 다른 두 eigenvalue \(\lambda, \mu\)에 대하여, \(G_\lambda(A)\cap G_\mu(A)=\{0\}\)이 성립한다.
증명
먼저 \(v\in G_{\lambda_i}(L)\cap G_{\lambda_j}(L)\)이고 \(v\neq 0\)이라 가정하자. 따름정리 4로부터 다음 두 식
\[G_{\lambda_i}(L)=\ker(L-\lambda_i I)^{k_i},\qquad G_{\lambda_j}(L)=\ker(L-\lambda_j I)^{k_j}\]을 만족하는 정수 \(k_i, k_j\)가 존재한다.
이제 정수 \(p_i\)를 \((L-\lambda_iI)^kv=0\)을 만족하는 \(k\) 중 가장 작은 것이라 하자. 그럼 다음의 식
\[(L-\lambda_iI)^{p_i}v=0\implies L(L-\lambda_iI)^{p_i-1}v=\lambda_i(L-\lambda_iI)^{p_i-1}v\]으로부터 \(w=(L-\lambda_iI)^{p_i-1}v\neq 0\)는 \(L\)의 고유값 \(\lambda_i\)에 해당하는 고유벡터임을 안다. 한편 \(v\in G_{\lambda_j}(L)\)이므로 \((L-\lambda_j I)^{k_j}v=0\)이고, \((L-\lambda_i I)\)와 \((L-\lambda_j I)\)는 commute하므로
\[(L-\lambda_j I)^{k_j}w=(L-\lambda_j I)^{k_j}(L-\lambda_i I)^{p_i}v=(L-\lambda_i I)^{p_i}(L-\lambda_j I)^{k_j}v=0\]이다. 즉 \(w\in G_{\lambda_j}(L)\)이므로, \(w\)는 고유값 \(\lambda_i\)에 해당하는 고유벡터인 동시에 \(G_{\lambda_j}(L)\)에 속하는 벡터가 된다.
이것이 불가능함을 보이자. 우선 \(w\in G_{\lambda_j}(L)\)이므로, 그 정의에 의해 \((L-\lambda_jI)^kw=0\)이도록 하는 정수 \(k\)가 존재한다. (가령, \(k=k_j\)가 이를 만족하는 것을 위에서 보았다.) 이러한 조건을 만족하는 정수 \(k\) 중 가장 작은 것을 \(p_j\)라 하면, 최소성에 의해 \(w'=(L-\lambda_jI)^{p_j-1}w\neq 0\)이고
\[0=(L-\lambda_jI)^{p_j}w=(L-\lambda_jI)w'\]이므로 \(w'\)는 고유값 \(\lambda_j\)에 해당하는 고유벡터이다. 한편 \(w\)가 고유값 \(\lambda_i\)에 해당하는 고유벡터이므로, 다음 식
\[Lw'=L(L-\lambda_jI)^{p_j-1}w=(L-\lambda_jI)^{p_j-1}Lw=(L-\lambda_jI)^{p_j-1}\lambda_iw=\lambda_i (L-\lambda_jI)^{p_j-1}w_\lambda w'\]으로부터 \(w'\) 또한 \(\lambda_i\)에 해당하는 고유벡터임을 안다. 이는 §고유공간분해, ⁋명제 4에 모순이므로 귀류법에 의하여 \(i\neq j\)일 때 \(G_{\lambda_i}(L)\cap G_{\lambda_j}(L)=\{0\}\)임을 안다.
그러므로 앞선 분해
\[V=G_\lambda(A)\oplus W_\lambda(A)\]와 linear operator를 제한한 \(A\vert_{W_\lambda(A)}: W_\lambda(A)\rightarrow W_\lambda(A)\)를 생각하면 이 linear operator의 eigenvalue는 정확하게 \(A\)의 eigenvalue 중 \(\lambda\)가 아닌 것들에 해당하는 것들이다. 즉 귀납법이 잘 작동하고, 따라서 다음이 성립한다.
