우리는 임의의 graded ring, 더 일반적으로는 임의의 graded module을 localize하는 방법을 살펴본다. 이번 글에서는 별다른 말이 없다면 모든 graded ring은 N0\mathbb{N}_{\geq 0}-graded인 것으로 생각하고, A=AiA=\bigoplus A_i, M=MiM=\bigoplus M_i를 고정하기로 한다. 그럼 임의의 nn에 대하여,

M(n)k=Mn+kfor all kM(n)_k=M_{n+k}\qquad\text{for all $k$}

으로 정의된 M(n)M(n)은 자연스럽게 graded AA-module 구조를 갖는다.

몫아이디얼Permalink

우선 임의의 ring AAAA의 두 ideal a,b\mathfrak{a}, \mathfrak{b}에 대하여, ideal quotient의 정의를 기억하자. (§기본개념들, ⁋정의 1)

정의 1 Ring AAAA의 두 ideal a,b\mathfrak{a}, \mathfrak{b}에 대하여, ideal quotient몫아이디얼을 다음의 식

(a:b)={aAaba}(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})=\{a\in A\mid a \mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}\}

으로 정의한다.

그럼 (a:b)(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})는 자명하게 덧셈에 대하여 닫혀있고, 또 임의의 xAx\in Aa(a:b)a\in (\mathfrak{a}:\mathfrak{b})에 대하여 다음 식

xabxaaxa \mathfrak{b}\subseteq x \mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{a}

이 성립하므로 xa(a:b)xa\in (\mathfrak{a}:\mathfrak{b})이다. 즉 (a:b)(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})는 실제로 ideal이 된다.

동차아이디얼의 성질들Permalink

우리는 [대수적 구조] §등급환, ⁋명제 6에서 임의의 homogeneous ideal은 항상 homogeneous element들로 생성됨을 보였는데, 이를 이용하면 다음의 보조정리 1을 보일 수 있다.

보조정리 2 Graded ring AAAA의 homogeneous ideal들 a,b\mathfrak{a},\mathfrak{b}에 대하여 다음이 성립한다. 다음이 성립한다.

  1. a\sqrt{\mathfrak{a}}는 homogeneous ideal이다.
  2. (a:b)(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})는 homogeneous ideal이다.
  3. 임의의 homogeneous element a,bAa,b\in Aabaab\in \mathfrak{a}를 만족할 때마다 aaa\in \mathfrak{a} 혹은 bab\in \mathfrak{a}가 성립한다 하자. 그럼 a\mathfrak{a}는 prime ideal이다.
증명
  1. 우선 a\sqrt{\mathfrak{a}}가 homogeneous ideal인 것을 보이자. 즉 임의의 xax\in \sqrt{\mathfrak{a}}에 대하여, xx를 homogeneous ideal들의 합

    x=xd1++xdl,d1<<dl()x=x_{d_1}+\cdots+x_{d_l},\quad d_1 < \cdots < d_l\tag{$\ast$}

    으로 나타냈을 때, xix_i들 각각이 a\sqrt{\mathfrak{a}}에 속한다는 것을 보여야 한다. 우선 xax\in \mathfrak{a}인 것으로부터, 적당한 kk가 존재하여 xkax^k\in \mathfrak{a}이다. 한편, 일반성을 잃지 않고 위의 표현 (\ast)에서 xlx_l이 가장 큰 차수를 갖는다고 하면, xkx^k를 homogeneous element들의 합으로 나타냈을 때, xlkx_l^k가 차수 kdegxlk\deg x_l에 있는 유일한 원소이다. 이제 xkax^k\in \mathfrak{a}이고 a\mathfrak{a}가 homogeneous ideal인 것으로부터 xlkax_l^k\in \mathfrak{a}, 즉 xlax_l\in \sqrt{\mathfrak{a}}인 것을 안다. 이후에는 xxlax-x_l\in\sqrt{\mathfrak{a}}이므로 같은 논증을 반복하면 된다.

