K

Grad. student in mathematics

System of parameters

앞선 글에서 살펴본 §차원, ⁋정리 7과 §차원, ⁋따름정리 8을 종합하면 다음과 같다.

따름정리 1 Noetherian local ring \((A, \mathfrak{m})\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(\dim A\)는 다음의 조건

충분히 큰 \(n\)에 대하여, 항상 \(\mathfrak{m}^n\subseteq (a_1,\ldots, a_d)\)이도록 하는 \(d\)개의 원소 \(a_1,\ldots, a\in \mathfrak{m}\)가 존재한다.

이 성립하도록 하는 \(d\) 가운데 가장 작은 것이다.

증명

우선 \(\mathfrak{m}^n\subseteq (a_1,\ldots, a_d)\)라 가정하자. 그럼 §조르단-횔더 정리, ⁋따름정리 8에 의하여 \(\mathfrak{m}\)은 \((a_1,\ldots, a_d)\)를 포함하는 prime ideal 중 minimal한 것이다. 따라서 §차원, ⁋정리 7에 의하여 \(\codim \mathfrak{m}\leq d\)가 성립한다.

반대로 \((A,\mathfrak{m})\)이 \(\dim A=d\)를 만족한다 하자. 그럼 정의에 의하여, 길이 \(d\)의 supremum은 \(\mathfrak{m}\)에서 시작하는 prime ideal들의 chain에서 나오므로, 정확히 \(\codim \mathfrak{m}\)과 같다. 따라서, §차원, ⁋따름정리 8을 사용하면 \(\mathfrak{m}\)이 ideal \((a_1,\ldots, a_d)\)를 포함하는 것 중 minimal한 prime이도록 할 수 있다. 그럼 \(\mathfrak{m}\)은 \(A/(a_1,\ldots, a_d)\)에서 유일한 prime ideal이 되므로, 이것이 정확히 \(A/(a_1,\ldots, a_d)\)의 nilradical이 되어야 하고 (§국소화의 성질들, ⁋따름정리 8) 따라서 원하는 결과를 얻는다.

이제 다음을 정의한다.

명제–정의 2 \((A,\mathfrak{m})\)이 Krull dimension \(d\)의 local noetherian ring이라 하자. 그럼 \(A\)의 원소들의 family \(a_1,\ldots, a_d\), 그리고 \(\mathfrak{a}=(a_1,\ldots, a_d)\)에 대하여, 다음이 모두 동치이다.

  1. \(\mathfrak{m}\)이 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal하다.
  2. \(\mathfrak{m}=\sqrt{\mathfrak{a}}\)이 성립한다.
  3. \(\mathfrak{m}\)의 어떠한 거듭제곱이 \(\mathfrak{a}\)에 속한다.
  4. \(\mathfrak{a}\)가 \(\mathfrak{m}\)-primary ideal이다.

이 조건이 성립한다면, \(a_1,\ldots, a_d\)들을 \(A\)의 system of parameters매개계라 부르고, \(\mathfrak{a}\)를 parameter ideal이라 부른다.

더 일반적으로, rank \(d\)의 finitely generated \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(A\)-module \(M/\mathfrak{a}M\)이 유한한 길이를 갖도록 하는 \(a_1,\ldots, a_d\)들을 \(A\)의 system of parameters라 부르고, \(\mathfrak{a}\)를 \(M\)의 parameter ideal이라 부른다.

이들 조건이 모두 동치임을 보이는 것은 앞선 글과 위의 따름정리에서 이미 해왔던 것이다. 한편, local ring \((A, \mathfrak{m})\)에 대하여

\[d=\dim A=\codim \mathfrak{m}\]

이므로, \(A\)의 parameter ideal \(\mathfrak{a}\)는 §차원, ⁋정리 7에 의하여 반드시 \(d\)개 이상의 원소로만 생성될 수 있다.

