이제 우리는 graded module의 개념을 정의한다.
등급가군
정의 1 Commutative monoid $I$에 대해, $A=\bigoplus_{i\in I}A_i$가 $I$-graded ring이라 하고, $M$이 left $A$-module이라 하자. 그럼 $M$이 $I$-graded left $A$-module$I$-등급 왼쪽가군이라는 것은 임의의 $i,j\in I$에 대하여
\[A_iM_j\subseteq M_{i+j}\]이 성립하는 것이다.
비슷하게 $I$-graded right $A4-module 도한 정의한다. 특별히 $A$를 $A$ 자기 자신에 대한 left $A$-module로 본다면, 정의 1에 의해 모든 graded ring은 자기 자신에 대한 graded (left) $A$-module이다. 만일 $I$의 덧셈에 대하여, 모든 원소가 cancellable이라면 §등급환, ⁋명제 2에 의하여 $A_0$은 ring이다. 그럼 위의 식으로부터 각각의 $M_j$들이 $A_0$-module이 되는 것이 자명하다.
정의 2 두 $I$-graded left $A$-module $M,M’$에 대하여, $A$-linear map $f:M \rightarrow M’$이 graded homomorphism이라는 것은 $f(M_i)\subseteq M_i’$이 항상 성립하는 것이다.
이를 통해 $I$-graded left $A$-module들의 category $\gr_I\lMod{A}$를 정의할 수 있다. 더 일반적으로 다음을 정의한다.
정의 3 두 $I$-graded left $A$-module $M,M’$에 대하여, $A$-linear map $f:M \rightarrow M’$이 graded homomorphism of degree $i$이라는 것은 $f(M_j)\subseteq M_{i+j}’$이 항상 성립하는 것이다.
그럼 정의 2의 graded homomorphism들은 모두 graded homomorphism of degree $0$에 불과하다. 만일 $I$의 모든 원소들이 cancellable이라면, 우리는 graded homomorphism of degree $-i$를 다음 조건
\[f(M_{i+j})\subseteq M_j',\qquad f(M_j)=0\text{ if $j-i\not\in I$}\]으로 정의할 수도 있다. 다만 이러한 방식으로 정의할 때 주의할 점은 bijective graded homomorphism of degree $i$는 $i\neq 0$일 경우, 일반적으로 $I$-graded left $A$-module들 사이의 isomorphism으로 생각하지 않는다는 것이다.
이러한 방식의 일반화는 호몰로지 대수학에서 더 자세히 다룬다.
등급부분가군
명제 4 $I$-graded left $A$-module $M=\bigoplus_{i\in I} M_i$가 주어졌다 하자. 그럼 $M$의 submodule $N$에 대하여, 다음이 모두 동치이다.
- $N$은 $N\cap M_i$들의 합이다.
- $N$의 임의의 원소를 homogeneous element들로 분해하면, 각각의 원소들도 모두 $N$에 속한다.
- $N$은 homogeneous element들로 생성된다.
이 명제는 §등급환, §명제 6의 일반화이며, 그 증명 또한 동일하다. 이 동치조건을 만족하는 submodule들을 graded submodule등급부분가군이라 부른다. 다음 명제 또한 §등급환, §명제 7의 일반화이다.
명제 5 Degree $d$의 graded $A$-homomorphism $f:M \rightarrow N$에 대하여, 다음이 성립한다.
- $\im(f)$는 $N$의 graded submodule이다.
- 만일 $d$가 cancellable이라면, $\ker(f)$는 $M$의 graded submodule이다.
- $d=0$이라면 canonical bijection $M/\ker(f)\cong\im(f)$는 graded module들 사이의 isomorphism을 정의한다.
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