열린사상과 닫힌사상

정의와 기본적인 성질들

정의 1 임의의 두 위상공간 \(X,Y\)와 함수 \(f:X \rightarrow Y\)에 대하여 다음을 정의한다.

1. 만일 \(X\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여 \(f(U)\)가 항상 \(Y\)의 열린집합이라면 \(f\)를 open mapping_열린사상이라 부른다.
2. 만일 \(X\)의 임의의 닫힌집합 \(A\)에 대하여 \(f(A)\)가 항상 \(Y\)의 닫힌집합이라면 \(f\)를 closed mapping_닫힌사상이라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 2 위상공간 \(X,Y,Z\)와 함수 \(f:X \rightarrow Y\), \(g:Y \rightarrow Z\)가 주어졌다 하자. 그럼 다음이 성립한다.

1. 만일 \(f, g\)가 모두 open (resp. closed)이라면 \(g\circ f\) 또한 open (resp. closed)이다.
2. 만일 \(g\circ f\)가 open (resp. closed)이고 \(f\)가 continuous surjection이라면 \(g\)는 open (resp. closed)이다.
3. 만일 \(g\circ f\)가 open (resp. closed)이고 \(g\)가 continuous injection이라면 \(f\)는 open (resp. closed)이다.

증명

1. 자명하다.

2. \(Y\)의 임의의 열린집합 \(V\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(f\)는 연속이므로 \(f^{-1}(V)\)는 \(X\)의 열린집합이고, 따라서

   \[(g\circ f)(f^{-1}(V))=g(f(f^{-1}(V)))=g(V)\]

   가 성립하므로 \(g(V)\)는 \(Z\)의 열린집합이다. 여기서 \(f(f^{-1}(V))=V\)인 것은 \(f\)가 전사함수임을 이용하였다. ([집합론] §Retraction과 section, ⁋정의 2) 한편 마찬가지 방식으로 \(Y\)의 임의의 닫힌집합 \(B\)가 주어졌다 하면 §연속함수, ⁋정리 4에 의하여 위와 동일한 논증을 적용할 수 있다.

3. 둘째 증명과 마찬가지로 open인 경우만 생각하면 충분하다. \(X\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여, \(g\circ f\)가 open이므로 \(g(f(U))\)는 open이고, 따라서 \(g\)가 연속이라는 것과 위의 [집합론] §Retraction과 section, ⁋정의 2을 사용하면 다음 식

   \[g^{-1}(g(f(U))=f(U)\]

   로부터 \(f(U)\)가 열린집합임을 안다.

다음 명제는 위상공간 사이의 함수가 언제 open 또는 closed인지를 판별하는데 도움이 된다.

명제 3 두 위상공간 사이의 함수 \(f:X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 다음이 성립한다.

1. 만일 \(f\)가 open (resp. closed)라면, \(Y\)의 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여 \(f\vert_{f^{-1}(A)}: f^{-1}(A) \rightarrow A\)도 open (resp. closed)이다.
2. \(Y\)의 covering \((A_i)_{i\in I}\)가 (1) locally finite closed covering이거나, (2) \((\interior A_i)_{i\in I}\)가 \(Y\)의 open covering이 된다고 하자. 만일 각각의 \(f\vert_{f^{-1}(A_i)}\)가 open (resp. closed)라면, \(f\) 또한 그러하다.

증명

첫 번째 결과를 보이기 위해 \(f^{-1}(A)\)에서의 열린집합 (resp. 닫힌집합)을 택하자. 그럼 \(X\)에서의 열린집합 (resp. 닫힌집합) \(U\)가 존재하여 이를 \(U\cap f^{-1}(A)\) 꼴로 적을 수 있다. 따라서

\[f\vert_{f^{-1}(A)}(U)=f(U)\cap A\]

이고, 가정에 의하여 \(f(U)\)가 열린집합 (resp. 닫힌집합)이므로 원하는 결과를 얻는다.

두 번째 결과도 비슷하게 증명할 수 있는데, \(X\)에서의 열린집합 (resp. 닫힌집합) \(U\)가 주어졌다 하고, \(U_i\)를 다음 식

\[U_i=U\cap f^{-1}(A_i)\]

으로 정의하자. 그럼 \(f\vert_{f^{-1}(A_i)}(U_i)=f(U)\cap A_i\)이 성립하고, 따라서 가정에 의하여 \(f(U)\cap A_i\)가 모든 \(i\)에 대해 열린집합 (resp. 닫힌집합)이다. 따라서 만일 \(U\)가 열린집합이라면 \(f(U)\)는 열린집합들의 합집합이므로 열린집합이고, \(U\)가 닫힌집합이면 §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 4에 의하여 닫힌집합이 된다.

동치관계들

정의 4 위상공간 \(X\) 위에 정의된 동치관계 \(R\)이 open (resp. closed)이라는 것은 canonical map \(X \rightarrow X/R\)이 open (resp. closed)인 것이다.

그럼 다음이 성립하는 것을 쉽게 보일 수 있다.

명제 5 두 위상공간 \(X,Y\) 사이의 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)와 \(f\)의 canonical decomposition

\[X \overset{p}{\longrightarrow} X/R \overset{h}{\longrightarrow h} f(X)\overset{i}{\longrightarrow}Y\]

를 생각하자. 그럼 다음이 모두 동치이다.

1. \(f\)가 open (resp. closed)이다.
2. \(p,h,i\)가 모두 open (resp. closed)이다.
3. \(R\)이 open (resp. closed)이고, \(h\)는 homeomorphism이며 \(f(X)\)는 \(Y\)의 open (resp. closed) subset이다.

열린사상의 성질들

이제 우리는 열린사상과 닫힌사상 각각이 갖는 성질들을 살펴본다. 우선 열린사상의 경우부터 시작한다.

명제 6