\(A\)-module \(M\)의 parameter ideal \(\mathfrak{a}\)의 경우, 우리는 §조르단-횔더 정리, ⁋따름정리 6의 첫째 조건과 둘째 조건 사이의 동치에 의해 \(M/\mathfrak{a}M\)이 유한한 길이를 갖는 것과, \(\mathfrak{m}\)의 충분히 큰 거듭제곱이 항상 \(M/\mathfrak{a}M\)을 annihilate하는 것이 동치인 것을 안다. 즉 \(\mathfrak{m}^k M \subseteq \mathfrak{a}M\)이 성립해야 하고, 이로부터 \(A\) 자기자신을 \(A\)-module로 보았을 때 두 정의가 서로 합치하는 것을 안다. 비슷한 방법으로 우리가 앞서 살펴봤던 ring의 ideal과 차원 사이의 들에 대한 결과를 module의 parameter ideal에 대한 결과로 옮겨올 수 있는데, 이를 위해서 우선 다음의 간단한 보조정리들이 필요하다.

보조정리 3 Noetherian ring \(A\)와 finitely generated \(A\)-module \(M\), 그리고 \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, 다음 등식

\[\sqrt{\ann(M/\mathfrak{a}M)}=\sqrt{\mathfrak{a}+\ann(M)}\]

이 성립한다.

증명

§국소화의 성질들, ⁋따름정리 8에 의하여 \(\ann(M/\mathfrak{a}M)\)을 포함하는 prime ideal들의 집합과 \(\mathfrak{a}+\ann(M)\)을 포함하는 prime ideal들의 집합이 정확히 동일하다는 것을 보이면 충분하다. 이제 prime ideal \(\mathfrak{p}\)가 \(\ann(M/\mathfrak{a}M)\)을 포함하는 것은 §국소화, ⁋명제 5에 의하여 \((M/\mathfrak{a}M)_\mathfrak{p}\neq 0\)인 것과 동치이다. 그럼 \((M/\mathfrak{a}M)_\mathfrak{p}=M_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}M_\mathfrak{p}\neq 0\)인 것은, §정수적 확장, ⁋보조정리 8에 의하여, \(M_\mathfrak{p}\neq 0\)이고 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)인 것과 동치이다. 이는 다시 §국소화의 성질들, ⁋따름정리 8에 의하여, \(\mathfrak{p}\supseteq \ann(M)\)이고 \(\mathfrak{p}\supseteq \mathfrak{a}\)인 것, 즉 \(\mathfrak{p}\supseteq \mathfrak{a}+\ann(M)\)인 것과 동치이므로 원하는 결과를 얻는다.

또, 다음이 성립한다.

보조정리 4 \(A\)-module들의 short exact sequence

\[0 \rightarrow M' \overset{u}{\longrightarrow} M \overset{v}{\longrightarrow} M'' \rightarrow 0\]

에 대하여, \(\ann(M)\subseteq \ann(M')\cap \ann(M'')\)이 성립한다.

증명

\(a\in\ann(M)\)이라 하면, 임의의 \(x'\in M'\)에 대하여 \(u(ax')=au(x')=0\)이고, \(u\)는 injective이므로 \(ax'=0\)가 되어 \(a\in\ann(M')\)이다.

비슷하게, 임의의 \(x''\in M''\)에 대하여, \(v\)가 surjective이므로 \(v(x)=x''\)를 만족하는 \(x\in M\)가 존재하고 그럼 \(ax''=av(x)=v(ax)=0\)이므로 \(a\in\ann(M'')\)이다.

그럼 다음 명제를 증명할 수 있다.

명제 5 Noetherian local ring \((A,\mathfrak{m})\)과 그 ideal \(\mathfrak{a}\), 그리고 finitely generated \(A\)-module \(M\)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. 다음이 모두 동치이다.
    • \(\mathfrak{a}\)가 \(M\)의 parameter ideal이다.
    • 충분히 큰 \(n\)에 대하여, 항상 \((\mathfrak{a}+\ann(M))\supseteq \mathfrak{m}^n\)이 성립한다.
    • \(\mathfrak{a}\)는 \(A/\ann(M)\)의 parameter ideal이다.

