호모토피

대수적 위상수학에서 우리는 homeomorphism보다 더 유연한 동치관계에 관심이 있다.

정의 1 두 위상공간 $X,Y$ 사이의 연속함수들 $f_0,f_1:X \rightarrow Y$이 주어졌다 하자. 그럼 $f_0$와 $f_1$이 호모토픽_homotopic하다는 것은 연속함수 $F:X\times [0,1]\rightarrow Y$가 존재하여 다음 두 식

\[F(x,0)=f_0(x),\qquad F(x,1)=f_1(x)\tag{1}\]

이 모든 $x\in X$에 대해 성립하는 것이다. 이 경우, $F$를 $f_0$과 $f_1$ 사이의 호모토피_homotopy라 부르고, $f_0$과 $f_1$ 사이의 호모토피가 존재하면 이를 $f_0\simeq f_1$로 적는다.

직관적으로 이는 $f_0$을 연속적으로 변형하여 $f_1$을 얻을 수 있다는 의미를 갖는다.

위의 정의에서, 연속함수 $F$가 주어지는 것은 연속함수들의 family $(F(-,t))_{t\in[0,1]}$가 주어지는 것과 같다. 이러한 관점에서 $f_0$과 $f_1$ 사이의 호모토피 $F$를 $(f_t)_{t\in[0,1]}$와 같이 적기도 한다.

명제 2 관계 $\simeq$는 $C(X,Y)$ 위의 동치관계이다.

증명

1. 우선 $\simeq$는 reflexive하다. 이는 임의의 $f\in C(X,Y)$에 대하여, $F(x,t)=f(x)$로 정의하면 이것이 $f$와 자기 자신 사이의 호모토피를 정의하기 때문이다.

2. $\simeq$는 symmetric하다. $f_0\simeq f_1$이라 가정하면, 식 (1)을 만족하는 호모토피 $F$가 존재한다. 이제 $\tilde{F}(x,t)=F(x,1-t)$로 정의하면 $\tilde{F}$는 연속함수이며 두 식

   \[\tilde{F}(x,0)=f_1(x),\qquad\tilde{F}(x,1)=f_0(x)\]

   을 만족한다. 따라서 $f_1\simeq f_0$이 성립한다.

3. 마지막으로 $\simeq$는 transitive하다. $f_0,f_1,f_2\in C(X,Y)$가 $f_0\simeq f_1$, $f_1\simeq f_2$를 만족한다 하자. 그럼 두 호모토피 $F_0(x,t)$와 $F_1(x,t)$가 각각 존재하여 $F_0(x,0) = f_0(x)$이고 $F_0(x,1) = f_1(x)$, $F_1(x,0) = f_1(x)$이고 $F_1(x,1) = f_2(x)$를 만족한다. 이제 $F(x,t)$를 다음의 식

   \[F(x,t) = \begin{cases} F_0(x,2t) & \text{if } 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ F_1(x,2t-1) & \text{if } \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}\]

   으로 정의하면, $F$가 $f_0$과 $f_2$ 사이의 호모토피가 된다.

이를 통해 두 위상공간이 호모토피 동형이라는 것이 어떤 것인지를 정의할 수 있다.

정의 3 두 위상공간 $X,Y$가 호모토피 동형_{homotopy equivalence}이라는 것은 두 연속함수 $f:X\rightarrow Y$, $g:Y\rightarrow X$가 존재하여 $f\circ g\simeq \id_Y$이고 $g\circ f\simeq\id_X$인 것이다.

가령, 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$과 한 점으로 이루어진 공간 $\ast$은 호모토피 동형이다. 연속함수 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \ast$는 유일하게 정의되며, 거꾸로 $g:\ast\rightarrow\mathbb{R}^n$을 $\mathbb{R}^n$의 임의의 점을 값으로 취하는 상수함수로 주면 이 두 함수가 위의 조건을 만족하기 때문이다.

많은 경우 호모토피 동형인 두 공간은 deformation retract라 부르는 변형의 결과로 나타난다. 이를 위해서는 우선 retraction을 정의해야 하는데, 이는 정확히 [집합론], §Retraction과 section, ⁋정의 2의 어원이라 할 수 있다.

정의 4 위상공간 $X$와 그 부분공간 $A$가 주어졌다 하자. Canonical inclusion $\iota:A\rightarrow X$에 대하여, 식 $r\circ\iota=\id_A$를 만족하는 연속함수 $r:X\rightarrow A$가 존재한다면 $r$을 부분공간 $A$로의 retraction_수축이라 부르고, 이 때 $A$를 $X$의 retract_수축이라 부른다.

집합론의 관점에서 위의 조건을 만족하는 함수 $r$은 항상 존재하지만, 이러한 함수가 연속이 되리라는 보장은 없다. 가령, 2차원 상의 꽉 찬 원판 $D^2$와 그 경계 $S^1$에 대하여, $D^2$에서 $S^1$으로의 retraction이 존재하지 않음이 알려져 있다. 이에 대한 증명은 잠시 후에 살펴보고, 우선 deformation retract를 정의한다.

정의 5 위상공간 $X$와 그 부분공간 $A$가 주어졌다 하고, $r:X\rightarrow A$가 retraction이라 하자. 만일 $\id_X$에서 $r$로의 호모토피 $F$가 존재한다면, 이를 $A$로의 deformation retraction_{변형 수축}이라 부르고, $A$를 $X$의 deformation retract_{변형 수축}이라 부른다.