옹골성과 필터의 수렴

우선 다음을 정의한다.

정의 1 위상공간 \(X\)가 limit point compact라는 것은 \(X\)의 모든 무한집합이 limit point를 갖는 것을 의미한다. (§집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋정의 8)

일반적으로 다음이 성립한다.

명제 2 Compact space는 limit point compact이다.

증명

결론에 반하여 limit point compact가 아닌 compact space \(X\)를 가정하자. 그럼 limit point를 갖지 않는 무한집합 \(A\)가 존재하며, 따라서 §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋정의 8 이후의 논증에 의하여 \(\cl(A)\setminus A=\emptyset\)이어야 한다. 즉 \(A\)는 닫힌집합이어야 하고, 따라서 compact이다. 한편 각각의 \(a\in A\) 또한 \(A\)의 limit point가 아니므로, \(a\)의 적당한 열린근방 \(U_a\)가 존재하여 \(A\cap U_a=\{a\}\)이도록 할 수 있다. 그럼 \((U_a)_{a\in A}\)는 finite subcover를 갖지 않는 \(A\)의 open covering이므로 모순이다.

그러나 일반적으로 그 역은 성립하지 않는다.

예시 3 Trivial topology가 주어진 two-point space \(X\)와, discrete topology가 주어진 무한집합 \(Y\)을 생각하자. 그럼 \(X\times Y\)는 limit point compact이지만 compact가 아니다.

또 다음을 정의한다.

정의 4 위상공간 \(X\)가 sequentially compact라는 것은 \(X\)의 임의의 점열이 수렴하는 부분점열을 갖는 것이다.

명제 5 Sequentially compact space는 limit point compact이다.

증명

\(X\)가 sequentially compact space라 하고, limit point를 갖지 않는 무한집합 \(A\)가 존재한다고 가정하자. 그럼 \(A\)의 적당한 countable subset \(A'\)를 택하여 이를 점열 \((x_n)_{n\geq k}\)로 만들 수 있다. 그럼 \(X\)는 sequentially compact이므로 수렴하는 부분점열을 가지며, 이 점열이 \(x\)로 수렴한다 하면 \(x\)가 \(A'\)의 limit point가 되고 따라서 \(A\)의 limit point가 되는 것을 확인할 수 있다.

점열의 수렴

한편, 명제 5의 역 또한 성립하지 않는다. 이는 다소 의외라고 느껴질 수 있는데, limit point compact인 공간의 임의의 점열 \((x_n)\)이 주어졌을 때, 집합 \(A=\{x_n\mid n\geq 1\}\)는 유한집합이 되어 자명한 이유로 수렴하는 부분점열을 갖거나, 혹은 무한집합이 되어 limit point를 갖기 때문이다. 문제는 집합 \(A\)의 limit point로 수렴하는 부분점열이 존재하지 않을수도 있다는 것에 있다.

예시 6 \(\mathbb{R}\)의 부분집합들의 모임

\[\mathcal{B}=\{(a,\infty)\mid a\in \mathbb{R}\}\]

을 생각하면 이 모임은 §위상공간의 기저, ⁋따름정리 6의 조건을 만족하고 따라서 \(\mathbb{R}\) 위에 위상구조를 준다.

이렇게 정의된 위상공간 \(\mathbb{R}\)의 점열 \((x_n)_{n\geq 1}\)을 다음의 식

\[x_n=-n\]

으로 정의하자. 그럼 \((x_n)\)은 수렴하는 부분점열을 갖지 않는다. 반면 \(A=\{x_n\mid n\geq 1\}\)는 limit point를 갖는데, 가령 \(-2\)는 \(A\)의 limit point이다. 이는 \(-2\)를 포함하는 임의의 열린집합은 반드시 \(-1\in A\) 또한 포함해야 하기 때문이다.

위의 예시는 limit point를 확인할 때 점열의 수렴이 그리 좋은 개념이 아니라는 것을 보여준다. 한편 §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 6에 의하여, 집합 \(A\)의 임의의 limit point는 \(A\)의 closure에 속한다.

