K

Grad. student in mathematics

다음 글에서 우리는 regular local ring (§차원, ⁋정의 9)에 대해 살펴본다. 그 전에 몇가지 개념들을 정의해야 한다.

가역가군

우선 다음을 정의한다.

정의 1 Ring \(A\)에 대하여, \(A\)-module \(M\)이 invertible가역이라는 것은 \(M\)이 finitely generated이고, \(A\)의 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여 \(M_\mathfrak{p}\cong A_\mathfrak{p}\)가 성립하는 것이다.

Prime ideal \(\mathfrak{p}\)와 \(\mathfrak{p}\)를 포함하는 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 대하여, 만일 \(A_\mathfrak{m}\cong M_\mathfrak{m}\)라면 \(A_\mathfrak{p}\cong M_\mathfrak{p}\)일 것이므로 위의 조건은 임의의 maximal idlal에 대해서만 확인해봐도 충분하다.

이제 \(M^\ast=\Hom_A(M,A)\)으로 정의하면, \(A\)가 commutative라는 사실로부터 \(\Hom_A(M, A)\)도 \(A\)-module임을 알고, 더 나아가 trace map \(M^\ast\otimes M \rightarrow A\) 또한 존재한다. ([다중선형대수학] §Hom과 텐서곱, ⁋정의 6)

정의 2 Ring \(A\)와, \(A\)의 total ring of fractions \(K\)를 생각하자. 그럼 \(K\)의 \(A\)-submodule \(\mathfrak{A}\)가 \(A\)의 fractional ideal분수아이디얼이라는 것은 \(0\)이 아닌 적당한 \(a\in A\)가 존재하여 \(a \mathfrak{A}\subseteq A\)인 것이다.

위의 정의에서 얻어지는 \(a \mathfrak{A}\)가 \(A\)의 ideal이 된다는 것은 자명하다. 직관적으로 \(\mathfrak{A}\)가 finitely generated라면, \(a \mathfrak{A}\subseteq A\)라는 조건은 \(\mathfrak{A}\)의 generator들의 공통분모를 곱하여 이를 \(A\)의 subset으로 보는 것과 같은 것이다. 특히 \(K\)의 임의의 finitely generated \(A\)-submodule

\[\left(\frac{a_1}{s_1},\ldots, \frac{a_n}{s_n}\right)A\]

은 원소 \(s_1\cdots s_n\in A\)에 의해 항상 fractional ideal이 되고, \(A\)가 noetherian이라면 그 역 또한 성립한다. 일반적인 ideal과 같이, fractional ideal들의 곱 또한

\[\mathfrak{A}\mathfrak{B}=\left\{\sum_{i=1}^n a_ib_i: a_i\in \mathfrak{A}, b_i\in \mathfrak{B}\right\}\]

으로 정의한다.

다음 정리에서, \(K\)의 임의의 부분집합 \(X\)에 대하여,

\[X^{-1}=(A:_KX)=\{y\in K\mid yX\subseteq A\}\]

이며, 위의 직관에 따르면 이는 대략적으로 \(X\)의 분모들의 모임 정도로 생각할 수 있다.

정리 3 Noetherian ring \(A\)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. \(A\)-module \(M\)이 invertible인 것과, trace map \(M^\ast\otimes_A M \rightarrow A\)가 isomorphism인 것이 동치이다.
  2. 임의의 invertible module은 \(A\)의 어떤 fractional ideal과 isomorphic하고, 따라서 \(K\)의 임의의 invertible \(A\)-submodule은 \(A\)의 fractional ideal이다. 이런 식으로 얻어지는 임의의 invertible fractional ideal은 \(A\)의 non-zerodivisor를 포함한다.

  3. \(K\)의 두 invertible \(A\)-submodule \(M,N\)에 대하여, 다음 두 식

    \[M\otimes N \rightarrow MN;\quad s\otimes t\mapsto st,\qquad M^{-1}N \rightarrow \Hom_A(M,N);\quad t\mapsto u_t(-)=t-\]

    으로 정의되는 morphism들은 isomorphism들이다. 특히 \(M^{-1}\cong M^\ast\)이 성립한다.