정리 6 (제1분해정리) 유한차원 벡터공간 \(V\) 위에 정의된 linear operator \(A:V\rightarrow V\)에 대하여, \(A\)의 모든 eigenvalue들을 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_m\)이라 하자. 그럼 다음의 direct sum decomposition
\[V=G_{\lambda_1}(A)\oplus G_{\lambda_2}(A)\oplus\cdots\oplus G_{\lambda_m}(A)\]가 성립한다.
조르당 표준형
이제 각각의 \(\lambda\)에 대하여, 우리는 \(G_\lambda(A)\)의 차원을 계산해줘야 한다. Linear operator \(A:V \rightarrow V\)가 주어졌다 하고, 그 특성다항식
\[p_A(\x)=\prod_{\lambda\in\sigma(A)}(\x-\lambda)^{d_\lambda}\]가 주어졌다 하자. 여기서 \(d_\lambda\)는 \(\lambda\)의 algebraic multiplicity이고, \(\sum d_\lambda\)는 \(p_A\)의 차수인 \(\dim V\)와 같다. 그런데 우리는 위의 분해로부터 다음의 식
\[p_A(\x)=\prod_{\lambda\in\sigma(A)} p_{G_\lambda(A)}(\x)\]을 얻는다. (§행렬식의 존재성과 유일성, ⁋정리 11) 우리는 보조정리 5에서 \(G_\lambda(A)\)로 \(A\)를 제한했을 때 고유값은 오직 \(\lambda\) 뿐인 것을 확인하였으므로 각각의 \(p_{G_\lambda(A)}(\x)\)는 오직 \(\x-\lambda\)만을 인수로 가져야한다. 따라서, 위의 두 식이 같기 위해서는 \(p_{G_\lambda(A)}(\x)\)가 정확히 \(d_\lambda\)차 다항식
\[p_{G_\lambda(A)}(\x)=(\x-\lambda)^{d_\lambda}\]이어야 하는 것을 알고 이로부터 \(\dim G_\lambda(A)=d_\lambda\)임을 안다.
따라서, 우리는 지금까지 임의의 linear operator \(A:V \rightarrow V\)에 대하여 다음의 분해
\[V=\bigoplus_{\lambda\in\sigma(A)}G_\lambda(A)\]가 성립하며, 뿐만 아니라 각각의 \(\lambda\)에 대하여 \(\dim G_\lambda(A)\)가 우리가 기대하는 차원, 즉 \(A\)의 특성다항식에서 \(\lambda\)의 대수적 중복도와 맞아떨어지는 것을 확인한 것이다. 그렇다면 우리에게 남아있는 일은 \(V\)의 적당한 basis를 찾아 §고유공간분해, ⁋명제 7와 유사한 형태로 임의의 행렬을 표현하는 일이다.
여기에서 유용하게 쓰이는 사실은 linear operator \(A:V\rightarrow V\)의 임의의 고유값 \(\lambda\in \sigma(A)\)에 대하여, generalized eigenspace \(G_\lambda(A)\)로 제한하였을 때 linear operator
\[N_\lambda:=(A-\lambda I)\vert_{G_\lambda(A)}: G_\lambda(A)\rightarrow G_\lambda(A)\]가 nilpotent operator라는 사실이다.
정의 7 벡터공간 \(V\) 위에 정의된 linear operator \(N:V \rightarrow V\)가 nilpotent멱영라는 것은 적당한 정수 \(k\)가 존재하여 \(N^k\equiv 0\)을 만족하는 것이다. 이러한 \(k\) 중 가장 작은 것을 \(N\)의 (nilpotency) index멱영지수라 부른다.
즉, 만일 우리가 임의의 nilpotent operator의 표준형을 구할 수 있다면 우리는 전체 행렬 \(A\) 또한 표준형으로 나타낼 수 있게 된다.
Index \(k\)의 nilpotent operator \(N: V\rightarrow V\)가 주어졌다 하자. 그럼 적당한 \(v\in V\)가 존재하여 \(N^{k-1}v\neq 0\)이다. 이 벡터를 이용하면 우리는 보조정리 1에서 포함관계가 strict하다는 것도 보일 수 있는데, \(N^{k-i}v\in \ker N^i\)이지만 \(N^{k-1}v\not\in\ker N^{i-1}\)이기 때문이다. 바꾸어 말하자면 \(v, Nv, \ldots, N^{k-1}v\)는 모두 다른 원소들이다. 더 일반적으로 다음이 성립한다.
