K

Grad. student in mathematics

우리는 임의의 graded ring, 더 일반적으로는 임의의 graded module을 localize하는 방법을 살펴본다. 이번 글에서는 별다른 말이 없다면 모든 graded ring은 \(\mathbb{N}_{\geq 0}\)-graded인 것으로 생각하고, \(A=\bigoplus A_i\), \(M=\bigoplus M_i\)를 고정하기로 한다. 그럼 임의의 \(n\)에 대하여,

\[M(n)_k=M_{n+k}\qquad\text{for all $k$}\]

으로 정의된 \(M(n)\)은 자연스럽게 graded \(A\)-module 구조를 갖는다.

몫아이디얼

우선 임의의 ring \(A\)와 \(A\)의 두 ideal \(\mathfrak{a}, \mathfrak{b}\)에 대하여, ideal quotient의 정의를 기억하자. (§기본개념들, ⁋정의 1)

정의 1 Ring \(A\)와 \(A\)의 두 ideal \(\mathfrak{a}, \mathfrak{b}\)에 대하여, ideal quotient몫아이디얼을 다음의 식

\[(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})=\{a\in A\mid a \mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}\}\]

으로 정의한다.

그럼 \((\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\)는 자명하게 덧셈에 대하여 닫혀있고, 또 임의의 \(x\in A\)와 \(a\in (\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\)에 대하여 다음 식

\[xa \mathfrak{b}\subseteq x \mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{a}\]

이 성립하므로 \(xa\in (\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\)이다. 즉 \((\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\)는 실제로 ideal이 된다.

동차아이디얼의 성질들

우리는 [대수적 구조] §등급환, ⁋명제 6에서 임의의 homogeneous ideal은 항상 homogeneous element들로 생성됨을 보였는데, 이를 이용하면 다음의 보조정리 1을 보일 수 있다.

보조정리 2 Graded ring \(A\)와 \(A\)의 homogeneous ideal들 \(\mathfrak{a},\mathfrak{b}\)에 대하여 다음이 성립한다. 다음이 성립한다.

  1. \(\sqrt{\mathfrak{a}}\)는 homogeneous ideal이다.
  2. \((\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\)는 homogeneous ideal이다.
  3. 임의의 homogeneous element \(a,b\in A\)가 \(ab\in \mathfrak{a}\)를 만족할 때마다 \(a\in \mathfrak{a}\) 혹은 \(b\in \mathfrak{a}\)가 성립한다 하자. 그럼 \(\mathfrak{a}\)는 prime ideal이다.
증명

  1. 우선 \(\sqrt{\mathfrak{a}}\)가 homogeneous ideal인 것을 보이자. 즉 임의의 \(x\in \sqrt{\mathfrak{a}}\)에 대하여, \(x\)를 homogeneous ideal들의 합

    \[x=x_{d_1}+\cdots+x_{d_l},\quad d_1 < \cdots < d_l\tag{$\ast$}\]

    으로 나타냈을 때, \(x_i\)들 각각이 \(\sqrt{\mathfrak{a}}\)에 속한다는 것을 보여야 한다. 우선 \(x\in \mathfrak{a}\)인 것으로부터, 적당한 \(k\)가 존재하여 \(x^k\in \mathfrak{a}\)이다. 한편, 일반성을 잃지 않고 위의 표현 (\(\ast\))에서 \(x_l\)이 가장 큰 차수를 갖는다고 하면, \(x^k\)를 homogeneous element들의 합으로 나타냈을 때, \(x_l^k\)가 차수 \(k\deg x_l\)에 있는 유일한 원소이다. 이제 \(x^k\in \mathfrak{a}\)이고 \(\mathfrak{a}\)가 homogeneous ideal인 것으로부터 \(x_l^k\in \mathfrak{a}\), 즉 \(x_l\in \sqrt{\mathfrak{a}}\)인 것을 안다. 이후에는 \(x-x_l\in\sqrt{\mathfrak{a}}\)이므로 같은 논증을 반복하면 된다.

  2. \(x\in (\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\)라 하자. 위와 마찬가지로 \(x\)를 homogeneous ideal들의 합 (\(\ast\))으로 나타냈을 때, \(x_i\)들 각각이 \((\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\)에 속함을 보여야 한다. 이제 \(\mathfrak{b}\)를 생성하는 임의의 homogeneous element \(b\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(x_ib\)는 원소 \(xb\in \mathfrak{a}\)의 \(\deg x_i+\deg b\)에 해당하는 homogeneous element이며, \(\mathfrak{a}\)가 homogeneous ideal이므로 \(x_ib\in \mathfrak{a}\)이다.

