정역

이 카테고리의 글들에서 우리는 ring에 대한 성질들을 조금 더 자세하게 살펴본다. 처음으로 다룰 것은 integral domain이다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋정의 5)

유클리드 정역

정의 1 Integral domain \(A\)를 고정하자. 함수 \(N : A \to \mathbb{Z}^{\geq0}\)가 조건 \(N(0) = 0\)를 만족하면, 이를 \(R\) 위의 norm_노름이라고 한다. 만약 \(N(a) > 0\)이 모든 \(a \neq 0\)에 대해 성립하면, 이 norm을 positive norm이라 한다.

Norm의 조건은 매우 약한 것으로, 가령 동일한 integral domain이 주어졌을 때 이 위에 norm을 정의하는 방법은 매우 많다.

정의 2 Integral domain \(A\)가 Euclidean domain_{유클리드 정역}이라는 것은 \(A\) 위에 어떤 norm \(N\)이 존재하여, 임의의 \(a, b \in A\) (단, \(b \neq 0\))에 대해 \(A\) 안의 원소 \(q, r\)가 존재하여

\[a = qb + r \qquad\text{with $r = 0$ or $N(r) < N(b)$}\]

를 만족하는 것이다. 여기서 \(q\)를 몫_quotient, \(r\)을 나머지_remainder라고 부른다.

이는 \(A\)를 정수 \(\mathbb{Z}\)로 대체하고, \(N\)을 절댓값 함수 \(\lvert-\rvert:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}^{\geq0}\)으로 보면 우리가 잘 알고 있는 정수에서의 나눗셈 알고리즘과 동일하다. 또 다른 예로, polynomial ring \(\mathbb{K}[\x]\) 위에 \(N\)을 다항식의 차수를 주는 함수로 정의하면 다항식의 나눗셈 알고리즘을 얻게 될 것이다. 마지막으로, 임의의 field \(\mathbb{K}\)는 Euclidean domain이며, 이는 모든 \(x\in\mathbb{K}\)를 \(0\)으로 보내는 함수 \(N\)에 의해 얻어진다. 이것이 위의 조건을 만족하는 이유는 field의 모든 (nonzero) 원소는 항상 다른 원소를 나누기 때문이다.

명제 3 Euclidean Domain의 모든 ideal은 principal이다. 좀 더 정확히 말하면, Euclidean Domain \(A\)의 임의의 영이 아닌 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(\mathfrak{a}\)의 minimal norm을 갖는 원소를 \(a\)라 하면 \(\mathfrak{a}=a\)이다.

증명

\(\mathfrak{a}\)가 zero ideal이라면 증명할 것이 없으므로, \(\mathfrak{a}\neq 0\)이라 가정하자.

\(\mathfrak{a}\setminus \{0\}\)의 \(N\)에 의한 ㅑmage를 보면, \(\mathbb{Z}^{\geq 0}\)은 well-ordered set이므로 norm이 최소인 \(\mathfrak{a}\)의 nonzero element \(a\)를 택할 수 있다.

\((a)\subseteq \mathfrak{a}\)인 것은 자명하므로, \((a)=\mathfrak{a}\)임을 보이기 위해서는 반대방향 포함관계만 보이면 충분하다. \(\mathfrak{a}\)의 임의의 원소 \(x\)에 대하여 division algorithm을 적용하면

\[x=qa+r,\qquad\text{with $r = 0$ or $N(r) < N(a)$}\]

이다. 그럼 \(r = x - qa\)이고, \(x\)와 \(qa\) 모두 \(\mathfrak{a}\)에 속하므로 \(r\) 또한 \(\mathfrak{a}\)에 속한다. 이제 \(a\)의 norm이 최소라는 가정으로부터 \(N(r) < N(a)\)는 불가능하므로, \(r\)은 반드시 \(0\)이어야 한다. 즉, \(x=qa\)이고 이로부터 \(\mathfrak{a} = (a)\)임을 안다.

이제 다음을 정의하자.

정의 4 Commutative ring \(A\)와 그 안의 원소 \(a, b \in A\) (\(b \neq 0\))에 대하여 다음을 정의한다.