  4. 임의의 \(A\)-submodule \(M\subseteq K\)에 대하여, \(M\)이 invertible인 것과 \(M^{-1}M=A\)인 것이 동치이다.
증명

  1. 우선 한쪽 방향은 §국소화의 성질들, ⁋명제 4에 의해 자명하다.
    거꾸로 trace map \(\tr:M^\ast\otimes_A M \rightarrow A\)가 isomorphism이라 하고, \(M_\mathfrak{p}\cong A_\mathfrak{p}\)임을 보여야 한다. 이 때, \(\tr\)이 isomorphism이므로

    \[\tr\left(\sum_{i=1}^n\xi_i\otimes x_i\right)=1\]

    이도록 하는 \(M^\ast\otimes M\)의 원소가 존재하며, 우리는 \(M_\mathfrak{p}\)가 \(a_i\)로 생성된다는 것을 보인다. 그럼 \(M\)은 §국소화의 성질들, ⁋명제 4에 의해 이들 \(x_1,\ldots, x_n\)들로 생성되어야 한다.

    다시 이 명제를 통해, 우리는 주어진 가정으로부터 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대해 \(\tr_\mathfrak{p}\)가 isomorphism이 다음의 isomorphism

    \[\tr_\mathfrak{p}: (M^\ast\otimes_AM)_\mathfrak{p}\cong M^\ast_\mathfrak{p}\otimes_{A_\mathfrak{p}}M_\mathfrak{p} \rightarrow A_\mathfrak{p}\]

    을 얻는다. 비슷하게 \(\xi_i:M \rightarrow A\)를 localize하여 \((\xi_i)_\mathfrak{p}: M_\mathfrak{p}\rightarrow A_\mathfrak{p}\)를 정의할 수 있으며, 이들이 원하는 isomorphism이 될 것이다.
    한편 고정된 \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(1\not\in \mathfrak{p}\)이므로 위에서 택한 \(\xi_i\otimes x_i\) 중 어느 하나는 \(\tr(\xi_i\otimes x_i)=\xi_i(x_i)\not\in \mathfrak{p}\)를 만족해야 한다. 그럼 \(A_\mathfrak{p}\)에서 이 원소의 역원 \(\xi_i(x_i)^{-1}\)이 존재하며, 이를 편의상 \(a_i\)라 쓰기로 하면 다음 식

    \[(\xi_i)_\mathfrak{p}(a_i x_i)=1\]

    을 통해 \((\xi_i)_{\mathfrak{p}}: M_\mathfrak{p} \rightarrow A_\mathfrak{p}\)가 \(a_i x_i\)를 \(A_\mathfrak{p}\)로 옮기는 것을 안다. 이제 \(A_\mathfrak{p} \rightarrow M_\mathfrak{p}\)를 \(1\mapsto a_ix_i\)로 정의하면, 이는 \((\xi_i)_\mathfrak{p}\)의 section이며 따라서 다음의 short exact sequence

    \[0 \longrightarrow \ker (\xi_i)_\mathfrak{p}\longrightarrow M_\mathfrak{p}\overset{(\xi_i)_\mathfrak{p}}{\longrightarrow}A_\mathfrak{p}\longrightarrow 0\]

    가 split한다. 이로부터 \(M_\mathfrak{p}\cong A_\mathfrak{p}x_i\oplus\ker(\xi_i)_\mathfrak{p}\)인 것을 안다. 비슷하게 \(M_\mathfrak{p}\hookrightarrow M^{\ast\ast}_\mathfrak{p}\)를 통해 \(x_i\)를 \(M^\ast_\mathfrak{p} \rightarrow A_\mathfrak{p}\)로 보면 \(M_\mathfrak{p}^\ast\cong A_\mathfrak{p}\xi_i\oplus \ker(x_i)\)를 얻으며, 이제

    \[M^\ast_\mathfrak{p}\otimes M_\mathfrak{p}\cong (A_\mathfrak{p}\xi_i\otimes A_\mathfrak{p}x_i)\oplus ( A_\mathfrak{p}\xi_i\otimes\ker (\xi_i)_\mathfrak{p})\oplus(\ker(x_i)_\mathfrak{p}\otimes A_\mathfrak{p}x_i)\oplus (\ker(x_i)_\mathfrak{p}\otimes \ker(\xi_i)_\mathfrak{p})\]

    이다. 그런데 우변의 첫 번째 항이 정확히 \(A_\mathfrak{p}\)의 원소를 전부 복원해내므로, \(\tr_\mathfrak{p}\)로 옮겼을 때 나머지 항들은 \(0\)으로 가야만 하고, 특히 둘째 항이 \(0\)으로 가는 것으로부터 \((\ker\xi_i)_\mathfrak{p}=\ker(\xi_i)_\mathfrak{p}=0\)임을 안다. 즉, \(\xi_i\)는 위의 주장대로 \(M_\mathfrak{p}\)에서 \(A_\mathfrak{p}\)로의 isomorphism이고, 이를 통해 \(M_\mathfrak{p}\)를 \(x_i\)로 생성되는 free \(A_\mathfrak{p}\)-moule로 생각할 수 있다.