  2. x(a:b)x\in (\mathfrak{a}:\mathfrak{b})라 하자. 위와 마찬가지로 xx를 homogeneous ideal들의 합 (\ast)으로 나타냈을 때, xix_i들 각각이 (a:b)(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})에 속함을 보여야 한다. 이제 b\mathfrak{b}를 생성하는 임의의 homogeneous element bb가 주어졌다 하자. 그럼 xibx_ib는 원소 xbaxb\in \mathfrak{a}degxi+degb\deg x_i+\deg b에 해당하는 homogeneous element이며, a\mathfrak{a}가 homogeneous ideal이므로 xibax_ib\in \mathfrak{a}이다.
  3. 마지막으로 주어진 조건을 가정한 후, 임의의 두 원소 x,yAx,y\in A를 homogeneous element들의 합

    x=xd1++xdm,y=ye1++yen,d1<<dm,e1<<enx=x_{d_1}+\cdots+x_{d_m},\quad y=y_{e_1}+\cdots+y_{e_n},\qquad d_1<\cdots< d_m,\quad e_1<\cdots< e_n

    으로 표현하자. 결론에 반하여 xyaxy\in \mathfrak{a}이지만 x∉ax\not\in \mathfrak{a}, y∉ay\not\in \mathfrak{a}라 가정하자. 그럼 가정에 의하여 어떤 xdix_{d_i}들 중 적어도 하나는 xdi∉ax_{d_i}\not\in \mathfrak{a}를 만족해야 한다. 그러한 ii들 중 가장 큰 것을 kk라 하고, 비슷하게 yely_{e_l}을 정의하자. 이제 AA의 원소 xyxy의 degree dk+eld_k+e_l에 해당하는 homogeneous component를 보자. 이 원소는

    (xy)dk+el=di+ej=dk+elxdiyej(xy)_{d_k+e_l}=\sum_{d_i+e_j=d_k+e_l}x_{d_i}y_{e_j}

    의 꼴로 쓰여질 수 있으며, 이 때 위의 식의 우변에서 xdkyelx_{d_k}y_{e_l} 이외의 모든 항은 di>dkd_i>d_k 혹은 ej>ele_j>e_l을 반드시 만족해야 한다. dkd_kele_l의 정의에 의하여, 이러한 항들은 모두 a\mathfrak{a}의 원소이다. 그런데 xyaxy\in \mathfrak{a}이고 a\mathfrak{a}는 homogeneous ideal이므로, (xy)dk+el(xy)_{d_k+e_l} 또한 a\mathfrak{a}의 원소이고 이로부터 모순을 얻는다.

특히 임의의 ring의 prime ideal에서의 localization이 중요한 예시였던 것과 같이, AA가 graded ring일 경우에도 homogeneous prime ideal p\mathfrak{p}에서의 localization은 중요한 예시가 된다. 따라서 위 보조정리의 세 번째 결과는 특히 기억할만하다.

어쨌든 우선 우리는 일반적인 경우부터 시작한다. 다음 명제는 원소들의 degree가 어떻게 행동하는지만 살펴보면 중명할 수 있으며 그 증명도 자명하다.

명제 3 AA의 multiplicative subset SS의 모든 원소가 homogeneous라 하자. 그럼 임의의 homogeneous element xMnx\in M_nsSs\in S에 대하여, x/sS1Mx/s\in S^{-1}M를 degree ndegsn-\deg s에 있는 것으로 정의하면 S1MS^{-1}MZ\mathbb{Z}-graded AA-module의 구조를 갖는다. 만일 M=AM=A인 경우, 이 grading은 S1AS^{-1}A 위에 정의된 곱셈에 대하여도 잘 작동하여 S1AS^{-1}AZ\mathbb{Z}-graded ring으로 만든다.