  2. \(A\)-module들의 short exact sequence

    \[0 \rightarrow M' \rightarrow M \rightarrow M'' \rightarrow 0\]

    에 대하여, \(\mathfrak{a}\)가 \(M\)의 parameter ideal인 것과, \(\mathfrak{a}\)가 \(M',M''\)의 parameter ideal인 것이 동치이다.

  3. \(\dim M\)은 \(d\)개의 원소로 생성되는 \(M\)의 parameter가 존재하도록 하는 자연수 \(d\) 중 가장 작은 것이다.
증명

  1. 우선 \(\mathfrak{a}\)가 \(M\)의 parameter ideal이라 가정하자. 그럼 명제–정의 2 직후에 살펴본 논증에 의하여 \(\mathfrak{m}\)의 충분히 큰 거듭제곱이 항상 \(M/\mathfrak{a}M\)을 annihilate하는 것을 알고, 이와 보조정리 3을 종합하면

    \[\mathfrak{m}\subseteq \sqrt{\ann(M/\mathfrak{a}M)}=\sqrt{\mathfrak{a}+\ann(M)}\]

    이므로, 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \(\mathfrak{m}^n\in(\mathfrak{a}+\ann(M))\)이 성립해야 하는 것을 안다.
    이제 둘째 조건을 가정하자. 그럼 ring \(A'=A/\ann(M)\)에서 \(\mathfrak{m}+\ann(M)\)은 유일한 maximal ideal이고, 가정으로부터 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \((\mathfrak{m}+\ann(M))^n\)이 \(\mathfrak{a}+\ann(M)\)에 속해야 하는 것을 알고 있으므로 \(\mathfrak{a}+\ann(M)\)은 \(A/\ann(M)\)의 (ring으로서의) parameter ideal이며, \(A/\ann(M)\)을 \(A\)-module로 보면 원하는 결과를 얻는다.
    마지막 동치의 경우, 다음 포함관계

    \[\mathfrak{m}\subseteq \sqrt{\mathfrak{a}+\ann(M)}=\sqrt{\ann(M/\mathfrak{a}M)}\]

    로부터 자명하다.

  2. \(\mathfrak{a}\)가 \(M\)의 parameter ideal이라 하자. 그럼 보조정리 4에 의하여 \(\ann(M)\subseteq \ann(M')\cap \ann(M'')\)이므로 \(\mathfrak{a}\)가 이들의 parameter ideal인 것이 자명하다. 거꾸로 \(A/\mathfrak{a}\otimes-\)를 취해 얻어지는 다음의 exact sequence

    \[M'/\mathfrak{a}M' \rightarrow M/ \mathfrak{a}M \rightarrow M''/\mathfrak{a}M'' \rightarrow 0\]

    로부터, 만일 \(M'/\mathfrak{a}M'\)과 \(M''/\mathfrak{a}M''\)이 유한한 길이를 갖는다면 \(M/\mathfrak{a}M\) 또한 그래야 한다는 것을 안다.

  3. 정의에 의하여 \(\dim M=\dim A/\ann(M)\)이므로 첫째 결과와 §차원, ⁋따름정리 8로부터 자명하다.

따름정리 6 Noetherian local ring \((A, \mathfrak{m})\)과 finitely generated \(A\)-module \(M\)이 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(a\in \mathfrak{m}\)에 대하여,

\[\dim M/ aM \geq \dim M-1\]

이 성립한다.

증명

정의에 의하여, \(\dim M/aM=d\)라는 것은 ring \(A/\ann(M/aM)\)의 차원이 \(d\)라는 것이다. 그럼 따름정리 1에 의하여 \(A/\ann(M/aM)\)은 \(d\)개의 원소로 생성되는 parameter ideal \(\mathfrak{a}=(a_1,\ldots, a_d)\)를 가지며, 명제 5의 첫째 결과에 의하여 이는 \(M/aM\)의 parameter ideal이기도 하다. 그럼

\[\frac{M/aM}{\mathfrak{a}(M/aM)}\cong \frac{M}{((a)+\mathfrak{a})M}=\frac{M}{(a,a_1,\ldots, a_d)M}\]

이 유한한 길이를 가지므로, \((a,a_1,\ldots, a_d)\)는 \(M\)의 parameter ideal이 된다. 따라서 명제 5의 셋째 조건에 의하여 \(\dim M\leq 1+d\)이다.