  3. 마지막으로 주어진 조건을 가정한 후, 임의의 두 원소 \(x,y\in A\)를 homogeneous element들의 합

    \[x=x_{d_1}+\cdots+x_{d_m},\quad y=y_{e_1}+\cdots+y_{e_n},\qquad d_1<\cdots< d_m,\quad e_1<\cdots< e_n\]

    으로 표현하자. 결론에 반하여 \(xy\in \mathfrak{a}\)이지만 \(x\not\in \mathfrak{a}\), \(y\not\in \mathfrak{a}\)라 가정하자. 그럼 가정에 의하여 어떤 \(x_{d_i}\)들 중 적어도 하나는 \(x_{d_i}\not\in \mathfrak{a}\)를 만족해야 한다. 그러한 \(i\)들 중 가장 큰 것을 \(k\)라 하고, 비슷하게 \(y_{e_l}\)을 정의하자. 이제 \(A\)의 원소 \(xy\)의 degree \(d_k+e_l\)에 해당하는 homogeneous component를 보자. 이 원소는

    \[(xy)_{d_k+e_l}=\sum_{d_i+e_j=d_k+e_l}x_{d_i}y_{e_j}\]

    의 꼴로 쓰여질 수 있으며, 이 때 위의 식의 우변에서 \(x_{d_k}y_{e_l}\) 이외의 모든 항은 \(d_i>d_k\) 혹은 \(e_j>e_l\)을 반드시 만족해야 한다. \(d_k\)와 \(e_l\)의 정의에 의하여, 이러한 항들은 모두 \(\mathfrak{a}\)의 원소이다. 그런데 \(xy\in \mathfrak{a}\)이고 \(\mathfrak{a}\)는 homogeneous ideal이므로, \((xy)_{d_k+e_l}\) 또한 \(\mathfrak{a}\)의 원소이고 이로부터 모순을 얻는다.

특히 임의의 ring의 prime ideal에서의 localization이 중요한 예시였던 것과 같이, \(A\)가 graded ring일 경우에도 homogeneous prime ideal \(\mathfrak{p}\)에서의 localization은 중요한 예시가 된다. 따라서 위 보조정리의 세 번째 결과는 특히 기억할만하다.

어쨌든 우선 우리는 일반적인 경우부터 시작한다. 다음 명제는 원소들의 degree가 어떻게 행동하는지만 살펴보면 중명할 수 있으며 그 증명도 자명하다.

명제 3 \(A\)의 multiplicative subset \(S\)의 모든 원소가 homogeneous라 하자. 그럼 임의의 homogeneous element \(x\in M_n\)과 \(s\in S\)에 대하여, \(x/s\in S^{-1}M\)를 degree \(n-\deg s\)에 있는 것으로 정의하면 \(S^{-1}M\)는 \(\mathbb{Z}\)-graded \(A\)-module의 구조를 갖는다. 만일 \(M=A\)인 경우, 이 grading은 \(S^{-1}A\) 위에 정의된 곱셈에 대하여도 잘 작동하여 \(S^{-1}A\)를 \(\mathbb{Z}\)-graded ring으로 만든다.

우리는 inclusion \((S^{-1}A)_0 \rightarrow S^{-1}A\)를 통해 \(S^{-1}A\)을 \((S^{-1}A)_0\)-module로 생각할 수 있다. 그럼 \(S^{-1}A\)의 degree \(0\) 부분 \((S^{-1}A)_0\)은 곱셈에 대하여 닫혀있으므로 \((S^{-1}A)_0\)은 \((S^{-1}A)_0\)-algebra이다. 일반적으로 \(S^{-1}M\)은 곱셈이 정의되지는 않지만, 마찬가지로 \(S^{-1}M\)의 degree \(0\) 부분 \((S^{-1}M)_0\)을 생각하면 이는 \((S^{-1}A)_0\)-module 구조를 갖는다.

특별히 중요한 예시 중 하나는 degree \(1\)의 homogeneous element \(f\in A_1\)에 대하여 \(S=\{1,f,f^2,\cdots\}\)인 경우인데, 이 경우는 \((S^{-1}A)_0\)으로부터 \(S^{-1}A\)를 복원해낼 수 있다.

명제 4 위와 같은 상황에서 다음의 isomorphism

\[S^{-1}A\cong (S^{-1}A)_0[T, T^{-1}]\]

이 성립한다. 여기에서 \(T\)는 degree \(1\)을 주는 형식적인 변수이며, 우변의 \((S^{-1}A)_0[T, T^{-1}]\)는

\[(S^{-1}A)_0[T_1, T_2]/(T_1T_2-1)\]

으로 정의된다.

