우리는 임의의 graded ring, 더 일반적으로는 임의의 graded module을 localize하는 방법을 살펴본다. 이번 글에서는 별다른 말이 없다면 모든 graded ring은 N≥0-graded인 것으로 생각하고, A=⨁Ai, M=⨁Mi를 고정하기로 한다. 그럼 임의의 n에 대하여,
우리는 [대수적 구조] §등급환, ⁋명제 6에서 임의의 homogeneous ideal은 항상 homogeneous element들로 생성됨을 보였는데, 이를 이용하면 다음의 보조정리 1을 보일 수 있다.
보조정리 2 Graded ring A와 A의 homogeneous ideal들 a,b에 대하여 다음이 성립한다. 다음이 성립한다.
a는 homogeneous ideal이다.
(a:b)는 homogeneous ideal이다.
임의의 homogeneous element a,b∈A가 ab∈a를 만족할 때마다 a∈a 혹은 b∈a가 성립한다 하자. 그럼 a는 prime ideal이다.
증명
우선 a가 homogeneous ideal인 것을 보이자. 즉 임의의 x∈a에 대하여, x를 homogeneous ideal들의 합
x=xd1+⋯+xdl,d1<⋯<dl(∗)
으로 나타냈을 때, xi들 각각이 a에 속한다는 것을 보여야 한다. 우선 x∈a인 것으로부터, 적당한 k가 존재하여 xk∈a이다. 한편, 일반성을 잃지 않고 위의 표현 (∗)에서 xl이 가장 큰 차수를 갖는다고 하면, xk를 homogeneous element들의 합으로 나타냈을 때, xlk가 차수 kdegxl에 있는 유일한 원소이다. 이제 xk∈a이고 a가 homogeneous ideal인 것으로부터 xlk∈a, 즉 xl∈a인 것을 안다. 이후에는 x−xl∈a이므로 같은 논증을 반복하면 된다.
x∈(a:b)라 하자. 위와 마찬가지로 x를 homogeneous ideal들의 합 (∗)으로 나타냈을 때, xi들 각각이 (a:b)에 속함을 보여야 한다. 이제 b를 생성하는 임의의 homogeneous element b가 주어졌다 하자. 그럼 xib는 원소 xb∈a의 degxi+degb에 해당하는 homogeneous element이며, a가 homogeneous ideal이므로 xib∈a이다.
마지막으로 주어진 조건을 가정한 후, 임의의 두 원소 x,y∈A를 homogeneous element들의 합
으로 표현하자. 결론에 반하여 xy∈a이지만 x∈a, y∈a라 가정하자. 그럼 가정에 의하여 어떤 xdi들 중 적어도 하나는 xdi∈a를 만족해야 한다. 그러한 i들 중 가장 큰 것을 k라 하고, 비슷하게 yel을 정의하자. 이제 A의 원소 xy의 degree dk+el에 해당하는 homogeneous component를 보자. 이 원소는
(xy)dk+el=di+ej=dk+el∑xdiyej
의 꼴로 쓰여질 수 있으며, 이 때 위의 식의 우변에서 xdkyel 이외의 모든 항은 di>dk 혹은 ej>el을 반드시 만족해야 한다. dk와 el의 정의에 의하여, 이러한 항들은 모두 a의 원소이다. 그런데 xy∈a이고 a는 homogeneous ideal이므로, (xy)dk+el 또한 a의 원소이고 이로부터 모순을 얻는다.
특히 임의의 ring의 prime ideal에서의 localization이 중요한 예시였던 것과 같이, A가 graded ring일 경우에도 homogeneous prime ideal p에서의 localization은 중요한 예시가 된다. 따라서 위 보조정리의 세 번째 결과는 특히 기억할만하다.
어쨌든 우선 우리는 일반적인 경우부터 시작한다. 다음 명제는 원소들의 degree가 어떻게 행동하는지만 살펴보면 중명할 수 있으며 그 증명도 자명하다.
명제 3A의 multiplicative subset S의 모든 원소가 homogeneous라 하자. 그럼 임의의 homogeneous element x∈Mn과 s∈S에 대하여, x/s∈S−1M를 degree n−degs에 있는 것으로 정의하면 S−1M는 Z-graded A-module의 구조를 갖는다. 만일 M=A인 경우, 이 grading은 S−1A 위에 정의된 곱셈에 대하여도 잘 작동하여 S−1A를 Z-graded ring으로 만든다.
우리는 inclusion (S−1A)0→S−1A를 통해 S−1A을 (S−1A)0-module로 생각할 수 있다. 그럼 S−1A의 degree 0 부분 (S−1A)0은 곱셈에 대하여 닫혀있으므로 (S−1A)0은 (S−1A)0-algebra이다. 일반적으로 S−1M은 곱셈이 정의되지는 않지만, 마찬가지로 S−1M의 degree 0 부분 (S−1M)0을 생각하면 이는 (S−1A)0-module 구조를 갖는다.
