K

Grad. student in mathematics

앞선 글의 서두에서 이야기했듯 선형대수에서 다루는 공간인 벡터공간은 고등학교 때 배우는 좌표공간을 일반화하는 개념이다. 우리는 이를 위해 지난 글에서 abelian group과 field를 정의했다.

많은 선형대수 책에서는 이 정의들을 피하고 단순히 \(\mathbb{R}\)-벡터공간 혹은 \(\mathbb{C}\)-벡터공간만을 생각하기도 하지만, 더 일반적인 경우가 전혀 복잡하지 않으므로 굳이 특수한 경우로 우리의 관심사를 한정할 필요가 없다.

벡터공간의 정의

정의 1 \(\mathbb{K}\)가 field이고, \(V\)가 abelian group이라 하자. \(V\)가 \(\mathbb{K}\)에 대한 벡터공간vector space over \(\mathbb{K}\), 혹은 간단히 \(\mathbb{K}\)-벡터공간\(\mathbb{K}\)-vector space이라는 것은 여기에 추가적인 연산 (스칼라곱) \(\cdot:\mathbb{K}\times V\rightarrow V\)가 존재하여

  1. 임의의 \(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\)와 임의의 \(u\in V\)에 대하여 \(\alpha\cdot(\beta\cdot u)=(\alpha\beta)\cdot u\)가 성립한다.
  2. 임의의 \(\alpha\in\mathbb{K}\)와 임의의 \(u,v\in V\)에 대하여 \(\alpha\cdot(u+_{\tiny V}v)=(\alpha\cdot u)+_{\tiny V}(\alpha\cdot v)\)가 성립한다.
  3. 임의의 \(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\)와 임의의 \(u\in V\)에 대하여 \((\alpha+_{\tiny \mathbb{K}}\beta)\cdot u=(\alpha\cdot u)+_{\tiny V}(\beta\cdot u)\)가 성립한다.
  4. 곱셈에 대한 \(\mathbb{K}\)의 항등원 \(1\in\mathbb{K}\)에 대하여, \(1\cdot u=u\)가 임의의 \(u\in V\)에 대하여 성립한다.

가 모두 만족되는 것이다. 이 때 \(V\)의 원소들을 벡터vector들이라 부른다.

위의 정의와 같이, 앞으로는 혼동을 피하기 위해 field \(\mathbb{K}\)의 원소는 모두 \(\alpha,\beta,\ldots\)으로 적고, \(\mathbb{K}\)-벡터공간의 원소들은 \(u,v,\ldots\)로 적기로 한다. 위의 정의에서는 \(+_{\tiny V}\)와 \(+_{\tiny \mathbb{K}}\)를 구별하여 적었는데, 방금 만든 표기법처럼 이들을 구분하면 \(+\) 주위에 있는 원소가 \(\mathbb{K}\)의 원소인지, \(V\)의 원소인지가 명확하게 구별되므로 이들을 모두 \(+\)로만 적어도 혼동의 여지가 없다.

스칼라곱도 마찬가지로 \(\alpha\cdot u\)와 같은 표기 대신 \(\alpha u\)와 같이 적기로 한다. 이 경우 유일한 걱정은 \(\alpha\beta u\)라고 쓸 때 이것이 \((\alpha\beta)u\)인지, \(\alpha(\beta u)\)인지 헷갈릴 수 있다는 것인데, 위 정의의 첫 번째 조건에 의해 어떤 것을 선택하더라도 그 값은 동일하므로 이는 걱정할 필요가 없다.

벡터공간은 abelian group \(V\) 위에 추가적인 구조인 \(\mathbb{K}\)-스칼라곱이 정의된 형태이다. 때문에 \(V\)는 abelian group이 갖는 성질을 모두 갖는다. (§가환군과 체, ⁋명제 2 그리고 §가환군과 체, ⁋따름정리 3)

다음 성질들은 \(\mathbb{K}\)-스칼라곱에 의해 결정되는 추가적인 성질들이다.