1. \(a\)가 \(b\)의 배수라는 것은 어떤 \(x \in A\)가 존재하여 \(a = bx\)인 것을 말한다. 이 경우 \(b\)가 \(a\)를 나눈다고 하며, 기호로 \(b \mid a\)라고 쓴다.
2. \(a\)와 \(b\)의 최대공약수_{greatest common divisor}는 다음 조건을 만족하는 nonzero element \(d\)를 말한다.
   • \(d \mid a\)이고 \(d \mid b\), 그리고
   • \(d'\)가 \(a \mid d'\)이고 \(b \mid d'\)를 만족하면 항상 \(d \mid d'\)

\(a\)와 \(b\)의 greatest common divisor는 \(\gcd(a, b)\) 또는 간단히 \((a, b)\)로 쓴다.

정의에 의해, \(b \mid a\)가 \(A\)의 ring에서 성립함은 \((a) \subset (b)\)와 동치이다. 특히, \(d\)가 \(a\), \(b\)의 모든 공약수이면 \((d)\)는 \((a, b)\)를 포함해야 한다. 따라서 위의 두 조건은 ideal의 언어로 다음과 같이 번역할 수 있다:

• \[\mathfrak{a} \subseteq (d)\]
• \((d) \subseteq (d')\) for any principal ideal \((d')\) such that \(a, b \in (d')\)

즉, \(a\), \(b\)의 greatest common divisor는 (존재한다면) \(a\), \(b\)를 포함하는 가장 작은 principal ideal을 생성하는 원소가 된다. 이것이 가능한 integral domain을 GCD domain이라 부르지만, 우리의 논의에서 이 정의가 별도로 등장할 일은 없다.

위의 논의를 통해 다음이 성립한다.

명제 5 Commutative ring \(A\) 안의 \(a, b \in A\)가 \(0\)이 아니라고 하자. 만약 \(a\)와 \(b\)로 생성되는 ideal \((a, b)\)가 어떤 원소 \(d \in A\)로 생성되는 principal ideal \((d)\)라면, \(d\)는 \(a\)와 \(b\)의 greatest common divisor이다.

그럼 최대공약수는 유일하게 결정된다. 이 유일성을 말할 때는 다소 주의해야 하는데, 가령 정수에서 \((2)\)와 \((-2)\)는 같은 ideal이 되기 때문이다.

명제 6 \(A\)를 integral domain이라 하자. \(A\)의 두 원소 \(d, d' \in A\)가 같은 principal ideal, 즉 \((d) = (d')\)를 생성한다고 하자. 그러면 \(d' = ud\)인 어떤 unit \(u \in A\)가 존재한다.

증명

\(d = 0\)이거나 \(d' = 0\)이면 자명하므로, \(d, d'\)가 모두 \(0\)이 아니라고 가정하자. 즉, \((d) = (d')\)이므로 적당한 \(x, y \in A\)가 존재하여

\[d = xd',\qquad d' = yd\]

를 만족한다. 그러면 \(d = xyd\)로부터 \((1-xy)d=0\)이다. 이제 \(A\)가 integral domain이라는 가정과 \(d \neq 0\)으로부터 \(xy = 1\)이라는 것을 알고, 따라서 \(xy\)는 각각이 서로의 역원이 되는 unit이다.

그럼 정수에서의 Bézout lemma와 마찬가지로, Euclidean domain에 대해서 다음이 성립한다.

정리 7 \(A\)를 Euclidean domain이라 하자. \(a, b \in A\)가 \(0\)이 아닌 원소들이고, \(r_n\)을 \(a, b\)에 대하여 정의 2의 과정을 반복하였을 때 더 진행이 불가능한 마지막 nonzero remainder라 하자. 그러면 다음이 성립한다:

1. \(r_n\)은 \(a, b\)의 greatest common divisor이다.
2. \((r_n)\)은 \((a, b)\)와 같은 ideal이다. 특히 \(r_n\)은 \(a, b\)의 \(A\)-linear combination으로 쓸 수 있으며, 즉 어떤 \(x, y \in A\)가 존재하여 \(r_n=ax+by\)를 만족한다.

증명

\(r_n\)이 \(a\)와 \(b\)를 나눈다는 것을 보이자. Euclidean algorithm의 마지막 단계는 다음의 식

\[r_{n-1} = q_n r_n\]

으로 주어졌을 것이며, 일반적으로는

\[r_{k-2}=q_{k}r_{k-1}+r_{k}\]

의 형태가 된다. 여기서 \(r_{-2}=a\), \(r_{-1}=b\)로 잡는다. 우리의 주장은 모든 나머지 \(r_k\)들이 \(r_n\)으로 나누어진다는 것이다. 이를 위해 위의 식을 거꾸로 따라가며 귀납법을 사용하자.

