등급환의 국소화

우리는 임의의 graded ring, 더 일반적으로는 임의의 graded module을 localize하는 방법을 살펴본다. 이번 글에서는 별다른 말이 없다면 모든 graded ring은 $\mathbb{N}_{\geq 0}$ -graded인 것으로 생각하고, $A=\bigoplus A_i$ , $M=\bigoplus M_i$ 를 고정하기로 한다. 그럼 임의의 $n$ 에 대하여,

M(n)_k=M_{n+k}\qquad\text{for all $k$}

으로 정의된 $M(n)$ 은 자연스럽게 graded $A$ -module 구조를 갖는다.

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우선 임의의 ring $A$ 와 $A$ 의 두 ideal $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ 에 대하여, ideal quotient의 정의를 기억하자. (§기본개념들, ⁋정의 1)

정의 1 Ring $A$ 와 $A$ 의 두 ideal $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ 에 대하여, ideal quotient_{몫아이디얼}을 다음의 식

(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})=\{a\in A\mid a \mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}\}

으로 정의한다.

그럼 $(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})$ 는 자명하게 덧셈에 대하여 닫혀있고, 또 임의의 $x\in A$ 와 $a\in (\mathfrak{a}:\mathfrak{b})$ 에 대하여 다음 식

xa \mathfrak{b}\subseteq x \mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{a}

이 성립하므로 $xa\in (\mathfrak{a}:\mathfrak{b})$ 이다. 즉 $(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})$ 는 실제로 ideal이 된다.

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우리는 [대수적 구조] §등급환, ⁋명제 6에서 임의의 homogeneous ideal은 항상 homogeneous element들로 생성됨을 보였는데, 이를 이용하면 다음의 보조정리 1을 보일 수 있다.

보조정리 2 Graded ring $A$ 와 $A$ 의 homogeneous ideal들 $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ 에 대하여 다음이 성립한다. 다음이 성립한다.

$\sqrt{\mathfrak{a}}$ 는 homogeneous ideal이다.
$(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})$ 는 homogeneous ideal이다.
임의의 homogeneous element $a,b\in A$ 가 $ab\in \mathfrak{a}$ 를 만족할 때마다 $a\in \mathfrak{a}$ 혹은 $b\in \mathfrak{a}$ 가 성립한다 하자. 그럼 $\mathfrak{a}$ 는 prime ideal이다.

증명

우선 $\sqrt{\mathfrak{a}}$ 가 homogeneous ideal인 것을 보이자. 즉 임의의 $x\in \sqrt{\mathfrak{a}}$ 에 대하여, $x$ 를 homogeneous ideal들의 합
$x=x_{d_1}+\cdots+x_{d_l},\quad d_1 < \cdots < d_l\tag{$\ast$}$
으로 나타냈을 때, $x_i$ 들 각각이 $\sqrt{\mathfrak{a}}$ 에 속한다는 것을 보여야 한다. 우선 $x\in \mathfrak{a}$ 인 것으로부터, 적당한 $k$ 가 존재하여 $x^k\in \mathfrak{a}$ 이다. 한편, 일반성을 잃지 않고 위의 표현 ( $\ast$ )에서 $x_l$ 이 가장 큰 차수를 갖는다고 하면, $x^k$ 를 homogeneous element들의 합으로 나타냈을 때, $x_l^k$ 가 차수 $k\deg x_l$ 에 있는 유일한 원소이다. 이제 $x^k\in \mathfrak{a}$ 이고 $\mathfrak{a}$ 가 homogeneous ideal인 것으로부터 $x_l^k\in \mathfrak{a}$ , 즉 $x_l\in \sqrt{\mathfrak{a}}$ 인 것을 안다. 이후에는 $x-x_l\in\sqrt{\mathfrak{a}}$ 이므로 같은 논증을 반복하면 된다.
$x\in (\mathfrak{a}:\mathfrak{b})$ 라 하자. 위와 마찬가지로 $x$ 를 homogeneous ideal들의 합 ( $\ast$ )으로 나타냈을 때, $x_i$ 들 각각이 $(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})$ 에 속함을 보여야 한다. 이제 $\mathfrak{b}$ 를 생성하는 임의의 homogeneous element $b$ 가 주어졌다 하자. 그럼 $x_ib$ 는 원소 $xb\in \mathfrak{a}$ 의 $\deg x_i+\deg b$ 에 해당하는 homogeneous element이며, $\mathfrak{a}$ 가 homogeneous ideal이므로 $x_ib\in \mathfrak{a}$ 이다.
마지막으로 주어진 조건을 가정한 후, 임의의 두 원소 $x,y\in A$ 를 homogeneous element들의 합
$x=x_{d_1}+\cdots+x_{d_m},\quad y=y_{e_1}+\cdots+y_{e_n},\qquad d_1<\cdots< d_m,\quad e_1<\cdots< e_n$
으로 표현하자. 결론에 반하여 $xy\in \mathfrak{a}$ 이지만 $x\not\in \mathfrak{a}$ , $y\not\in \mathfrak{a}$ 라 가정하자. 그럼 가정에 의하여 어떤 $x_{d_i}$ 들 중 적어도 하나는 $x_{d_i}\not\in \mathfrak{a}$ 를 만족해야 한다. 그러한 $i$ 들 중 가장 큰 것을 $k$ 라 하고, 비슷하게 $y_{e_l}$ 을 정의하자. 이제 $A$ 의 원소 $xy$ 의 degree $d_k+e_l$ 에 해당하는 homogeneous component를 보자. 이 원소는
$(xy)_{d_k+e_l}=\sum_{d_i+e_j=d_k+e_l}x_{d_i}y_{e_j}$
의 꼴로 쓰여질 수 있으며, 이 때 위의 식의 우변에서 $x_{d_k}y_{e_l}$ 이외의 모든 항은 $d_i>d_k$ 혹은 $e_j>e_l$ 을 반드시 만족해야 한다. $d_k$ 와 $e_l$ 의 정의에 의하여, 이러한 항들은 모두 $\mathfrak{a}$ 의 원소이다. 그런데 $xy\in \mathfrak{a}$ 이고 $\mathfrak{a}$ 는 homogeneous ideal이므로, $(xy)_{d_k+e_l}$ 또한 $\mathfrak{a}$ 의 원소이고 이로부터 모순을 얻는다.