보조정리 7 위상공간 \(X\)와 임의의 부분집합 \(A\subseteq X\)에 대하여, 만일 \(x\in X\)로 수렴하는 \(A\)의 점열이 존재한다면 \(x\in \cl(A)\)이다.

증명

\(x\)의 임의의 열린근방 \(U\)를 택하자. 그럼 \(x\)로 수렴하는 점열 \((x_n)\)이 존재하므로, 적당한 \(N\in \mathbb{N}\)가 존재하여 \(n\geq N\)이면 \(x_n\in U\)이다. 그럼 \(x_N\in U\cap A\)이므로 \(U\cap A\neq \emptyset\)이고, 따라서 \(x\in \cl(A)\)이다.

따라서, 위상공간 \(X\)와 부분집합 \(A\)에 대하여, \(A\)의 sequential closure \(\scl(A)\)를

\[\scl(A)=\{x\in X\mid \text{there exists a sequence in $A$ that converges to $x$}\}\]

으로 정의하면 \(\scl(A)\subseteq \cl(A)\)가 성립하는 것이 당연하다.

예시 8 일반적인 위상구조가 주어진 \(\mathbb{R}\)의 uncountable product \(\mathbb{R}^J\)를 생각하자. 집합 \(A\)를

\[A=\{(x_j)\in \mathbb{R}^J: x_j=1\text{ for all but finitely many $j$}\}\]

으로 정의하자. 그럼 \(\mathbb{R}^J\)의 원점은 \(A\)의 closure에 속한다. 이는 원점을 포함하는 \(\mathbb{R}^J\)의 base는 유한한 index를 제외하고는 모두 \(\mathbb{R}\)이며, 이 유한한 index들의 성분은 \(0\)으로 정의하고, 나머지 index의 성분은 \(1\)인 점이 이 base와 \(A\)의 교집합에 들어있기 때문이다. 그러나 \(A\)의 임의의 점열은 원점으로 수렴하지 않는다. 이는 \(A\)의 임의의 점열이 주어졌을 때, \(J\)가 uncountable임을 이용하면 이 점열의 모든 항의 \(j\)번째 성분이 \(1\)이도록 하는 \(j\in J\)가 존재한다는 것을 보일 수 있고, 그럼 \(j\)번째 성분이 \((-1,1)\)이고 나머지 성분은 \(\mathbb{R}\)인 원점의 열린근방이 이 점열의 원소를 하나도 포함하지 않기 때문이다.

즉, 보조정리 7의 역 또한 일반적으로는 성립하지 않는다. 혹은, 위의 언어를 사용하여 위상공간 \(X\)와 부분집합 \(A\)에 대해 일반적으로는 \(\scl(A)\subsetneq \cl(A)\)라고 할 수 있다. 만일 \(\scl(A)=\cl(A)\)가 모든 부분집합 \(A\)에 대해 성립한다면, \(X\)를 sequential space라 부른다.

한편, 다음 명제는 약간의 일반화를 거치긴 했지만, 그래도 여전히 익숙한 것이다.

명제 9 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)와 \(X\)의 임의의 점열 \((x_n)\)에 대하여, 만일 \((x_n)\)이 \(x\in X\)로 수렴한다면 \((f(x_n))\)은 \(f(x)\)로 수렴한다.

증명

\(f(x)\)의 임의의 열린근방 \(V\)를 택하자. 그럼 \(f\)는 연속함수이므로 \(f^{-1}(V)\)는 \(x\)의 열린근방이다. 따라서 적당한 \(N\in \mathbb{N}\)가 존재하여 \(n\geq N\)이면 \(x_n\in f^{-1}(V)\)이다. 그럼 \(f(x_n)\in V\)이므로 \((f(x_n))\)은 \(f(x)\)로 수렴한다.

한편, 만일 공간 \(X\)에서 보조정리 7의 역이 성립한다면, 해당 결과와 §연속함수, ⁋정리 4의 두 번째 조건을 사용해 명제 9의 역 또한 보일 수 있다. 즉, 만일 임의의 \(x\in A\)로 수렴하는 임의의 점열 \((x_n)\)에 대하여 \(f(x_n)\)이 \(f(x)\)로 수렴한다면, \(f\)는 점 \(x\)에서 연속이다.