우선 \(r_n\mid r_{n-1}\)은 자명하다. 따라서 \(r_n \mid r_k\)와 \(r_n \mid r_{k-1}\)을 가정하면, 위의 식을 통해 \(r_n\)이 \(r_{k-2}\) 또한 나눈다는 것을 알 수 있고 이로부터 귀납적으로 \(r_n\)이 \(a\)와 \(b\) 각각을 나누는 것을 안다. 즉, \((a), (b)\subset (r_n)\)이므로 이로부터 \((a,b)\subset (r_n)\)임을 안다. 한편 \(r_n\)이 \(a\)와 \(b\)의 최대공약수이기 위해서는 \((a,b)=(r_n)\)이 성립해야 하며, 이는 마찬가지로 위의 식들을 통해 \(r_n\)을 \(a\)와 \(b\)의 \(A\)-linear combination으로 나타낼 수 있기 때문에 자명하다.

주아이디얼정역

이제 우리는 다음을 정의한다.

정의 8 Ring \(A\)가 principal ideal domain_{주아이디얼정역}이라는 것은 모든 ideal이 principal인 integral domain을 말한다.

그럼 명제 3으로부터 우리는 임의의 Euclidean domain은 항상 PID임을 안다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. Division algorithm은 두 원소 \(a,b\)가 주어졌을 때 이들의 최대공약수를 얻는 방법을 구체적으로 주지만, 명제 5에 의하여 다음이 성립한다.

따름정리 9 \(A\)를 Principal Ideal Domain이라 하고, \(a, b \in A\)가 \(0\)이 아닌 원소들이라 하자. \(a, b\)로 생성된 principal ideal \((a, b)\)의 generator를 \(d\)라 하면 다음이 성립한다:

1. \(d\)는 \(a\)와 \(b\)의 greatest common divisor이다.

2. \(d\)는 \(a\)와 \(b\)의 \(A\)-linear combination으로 쓸 수 있다. 즉, \(x, y \in A\)가 존재하여

   \[d = ax + by\]

   를 만족한다.

3. \(d\)는 명제 6의 센스에서 유일하다.

증명

명제 5, 명제 6의 결과이며, 둘째 결과는 \((a,b)=(d)\)라는 가정으로부터 자명하다.

Principal ideal domain의 유용한 성질 중 하나는 임의의 prime ideal이 항상 maximal이라는 것이다.

명제 10 Principal Ideal Domain \(A\)의 모든 \(0\)이 아닌 prime ideal은 maximal ideal이다.

증명

결론에 반하여 \(A\)의 nonzero prime idea\(\mathfrak{p} = (p)\)에 대하여 \(\mathfrak{p} \subsetneq \mathfrak{m} = (m)\)인 ideal \(\mathfrak{m}\)이 있다고 하자. 그럼 우선 \(p \in \mathfrak{m} = (m)\)이므로, 적당한 \(r\in A\)에 대하여 \(p = rm\)이고, \(\mathfrak{p}\)가 prime ideal이라는 가정으로부터 \(r\in \mathfrak{p}\)이거나 \(m\in\mathfrak{p}\)이고, 가정 \(\mathfrak{p} \subsetneq \mathfrak{m}\)로부터 \(m\not\in \mathfrak{p}\)여야 한다. 그런데 만약 \(r \in \mathfrak{p} = (p)\)라면 적당한 \(s\in A\)에 대하여 \(r = ps\)이고, 따라서 \(p = rm = psm\)이므로 \(1 = sm\)이이다. 즉, \(m\)은 unit이고 이는 \(\mathfrak{m}\)이 maximal ideal이라는 가정에 모순이다. (정의에 의해, \(A\) 자기자신은 maximal ideal이 아니다.)

단일인수분해정역

이제 우리는 마지막으로 단일인수분해정역을 정의한다. 이를 위해 우선 용어를 정리하자.

정의 11 \(A\)를 integral domain이라 하자.

1. Nonzero, non-unit \(r\in A\)를 고정하자. 만일 \(r = ab\)를 만족하는 어떤 \(a,b\)가 주어질 때마다 \(a\) 혹은 \(b\) 중 적어도 하나가 반드시 unit이라면 \(r\)을 irreducible_기약이라고 한다. 그렇지 않으면 \(r\)은 reducible이라 부른다.
2. Nonzero, non-unit \(p \in A\)를 고정하자. 만일 \(p \mid ab\)를 만족하는 어떤 \(a,b\)가 주어질 때마다 항상 \(p \mid a\) 또는 \(p \mid b\)를 만족하면 \(p\)를 prime이라고 한다.
3. 두 원소 \(a,b\)에 대하여, 만일 \(A\)의 적당한 unit \(u\)가 존재하여 \(a=ub\)라면 이들이 associate in \(R\)이라 부른다.