명제 2 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)가 주어졌다 하자. 그럼

  1. 임의의 \(\alpha\in\mathbb{K}\)에 대하여, \(\alpha0=0\)이고,
  2. 임의의 \(v\in V\)에 대하여, \(0v=0\)이다.

거꾸로, 만일 \(\alpha v=0\)이라면, \(\alpha=0\)이거나 \(v=0\)이 성립한다.

증명

처음 두 주장은 §가환군과 체, ⁋명제 6과 비슷하게 진행하면 된다. 예를 들어,

\[\alpha0+\alpha0=\alpha(0+0)=\alpha0\]

이므로 \(\alpha0=0\)이고, 이와 비슷하게

\[0v+0v=(0+0)v=0v\]

이므로 \(0v=0\)이다. 마지막으로, \(\alpha v=0\)이고 \(\alpha\neq 0\)이라 하자. 만일 \(\alpha\neq 0\)이라면, \(\alpha^{-1}\in\mathbb{K}\)가 존재하여 \(\alpha\alpha^{-1}=1\)이고, 따라서

\[v=1v=(\alpha^{-1}\alpha)v=\alpha^{-1}(\alpha v)=\alpha^{-1}0=0\]

이므로, \(v=0\)이 되어 주어진 명제가 성립한다.

위의 명제의 1번에 등장하는 \(0\)과 2번의 우변에 등장하는 \(0\)은 모두 \(V\)의 원소이고, 2번의 좌변에 등장하는 \(0\)은 \(\mathbb{K}\)의 원소이다. 엄밀히 적기 위해서는 이들 또한 \(0_{\tiny V}\)와 \(0_{\tiny \mathbb{K}}\) 등으로 구별해주어야 하나 문맥상 이들은 명확하게 구별할 수 있으므로 모두 \(0\)으로만 적는다.

따름정리 3 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)의 임의의 원소 \(v\)에 대하여, \((-1)v=-v\)가 항상 성립한다.

증명

다음의 식

\[(-1)v+v=(-1)v+1v=((-1)+1)v=0v=0\]

과 \(V\)에서의 덧셈에 대한 역원의 유일성으로부터 자명하다.

벡터공간의 예시들

이제 벡터공간의 몇 가지 예시를 살펴보자.

예시 4 가장 간단한 벡터공간의 예시는 \(\{0\}\)이다. 이 집합에 더하기 구조를 줄 수 있는 방법은 하나 뿐이고 (즉 \(0+0=0\)), 이 구조 하에서 이 집합은 abelian group의 구조를 갖는다. 뿐만 아니라, 어떤 field \(\mathbb{K}\)를 가져오더라도 이 집합에 스칼라곱을 정의할 수 있는 방법 또한 하나 뿐이며 (즉 \(\alpha 0=0\)), 이렇게 정의된 스칼라곱은 \(\{0\}\)를 \(\mathbb{K}\)-벡터공간으로 만든다. 이를 trivial space이라 부른다.

조금 덜 자명한 예시는 field 그 자체다. 임의의 field \(\mathbb{K}\)에 대하여, \(\mathbb{K}\)는 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이다. \(\mathbb{K}\)는 field이므로, 덧셈에 대해 abelian group이 된다는 것은 자명하다. 여기에 스칼라곱 구조만 주면 충분한데, 이는 그냥 \(\mathbb{K}\)에서의 곱하기 \(\mathbb{K}\times \mathbb{K}\rightarrow \mathbb{K}\)로 주면 된다. 이렇게 정의하면 스칼라곱이 정의 1의 조건들을 모두 만족한다는 것을 확인할 수 있고, 따라서 \(\mathbb{K}\)는 그 자체로 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이다.

