K

Grad. student in mathematics

분수환

[집합론] §자연수와 무한집합에서 정의한 자연수들의 monoid \(\mathbb{N}\)은 (약간의 기술적인 문제를 제외하면) 집합론의 언어로 쓰여질 수 있었다. 그리고 \(\mathbb{Z}\)는 commutative monoid \(\mathbb{N}\)의 Grothendieck group으로 정의되었다. 중학교 때 배우는 수체계를 생각해보면 이 다음 정의해야 할 대상은 유리수 집합 \(\mathbb{Q}\)이다.

\(\mathbb{Z}\)의 덧셈구조를 잊어버리고, 곱셈구조만 기억한다면 \((\mathbb{Z},\cdot,1)\)은 commutative monoid이다. 우리가 해야 할 일은 역수들을 추가하는 것이고, \(1/0\)은 정의되지 않으므로 \(S=\mathbb{Z}\setminus\{0\}\)으로 두고 (§Grothendieck 군, ⁋정의 7)의 monoid of fractions을 생각하면 multiplicative group \(\mathbb{Q}\)를 얻게 된다.

일반적으로 이 과정은 다음 정리를 통해 가능하다.

정리 1 Commutative ring \(A\)와 \(A\)의 부분집합 \(S\)를 생각하자. \(A\)를 multiplicative monoid로 보고, monoid of fractions \(A_S\)를 생각하자. 그럼 canonical morphism \(\epsilon:A \rightarrow A_S\)에 대하여, 다음 두 조건을 만족하는 유일한 덧셈구조가 존재한다.

  1. \(A_S\) 위의 곱셈구조와, 이 덧셈구조는 \(A_S\)를 commutative ring으로 만든다.
  2. \(\epsilon\)이 ring homomorphism이다.
증명

증명을 시작하기에 앞서 §Grothendieck 군, ⁋정의 7의 construction을 잠깐 리뷰하자. 우리는 \(S\)에 의해 생성된 \(A\)의 submonoid \(S'\)를 생각하고, monoid \(A\times S'\)에 동치관계 \(R\)을

\[(\alpha,\gamma)\equiv (\beta,\delta)\pmod{R}\iff \alpha\delta\zeta=\beta\gamma\zeta\text{ for some $\zeta\in S'$}\]

로 정의하여, quotient monoid \((A\times S')/R\)을 \(A_S\)로 정의하였다. 이 때 \((\alpha,\gamma)\in A\times S'\)를 representative로 갖는 \(A_S\)의 원소를 \(\alpha/\gamma\)로 표기하였으며, 그럼 \(A_S\)는 여전히 다음 연산

\[\frac{\alpha}{\gamma}\frac{\beta}{\delta}=\frac{\alpha\beta}{\gamma\delta}\]

을 통해 multiplicative monoid 구조가 된다. 두 multiplicative monoid 사이의 canonical morphism \(\epsilon:A \rightarrow A_S\)은 \(\alpha\mapsto \alpha/1\)로 정의되었었는데, 이것이 monoid homomorphism이라는 것은 \(\epsilon\)이 (\(A_S\)가 ring이라는 것을 보이고 나면) \(A\)에서 \(A_S\)로 가는, 곱셈구조를 보존하는 함수라는 뜻이다.

즉, 우리가 해야 할 것은 \(A_S\) 위에 정리의 두 조건을 만족하는 덧셈구조를 부여하고, 이렇게 정의된 덧셈 구조가 \(A_S\)를 ring으로 만드는 것, 그리고 \(\epsilon\)이 실제로 이 덧셈구조까지 보존한다는 것이다.

우선 이러한 덧셈구조가 존재한다 가정하고 유일성을 보이자. 임의의 \(x,y\in A_S\)는 적당한 \(\alpha,\beta\in A\)와 \(\gamma,\delta\in S'\)에 대하여 \(x=\alpha/\gamma,y=\beta/\delta\)라 적을 수 있다. 그럼

\[x=\epsilon(\alpha)\epsilon(\gamma)^{-1}=\epsilon(\alpha\delta)\epsilon(\gamma\delta)^{-1},\qquad y=\epsilon(\beta)\epsilon(\delta)^{-1}=\epsilon(\beta\gamma)\epsilon(\gamma\delta)^{-1}\]

으로 적을 수 있고 따라서

\[x+y=(\epsilon(\alpha\delta)+\epsilon(\beta\gamma))\epsilon(\gamma\delta)^{-1}=\frac{\alpha\delta+\beta\gamma}{\gamma\delta}\]

여야만 한다.