가령 \(\mathbb{Z}\)를 보자. 우리는 \(\mathbb{Z}\)의 임의의 원소, 예를 들어 \(10\)이 주어졌을 떄 이를 유일하게 \(2\times 5\)의 꼴로 인수분해할 수 있다고 주장하고 싶다. 그러나 \(\mathbb{Z}\)의 \(1\)이 아닌 unit, 즉 \(-1\) 때문에 다음의 식

\[10=2\times 5=(-2)\times (-5)=(-1)^2\times 2\times 5=\cdots\]

과 같은 형태의 곱으로 \(10\)을 나타낼 수도 있으며, 우리는 이러한 식은 서로 다르지 않은 것으로 취급하고 싶다. 이 때문에 위의 정의에서 unit만큼 차이나는 두 원소는 (사실상) 같은 것으로 보는 것이다.

한편, irreducible과 prime의 차이는 다소 미묘한데, 단일인수분해정역을 제대로 정의하기 위해서는 이들을 확실하게 구별해야 한다. 우선 다음 명제는 자명하다.

명제 12 Integral domain \(A\)에서 prime element는 항상 irreducible이다.

증명

원소 \(p \in A\)가 prime element라 가정하고, 적당한 \(a,b\)에 대하여 \(p = ab\)라 하자. 그럼 \(p\mid a\)이거나 \(p\mid b\)이므로, 일반성을 잃지 않고 \(p\mid a\)라 하자. 즉 적당한 \(r\in A\)가 존재하여 \(a=pr\)이다. 이제 \(p=ab=prb\)로부터, \(p(1-rb)=0\)이고 \(A\)는 integral domain이며, \(p\)가 nonzero이므로 \(1-rb=0\)이다. 즉 \(b\)가 unit이다.

그러나 그 역이 항상 성립하는 것은 아니다.

예시 13 우선 \(A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) 위에 다음과 같은 norm

\[N(a + b\sqrt{-5}) := a^2 + 5b^2\]

을 정의하면, 다음의 식

\[N(xy) = N(x)N(y)\]

이 모든 \(x,y\in A\)에 대해 성립하는 것을 안다. 이로부터, 만일 \(x\)가 \(A\)의 unit이라면 반드시 \(N(x)=1\)이어야 하고, 그 역도 성립함을 안다.

이제 \(A\)의 원소 \(3\)을 생각하자. 그럼 \(xy=3\)이고 \(x\)와 \(y\)가 동시에 non-unit이기 위해서는

\[N(x) N(y)=N(3) = 9\]

로부터 \(N(x)=N(y)=3\)이어야만 하는 것을 안다. 그런데 \(N\)의 정의로부터 이를 만족하는 원소는 존재하지 않으므로, \(3\)은 irreducible이다.

하지만 \(3\)은 prime이 아니다. 이는

\[3 \mid (2 + \sqrt{-5})(2 - \sqrt{-5}) = 4 + 5 = 9\]

이지만 \(3\)은 \(2 + \sqrt{-5}\)도, \(2 - \sqrt{-5}\)도 나누지 않기 때문이다.

그러나 PID에서는 이것이 항상 성립한다.

명제 14 PID \(A\)에서 nonzero element가 irreducible인 것과 prime인 것이 동치이다.

증명

\(A\)의 irreducible element \(p \in A\)를 고정하자. 보일 것은 \(p\)가 prime이라는 것, 즉 \((p)\)가 prime ideal이라는 것이다. \(A\)가 P.I.D.이므로 임의의 ideal은 \((m)\)의 꼴로 쓰인다. 이제 \((p) \subseteq (m)\)이라고 하면 \(p = rm\) for some \(r \in A\)이다. 그런데 \(p\)는 irreducible이므로 \(r\)이나 \(m\) 중 하나는 unit이어야 한다.

• 만약 \(r\)이 unit이면 \(p\)와 \(m\)은 associate이고, \((p) = (m)\)이다.
• 만약 \(m\)이 unit이면 \((m) = A\)이다.