보조정리 8 벡터공간 \(V\) 위에 정의된 linear operator \(N: V\rightarrow V\)와 벡터 \(v\)가 \(N^kv=0\)과 \(N^{k-1}v\neq 0\)을 만족한다 하자. 그럼 다음의 벡터들
\[v, \quad Nv, \quad\cdots,\quad N^{k-1}v\]은 linearly independent이다.
증명
다음 식
\[a_0v+a_1 Nv+\cdots a_{k-1}N^{k-1}v=0\]이 성립한다 가정하자. 양 변에 \(N^{k-1}\)을 취하면 \(N^k=0\)인 것으로부터 \(a_0N^{k-1}v=0\)임을 안다. 그런데 가정에 의하여 \(N^{k-1}v\neq 0\)이므로 반드시 \(a_0=0\)이므로
\[a_1Nv+\cdots a_{k-1}N^{k-1}v=0\]이다. 다시 양 변에 \(N^{k-2}\)을 취하면 \(a_1=0\)을 얻고, 이를 반복하면 원하는 결과를 얻는다.
즉 \(k\)개의 벡터들 \(v, Nv, \ldots, N^{k-1}v\)은 \(V\)의 \(k\)차원 부분공간 (이러한 꼴의 부분공간을 \(v\)가 정의하는 cyclic subspace라 부른다.) \(U\)의 basis가 된다. 이 특정한 basis가 흥미로운 이유는, \(N\vert_U\)를 이 basis \(N^{k-1}v, \ldots, Nv, v\)에 대하여 행렬로 표현해보면
\[\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ 0&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}\tag{1}\]이 되기 때문이다. 이를 nilpotent operator의 표준형으로 삼는 것이 우리의 아이디어이다.
즉, 임의의 벡터공간 \(V\)와 그 위에 정의된 nilpotent operator \(N\)이 주어졌을 때, 이를 cyclic subspace들의 direct sum으로 나타내는 것이 우리에게 주어진 일이다.
정리 9 (Cyclic decomposition theorem 혹은, 제2분해정리) 임의의 벡터공간 \(V\)와 그 위에 정의된 nilpotent operator \(N: V\rightarrow V\)에 대하여, cyclic subspace로의 decomposition
\[V=U_1\oplus \cdots\oplus U_e\]이 존재한다.
이 정리에 대한 증명은 다음과 같다. \(N\)의 nilpotency index를 \(k_1\)이라 하고 \(N^{k_1}v_1=0\)이지만 \(N^{k_1-1}v_1\neq 0\)인 벡터 \(v_1\)를 택하자. 이 벡터가 정의하는 cyclic subspace
\[U_1=\span (N^{k_1-1}v_1, \cdots, Nv_1, v_1)\]을 생각하자. 만일 \(U_1=V\)라면 더 이상 증명할 것이 없다. 그렇지 않다면 우리는 \(V=U_1\oplus W_1\)이도록 하는 \(T\)-invariant subspace \(W_1\)을 찾는다. \(N\)이 \(W_1\) 위에서도 nilpotent인 것은 자명하므로, \(N\vert_{W_1}\)의 nilpotency index \(k_2\)를 잡고, \(N^{k_2}v_2=0\)이지만 \(N^{k_2-1}v_2\neq 0\)이도록 하는 \(v_2\)를 잡을 수 있다. 이제 다시 다음의 cyclic subspace
\[U_2=\span (N^{k-2-1}v_2, \cdots, Nv_2, v_2)\]를 얻고, 다시 \(U_2\)의 \(T\)-invariant complement를 얻는 과정을 반복해나가다 보면 원하는 decomposition을 얻는다.
이 증명에서 가장 핵심적인 부분은 \(U\)의 complement \(W\)를 \(T\)-invariant가 되도록 잡을 수 있다는 것이다.