\(X\)가 보조정리 7의 역이 성립한다는 공간이라 하자. 그럼 임의의 \(x\in \cl(A)\)에 대하여 \(x\)로 수렴하는 \(X\)의 점열 \((x_n)\)를 잡을 수 있다. 그럼 \(Y\)의 점열 \(f(x_n)\)가 \(f(x)\)로 수렴하므로 보조정리 7에 의하여 \(f(x)\in \cl(f(A))\)이고 §연속함수, ⁋정리 4로부터 원하는 결과를 얻는다.

가산공리

위의 내용들은 지금까지 다룬 개념들을 나타내는 데에 점열의 수렴은 적절한 개념이 아니라는 것을 보여준다. 명제 11의 증명을 살펴보면 이를 어떠한 방식으로 일반화하는 것이 좋은지를 알 수 있다.

정의 10 위상공간 \(X\)에 대하여 다음을 정의한다.

1. \(X\)가 first countable이라는 것은 \(X\)의 임의의 점 \(x\in X\)에 대하여 \(x\)의 countable local base가 존재하는 것을 의미한다.
2. \(X\)가 second countable이라는 것은 \(X\)의 countable base가 존재하는 것을 의미한다.

명제 11 \(X\)가 first countable \(T_1\)이고 limit point compact라면 \(X\)는 sequentially compact이다.

증명

앞서 언급한 것과 같이 임의의 점열 \((x_n)\)이 주어졌을 때, 집합 \(A=\{x_n\mid n\geq 1\}\)는 유한집합이 되어 자명한 이유로 수렴하는 부분점열을 갖거나, 혹은 무한집합이 되어 limit point \(x\)를 갖는다. 만일 \(x=x_n\)가 무한히 많은 \(n\)에 대해 성립한다면 또 다시 자명한 이유로 \(x\)에 수렴하는 부분점열을 잡을 수 있으므로, \(x_n=x\)를 만족하는 \(n\)아 오직 유한 개밖에 없다고 가정할 수 있고 이는 점열의 수렴에 영향을 주지 않으므로 일반성을 잃지 않고 \(x_n\neq x\)가 모든 \(n\)에 대해 성립한다고 가정할 수 있다.

한편 \(X\)는 first countable이므로, \(x\)의 countable local base \(\mathcal{B}(x)\)를 생각할 수 있다. \(\mathcal{B}(x)\)의 원소를 \(B_1,B_2,\ldots\)와 같이 적는다면, \(B_n\)을 \(B_1\cap\cdots\cap B_n\)으로 바꾸어 \(B_{n+1}\subseteq B_n\)이 모든 \(n\)에 대해 성립하도록 할 수 있다.

이제 \(B_1\)은 \(x\)를 포함하는 열린집합이고 \(x\)는 \(A\)의 limit point이므로, 적당한 \(n_1\)이 존재하여 \(x_{n_1}\in B_1\)이도록 할 수 있다. 이제 \(X\)가 \(T_1\)이므로 \(x\)를 포함하지만 \(x_1,\ldots,x_{n_1}\)을 포함하지 않는 열린집합 \(U_2\)가 존재한다. 그럼 \(U_2\cap B_2\)는 다시 \(x\)를 포함하는 열린집합이고 \(x\)는 \(A\)의 limit point이므로, 적당한 \(n_2\)가 존재하여 \(x_{n_2}\in U_2\cap B_2\)이도록 할 수 있다. 이 과정을 반복하여 \(x\)로 수렴하는 \(A\)의 부분점열을 잡을 수 있다.

뿐만 아니라 first countable space는 sequential space라는 것을 쉽게 보일 수 있다.

필터의 수렴

명제 11의 증명에서 핵심적인 역할을 한 것은 \(x\)가 열린집합들의 decreasing sequence

\[B_1\supseteq B_2\supseteq\cdots\]

를 가지며, first countability에 의하여 어떠한 열린집합 \(U\)가 주어지더라도 충분히 큰 \(n\)에 대해서는 \(B_n\subseteq U\)이도록 할 수 있다는 것이다. 즉, 어떤 의미에서는 위의 열린집합들 그 자체가 \(x\)로 수렴한다고 볼 수도 있다. 이와 같은 관찰을 바탕으로 다음을 정의한다.