이제 유일성 증명에서 힌트를 얻어 \(A_S\)의 덧셈구조를 위의 식으로 정의한다. 그럼 보여야 할 것들은 다음과 같다.

  1. 이 정의는 \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)의 선택에 무관하다. 즉 \(x=\alpha'/\gamma',y=\beta'/\delta'\)의 꼴로 쓰였다 하자. 다음 식

    \[(\alpha\delta+\beta\gamma)/\delta\gamma=(\alpha'\delta'+\beta'\gamma')/\gamma'\delta'\]

    이 \(A_S\)에서 성립하는 것을 보여야 한다. 그런데 \(\alpha/\gamma=\alpha'/\gamma',\beta/\delta=\beta'/\delta'\)이므로, 정의에 의해 \(ap's=a'ps,bq't=b'qt\)를 만족하는 \(\zeta,\xi\in S'\)가 존재한다. 이로부터

    \[(\alpha\delta+\beta\gamma)(\gamma'\delta')(\zeta\xi)=(\alpha'\delta'+\beta'\gamma')(\gamma\delta)(\zeta\xi)\]

    을 확인할 수 있으므로 원하는 식이 성립한다.

  2. 이렇게 정의한 \(+\)는 결합법칙을 만족한다. 임의의 \(x_1=\alpha_1/\gamma_1,x_2=\alpha_2/\gamma_2,x_3=\alpha_3/\gamma_3\)에 대하여,

    \[(x_1+x_2)+x_3=\frac{\alpha_1\gamma_2+\alpha_2\gamma_1}{\gamma_1\gamma_2}+\frac{\alpha_3}{\gamma_3}=\frac{(\alpha_1\gamma_2+\alpha_2\gamma_1)\gamma_3+\alpha_3(\gamma_1\gamma_2)}{\gamma_1\gamma_2\gamma_3}=\frac{\alpha_1\gamma_2\gamma_3+\gamma_1\alpha_2\gamma_3+\gamma_1\gamma_2\alpha_3}{\gamma_1\gamma_2\gamma_3}\]

    이고 비슷하게 \(x_1+(x_2+x_3)\)도 우변의 값을 갖는다는 것을 확인할 수 있다.

  3. \(+\)의 교환법칙은 \(A\)의 덧셈과 곱셈이 commutative하기 때문에 자명하다.

  4. \(+\)는 덧셈에 대한 항등원 \(0/1\)을 갖는다. 이는 임의의 \(x=\alpha/\gamma\in A_S\)에 대하여,

    \[\frac{0}{1}+\frac{\alpha}{\gamma}=\frac{\alpha}{\gamma}\]

    이 성립하기 때문이다.

  5. \(+\)에 대한 역원이 항상 존재한다. 임의의 \(x\in \alpha/\gamma\in A_S\)에 대하여, \((-\alpha)/\gamma\)가 다음 식

    \[\frac{-\alpha}{\gamma}+\frac{\alpha}{\gamma}=\frac{(-\alpha)\gamma+\alpha\gamma}{\gamma^2}=0\]

    을 만족하기 때문이다.

  6. \(+\)는 곱셈에 대해 분배법칙을 만족한다. 임의의 \(x=\alpha/\gamma,y_1=\beta_1/\delta_1,y_2=\beta_2/\delta_2\)에 대하여,

    \[x(y_1+y_2)=\frac{\alpha}{\gamma}\left(\frac{\beta_1}{\delta_1}+\frac{\beta_2}{\delta_2}\right)=\frac{\alpha}{\gamma}\frac{\beta_1\delta_2+\delta_1\beta_2}{\delta_1\delta_2}=\frac{\alpha\beta_1\delta_2+\alpha\delta_1\beta_2}{\gamma\delta_1\delta_2}\]

    이고

    \[xy_1+xy_2=\frac{\alpha\beta_1}{\gamma\delta_1}+\frac{\alpha\beta_2}{\gamma\delta_2}=\frac{\alpha\beta_1\gamma\delta_2+\alpha\beta_2\gamma\delta_1}{\gamma^2\delta_1\delta_2}\]

    이며, \(1,\gamma\in S'\)를 사용해 이 두 식이 같은 값임을 확인할 수 있다. 비슷하게 등식\((x_1+x_2)y=x_1y+x_2y\)도 보일 수 있다.

