열린사상과 닫힌사상

정의와 기본적인 성질들

정의 1 임의의 두 위상공간 $X,Y$와 함수 $f:X \rightarrow Y$에 대하여 다음을 정의한다.

1. 만일 $X$의 임의의 열린집합 $U$에 대하여 $f(U)$가 항상 $Y$의 열린집합이라면 $f$를 open mapping_열린사상이라 부른다.
2. 만일 $X$의 임의의 닫힌집합 $A$에 대하여 $f(A)$가 항상 $Y$의 닫힌집합이라면 $f$를 closed mapping_닫힌사상이라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 2 위상공간 $X,Y,Z$와 함수 $f:X \rightarrow Y$, $g:Y \rightarrow Z$가 주어졌다 하자. 그럼 다음이 성립한다.

1. 만일 $f, g$가 모두 open (resp. closed)이라면 $g\circ f$ 또한 open (resp. closed)이다.
2. 만일 $g\circ f$가 open (resp. closed)이고 $f$가 continuous surjection이라면 $g$는 open (resp. closed)이다.
3. 만일 $g\circ f$가 open (resp. closed)이고 $g$가 continuous injection이라면 $f$는 open (resp. closed)이다.

증명

1. 자명하다.

2. $Y$의 임의의 열린집합 $V$가 주어졌다 하자. 그럼 $f$는 연속이므로 $f^{-1}(V)$는 $X$의 열린집합이고, 따라서

   \[(g\circ f)(f^{-1}(V))=g(f(f^{-1}(V)))=g(V)\]

   가 성립하므로 $g(V)$는 $Z$의 열린집합이다. 여기서 $f(f^{-1}(V))=V$인 것은 $f$가 전사함수임을 이용하였다. ([집합론] §Retraction과 section, ⁋정의 2) 한편 마찬가지 방식으로 $Y$의 임의의 닫힌집합 $B$가 주어졌다 하면 §연속함수, ⁋정리 4에 의하여 위와 동일한 논증을 적용할 수 있다.

3. 둘째 증명과 마찬가지로 open인 경우만 생각하면 충분하다. $X$의 임의의 열린집합 $U$에 대하여, $g\circ f$가 open이므로 $g(f(U))$는 open이고, 따라서 $g$가 연속이라는 것과 위의 [집합론] §Retraction과 section, ⁋정의 2을 사용하면 다음 식

   \[g^{-1}(g(f(U))=f(U)\]

   로부터 $f(U)$가 열린집합임을 안다.

다음 명제는 위상공간 사이의 함수가 언제 open 또는 closed인지를 판별하는데 도움이 된다.

명제 3 두 위상공간 사이의 함수 $f:X \rightarrow Y$가 주어졌다 하자. 그럼 다음이 성립한다.

1. 만일 $f$가 open (resp. closed)라면, $Y$의 임의의 부분집합 $A$에 대하여 $f\vert_{f^{-1}(A)}: f^{-1}(A) \rightarrow A$도 open (resp. closed)이다.
2. $Y$의 covering $(A_i)_{i\in I}$가 (1) locally finite closed covering이거나, (2) $(\interior A_i)_{i\in I}$가 $Y$의 open covering이 된다고 하자. 만일 각각의 $f\vert_{f^{-1}(A_i)}$가 open (resp. closed)라면, $f$ 또한 그러하다.

증명

첫 번째 결과를 보이기 위해 $f^{-1}(A)$에서의 열린집합 (resp. 닫힌집합)을 택하자. 그럼 $X$에서의 열린집합 (resp. 닫힌집합) $U$가 존재하여 이를 $U\cap f^{-1}(A)$ 꼴로 적을 수 있다. 따라서

\[f\vert_{f^{-1}(A)}(U)=f(U)\cap A\]

이고, 가정에 의하여 $f(U)$가 열린집합 (resp. 닫힌집합)이므로 원하는 결과를 얻는다.

두 번째 결과도 비슷하게 증명할 수 있는데, $X$에서의 열린집합 (resp. 닫힌집합) $U$가 주어졌다 하고, $U_i$를 다음 식

\[U_i=U\cap f^{-1}(A_i)\]

으로 정의하자. 그럼 $f\vert_{f^{-1}(A_i)}(U_i)=f(U)\cap A_i$이 성립하고, 따라서 가정에 의하여 $f(U)\cap A_i$가 모든 $i$에 대해 열린집합 (resp. 닫힌집합)이다. 따라서 만일 $U$가 열린집합이라면 $f(U)$는 열린집합들의 합집합이므로 열린집합이고, $U$가 닫힌집합이면 §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 4에 의하여 닫힌집합이 된다.

동치관계들

정의 4 위상공간 $X$ 위에 정의된 동치관계 $R$이 open (resp. closed)이라는 것은 canonical map $X \rightarrow X/R$이 open (resp. closed)인 것이다.

그럼 다음이 성립하는 것을 쉽게 보일 수 있다.

명제 5 두 위상공간 $X,Y$ 사이의 연속함수 $f:X \rightarrow Y$와 $f$의 canonical decomposition

\[X \overset{p}{\longrightarrow} X/R \overset{h}{\longrightarrow h} f(X)\overset{i}{\longrightarrow}Y\]

를 생각하자. 그럼 다음이 모두 동치이다.

1. $f$가 open (resp. closed)이다.
2. $p,h,i$가 모두 open (resp. closed)이다.
3. $R$이 open (resp. closed)이고, $h$는 homeomorphism이며 $f(X)$는 $Y$의 open (resp. closed) subset이다.

열린사상의 성질들

이제 우리는 열린사상과 닫힌사상 각각이 갖는 성질들을 살펴본다. 우선 열린사상의 경우부터 시작한다.

명제 6