따라서 \((p)\)를 포함하는 ideal은 \((p)\) 자신이거나 \(A\)뿐이므로, \((p)\)는 maximal이고, P.I.D.에서는 maximal ideal은 항상 prime이므로 \((p)\)는 prime ideal이다. 따라서 \(p\)는 prime element이다.

따라서 예시 13의 \(A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\)는 PID가 아니다.

예시 15 정의를 사용하여 \(A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\)가 실제로 PID가 아님을 보이자. 우리 주장은 다음의 ideal

\[\mathfrak{a}=(3, 1+\sqrt{-5})\]

이 non-principal이라는 것이다. 앞서 예시 13에서 정의한 norm을 계속 사용하자. 그럼

\[N(3)=9,\qquad N(1+\sqrt{-5})=6\]

이므로 만일 적당한 \(x\in A\)가 존재하여 \(\mathfrak{a}=(a)\)라면 \(N(x)\)는 \(3\)의 약수여야 한다. 그러나 예시 13에서 살펴본 것과 같이 \(N(x)=3\)을 만족하는 \(x\in A\)는 존재하지 않으므로, 유일한 가능성은 \(N(x)=1\)이고 따라서 \((3, 1+\sqrt{-5})\)가 unit ideal인 것이다.

그러나 \(2\not\in \mathfrak{a}\)이다. 이를 보이기 위해, 적당한 \(x,y\in A\)에 대하여

\[2=3x+(1+\sqrt{-5})y\]

라 하자. \(x = a_1 + a_2\sqrt{-5}\), \(y = b_1 + b_2\sqrt{-5}\)라 하고 우변을 전개하면

\[3x + (1+\sqrt{-5})y = (3a_1 + b_1 - 5b_2) + (3a_2 + b_1 + b_2)\sqrt{-5}\]

이므로, 이것이 \(2\)가 되려면 다음의 두 연립방정식

\[\begin{cases}3a_1 + b_1 - 5b_2 = 2 \\3a_2 + b_1 + b_2 = 0\end{cases}\]

이 성립해야 한다. 그런데 두 번째 식에서 \(b_1 = -3a_2 - b_2\)를 첫 번째 식에 대입하면

\[3a_1 - 3a_2 - 6b_2 = 2\]

를 얻는데, 좌변은 \(3\)의 배수인 반면 우변은 그렇지 않으므로 모순이다. 즉, \((3, 1+\sqrt{-5}) \neq (1)\)이다.

이제 다음을 정의하자.

정의 16 Integral domain \(A\)가 unique factorization domain_{단일인수분해정역}인 것은 모든 non-zero, non-unit \(a\in A\)에 대하여 다음 두 조건이 성립하는 것이다.

1. \(a\)는 \(A\)의 irreducible element들의 유한곱으로 표현될 수 있다. 즉, 적당한 irreducible \(p_1, \dots, p_n \in A\)가 존재하여

   \[a = p_1 p_2 \cdots p_n\]

   으로 쓸 수 있다.

2. 위의 표현은 associate 관계를 제외하고 유일하다. 즉, \(a = q_1 q_2 \cdots q_m\)이 또 다른 표현이라면 \(m = n\)이고, 적당한 재배열 후 각 \(p_i\)와 \(q_i\)가 서로 associate이도록 할 수 있다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 17 UFD \(A\)에서 nonzero element가 irreducible인 것과 prime인 것이 동치이다.

증명

Irreducible element가 항상 prime임을 보이면 충분하다.

Irreducible element \(p \in A\)를 택하고, \(p \mid ab\) for some \(a, b \in A\)라 하자. 그럼 \(p \mid a\) 또는 \(p \mid b\)임을 보여야 한다. 우선 \(A\)는 UFD이므로 \(a\), \(b\), \(ab\)를 irreducible들의 곱으로 쓸 수 있다. 이를 이용해

\[a = p_1 \cdots p_k,\quad b = q_1 \cdots q_l\]

이라 하면 \(ab = p_1 \cdots p_k q_1 \cdots q_l\)이다. 여기에서 \(p \mid ab\)라 함은 어떤 \(c \in A\)가 존재하여 \(ab = pc\)인 것이다. 이제 \(p\)도 irreducible이고 \(ab\)도 irreducible들의 곱으로 표현되므로, UFD의 정의에 따라 \(p\)는 \(ab\)의 성분 \(p_i\) 혹은 \(q_j\) 중 어떤 하나와 associate 관계에 있고, 이에 따라 \(p\)는 \(a\)를 나누거나 \(b\)를 나눈다.