특히 임의의 ring의 prime ideal에서의 localization이 중요한 예시였던 것과 같이, $A$ 가 graded ring일 경우에도 homogeneous prime ideal $\mathfrak{p}$ 에서의 localization은 중요한 예시가 된다. 따라서 위 보조정리의 세 번째 결과는 특히 기억할만하다.

어쨌든 우선 우리는 일반적인 경우부터 시작한다. 다음 명제는 원소들의 degree가 어떻게 행동하는지만 살펴보면 중명할 수 있으며 그 증명도 자명하다.

명제 3 $A$ 의 multiplicative subset $S$ 의 모든 원소가 homogeneous라 하자. 그럼 임의의 homogeneous element $x\in M_n$ 과 $s\in S$ 에 대하여, $x/s\in S^{-1}M$ 를 degree $n-\deg s$ 에 있는 것으로 정의하면 $S^{-1}M$ 는 $\mathbb{Z}$ -graded $A$ -module의 구조를 갖는다. 만일 $M=A$ 인 경우, 이 grading은 $S^{-1}A$ 위에 정의된 곱셈에 대하여도 잘 작동하여 $S^{-1}A$ 를 $\mathbb{Z}$ -graded ring으로 만든다.

우리는 inclusion $(S^{-1}A)_0 \rightarrow S^{-1}A$ 를 통해 $S^{-1}A$ 을 $(S^{-1}A)_0$ -module로 생각할 수 있다. 그럼 $S^{-1}A$ 의 degree $0$ 부분 $(S^{-1}A)_0$ 은 곱셈에 대하여 닫혀있으므로 $(S^{-1}A)_0$ 은 $(S^{-1}A)_0$ -algebra이다. 일반적으로 $S^{-1}M$ 은 곱셈이 정의되지는 않지만, 마찬가지로 $S^{-1}M$ 의 degree $0$ 부분 $(S^{-1}M)_0$ 을 생각하면 이는 $(S^{-1}A)_0$ -module 구조를 갖는다.

특별히 중요한 예시 중 하나는 degree $1$ 의 homogeneous element $f\in A_1$ 에 대하여 $S=\{1,f,f^2,\cdots\}$ 인 경우인데, 이 경우는 $(S^{-1}A)_0$ 으로부터 $S^{-1}A$ 를 복원해낼 수 있다.

명제 4 위와 같은 상황에서 다음의 isomorphism

S^{-1}A\cong (S^{-1}A)_0[T, T^{-1}]

이 성립한다. 여기에서 $T$ 는 degree $1$ 을 주는 형식적인 변수이며, 우변의 $(S^{-1}A)_0[T, T^{-1}]$ 는

(S^{-1}A)_0[T_1, T_2]/(T_1T_2-1)

으로 정의된다.