이상에서 \(A_S\)가 commutative ring 구조를 갖는다는 것을 안다. 마지막으로 \(\epsilon\)이 ring homomorphism이라는 것은 \(\epsilon\)이 덧셈을 보존한다는 것만 보이면 충분하고, 이는

\[\epsilon(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)/1=\alpha/1+\beta/1=\epsilon(\alpha)+\epsilon(\beta)\]

으로부터 알 수 있다.

정의 2 위와 같이 얻어진 ring을 \(S\)에 의해 정의되는 \(A\)의 ring of fractions분수환이라 부르고, 이를 \(S^{-1}A\)로 표기한다.

만일 \(S\)가 \(A\)의 cancellable element들의 모임이었다 하면 \(\epsilon\)이 injection이 되는 것이 자명하고, 따라서 \(A\)를 \(S^{-1}A\)의 subring으로 생각할 수 있다. 이 때 \(S^{-1}A\)를 \(A\)의 total ring of fractions라 부른다.

체

유리수 \(\mathbb{Q}\)는 일반적인 ring과 구분되는 다음과 같은 특징을 갖는다.

정의 3 Ring \(A\)가 division ring나눗셈환이라는 것은 \(A\neq0\)이고, \(A\)의 임의의 영이 아닌 원소가 모두 곱셈에 대한 역원을 갖는 것이다. Commutative division ring을 field체라 부른다.

명제 4 Ring \(A\neq 0\)이 division ring인 것과, \(A\)의 left ideal이 \(0\)과 \(A\) 뿐인 것이 동치이다.

증명

우선 \(A\)가 division ring이라 하자. 만일 left ideal \(\mathfrak{a}\neq 0\)가 주어졌다면 \(0\neq x\in \mathfrak{a}\)가 존재한다. 그런데 \(A\)에서는 \(x\)의 역원 \(x^{-1}\)이 존재하므로,

\[1=x^{-1}x\in A\mathfrak{a}=\mathfrak{a}\]

이고 따라서 \(\mathfrak{a}=A\)이다. 거꾸로 \(A\)의 left ideal이 \(0\)과 \(A\) 뿐이라 하자. 임의의 \(0\neq x\in A\)에 대하여, \(A\)의 left ideal \(Ax\)를 생각하면 \(0\neq x\in Ax\)이므로 \(Ax\neq 0\)이다. 이제 \(A\)의 left ideal은 \(0\) 혹은 \(A\) 뿐이므로 반드시 \(Ax=A\)이고, 따라서 \(1\in Ax\)이다. 즉, 적당한 \(\alpha\in A\)가 존재하여 \(\alpha x=1\)이도록 할 수 있다. 그럼 \(\alpha\neq 0\)이고, 마찬가지 논리에 의하여 적당한 \(\beta\in A\)가 존재하여 \(\beta\alpha=1\)이도록 할 수 있다. 이제

\[\beta=\beta1=\beta\alpha x=x\]

로부터 \(\beta=x\)임을 알 수 있고, 따라서 \(\alpha\)는 \(x\)의 곱셈에 대한 역원이다.

정역

\(\mathbb{Q}\)는 그 정의에 의하여 \(\mathbb{Z}\)의 total ring of fraction이다. 이것이 field가 되는 것은 졍의에 의해 자명하며, 이는 다음과 같이 확장할 수 있다.

정의 5 Ring \(A\)의 원소 \(\alpha,\beta\)가 \(\alpha\beta=0\)이지만 \(\alpha\neq 0\)이고 \(\beta\neq 0\)일 경우, \(\alpha,\beta\)를 zerodivisor영인자라 부른다. Ring \(A\)가 integral domain정역이라는 것은 \(A\)가 commutative이고, \(0\neq 1\)이며, \(A\)가 zerodivisor를 갖지 않는 것이다.

정의에 의해 integral domain의 subring은 integral domain임이 자명하다. 임의의 nonzero ring \(A,B\)에 대하여, \(A\times B\)는 다음 식

\[(1,0)(0,1)=(0,0)\]

으로부터 항상 integral domain이 될 수 없다.