평탄사상과 차원

차원의 정의에 의하여, ring homomorphism \(\phi: A \rightarrow B\)을 통해 \(A\)와 \(B\)의 차원을 비교하기 위해서는 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋명제 1이 필수적이다. 다음 보조정리 또한 이와 비슷한 용도이지만, prime ideal을 만들어내는 방향이 반대이다.

보조정리 7 (Going down for flat extensions) Noetherian ring들 사이의 ring homomorphism \(\phi: A \rightarrow B\)가 주어졌다 하고, 이를 통해 \(B\)가 flat \(A\)-module 구조를 갖는다 하자. 그럼 prime ideal들 \(\mathfrak{p}_2\subseteq\mathfrak{p}_1\subseteq A\)와, \(\phi^{-1}\mathfrak{q}_1=\mathfrak{p}_1\)을 만족하는 \(B\)의 prime ideal \(\mathfrak{q}_1\)에 대하여, 적당한 \(B\)의 prime ideal \(\mathfrak{q}_2\)가 존재하여 \(\phi^{-1}\mathfrak{q}_2=\mathfrak{p}_2\)이도록 할 수 있다.

증명

우선 \(\phi: A \rightarrow B\)에 \(A/\mathfrak{p}_2\otimes_A-\)를 취하면 다음의 ring homomorphism

\[\phi\otimes_A\id_{A/\mathfrak{p}_2}: A/\mathfrak{p}_2\cong A\otimes_A A/\mathfrak{p}_2 \rightarrow B\otimes_A A/\mathfrak{p}_2\cong B/\mathfrak{p}_2B\]

를 얻으며, \(\phi\)가 flat이라는 가정으로부터 이 또한 flat인 것을 안다. 따라서 \(\mathfrak{p}_2=0\)이고 \(A\)가 integral domain이라 가정해도 충분하다. 그럼 §평탄성, ⁋따름정리 3에 의하여 \(\phi\)는 \(A\)의 non-zerodivisor를 \(B\)의 non-zerodivisor로 옮겨야 한다.

한편, [집합론] §선택공리, ⁋정리 4에 의하여 우리는 \(\mathfrak{q}_1\)에 포함되는 minimal prime ideal \(\mathfrak{q}_2\)가 존재함을 안다. 그런데 \(B\)를 자기 자신 위에 정의된 module로 본다면 \(\ann B=0\)이므로 §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 첫째 결과에 의하여 \(\mathfrak{q}_2\in \Ass B\)이고, 다시 해당 정리의 둘째 결과에 의하여 \(\mathfrak{q}_2\)는 zero-divisor로만 이루어져 있어야 한다. 따라서 위에서 살펴본 \(\phi\)의 성질에 의하여 \(\phi^{-1}(\mathfrak{q}_2)=0\)이어야 함을 안다.

위의 증명에서 \(B/\mathfrak{p}_2B\)를 그대로 살려주면, \(\mathfrak{q}_2\)를 택할 때, \(\mathfrak{q}_1\)에 속하고 \(\mathfrak{p}_2 B\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal한 것으로 택하면 된다는 것을 안다.

그럼 다음이 성립한다.

정리 8 Noetherian local ring 사이의 map \((A,\mathfrak{m}) \rightarrow (B, \mathfrak{n})\)이 존재한다면

\[\dim B\leq \dim A +\dim A/\mathfrak{m}\]

이 성립하며, 만일 \(\phi:A \rightarrow B\)가 flat일 경우 등호가 성립한다.