증명

함수 $\{T_1,T_2\} \rightarrow S^{-1}A$ 를 $T_1\mapsto f, T_2\mapsto f^{-1}$ 으로 정의하면 [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8에 의하여 $(S^{-1}A)_0$ -algebra homomorphism

(S^{-1}A)_0[T_1,T_2] \rightarrow S^{-1}A

을 얻는다. 명시적으로 이 homomorphism은

\sum_{i,j\geq 0} a_{i,j}T_1^i T_2^j\mapsto \sum_{i,j\geq 0} a_{i,j}f^{i-j}=\sum_{d\in \mathbb{Z}}\left(\sum_{j\geq \max(-d,0)} a_{j+d,j}\right)f^d

으로 주어지며, 이 때 ideal $(T_1T_2-1)$ 이 위의 homomorphism의 kernel에 포함되는 것이 자명하다. 한편, $\deg a_{i,j}=0$ 이므로 위의 homomorphism의 kernel은 다음 식

\sum_{j\geq \max(-d,0)} a_{j+d,j}=0\qquad\text{for all $d\in\mathbb{Z}$}

을 만족하는 다항식들의 모임이다. 표기의 편의를 위하여 위의 합을 $d$ 의 부호에 따라 다음의 세 조건

\sum_{j\geq 0} a_{j,j}=0,\quad \sum_{j\geq 0} a_{j+d,j}=0,\quad \sum_{j\geq 0} a_{j,j+d}=0\qquad \text{for all $d>0$}

으로 바꾸어 쓸 수 있으며, 그럼 각각의 경우

a_{0,0}=-\sum_{j\geq 1} a_{j,j},\quad a_{d,0}=-\sum_{j\geq 1} a_{j+d,j},\quad a_{0,d}=-\sum_{j\geq 1} a_{j,j+d}\qquad \text{for all $d>0$}

를 얻는다. 이제 이를 다항식

\begin{aligned}\sum_{i,j\geq 0} a_{i,j} T_1^iT_2^j&=\sum_{j\geq 0} a_{j,j}T_1^jT_2^j+\sum_{d>0}\sum_{j\geq 0} a_{j+d,j}T_1^{j+d}T_2^j+\sum_{d>0}\sum_{j\geq 0} a_{j,j+d}T_1^jT_2^{j+d}\\&=\left(a_{0,0}+\sum_{j\geq 1} a_{j,j}T_1^jT_2^j\right)+\sum_{d>0} \left(a_{d,0}T_1^d+\sum_{j\geq 1}a_{j+d,j}T_1^{j+d}T_2^j\right)+\sum_{d>0} \left(a_{0,d}T_2^d+\sum_{j\geq 1}a_{j,j+d}T_1^{j}T_2^{j+d}\right)\end{aligned}

에 각각 대입하면 우변은

\left(\sum_{j\geq 1} a_{j,j}(T_1^jT_2^j-1)\right)+\sum_{d>0}\left(\sum_{j\geq 1}a_{j+d,j}T_1^d(T_1^jT_2^j-1)\right)+\sum_{d>0}\left(\sum_{j\geq 1}a_{j,j+d}T_2^d(T_1^jT_2^j-1)\right)

이 된다. 이 때 각각의 $T_1^jT_2^j-1$ 는 $(T_1T_2-1)$ 에 포함되므로 위의 식의 kernel은 정확히 $(S^{-1}A)_0[T_1,T_2]$ 의 ideal $(T_1T_2-1)$ 에 해당한다. 한편 이 homomorphism은 정의에 의해 surjective이므로 원하는 결과를 얻는다.

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정의 5 앞서 정의한 $(S^{-1}A)_0$ 와 $(S^{-1}M)_0$ 을 각각 $A$ 와 $M$ 의 homogeneous localization_{동차국소화}이라 부르고, $A_{(S)}$ 와 $M_{(S)}$ 와 같이 표현한다.

일반적인 localization과 마찬가지로, homogeneous element $f\in A$ 에 대하여, $S=\{1,f,f^2,\cdots\}$ 으로 얻어지는 $M$ 의 homogeneous localization을 $M_{(f)}$ 으로 적기로 하고, homogeneous prime ideal $\mathfrak{p}\subseteq A$ 에 대하여, $S=A\setminus \mathfrak{p}$ 으로 얻어지는 $M$ 의 homogeneous localization을 $M_{(\mathfrak{p})}$ 으로 적기로 한다.

남은 글에서, 임의의 graded $A$ -module $M$ 에 대하여

M^{(d)}=\bigoplus_{k\geq 0} M_{kd}

으로 적기로 한다. 그럼 다음은 명제 4의 일반화이다.