명제 6 Integral domain \(A\)의 total ring of fraction는 field이다.

증명

\(A\)가 integral domain이라는 가정으로부터, \(S=A\setminus\{0\}\)임을 안다. 즉, \(S^{-1}A\)의 임의의 원소는 \(\alpha\in A\), \(\beta\in A\setminus\{0\}\)에 대하여 \(\alpha/\beta\)의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기에서 \(\alpha/\beta\neq 0\)이기 위해서는 \(\alpha\neq 0\)이므로, \(\beta/\alpha\in K\)도 잘 정의되고 그럼 \(\beta/\alpha\)가 \(\alpha/\beta\)의 역원이 된다.

정의 7 위의 명제 6으로부터 얻어지는 field \(S^{-1}A\)를 \(A\)의 field of fractions분수체이라 부르고, \(\Frac(A)\)로 나타낸다.

소아이디얼

Ring homomorphism의 fourth isomorphism theorem으로부터, 임의의 ring \(A\neq 0\)과 maximal left ideal \(\mathfrak{m}\)에 대하여 \(A/\mathfrak{m}\)의 유일한 left ideal은 \(0\)과 \(A/\mathfrak{m}\) 자기 자신 뿐임을 안다. 따라서 명제 4에 의하여 \(A/\mathfrak{m}\)은 division ring이다. Integral domain 또한 비슷한 식으로 특징지을 수 있다.

명제 8 Commutative ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{p}\neq A\)에 대하여 다음이 모두 동치이다.

  1. \(A/\mathfrak{p}\)가 integral domain이다.
  2. 만일 \(\alpha,\beta\in A\setminus \mathfrak{p}\)라면 \(\alpha\beta\in A\setminus \mathfrak{p}\)이다.
  3. 만일 \(\alpha\beta\in \mathfrak{p}\)라면, \(\alpha\in \mathfrak{p}\)이거나 \(\beta\in \mathfrak{p}\)이다.
증명

2번과 3번 조건은 서로 대우명제이므로, 1번과의 동치만 보이면 충분하다. 우선 \(A/\mathfrak{p}\)가 integral domain이라 가정하자. 즉

\[(\alpha+\mathfrak{p})(\beta+\mathfrak{p})=0+\mathfrak{p}\]

라면, 반드시 \(\alpha+\mathfrak{p}=0+\mathfrak{p}\)이거나 \(\beta+\mathfrak{p}=0+\mathfrak{p}\)이다. 이로부터 1번 조건이 성립하면 3번 조건이 성립하는 것을 안다. 이 논증은 반대방향으로도 성립한다.

위의 동치조건을 만족하는 ideal \(\mathfrak{p}\)를 prime ideal소아이디얼이라 부른다. 모든 field는 integral domain이므로, 모든 maximal ideal은 prime ideal이다. 그 역은 성립하지 않는데, 가령 \(\mathbb{Z}\)의 prime ideal은 \((0)\)과, 소수 \(p\)에 대해 \(p\mathbb{Z}\) 꼴 뿐이라는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 그럼 \((0)\)은 prime ideal이지만 maximal ideal은 아니다.

한편 다음이 성립한다.

명제 9 Commutative ring \(A,B\) 사이의 ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow B\)와 \(B\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(\phi^{-1}(\mathfrak{p})\)는 \(A\)의 prime ideal이다.

증명

결론에 반하여 \(\alpha\beta\in\phi^{-1}(\mathfrak{p})\)이지만 \(\alpha,\beta\not\in\phi^{-1}(\mathfrak{p})\)인 \(\alpha,\beta\in A\)가 존재한다 하면, \(\phi(\alpha)\phi(\beta)=\phi(\alpha\beta)\in \mathfrak{p}\)이지만 \(\phi(\alpha),\phi(\beta)\not\in \mathfrak{p}\)가 되어 명제 8의 동치에 모순이다.

한편, 명제 8의 2번 동치에 의하여, commutative ring \(A\)를 \(A\)를 multiplicative monoid로 본다면, 그 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대해 \(A\setminus\mathfrak{p}\)는 \(A\)의 submonoid로 볼 수 있다. 따라서 ring of fractions \((A\setminus \mathfrak{p})^{-1}A\)가 잘 정의되며, 이 ring의 분모에 들어가는 것은 오직 \(A\setminus \mathfrak{p}\)의 원소들 뿐이다. 이를 다음과 같이 정의한다.