증명

편의상 \(\dim A=d\), \(e=\dim B/\mathfrak{m}B\)로 표기하자. 우선 따름정리 1에 의해 \(a_1,\ldots, a_d\)이 존재하여, 충분히 큰 \(s\)에 대하여는 항상 \(\mathfrak{m}^s\subseteq (a_1,\ldots, a_d)\)이도록 할 수 있고, 비슷하게 \(b_1,\ldots, b_e\in B\)가 존재하여, 충분히 큰 \(t\)에 대하여는 항상 \(\mathfrak{n}^t\subseteq \phi(\mathfrak{m})B+(b_1,\ldots, b_e)\)이도록 할 수 있다. 그럼 이제

\[\mathfrak{n}^{st}=(\mathfrak{n}^t)^s\subseteq (\phi(\mathfrak{m})B+(b_1,\ldots, b_e))^s\subseteq \phi(\mathfrak{m}^s)B+(b_1,\ldots, b_e)\subseteq (\phi(a_1),\ldots, \phi(a_d), b_1,\ldots, b_e)\]

이므로, §차원, ⁋정리 7에 의해 \(\dim B\leq d+e\)가 성립한다.

이제 \(\phi:A \rightarrow B\)가 \(B\)를 flat \(A\)-module로 만든다 가정하고 반대방향 부등호를 보이자. 우선 이를 위해 \(B/\phi(\mathfrak{m})B\)의 차원을 주는 prime ideal들의 chain을 생각하면, \(B\)의 적당한 prime ideal \(\mathfrak{q}\)가 존재하여 \(\dim \mathfrak{q}=\dim B/\phi(\mathfrak{m})B\)이도록 할 수 있으며, 특히 \(\mathfrak{q}\)는 \(\phi(\mathfrak{m})B\)를 포함하는 prime ideal 중 minimal한 것이다. 그럼 이제 다음의 부등식

\[\dim B\geq\dim \mathfrak{q}+\codim \mathfrak{q}=\dim B/\phi(\mathfrak{m})B+\codim \mathfrak{q}\]

으로부터, 우리가 보여야 하는 것은 \(\codim \mathfrak{q}\geq\dim A\)임을 안다. 그런데 정의에 의하여 \(\phi^{-1}(\mathfrak{q})=\mathfrak{m}\)이므로, 보조정리 7에 의해 우리는 \(\mathfrak{m}\)으로 시작하는 \(A\)의 prime ideal들의 chain

\[\mathfrak{m}\supseteq \mathfrak{p}_1\supseteq \mathfrak{p}_2\supseteq\cdots\]

이 주어질 때마다 \(\mathfrak{q}\)로부터 시작하는 \(B\)의 prime ideal들의 chain

\[\mathfrak{q}\supseteq \mathfrak{q}_1\supseteq \mathfrak{q}_2\supseteq\cdots\]

이 존재함을 알고, 이로부터 원하는 부등식을 얻는다.

다음 따름정리들은 위의 정리로부터 어렵지 않게 얻어진다.

따름정리 9 Noetherian local ring \((A, \mathfrak{m})\)과, \(\mathfrak{m}\)에서의 \(A\)의 completion \(\widehat{A}\)에 대하여, \(\dim A=\dim \widehat{A}\)가 성립한다.

따름정리 10 다음이 성립한다.

  1. Field \(\mathbb{K}\)에 대하여, \(\dim \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_r]=r\)이다.
  2. 임의의 ring \(A\)에 대하여, \(\dim A[\x]=1+\dim A\)가 성립한다.
  3. \(A\)의 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(\mathfrak{q}\cap A=\mathfrak{p}\)를 만족하는 \(A[\x]\)의 prime ideal \(\mathfrak{q}\)가 존재하며, 이 성질을 만족하는 것들 중 maximal한 \(\mathfrak{q}\)에 대하여 식 \(\dim A[\x]_\mathfrak{q}=1+\dim A_\mathfrak{p}\)이 성립한다.

참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.

댓글남기기