우리는 inclusion (S1A)0S1A(S^{-1}A)_0 \rightarrow S^{-1}A를 통해 S1AS^{-1}A(S1A)0(S^{-1}A)_0-module로 생각할 수 있다. 그럼 S1AS^{-1}A의 degree 00 부분 (S1A)0(S^{-1}A)_0은 곱셈에 대하여 닫혀있으므로 (S1A)0(S^{-1}A)_0(S1A)0(S^{-1}A)_0-algebra이다. 일반적으로 S1MS^{-1}M은 곱셈이 정의되지는 않지만, 마찬가지로 S1MS^{-1}M의 degree 00 부분 (S1M)0(S^{-1}M)_0을 생각하면 이는 (S1A)0(S^{-1}A)_0-module 구조를 갖는다.

특별히 중요한 예시 중 하나는 degree 11의 homogeneous element fA1f\in A_1에 대하여 S={1,f,f2,}S=\{1,f,f^2,\cdots\}인 경우인데, 이 경우는 (S1A)0(S^{-1}A)_0으로부터 S1AS^{-1}A를 복원해낼 수 있다.

명제 4 위와 같은 상황에서 다음의 isomorphism

S1A(S1A)0[T,T1]S^{-1}A\cong (S^{-1}A)_0[T, T^{-1}]

이 성립한다. 여기에서 TT는 degree 11을 주는 형식적인 변수이며, 우변의 (S1A)0[T,T1](S^{-1}A)_0[T, T^{-1}]

(S1A)0[T1,T2]/(T1T21)(S^{-1}A)_0[T_1, T_2]/(T_1T_2-1)

으로 정의된다.

증명

함수 {T1,T2}S1A\{T_1,T_2\} \rightarrow S^{-1}AT1f,T2f1T_1\mapsto f, T_2\mapsto f^{-1}으로 정의하면 [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8에 의하여 (S1A)0(S^{-1}A)_0-algebra homomorphism

(S1A)0[T1,T2]S1A(S^{-1}A)_0[T_1,T_2] \rightarrow S^{-1}A

을 얻는다. 명시적으로 이 homomorphism은

i,j0ai,jT1iT2ji,j0ai,jfij=dZ(jmax(d,0)aj+d,j)fd\sum_{i,j\geq 0} a_{i,j}T_1^i T_2^j\mapsto \sum_{i,j\geq 0} a_{i,j}f^{i-j}=\sum_{d\in \mathbb{Z}}\left(\sum_{j\geq \max(-d,0)} a_{j+d,j}\right)f^d

으로 주어지며, 이 때 ideal (T1T21)(T_1T_2-1)이 위의 homomorphism의 kernel에 포함되는 것이 자명하다. 한편, degai,j=0\deg a_{i,j}=0이므로 위의 homomorphism의 kernel은 다음 식

jmax(d,0)aj+d,j=0for all dZ\sum_{j\geq \max(-d,0)} a_{j+d,j}=0\qquad\text{for all $d\in\mathbb{Z}$}

을 만족하는 다항식들의 모임이다. 표기의 편의를 위하여 위의 합을 dd의 부호에 따라 다음의 세 조건

j0aj,j=0,j0aj+d,j=0,j0aj,j+d=0for all d>0\sum_{j\geq 0} a_{j,j}=0,\quad \sum_{j\geq 0} a_{j+d,j}=0,\quad \sum_{j\geq 0} a_{j,j+d}=0\qquad \text{for all $d>0$}

으로 바꾸어 쓸 수 있으며, 그럼 각각의 경우

a0,0=j1aj,j,ad,0=j1aj+d,j,a0,d=j1aj,j+dfor all d>0a_{0,0}=-\sum_{j\geq 1} a_{j,j},\quad a_{d,0}=-\sum_{j\geq 1} a_{j+d,j},\quad a_{0,d}=-\sum_{j\geq 1} a_{j,j+d}\qquad \text{for all $d>0$}