특별히 중요한 예시 중 하나는 degree 1의 homogeneous element f∈A1에 대하여 S={1,f,f2,⋯}인 경우인데, 이 경우는 (S−1A)0으로부터 S−1A를 복원해낼 수 있다.
명제 4 위와 같은 상황에서 다음의 isomorphism
S−1A≅(S−1A)0[T,T−1]
이 성립한다. 여기에서 T는 degree 1을 주는 형식적인 변수이며, 우변의 (S−1A)0[T,T−1]는
(S−1A)0[T1,T2]/(T1T2−1)
으로 정의된다.
증명
함수 {T1,T2}→S−1A를 T1↦f,T2↦f−1으로 정의하면 [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8에 의하여 (S−1A)0-algebra homomorphism
이 된다. 이 때 각각의 T1jT2j−1는 (T1T2−1)에 포함되므로 위의 식의 kernel은 정확히(S−1A)0[T1,T2]의 ideal (T1T2−1)에 해당한다. 한편 이 homomorphism은 정의에 의해 surjective이므로 원하는 결과를 얻는다.
정의 5 앞서 정의한 (S−1A)0와 (S−1M)0을 각각 A와 M의 homogeneous localization동차국소화이라 부르고, A(S)와 M(S)와 같이 표현한다.
일반적인 localization과 마찬가지로, homogeneous element f∈A에 대하여, S={1,f,f2,⋯}으로 얻어지는 M의 homogeneous localization을 M(f)으로 적기로 하고, homogeneous prime ideal p⊆A에 대하여, S=A∖p으로 얻어지는 M의 homogeneous localization을 M(p)으로 적기로 한다.
명제 6 Degree d의 homogeneous element f∈A를 고정하자. 그럼 다음의 isomorphism
M(f)≅M(d)/(f−1)M(d)
이 성립한다.
증명
주어진 isomorphism은 적당한 u:M(d)→M(f)에 first isomorphism theorem을 적용하여 얻어지며, u는 다음의 식
uk:Mkd→M(f);x↦x/fk
을 통해 얻어진다. 그럼 u가 surjective인 것과 keru=(f−1)M(d)인 것을 어렵지 않게 보일 수 있다.
만일 degf=1이라면 위의 isomorphism은 M(f)≅M/(f−1)M으로 쓸 수 있다.
한편, S가 degree 1의 원소를 하나 이상 포함한다 하면 명제 4을 각각의 원소에 적용하여 다음을 얻는다.
명제 7S가 degree 1의 원소를 적어도 하나 포함하는 homogeneous multiplicative set이라면 S−1A≅(S−1A)0[T,T−1]이 성립한다.
증명
이는 본질적으로 명제 4과 동일한 증명으로, S에 속하는 degree 1의 원소 f를 택하여 명제 4의 증명과 동일한 방식으로 homomorphism (S−1A)0[T1,T2]→S−1A을 정의하면 된다. 그럼 이 homomorphism의 kernel이 (T1T2−1)이 되는 것은 동일한 증명으로 보일 수 있으며, 이 homomorphism이 surjective인 것은 임의의 degree d짜리 S−1A의 원소 a/s를 다음의 꼴
sa=safdfd1
으로 쓸 수 있다는 것을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
특별히 homogeneous prime ideal p을 하나 고정하고, A1⊂p라 가정하자. S를 p에 속하지 않는 homogeneous element들로 이루어진 multiplicative subset이라 하면, 적어도 하나의 nonzero f∈A1이 존재하여 f∈S이므로, 위의 명제에 의해
S−1A≅A(p)[T,T−1]
을 얻는다.
명제 8 위와 같은 상황에서, homomorphism p:A→A/(f−1)에 의한 p의 image를 q라 하자. 그럼 q는 prime ideal이며, 다음 식
A(p)≅(A/(f−1))q
이 성립한다.
증명
Ring homomorphism q:A→A/p를 생각하고, q에 의한 f의 image를 fˉ라 하자. 그럼
qA/(f−1)≅(fˉ−1)A/p
이며, 명제 6에 의하여 우변은 다시 (A/p)[f−1]0과 isomorphic하다. 그런데 p가 prime ideal이므로, A/p는 integral domain이고 따라서 localization (A/p)[f−1] 또한 integral domain이고, 따라서 (A/p)[f−1]0도 integral domain이다. 이로부터 q가 A/(f−1)의 prime ideal인 것을 안다. 편의상 a=(f−1)라 적으면, 원하는 isomorphism은 다음의 homomorphism
A⟶a↦a/1S−1A⟶f↦TA(p)[T,T−1]⟶T↦1A(p)
과
A⟶a↦a+aA/a⟶a+a↦1a+a(A/a)q
을 비교하여 나온다.
참고문헌
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
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