정의 10 Commutative ring \(A\)와 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(A\)의 \(\mathfrak{p}\)에서의 localization국소화을 \((A\setminus \mathfrak{p})^{-1}A\)로 정의하고, 이를 간단히 \(A_\mathfrak{p}\)로 적는다.

멱영원

정의 11 Ring \(A\)의 원소 \(\alpha\)가 nilpotent멱영이라는 것은 적당한 \(n>0\)이 존재하여 \(\alpha^n=0\)이 성립하는 것이다. 만일 \(A\)가 영이 아닌 nilpotent element를 갖지 않으면 \(A\)를 reduced기약라 부른다.

정의에 의하여, 영이 아닌 nilpotent element는 zero-divisor이다. 따라서 모든 integral domain은 (commutative) reduced ring이다. 뿐만 아니라, commutative ring으로 한정하면 다음을 얻는다.

명제 12 Commutative ring \(A\)에 대하여, nilpotent element들의 모임 \(\mathfrak{N}\)은 ideal이 된다.

증명

만일 \(x\in \mathfrak{N}\)이라면 \(x^n=0\)이도록 하는 \(n>0\)이 존재할 것이고, 임의의 \(\alpha\in A\)에 대하여 \((\alphax)^n=\alpha^nx^n=0\)이 되어 \(\alpha x\in \mathfrak{N}\)임을 보일 수 있다.

이제 \(\mathfrak{N}\)이 덧셈에 대해 닫혀있다는 것을 보여야 한다. 임의의 \(x,y\in \mathfrak{N}\)이 주어졌다 하고, 적당한 \(m,n>0\)에 대하여 \(x^m=0\)이고 \(y^n=0\)이라 하자. 그럼

\[(x+y)^{m+n}=x^{m+n}+\binom{m+n}{1}x^{m+n-1}y+\cdots+\binom{m+n}{n}x^my^n+\binom{m+n}{n+1}x^{m-1}y^{n+1}+\cdots+y^n\]

이고, 우변의 모든 항들이 \(0\)임을 알 수 있다. 이상에서 \(x+y\in \mathfrak{N}\)이다.

정의 13 명제 12의 ideal \(\mathfrak{N}\)을 \(A\)의 nilradical이라 부른다.

정의에 의하여 \(A\)가 reduced인 것은 \(A\)의 nilradical이 \(0\)인 것과 동치이다. 한편, 만일 \(x\in \mathfrak{N}\)이라면, 식 \(x^n=0\)과 prime ideal의 정의로부터 \(x\in \mathfrak{p}\)이 모든 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대해 성립하는 것을 안다. 즉 다음 포함관계

\[\mathfrak{N}\subseteq\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$: prime} \mathfrak{p}\]

이 성립한다.

명제 14 Commutative ring \(A\)와 nilradical \(\mathfrak{N}\)에 대하여,

\[\mathfrak{N}=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$: prime} \mathfrak{p}\]

이 성립한다.

증명

만일 \(x\not\in \mathfrak{N}\)이라면, 적당한 \(\mathfrak{p}\)에 대해 \(x\not\in \mathfrak{p}\)임을 보이면 충분하다. 우선 multiplicative subset \(S=\{1,x,x^2,\ldots\}\)으로 만들어진 ring of fractions \(A_x=S^{-1}A\)를 생각하자. 그럼 \(A_x\)의 곱셈에 대한 항등원 \(x/x\)이 반드시 \(0/1\)과 다르다는 것을 확인할 수 있고, 특히 \(A_x\neq 0\)이다. 이제 §환의 정의, ⁋정리 9로부터 \(A_x\)의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)이 반드시 존재하고, 모든 maximal ideal은 prime ideal이므로 \(A_x\)는 prime ideal을 갖는다. 이제 명제 9를 \(\epsilon:A \rightarrow A_x\)에 적용하면 \(\epsilon^{-1}(\mathfrak{p})\)는 \(A\)의 prime ideal이며, 만일 \(x\in\epsilon^{-1}(\mathfrak{p})\)라면 \(x/1\in \mathfrak{p}\)이고 \(x/1\)은 \(A_x\)에서 invertible이므로 \(\mathfrak{p}=A_x\)가 되어 모순이다.

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

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