를 얻는다. 이제 이를 다항식

i,j0ai,jT1iT2j=j0aj,jT1jT2j+d>0j0aj+d,jT1j+dT2j+d>0j0aj,j+dT1jT2j+d=(a0,0+j1aj,jT1jT2j)+d>0(ad,0T1d+j1aj+d,jT1j+dT2j)+d>0(a0,dT2d+j1aj,j+dT1jT2j+d)\begin{aligned}\sum_{i,j\geq 0} a_{i,j} T_1^iT_2^j&=\sum_{j\geq 0} a_{j,j}T_1^jT_2^j+\sum_{d>0}\sum_{j\geq 0} a_{j+d,j}T_1^{j+d}T_2^j+\sum_{d>0}\sum_{j\geq 0} a_{j,j+d}T_1^jT_2^{j+d}\\&=\left(a_{0,0}+\sum_{j\geq 1} a_{j,j}T_1^jT_2^j\right)+\sum_{d>0} \left(a_{d,0}T_1^d+\sum_{j\geq 1}a_{j+d,j}T_1^{j+d}T_2^j\right)+\sum_{d>0} \left(a_{0,d}T_2^d+\sum_{j\geq 1}a_{j,j+d}T_1^{j}T_2^{j+d}\right)\end{aligned}

에 각각 대입하면 우변은

(j1aj,j(T1jT2j1))+d>0(j1aj+d,jT1d(T1jT2j1))+d>0(j1aj,j+dT2d(T1jT2j1))\left(\sum_{j\geq 1} a_{j,j}(T_1^jT_2^j-1)\right)+\sum_{d>0}\left(\sum_{j\geq 1}a_{j+d,j}T_1^d(T_1^jT_2^j-1)\right)+\sum_{d>0}\left(\sum_{j\geq 1}a_{j,j+d}T_2^d(T_1^jT_2^j-1)\right)

이 된다. 이 때 각각의 T1jT2j1T_1^jT_2^j-1(T1T21)(T_1T_2-1)에 포함되므로 위의 식의 kernel은 정확히 (S1A)0[T1,T2](S^{-1}A)_0[T_1,T_2]의 ideal (T1T21)(T_1T_2-1)에 해당한다. 한편 이 homomorphism은 정의에 의해 surjective이므로 원하는 결과를 얻는다.

동차국소화Permalink

정의 5 앞서 정의한 (S1A)0(S^{-1}A)_0(S1M)0(S^{-1}M)_0을 각각 AAMMhomogeneous localization동차국소화이라 부르고, A(S)A_{(S)}M(S)M_{(S)}와 같이 표현한다.

일반적인 localization과 마찬가지로, homogeneous element fAf\in A에 대하여, S={1,f,f2,}S=\{1,f,f^2,\cdots\}으로 얻어지는 MM의 homogeneous localization을 M(f)M_{(f)}으로 적기로 하고, homogeneous prime ideal pA\mathfrak{p}\subseteq A에 대하여, S=ApS=A\setminus \mathfrak{p}으로 얻어지는 MM의 homogeneous localization을 M(p)M_{(\mathfrak{p})}으로 적기로 한다.

남은 글에서, 임의의 graded AA-module MM에 대하여

M(d)=k0MkdM^{(d)}=\bigoplus_{k\geq 0} M_{kd}

으로 적기로 한다. 그럼 다음은 명제 4의 일반화이다.

명제 6 Degree dd의 homogeneous element fAf\in A를 고정하자. 그럼 다음의 isomorphism

M(f)M(d)/(f1)M(d)M_{(f)}\cong M^{(d)}/(f-1)M^{(d)}

이 성립한다.

증명

주어진 isomorphism은 적당한 u:M(d)M(f)u:M^{(d)} \rightarrow M_{(f)}에 first isomorphism theorem을 적용하여 얻어지며, uu는 다음의 식

uk:MkdM(f);xx/fku_k:M_{kd} \rightarrow M_{(f)};\qquad x\mapsto x/f^k

을 통해 얻어진다. 그럼 uu가 surjective인 것과 keru=(f1)M(d)\ker u=(f-1)M^{(d)}인 것을 어렵지 않게 보일 수 있다.

만일 degf=1\deg f=1이라면 위의 isomorphism은 M(f)M/(f1)MM_{(f)}\cong M/(f-1)M으로 쓸 수 있다.