정의 12 위상공간 \(X\)와 그 위에 정의된 filter \(\mathcal{F}\)를 생각하자. (§위상공간의 다른 정의들, ⁋정의 3) 그럼 \(\mathcal{F}\)가 \(x\in X\)로 수렴_converge한다는 것은 \(\mathcal{N}(x)\subseteq \mathcal{F}\)가 성립하는 것이다. (§열린집합, §§Neighborhood filter) 이 때, \(x\)를 \(\mathcal{F}\)의 limit point_극한점라 부른다.

정의 12는 점열의 수렴을 일반화한 것이다. 이를 확인하기 위해서는 우선 다음을 정의해야 한다.

정의 13 집합 \(X\) 위에 정의된 filter \(\mathcal{F}\), 그리고 위상공간 \(X\)가 주어졌다 하자. 함수 \(f:X \rightarrow Y\)에 대하여, \(y\in Y\)가 \(\mathcal{F}\)에 대한 \(f\)의 limit point라는 것은 \(y\)가 filter \({\uparrow}f(\mathcal{F})\)의 limit point인 것이다. (§위상공간의 다른 정의들, ⁋명제 7)

그럼 정의에 의하여, \(y\in Y\)가 \(\mathcal{F}\)에 대한 \(f\)의 limit point인 것은 \(y\)의 임의의 근방 \(V\)가 주어질 때마다, 적당한 \(F\in \mathcal{F}\)가 존재하여 \(f(F)\subseteq V\)인 것이다. 특히 다음이 성립한다.

명제 14 위상공간 \(X\)의 점열 \((x_n)_{n\geq 1}\)에 대하여, \((x_n)_{n\geq 1}\)이 \(x\in X\)로 수렴하는 것과 \(\mathbb{N}\) 위에 정의된 Fréchet filter \(\mathcal{F}\)의 \(n\mapsto x_n\)에 의한 image로 생성되는 filter가 \(x\)로 수렴하는 것이 동치이다. (§위상공간의 다른 정의들, ⁋예시 4)

따라서 필터의 수렴은 점열의 수렴을 일반화한 것임을 안다. 뿐만 아니라 이 개념을 통해 다음과 같은 명제를 증명할 수 있다.

명제 15 위상공간 \(X\)와 임의의 부분집합 \(A\subseteq X\)에 대하여, \(x\in\cl(A)\)인 것과, \(x\)로 수렴하는 \(A\)의 filter \(\mathcal{F}\)가 존재하는 것이 동치이다.

증명

우선 \(x\)로 수렴하는 \(A\)의 filter \(\mathcal{F}\)가 존재한다 하자. 즉 \(\mathcal{F}\)는 원소 \(A\)와 부분집합 \(\mathcal{N}(x)\)를 포함한다. 따라서 filter의 정의에 의하여, 임의의 근방 \(U\in \mathcal{N}(x)\)에 대하여 \(U\cap A\neq\emptyset\)이다.

거꾸로 \(x\in \cl(A)\)라 하자. 그럼 \(x\)의 임의의 근방 \(U\)에 대하여, \(U\cap A\neq\emptyset\)이므로 다음 식

\[\mathcal{N}(x)\vert_A=\{U\cap A\mid U\in \mathcal{N}(x)\}\]

은 filter base를 정의한다. 이제 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{N}(x)\vert_A\)에 의해 정의되는 filter라 하면 원하는 결과를 얻는다.

따라서, 보조정리 8 이후의 논증에 의해 다음 명제도 자명하다.

명제 16 위상공간 사이의 함수 \(f:X \rightarrow Y\)에 대하여, 함수 \(f\)가 \(x\in X\)에서 연속인 것은 \(x\)로 수렴하는 임의의 filter \(\mathcal{F}\)에 대하여, filter base \(f(\mathcal{F})\)가 정의하는 filter가 \(f(x)\)로 수렴하는 것과 동치이다.