명제 6 Degree $d$ 의 homogeneous element $f\in A$ 를 고정하자. 그럼 다음의 isomorphism

M_{(f)}\cong M^{(d)}/(f-1)M^{(d)}

이 성립한다.

증명

주어진 isomorphism은 적당한 $u:M^{(d)} \rightarrow M_{(f)}$ 에 first isomorphism theorem을 적용하여 얻어지며, $u$ 는 다음의 식

u_k:M_{kd} \rightarrow M_{(f)};\qquad x\mapsto x/f^k

을 통해 얻어진다. 그럼 $u$ 가 surjective인 것과 $\ker u=(f-1)M^{(d)}$ 인 것을 어렵지 않게 보일 수 있다.

만일 $\deg f=1$ 이라면 위의 isomorphism은 $M_{(f)}\cong M/(f-1)M$ 으로 쓸 수 있다.

한편, $S$ 가 degree $1$ 의 원소를 하나 이상 포함한다 하면 명제 4을 각각의 원소에 적용하여 다음을 얻는다.

명제 7 $S$ 가 degree $1$ 의 원소를 적어도 하나 포함하는 homogeneous multiplicative set이라면 $S^{-1}A\cong (S^{-1}A)_0[T,T^{-1}]$ 이 성립한다.

증명

이는 본질적으로 명제 4과 동일한 증명으로, $S$ 에 속하는 degree $1$ 의 원소 $f$ 를 택하여 명제 4의 증명과 동일한 방식으로 homomorphism $(S^{-1}A)_0[T_1,T_2] \rightarrow S^{-1}A$ 을 정의하면 된다. 그럼 이 homomorphism의 kernel이 $(T_1T_2-1)$ 이 되는 것은 동일한 증명으로 보일 수 있으며, 이 homomorphism이 surjective인 것은 임의의 degree $d$ 짜리 $S^{-1}A$ 의 원소 $a/s$ 를 다음의 꼴

\frac{a}{s}=\frac{af^d}{s}\frac{1}{f^d}

으로 쓸 수 있다는 것을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

특별히 homogeneous prime ideal $\mathfrak{p}$ 을 하나 고정하고, $A_1\not\subset \mathfrak{p}$ 라 가정하자. $S$ 를 $\mathfrak{p}$ 에 속하지 않는 homogeneous element들로 이루어진 multiplicative subset이라 하면, 적어도 하나의 nonzero $f\in A_1$ 이 존재하여 $f\in S$ 이므로, 위의 명제에 의해

S^{-1}A\cong A_{(\mathfrak{p})}[T,T^{-1}]

을 얻는다.

명제 8 위와 같은 상황에서, homomorphism $p:A \rightarrow A/(f-1)$ 에 의한 $\mathfrak{p}$ 의 image를 $\mathfrak{q}$ 라 하자. 그럼 $\mathfrak{q}$ 는 prime ideal이며, 다음 식

A_{(\mathfrak{p})}\cong\left(A/(f-1)\right)_\mathfrak{q}

이 성립한다.

증명

Ring homomorphism $q:A \rightarrow A/\mathfrak{p}$ 를 생각하고, $q$ 에 의한 $f$ 의 image를 $\bar{f}$ 라 하자. 그럼

\frac{A/(f-1)}{\mathfrak{q}}\cong \frac{A/\mathfrak{p}}{(\bar{f}-1)}

이며, 명제 6에 의하여 우변은 다시 $(A/\mathfrak{p})[f^{-1}]_0$ 과 isomorphic하다. 그런데 $\mathfrak{p}$ 가 prime ideal이므로, $A/\mathfrak{p}$ 는 integral domain이고 따라서 localization $(A/\mathfrak{p})[f^{-1}]$ 또한 integral domain이고, 따라서 $(A/\mathfrak{p})[f^{-1}]_0$ 도 integral domain이다. 이로부터 $\mathfrak{q}$ 가 $A/(f-1)$ 의 prime ideal인 것을 안다. 편의상 $\mathfrak{a}=(f-1)$ 라 적으면, 원하는 isomorphism은 다음의 homomorphism

A \overset{a\mapsto a/1}{\longrightarrow} S^{-1}A \overset{f\mapsto T}{\longrightarrow} A_{(\mathfrak{p})}[T, T^{-1}] \overset{T\mapsto 1}{\longrightarrow} A_{(\mathfrak{p})}

과

A\overset{a\mapsto a+\mathfrak{a}}{\longrightarrow}A/\mathfrak{a}\overset{a+\mathfrak{a}\mapsto\frac{a+\mathfrak{a}}{1}}{\longrightarrow}(A/\mathfrak{a})_\mathfrak{q}

을 비교하여 나온다.

참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.

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