  2. 이제 \(M\)이 invertible module이라 하자. 이를 \(A\)의 fractional ideal과 비교하기 위해서는 우선 \(M\)을 \(K\)에 넣어주어야 한다. 그런데 우선 \(A\)의 total ring of fractions \(K\)의 maximal ideal들은 정확히 \(A\)의 maximal한 associated prime ideal들에 대응됨을 확인할 수 있고, \(\Ass A\)는 유한하므로 \(K\)는 semilocal ring이 된다. 따라서 §정수적 확장, ⁋명제 13과 다음 isomorphism들

    \[M\otimes K_{\mathfrak{m}K}=M_\mathfrak{m}\cong A_\mathfrak{m}\cong K_{\mathfrak{m}K}\]

    으로부터 \(M\otimes K\cong K\)를 얻는다. 이제 이를 localization map \(\epsilon: M \rightarrow S^{-1}M=K\otimes M\)과 합성하면 원하는 embedding을 얻으며, 이 때 \(\epsilon\)이 injective이라는 사실 또한 \(A\)의 임의의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 §국소화의 성질들, ⁋명제 4를 적용하여 다음의 map

    \[\epsilon_\mathfrak{m}: M_\mathfrak{m}\cong A_\mathfrak{m} \rightarrow K\otimes_{A_\mathfrak{m}} A_\mathfrak{m}=S^{-1}A_\mathfrak{m}\]

    을 얻고, 이 때 \(S\)의 원소들 (즉 \(A\)의 non-zerodivisor들)이 \(A_\mathfrak{m}\)의 non-zerodivisor이기 때문에 얻어진다.
    이제 fractional ideal \(\mathfrak{A}\)가 주어졌다 하고, \(\mathfrak{A}\cap A\)가 zerodivisor로만 이루어졌다 하자. 그럼 \(\mathfrak{a}\)가 (finitely generated) fractional ideal이라는 것으로부터, 공통분모 \(a\)를 찾아 \(a \mathfrak{A}\subseteq A\)를 \(A\)의 ideal이 되도록 할 수 있으며, 이제 §동반소아이디얼, ⁋정리 7을 적용하면 \(a\mathfrak{A}\)는 오로지 non-zerodivisor로만 이루어진 \(A\)의 ideal이므로, 이는 associated prime ideal들의 합집합에 속하고 다시 여기에 §동반소아이디얼, ⁋보조정리 2를 적용하면 \(a\mathfrak{A}\)가 실제로 어떤 \(b\in A\)를 annihilate하는 것을 안다. 즉, \(ab\)는 \(\mathfrak{A}\)를 annihilate하고 따라서 \(\ann(ab)\)를 포함하는 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에서 localize를 하면 \(M_\mathfrak{p}\not\cong A_\mathfrak{p}\)임을 안다.

  3. 두 invertible module \(M,N\)이 주어졌다 하자. 그럼 둘째 결과에 의해 이들을 \(K\) 안에 들어있는 fractional ideal로 생각할 수 있으며, 주장에서 주어진 map 또한 이렇게 정의된 것이다. 그럼 어차피 주어진 morphism들이 isomorphism이라는 것은 §국소화의 성질들, ⁋명제 4을 통해 보일 것이므로, 처음부터 \(A\)가 local임을 가정해도 되고, 그럼 둘째 결과에서의 논증과 invertible module의 정의에 의해 \(M,N\)은 모두 \(A\)와 isomorphic하다. 이제 \(M,N\)을 생성하는 \(K\)의 non-zerodivisor를 각각 \(s,t\)라 하면, 첫 번째 morphism은 원래부터 epimorphism이고, 추가로 \(M\otimes_A N\)을 \(A\cong As\otimes_AAt\)로 본다면 \(M\otimes N \rightarrow MN\)은 \(1\otimes1\)을 \(st\)로 보내는 것으로 이해할 수 있으므로 \(st\)가 non-zerodivisor라는 것으로부터 이것이 monomorphism이기도 하다는 것을 안다. 두 번째 morphism의 경우, 우선 우리는 두 번째 결과에 의하여 적당한 non-zerodivisor \(a\in A\cap M\)을 택할 수 있다. 그럼 \(0\)이 아닌 임의의 \(t\in M^{-1}N\)에 대해 \(ta\neq 0\)이므로 \(u_t\)는 zero morphism이 아니고, 따라서 주장의 morphism은 monomorphism이다. 이것이 epimorphism이라는 것은 임의의 \(u\in \Hom_A(M,N)\)에 대하여, \(u(x)=y\)라 하면 \(u=u_{y/x}\)가 되어 성립한다. 특히 \(N=A\)로 두면 마지막 주장을 얻는다.
  4. 우선 \(M\)이 invertible이라면 3번 결과에 의해 \(M^{-1}\otimes M \rightarrow M^{-1}M\)과 trace map \(M^\ast\otimes M \rightarrow A\)를 같은 것으로 볼 수 있다. 거꾸로 \(K\)의 임의의 \(A\)-submodule \(M\)이 \(M^{-1}M=A\)를 만족한다면, 위와 마찬가지로 localization을 통해 \((A,\mathfrak{m})\)이 local ring이라 가정하고 \(M\cong A\)임을 보여도 된다. 그런데 조건 \(M^{-1}M=A\)에 의하여, 적당한 \(y\in M^{-1}\)에 대해 \(yM\not\subseteq \mathfrak{m}\)이도록 할 수 있고 그럼 \(\mathfrak{m}\)의 maximality에 의하여 \(yM=A\)여야 하고, 이로부터 \(M\)과 \(A\) 사이의 isomorphism \(y-\)를 얻는다.