한편, SS가 degree 11의 원소를 하나 이상 포함한다 하면 명제 4을 각각의 원소에 적용하여 다음을 얻는다.

명제 7 SS가 degree 11의 원소를 적어도 하나 포함하는 homogeneous multiplicative set이라면 S1A(S1A)0[T,T1]S^{-1}A\cong (S^{-1}A)_0[T,T^{-1}]이 성립한다.

증명

이는 본질적으로 명제 4과 동일한 증명으로, SS에 속하는 degree 11의 원소 ff를 택하여 명제 4의 증명과 동일한 방식으로 homomorphism (S1A)0[T1,T2]S1A(S^{-1}A)_0[T_1,T_2] \rightarrow S^{-1}A을 정의하면 된다. 그럼 이 homomorphism의 kernel이 (T1T21)(T_1T_2-1)이 되는 것은 동일한 증명으로 보일 수 있으며, 이 homomorphism이 surjective인 것은 임의의 degree dd짜리 S1AS^{-1}A의 원소 a/sa/s를 다음의 꼴

as=afds1fd\frac{a}{s}=\frac{af^d}{s}\frac{1}{f^d}

으로 쓸 수 있다는 것을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

특별히 homogeneous prime ideal p\mathfrak{p}을 하나 고정하고, A1⊄pA_1\not\subset \mathfrak{p}라 가정하자. SSp\mathfrak{p}에 속하지 않는 homogeneous element들로 이루어진 multiplicative subset이라 하면, 적어도 하나의 nonzero fA1f\in A_1이 존재하여 fSf\in S이므로, 위의 명제에 의해

S1AA(p)[T,T1]S^{-1}A\cong A_{(\mathfrak{p})}[T,T^{-1}]

을 얻는다.

명제 8 위와 같은 상황에서, homomorphism p:AA/(f1)p:A \rightarrow A/(f-1)에 의한 p\mathfrak{p}의 image를 q\mathfrak{q}라 하자. 그럼 q\mathfrak{q}는 prime ideal이며, 다음 식

A(p)(A/(f1))qA_{(\mathfrak{p})}\cong\left(A/(f-1)\right)_\mathfrak{q}

이 성립한다.

증명

Ring homomorphism q:AA/pq:A \rightarrow A/\mathfrak{p}를 생각하고, qq에 의한 ff의 image를 fˉ\bar{f}라 하자. 그럼

A/(f1)qA/p(fˉ1)\frac{A/(f-1)}{\mathfrak{q}}\cong \frac{A/\mathfrak{p}}{(\bar{f}-1)}

이며, 명제 6에 의하여 우변은 다시 (A/p)[f1]0(A/\mathfrak{p})[f^{-1}]_0과 isomorphic하다. 그런데 p\mathfrak{p}가 prime ideal이므로, A/pA/\mathfrak{p}는 integral domain이고 따라서 localization (A/p)[f1](A/\mathfrak{p})[f^{-1}] 또한 integral domain이고, 따라서 (A/p)[f1]0(A/\mathfrak{p})[f^{-1}]_0도 integral domain이다. 이로부터 q\mathfrak{q}A/(f1)A/(f-1)의 prime ideal인 것을 안다. 편의상 a=(f1)\mathfrak{a}=(f-1)라 적으면, 원하는 isomorphism은 다음의 homomorphism

Aaa/1S1AfTA(p)[T,T1]T1A(p)A \overset{a\mapsto a/1}{\longrightarrow} S^{-1}A \overset{f\mapsto T}{\longrightarrow} A_{(\mathfrak{p})}[T, T^{-1}] \overset{T\mapsto 1}{\longrightarrow} A_{(\mathfrak{p})}

Aaa+aA/aa+aa+a1(A/a)qA\overset{a\mapsto a+\mathfrak{a}}{\longrightarrow}A/\mathfrak{a}\overset{a+\mathfrak{a}\mapsto\frac{a+\mathfrak{a}}{1}}{\longrightarrow}(A/\mathfrak{a})_\mathfrak{q}

을 비교하여 나온다.


참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.


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