증명

함수 \(\{T_1,T_2\} \rightarrow S^{-1}A\)를 \(T_1\mapsto f, T_2\mapsto f^{-1}\)으로 정의하면 [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8에 의하여 \((S^{-1}A)_0\)-algebra homomorphism

\[(S^{-1}A)_0[T_1,T_2] \rightarrow S^{-1}A\]

을 얻는다. 명시적으로 이 homomorphism은

\[\sum_{i,j\geq 0} a_{i,j}T_1^i T_2^j\mapsto \sum_{i,j\geq 0} a_{i,j}f^{i-j}=\sum_{d\in \mathbb{Z}}\left(\sum_{j\geq \max(-d,0)} a_{j+d,j}\right)f^d\]

으로 주어지며, 이 때 ideal \((T_1T_2-1)\)이 위의 homomorphism의 kernel에 포함되는 것이 자명하다. 한편, \(\deg a_{i,j}=0\)이므로 위의 homomorphism의 kernel은 다음 식

\[\sum_{j\geq \max(-d,0)} a_{j+d,j}=0\qquad\text{for all $d\in\mathbb{Z}$}\]

을 만족하는 다항식들의 모임이다. 표기의 편의를 위하여 위의 합을 \(d\)의 부호에 따라 다음의 세 조건

\[\sum_{j\geq 0} a_{j,j}=0,\quad \sum_{j\geq 0} a_{j+d,j}=0,\quad \sum_{j\geq 0} a_{j,j+d}=0\qquad \text{for all $d>0$}\]

으로 바꾸어 쓸 수 있으며, 그럼 각각의 경우

\[a_{0,0}=-\sum_{j\geq 1} a_{j,j},\quad a_{d,0}=-\sum_{j\geq 1} a_{j+d,j},\quad a_{0,d}=-\sum_{j\geq 1} a_{j,j+d}\qquad \text{for all $d>0$}\]

를 얻는다. 이제 이를 다항식

\[\begin{aligned}\sum_{i,j\geq 0} a_{i,j} T_1^iT_2^j&=\sum_{j\geq 0} a_{j,j}T_1^jT_2^j+\sum_{d>0}\sum_{j\geq 0} a_{j+d,j}T_1^{j+d}T_2^j+\sum_{d>0}\sum_{j\geq 0} a_{j,j+d}T_1^jT_2^{j+d}\\&=\left(a_{0,0}+\sum_{j\geq 1} a_{j,j}T_1^jT_2^j\right)+\sum_{d>0} \left(a_{d,0}T_1^d+\sum_{j\geq 1}a_{j+d,j}T_1^{j+d}T_2^j\right)+\sum_{d>0} \left(a_{0,d}T_2^d+\sum_{j\geq 1}a_{j,j+d}T_1^{j}T_2^{j+d}\right)\end{aligned}\]

에 각각 대입하면 우변은

\[\left(\sum_{j\geq 1} a_{j,j}(T_1^jT_2^j-1)\right)+\sum_{d>0}\left(\sum_{j\geq 1}a_{j+d,j}T_1^d(T_1^jT_2^j-1)\right)+\sum_{d>0}\left(\sum_{j\geq 1}a_{j,j+d}T_2^d(T_1^jT_2^j-1)\right)\]

이 된다. 이 때 각각의 \(T_1^jT_2^j-1\)는 \((T_1T_2-1)\)에 포함되므로 위의 식의 kernel은 정확히 \((S^{-1}A)_0[T_1,T_2]\)의 ideal \((T_1T_2-1)\)에 해당한다. 한편 이 homomorphism은 정의에 의해 surjective이므로 원하는 결과를 얻는다.

동차국소화

정의 5 앞서 정의한 \((S^{-1}A)_0\)와 \((S^{-1}M)_0\)을 각각 \(A\)와 \(M\)의 homogeneous localization동차국소화이라 부르고, \(A_{(S)}\)와 \(M_{(S)}\)와 같이 표현한다.

일반적인 localization과 마찬가지로, homogeneous element \(f\in A\)에 대하여, \(S=\{1,f,f^2,\cdots\}\)으로 얻어지는 \(M\)의 homogeneous localization을 \(M_{(f)}\)으로 적기로 하고, homogeneous prime ideal \(\mathfrak{p}\subseteq A\)에 대하여, \(S=A\setminus \mathfrak{p}\)으로 얻어지는 \(M\)의 homogeneous localization을 \(M_{(\mathfrak{p})}\)으로 적기로 한다.

남은 글에서, 임의의 graded \(A\)-module \(M\)에 대하여

\[M^{(d)}=\bigoplus_{k\geq 0} M_{kd}\]

으로 적기로 한다. 그럼 다음은 명제 4의 일반화이다.