보조정리 9 임의의 벡터공간 \(V\)와 그 위에서 정의된 index \(k\)의 nilpotent operator \(N\)을 생각하고, \(N^{k-1}v\neq 0\)을 만족하는 벡터 \(v\)를 택하자. 그럼 \(v\)가 생성하는 cyclic subspace
\[U=\span(v, Nv, \ldots, N^{k-1}v)\]에 대하여, \(V=U\oplus W\)이도록 하는 \(T\)-invariant space \(W\)가 존재한다.
이에 대한 증명은 \(N\)의 nilpotency index에 대한 귀납법을 쓰면 되지만, 증명이 다소 귀찮은 감이 있어 생략하기로 한다.
어쨌든 이러한 과정을 거치고 나면 우리는 임의의 nilpotent operator \(N\)를 위의 식 (1) 형태의 direct sum (즉, 위의 행렬들이 대각성분에 있는 block diagonal matrix들)으로 나타낼 수 있음을 안다. \(N\)이 나오게 된 것은 generalized eigenspace \(G_\lambda(A)\) 위에서의 nilpotent operator \(A-\lambda I\) 때문이었으므로, 다음을 정의한다.
정의 10 크기 \(k\)의 Jordan block \(J_k(\lambda)\)를 다음의 \(k\times k\) 행렬
\[J_k(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\0&\lambda&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda&1\\0&0&\cdots&0&\lambda\end{pmatrix}\]로 정의한다.
그럼 정리 6과 정리 8을 합치면 다음의 정리를 얻는다.
정리 11 (Jordan canonical form) 유한차원 벡터공간 \(V\) 위에 정의된 임의의 linear operator \(A:V\rightarrow V\)에 대하여, \(V\)의 적당한 basis를 선택하면 \(A\)의 행렬 표현이 다음의 형태를 갖는다:
\[J=\begin{pmatrix}J_{k_1}(\lambda_1)&0&\cdots&0\\0&J_{k_2}(\lambda_2)&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&J_{k_m}(\lambda_m)\end{pmatrix}\]여기서 각 \(J_{k_i}(\lambda_i)\)는 Jordan block이다. 이러한 형태의 행렬을 \(A\)의 Jordan canonical form조르당 표준형이라 한다.
예시 12 예시 2의 행렬
\[A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\]의 Jordan canonical form을 구해보자. \(A\)의 유일한 eigenvalue는 \(\lambda=1\)이고,
\[A-I=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\]이며
\[\ker(A-I)=\span\{(1,0,0)\},\quad \ker(A-I)^2=\span\{(1,0,0),(0,1,0)\},\quad \ker(A-I)^3=\mathbb{R}^3\]임을 이미 계산하였다. 즉 \(A\)에 정리 6을 적용한 것은 그냥 \(V=G_1(A)\)이 된다.
이제 \(G_1(A)\) 위에서 정리 8을 적용해야 한다. 앞서 살펴본 것과 같이 \((A-I)^3=0\)이지만 \((A-I)^2\neq 0\)이며, 실제로 \(v=(0,0,1)\)이 \((A-I)^2 v\neq 0\)을 만족하는 것을 안다. 그럼
\[v_1=(A-I)^2v=(1,0,0),\qquad v_2=(A-I)v=(1,1,0),\qquad v_3=v=(0,0,1)\]이며 이들이 \(G_1(A)\)를 생성한다. 이제 \(\mathcal{B}=(v_1, v_2, v_3)\)를 \(V\)의 basis로 삼아 \(A\)를 표현하면:
\[Av_1 = A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = v_1\] \[Av_2 = A\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} = v_1 + v_2\] \[Av_3 = A\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = v_2 + v_3\]따라서 basis \(\mathcal{B}\)에 대한 \(A\)의 행렬 표현은
\[[A]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix} = J_3(1)\]이 되어, 크기 3의 Jordan block 하나로 구성된 Jordan canonical form을 얻는다.
조르당 표준형의 유일성은 Jordan block들의 크기가 \(\dim\ker N^k-\dim\ker N^{k-1}\)에 의해 결정된다는 사실로부터 따라온다. 이는 basis의 선택과 무관하므로, Jordan canonical form은 Jordan block들의 순서를 제외하고는 유일하게 결정된다.
[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011. [Lee] 이인석, 선형대수와 군, 서울대학교 출판문화원, 2005.
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