UFD는 그 정의에 의해 임의의 원소를 인수분해할 수 있는 integral domain이다. 두 정수를 소인수분해 하였을 때의 좋은점은, 이로부터 이들의 최대공약수가 바로 나온다는 것이다.

명제 18 \(A\)를 Unique Factorization Domain이라 하자. \(a, b \in A\)가 \(0\)이 아닌 원소들이고 다음과 같은 prime factorization을 갖는다고 하자:

\[a = u \cdot p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_n^{e_n}, \qquad b = v \cdot p_1^{f_1} p_2^{f_2} \cdots p_n^{f_n}\]

여기서 \(u, v \in A^\times\)는 unit들이고, \(p_1, \dots, p_n\)은 서로 다른 irreducible (또는 prime)들이며, \(e_i, f_i \geq 0\)이다. 그러면 다음과 같이 정의된 원소

\[d = p_1^{\min(e_1, f_1)} p_2^{\min(e_2, f_2)} \cdots p_n^{\min(e_n, f_n)}\]

는 \(a\)와 \(b\)의 greatest common divisor이다. (단, 모든 지수가 \(0\)이면 \(d = 1\)이다.)

증명

먼저 \(d\)의 각 prime 인수 \(p_i\)의 지수 \(\min(e_i, f_i)\)는 \(a\)와 \(b\) 양쪽의 factorization에서 \(p_i\)가 등장하는 최소 횟수이므로, \(d \mid a\)이고 \(d \mid b\)임이 자명하다. 즉, \(d\)는 공약수이다.

이제 \(c\)를 \(a\)와 \(b\)의 임의의 공약수라고 하자. 그러면 \(c\)의 prime factorization은 다음과 같다:

\[c = q_1^{g_1} \cdots q_m^{g_m}\]

그런데 \(c \mid a, b\)이므로 각 \(q_j\)는 \(a\) 또는 \(b\)의 어떤 prime factor와 associate해야 한다. 즉, \(\{q_1, \dots, q_m\} \subseteq \{p_1, \dots, p_n\}\)이다.

또한 각 지수 \(g_j\)는 \(a\)와 \(b\)에서 \(q_j\)의 지수 이상일 수 없으므로, \(g_j \leq \min(e_j, f_j)\)이다. 따라서 \(c \mid d\)이고, \(d\)는 \(a\), \(b\)의 greatest common divisor이다.

그럼 다음 정리는 지금까지 다룬 세 정의를 한데 묶어준다.

정리 19 모든 Euclidean domain은 Principal Ideal Domain이고, 모든 Principal Ideal Domain은 Unique Factorization Domain이다. 특히, 모든 Euclidean domain은 Unique Factorization Domain이다.

증명

보여야 할 것은 오직 임의의 PID가 UFD라는 사실 뿐이다. PID \(A\)를 고정하고, non-zero, non-unit \(r\in A\)를 고정하자. 우선 우리는 prime ideal들의 chain

\[(r)=(r_0) \subsetneq (r_1) \subsetneq (r_2) \subsetneq \cdots\]

를 귀납적으로 만들어낼 것이다. 만일 \(r\)가 irreducible이라면 여기서 과정을 끝내고, 그렇지 않다면 non-unit인 \(r_1, r_2\)가 존재하여 \(r = r_1 r_2\)와 같이 쓸 수 있다. 다시 이들 둘 모두가 irreducible이라면 여기에서 과정을 종료하고, 그렇지 않다면 이 과정을 반복하는 식으로 위의 ideal들의 chain을 잡을 수 있다.

이제 \(\mathfrak{a}=\bigcup_{i=0}^\infty (r_i)\)라 하자. 그럼 \(\mathfrak{a}\)가 ideal인 것은 자명하며, \(A\)가 PID라는 가정으로부터 \(\mathfrak{a}=(a)\)이도록 하는 \(a\in A\)가 존재한다. 그럼 어떠한 \(n\)에 대해서는 \(a\in (r_n)\)이어야 하고, 그럼 이 \(n\) 이후부터는 \((r_n)\)이 항상 \(a\)를 포함하므로 \((r_n)\subsetneq (r_{n+1})\)에 모순이다.

유일성의 경우는 명제 18과 비슷한 방법으로

\[r = p_1 \cdots p_m = q_1 \cdots q_n\]

와 같이 두 개의 표현이 주어졌다 가정하고, \(p_1\)부터 순서대로 associate관계에 있는 \(q_j\)들을 찾아가면 된다.