우선 다음을 정의하자.
정의 1 Manifold $M$과 coordinate system $(U,\varphi)$가 주어졌다 하자. 이 때 $\varphi=(x^i)_{i=1}^m$이고, $0\leq k\leq m$라 하고, $p\in \varphi(U)$에 대해 다음의 집합
\[S=\{q\in U\mid x^i(q)=r^i(p), k+1\leq i\leq m\}\]에 subspace topology와 coordinate system $(S, (x^j|_S)_{j=1}^k)$이 부여된 manifold를 $(U,\varphi)$의 slice라 부른다.
보조정리 2 두 manifold 사이의 immersion $F:M\rightarrow N$이 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $p\in M$이 주어질 때마다, $F(p)$를 포함하는 coordinate system $(V,\varphi)$와 $p$의 적당한 열린근방 $U$가 존재하여 $F|_U$가 injective이고, $F(U)$가 $(V,\varphi)$의 slice이도록 할 수 있다.
증명
위의 보조정리에서, $M$의 열린집합 $U$에 대하여 $F(U)$가 $(V,\varphi)$의 slice가 된다는 것을 신경써서 볼 필요가 있다. 예를 들어, $F(M)\cap V$는 일반적으로 slice가 될 필요가 없으며, 이는 심지어 $F$가 submanifold일 경우에도 마찬가지이다.
하지만 만일 $M$이 embedding이었다면 $(V,\varphi)$를 적당히 잡아 $F(M)\cap V$가 $V$의 slice가 되도록 할 수 있다. 이러한 관점에서 위 보조정리를
Immersed submanifold는 locally embedded이다
정도로 요약할 수 있다.
음함수 정리와 그 결과들
이제 우리는 음함수 정리를 미분다양체로 확장할 준비가 되었다.
정리 3 (음함수 정리) $U\subset\mathbb{R}^{m-n}\times\mathbb{R}^n$이 열린집합이라 하고, 구별을 위해 $\mathbb{R}^{m-n}$의 좌표들을 $r^1,\ldots, r^{m-n}$, 그리고 $\mathbb{R}^n$의 좌표들을 $s^1,\ldots, s^n$이라 하자. 또, $f:U\rightarrow\mathbb{R}^n$이 $C^\infty$이고, 어떤 점 $(x_0, y_0)\in U$에 대하여 $f(x_0,y_0)$이라 하자. 만일 점 $(x_0,y_0)$에서 Jacobian matrix
\[\begin{pmatrix}\partial f^1/\partial r^1&\partial f^1/\partial r^2&\cdots&\partial f^1/\partial r^{m-n}&\partial f^1/\partial s^1&\partial f^1/\partial s^2&\cdots&\partial f^1/\partial s^n\\\partial f^2/\partial r^1&\partial f^2/\partial r^2&\cdots&\partial f^2/\partial r^{m-n}&\partial f^2/\partial s^1&\partial f^2/\partial s^2&\cdots&\partial f^2/\partial s^n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\partial f^n/\partial r^1&\partial f^n/\partial r^2&\cdots&\partial f^n/\partial r^{m-n}&\partial f^n/\partial s^1&\partial f^n/\partial s^2&\cdots&\partial f^n/\partial s^n\end{pmatrix}\]의 $n\times n$ submatrix
\[\begin{pmatrix}\partial f^1/\partial s^1&\partial f^1/\partial s^2&\cdots&\partial f^1/\partial s^n\\\partial f^2/\partial s^1&\partial f^2/\partial s^2&\cdots&\partial f^2/\partial s^n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\partial f^n/\partial s^1&\partial f^n/\partial s^2&\cdots&\partial f^n/\partial s^n\end{pmatrix}\]가 nonsingular라면, $x_0$의 적당한 열린근방 $V$, $y_0$의 적당한 열린근방 $W$, 그리고 $C^\infty$ 함수 $g:V\rightarrow W$가 존재하여 $V\times W\subseteq U$이고, 각각의 $(p,q)\in V\times W$마다
\[f(p,q)=0\iff q=g(p)\]를 만족한다.
따름정리 4 (Submersion level set theorem) $F:M\rightarrow N$이 $C^\infty$라 하고, $q\in F(M)$를 고정하고 $P=F^{-1}(q)$라 하자. 만일 임의의 $p\in P$마다 $dF_p:T_pM\rightarrow T_{F(p)}N$이 surjective라면, $P$ 위에 정의된 유일한 manifold 구조가 존재하여 canonical injection $\iota:P\hookrightarrow M$이 submanifold가 된다.
또, 이 때 $\iota$는 embedding이고, $P$의 codimension $\dim M-\dim P$가 $\dim N$과 동일해진다.
증명
다음 따름정리의 가정은 앞선 따름정리의 가정보다 약하기 때문에 더 잘 사용할 수 있다.
따름정리 5 (Constant-rank level set theorem) $F:M\rightarrow N$이 $C^\infty$라 하고, 각각의 $p\in P$마다 정의되는 $dF_p:T_pM\rightarrow T_{F(p)}N$이 모든 점 $p\in P$에서 같은 rank를 가진다고 하자. 그럼 $F:M\rightarrow N$은 embedded submanifold이다.
이 정리들을 통해 주어진 manifold $M$의 특정한 부분집합이 embedded submanifold라는 것을 보일 수 있는데, 이는 대표적으로 다음과 같은 논증을 따른다.
예시 6 $\mathbb{R}^{n+1}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수
\[f(x)=\lvert x\rvert^2=\sum_{i=1}^{n+1} r^i(x)^2\]를 생각하자. 임의의 점 $x\in \mathbb{R}^{n+1}$과 $v\in T_x\mathbb{R}^{n+1}$에 대하여,
\[df_x(v)=v(f)=\sum v^i\frac{\partial f}{\partial r^i}\bigg|_{x}=2\sum r^i(x) v^i\]이 성립하며, 이로부터 $x$가 원점이 아니라면 $v$를 조절하여 $df_x(v)$가 임의의 실수값을 갖도록 할 수 있음을 안다. 즉, $df_x$가 원점을 제외하면 항상 surjective이므로, $f^{-1}(1)$이 $\mathbb{R}^{n+1}$의 submanifold이도록 하는 유일한 manifold 구조가 존재한다. 유일성에 의하여 이 구조는 $S^n$에 주어진 manifold 구조와 동일하며, 다시 따름정리 5에 의해 이 구조는 $\mathbb{R}^{n+1}$의 embedded submanifold임을 알 수 있다.
참고문헌
[War] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 2013
[Lee] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2012
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