더 일반적으로 \(\mathbb{K}\)가 field이고, 다른 어떤 field \(\mathbb{K}'\)가 존재하여 \(\mathbb{K}'\supseteq \mathbb{K}\)라 하자. 그럼 \(\mathbb{K}'\)는 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이 된다. \(\mathbb{K}'\)는 field이므로, 아까 전과 같이 덧셈에 대해 abelian group을 이루며, \(\alpha\in\mathbb{K}\)의 원소와의 스칼라곱은 \(\alpha\)를 \(\mathbb{K}'\)의 원소로 취급한 후 \(\mathbb{K}'\)에서의 곱셈구조를 이용하면 된다. 예를 들어 \(\mathbb{C}\)는 \(\mathbb{R}\)-벡터공간이고, \(\mathbb{R}\)은 \(\mathbb{Q}\)-벡터공간이다.

예시 5 이번에는 field \(\mathbb{K}\)가 주어졌다고 하자. 그럼 유클리드 \(n\)차원 공간은 다음의 \(n\)-순서쌍

\[\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix},\qquad a_i\in\mathbb{K}\text{ for all $i$}\]

들로 이루어진 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이다. 이들 사이의 덧셈과 스칼라곱은 각각

\[\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\\vdots\\a_n+b_n\end{pmatrix},\qquad \alpha\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha a_1\\\alpha a_2\\\vdots\\\alpha a_n\end{pmatrix}\]

으로 정의된다. \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\)이고 \(n=2,3\)일 경우, 이 정의는 우리가 잘 아는 좌표평면과 좌표공간이 된다.

유클리드 공간은 우리가 특히 많이 다룰 대상이다. 위의 예시에서 우리는 순서쌍 \((a_1, a_2, \ldots, a_n)\)이라는 표기법 대신 열로 이루어진 표기법을 사용하고 있으며, 이는 선형대수학의 기본정리와 밀접한 연관이 있다.

하지만 아무리 그럴듯한 이유가 있더라도, 이 표기법을 \(\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n\end{pmatrix}\) 과 같이 본문에서 고집하는 것도 어리석은 일이다. 따라서 본문 중에서는 \((a_1\;a_2\;\cdots\;a_n)^t\)와 같은 표기법 혹은, 고등학교 때의 표기법을 따라 \((a_1,a_2,\ldots, a_n)\)와 같이 쓰기로 한다.

위에서 살펴본 두 개의 벡터공간들은 상당히 구체적인 예시에 속한다. 다음 예시와 같이, 일반적으로 벡터공간은 좌표평면 혹은 좌표공간처럼 시각적으로 표현되지 않는 경우도 있다.

예시 6 \(I\)가 어떤 구간이라 하고, \(I\)에서 \(\mathbb{R}\)로의 함수들의 모임 \(\Fun(I,\mathbb{R})\)을 생각하자. 이제 이 집합 위에, 덧셈과 스칼라곱을 다음의 식

\[f+g:t\mapsto f(t)+g(t),\qquad \alpha f:t\mapsto \alpha f(t)\]

으로 정의하면 \(\Fun(I,\mathbb{R})\)이 벡터공간 구조를 갖는 것을 확인할 수 있다. 즉, \(f+g\)는 임의의 \(t\in I\)를 \(f(t)+g(t)\)라는 값으로 보내는 함수로, \(\alpha f\)는 임의의 \(t\in I\)를 \(\alpha f(t)\)로 보내는 함수로 정의된다.

뿐만 아니라, \(\Fun(I,\mathbb{R})\)의 여러 부분집합들도 \(\mathbb{R}\)-벡터공간이 된다. 예를 들어, \(I\)에서 \(\mathbb{R}\)로의 연속함수들의 모임 \(C(I)\) 또한 \(\mathbb{R}\)-벡터공간이고, 더 일반적으로 \(k\)번째 도함수가 연속인 함수들의 모임 \(C^k(I)\)들의 모임도 \(\mathbb{R}\)-벡터공간이 된다는 것을 확인할 수 있다.

\(\Fun(I,\mathbb{R})\)을 product set \(\mathbb{R}^I\)라 생각하면 예시 6은 예시 5의 자연스러운 일반화로 볼 수도 있다. ([집합론] §집합의 곱, ⁋정의 1)

참고문헌

[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.

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