Ring \(A\) 위에 정의된 invertible module들의 isomorphism class들의 모임을 생각하자. 그럼 \(\otimes\)는 이 isomorphism class를 보존하므로 이 위에 이항연산을 정의하며, \(\otimes\)가 결합법칙과 교환법칙을 만족하고, 항등원 \(A\)를 갖는다. 뿐만 아니라, 정리 3의 첫째 결과에 의해 임의의 invertible module은 \(\otimes\)에 대한 역원 \(M^\ast\)를 가진다. 이로부터 이 모임이 abelian group이 되는 것을 안다.

비슷하게, \(K\)의 invertible \(A\)-submodule들 (즉 \(A\)의 invertible fractional ideal들) 또한 ideal product를 통해 group의 구조를 가지며, 이 때 정리 3의 넷째 조건은 \(M\)의 역원이 \(M^{-1}\)임을 보여준다. 이들에 다음과 같이 이름을 붙인다.

정의 4 Ring \(A\)에 대하여 다음을 정의한다.

  1. \(A\)의 Picard group피카르드 군 \(\Pic(A)\)는 \(\otimes\)로 연산이 주어진 invertible \(A\)-module들의 isomorphism class들의 group이다.
  2. \(A\)의 Cartier divisor카르티에 인자들의 group \(\CaDiv(A)\)는 \(K\)의 invertible \(A\)-submodule들, 즉 \(A\)의 fractional ideal들의 group이다.

그럼 정리 3로부터 다음이 자명하다.

따름정리 5 Noetherian ring \(A\)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. \(K\)의 임의의 invertible \(A\)-submodule을 받아, 그 isomorphism class를 내놓는 함수 \(\CaDiv(A) \rightarrow \Pic(A)\)는 surjective이며, 그 kernel은 \(K\)의 unit들의 group \(K^\times\)와 isomorphic하다.
  2. \(\CaDiv(A)\)는 \(A\)의 invertible ideal들에 의해 생성되는 free abelian group이다.
증명
  1. 주어진 함수가 surjective인 것은 정리 3의 둘째 결과이며, \(K\)의 임의의 unit \(x\)에 대하여 \(Ax\subseteq K\)는 이 함수에 의해 \(A\)로 옮겨지는 invertible module이다. 따라서 임의의 invertible submodule \(M,N\)이 isomorphic하여, 적당한 \(x\in K^\times\)에 대해 \(I=xJ\)라 할 수 있으므로 kernel에 대한 주장도 보일 수 있다.
  2. 임의의 invertible fractional ideal \(\mathfrak{A}\)에 대하여, 정리 3의 둘째, 넷째 결과에 의해 \(\mathfrak{A}^{-1}\)도 invertible fractional ideal이고, 그럼 다시 정리 3의 둘째 결과에 의해 \(\mathfrak{A}^{-1}\)은 \(A\)의 non-zerodivisor를 포함한다. 이를 \(a\)라 하면, \(a \mathfrak{A}\subseteq A\)이므로 \(\mathfrak{A}=a \mathfrak{A}\cdot (a)^{-1}\)이다.

참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.

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