명제 6 Degree \(d\)의 homogeneous element \(f\in A\)를 고정하자. 그럼 다음의 isomorphism

\[M_{(f)}\cong M^{(d)}/(f-1)M^{(d)}\]

이 성립한다.

증명

주어진 isomorphism은 적당한 \(u:M^{(d)} \rightarrow M_{(f)}\)에 first isomorphism theorem을 적용하여 얻어지며, \(u\)는 다음의 식

\[u_k:M_{kd} \rightarrow M_{(f)};\qquad x\mapsto x/f^k\]

을 통해 얻어진다. 그럼 \(u\)가 surjective인 것과 \(\ker u=(f-1)M^{(d)}\)인 것을 어렵지 않게 보일 수 있다.

만일 \(\deg f=1\)이라면 위의 isomorphism은 \(M_{(f)}\cong M/(f-1)M\)으로 쓸 수 있다.

한편, \(S\)가 degree \(1\)의 원소를 하나 이상 포함한다 하면 명제 4을 각각의 원소에 적용하여 다음을 얻는다.

명제 7 \(S\)가 degree \(1\)의 원소를 적어도 하나 포함하는 homogeneous multiplicative set이라면 \(S^{-1}A\cong (S^{-1}A)_0[T,T^{-1}]\)이 성립한다.

증명

이는 본질적으로 명제 4과 동일한 증명으로, \(S\)에 속하는 degree \(1\)의 원소 \(f\)를 택하여 명제 4의 증명과 동일한 방식으로 homomorphism \((S^{-1}A)_0[T_1,T_2] \rightarrow S^{-1}A\)을 정의하면 된다. 그럼 이 homomorphism의 kernel이 \((T_1T_2-1)\)이 되는 것은 동일한 증명으로 보일 수 있으며, 이 homomorphism이 surjective인 것은 임의의 degree \(d\)짜리 \(S^{-1}A\)의 원소 \(a/s\)를 다음의 꼴

\[\frac{a}{s}=\frac{af^d}{s}\frac{1}{f^d}\]

으로 쓸 수 있다는 것을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

특별히 homogeneous prime ideal \(\mathfrak{p}\)을 하나 고정하고, \(A_1\not\subset \mathfrak{p}\)라 가정하자. \(S\)를 \(\mathfrak{p}\)에 속하지 않는 homogeneous element들로 이루어진 multiplicative subset이라 하면, 적어도 하나의 nonzero \(f\in A_1\)이 존재하여 \(f\in S\)이므로, 위의 명제에 의해

\[S^{-1}A\cong A_{(\mathfrak{p})}[T,T^{-1}]\]

을 얻는다.

명제 8 위와 같은 상황에서, homomorphism \(p:A \rightarrow A/(f-1)\)에 의한 \(\mathfrak{p}\)의 image를 \(\mathfrak{q}\)라 하자. 그럼 \(\mathfrak{q}\)는 prime ideal이며, 다음 식

\[A_{(\mathfrak{p})}\cong\left(A/(f-1)\right)_\mathfrak{q}\]

이 성립한다.

증명

Ring homomorphism \(q:A \rightarrow A/\mathfrak{p}\)를 생각하고, \(q\)에 의한 \(f\)의 image를 \(\bar{f}\)라 하자. 그럼

\[\frac{A/(f-1)}{\mathfrak{q}}\cong \frac{A/\mathfrak{p}}{(\bar{f}-1)}\]

이며, 명제 6에 의하여 우변은 다시 \((A/\mathfrak{p})[f^{-1}]_0\)과 isomorphic하다. 그런데 \(\mathfrak{p}\)가 prime ideal이므로, \(A/\mathfrak{p}\)는 integral domain이고 따라서 localization \((A/\mathfrak{p})[f^{-1}]\) 또한 integral domain이고, 따라서 \((A/\mathfrak{p})[f^{-1}]_0\)도 integral domain이다. 이로부터 \(\mathfrak{q}\)가 \(A/(f-1)\)의 prime ideal인 것을 안다. 편의상 \(\mathfrak{a}=(f-1)\)라 적으면, 원하는 isomorphism은 다음의 homomorphism

\[A \overset{a\mapsto a/1}{\longrightarrow} S^{-1}A \overset{f\mapsto T}{\longrightarrow} A_{(\mathfrak{p})}[T, T^{-1}] \overset{T\mapsto 1}{\longrightarrow} A_{(\mathfrak{p})}\]

과

\[A\overset{a\mapsto a+\mathfrak{a}}{\longrightarrow}A/\mathfrak{a}\overset{a+\mathfrak{a}\mapsto\frac{a+\mathfrak{a}}{1}}{\longrightarrow}(A/\mathfrak{a})_\mathfrak{q}\]

을 비교하여 나온다.

참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.

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