하우스도르프 공간

이제 우리는 하우스도르프 공간을 정의한다. 그 전에 우선 다음을 정의한다.

점열의 수렴

정의 1 위상공간 \(X\)에 대하여, 함수 \(\mathbb{N} \rightarrow X\)를 \(X\)의 점들로 이루어진 점열_sequence이라 부르고, 이를 \((x_n)_{n\geq 1}\)과 같이 나타낸다. 점열 \((x_n)_{n\geq 1}\)이 \(x\in X\)로 수렴_converge한다는 것은 \(x\)의 임의의 근방 \(U\)가 주어질 때마다, 적당한 \(N\in \mathbb{N}\)이 존재하여 다음 명제

\[n\geq N\implies x_n\in U\]

가 참이도록 할 수 있는 것이다.

이는 미적분학 등에서 이미 다루었던 수열의 수렴의 \(\epsilon\)-\(N\) 정의에서, \(x\)에 가까운 점을 나타내기 위해 \(\epsilon\)-ball 대신 열린집합 \(U\)를 사용한 것만이 다르다. 만일 점열 \((x_n)\)가 \(x\)에 수렴한다면 이를 \(\lim_{n \rightarrow\infty}x_n\)과 같이 적고 싶은 것이 당연하겠지만, 다음 예시에서 이 표기가 잘 정의되지조차 않는다는 것을 알 수 있다.

예시 2 임의의 집합 \(X\)에 trivial topology를 주어 \(X\)를 위상공간으로 생각하자. 그럼 \(X\)의 임의의 점열은 \(X\)의 임의의 점으로 수렴한다.

분리공리들

위의 예시 2와 같은 현상이 일어나는 이유는 직관적으로 \(X\) 위에 정의된 위상이 \(X\)의 점들을 분리시켜줄만큼 충분히 강하지 않기 때문이다. 우리는 위상공간에서 점들을 분리하는 정도에 따라 다양한 종류의 separation axiom_분리공리들을 정의하고 이들 각각을 만족하는 공간들을 분류할 수 있다. 이를 위해 몇 가지 용어를 정리하자.

• 위상공간 \(X\)의 두 점 \(x,y\)가 서로 다르다는 것은 \(x\neq y\)인 것이다.
• 위상공간 \(X\)의 두 점 \(x,y\)가 위상적으로 구별가능_{topologically distinguishable}하다는 것은 \(\mathcal{N}(x)\neq \mathcal{N}(y)\)인 것이다.¹ (§열린집합, §§Neighborhood filter)
• 위상공간 \(X\)의 두 부분집합 \(A,B\)가 분리가능_separated이라는 것은 \(x,y\) 각각이 서로를 포함하지 않는 근방을 갖는 것이다.
• 위상공간 \(X\)의 두 부분집합 \(A,B\)가 근방으로 분리가능_{separated by neighborhoods}이라는 것은 이들이 서로소인 근방을 갖는 것이다.
• 위상공간 \(X\)의 두 부분집합 \(A,B\)가 닫힌근방으로 분리가능_{separated by closed neighborhoods}이라는 것은 이들이 서로소인 닫힌근방을 갖는 것이다.
• 위상공간 \(X\)의 두 부분집합 \(A,B\)가 연속함수로 분리가능_{separated by continuous functions}이라는 것은 적당한 연속함수 \(f:X \rightarrow \mathbb{R}\)이 존재하여 \(A\subseteq f^{-1}(\{0\})\)이고 \(B\subseteq f^{-1}(\{1\})\)인 것이다.
• 위상공간 \(X\)의 두 부분집합 \(A,B\)가 연속함수로 정확히 분리가능_{precisely separated by continuous functions}이라는 것은 적당한 연속함수 \(f:X \rightarrow \mathbb{R}\)이 존재하여 \(A= f^{-1}(\{0\})\)이고 \(B= f^{-1}(\{1\})\)인 것이다.

위의 조건들은 강한 순서대로 나열되어 있다. 즉, 연속함수로 정확히 분리가능한 두 부분집합은 연속함수로 분리가능하고, 연속함수로 분리가능한 두 부분집합은 닫힌근방으로 분리가능하며, 닫힌근방으로 분리가능한 두 부분집합은 근방으로 분리가능하고, 근방으로 분리가능한 두 부분집합은 분리가능하고, 분리가능한 두 점은 위상적으로 구별가능하며 모든 위상적으로 구별가능한 점들은 서로 다르다.

이제 다음을 정의한다.

정의 3 위상공간 \(X\)에 대하여, 다음을 정의한다.

1. \(X\)가 \(T_0\)-space_{\(T_0\)-공간}, 혹은 Kolmogorov space_{콜모고로프 공간}라는 것은 임의의 서로 다른 두 점 \(x,y\)가 위상적으로 구별가능한 것이다.
2. \(X\)가 \(R_0\)-space_{\(R_0\)-공간}이라는 것은 임의의 두 위상적으로 구별가능한 점들이 분리가능한 것이다.
3. \(X\)가 \(T_1\)-space_{\(T_1\)-공간}, 혹은 Fréchet space_{프레셰 공간}라는 것은 임의의 서로 다른 두 점이 분리가능한 것이다. 따라서, \(X\)가 \(T_1\)인 것과 \(X\)가 \(T_0\)이며 \(R_0\)인 것이 동치이다.
4. \(X\)가 \(R_1\)-space_{\(R_1\)-공간}이라는 것은 임의의 두 위상적으로 구별가능한 점들이 근방으로 분리가능한 것이다. 따라서 임의의 \(R_1\)-space는 \(R_0\)-space이다.
5. \(X\)가 \(T_2\)-space_{\(T_2\)-공간}, 혹은 Hausdorff space_{하우스도르프 공간}이라는 것은 임의의 서로 다른 두 점이 근방으로 분리가능한 것이다. 따라서, \(X\)가 \(T_2\)인 것과 \(X\)가 \(T_0\)이며 \(R_1\)인 것이 동치이고, 임의의 \(T_2\)-space는 \(T_1\)이다.
6. \(X\)가 \(T_{2\frac{1}{2}}\)-space_{\(T_{2\frac{1}{2}}\)-공간}, 혹은 Urysohn space_{유리손 공간}이라는 것은 임의의 두 위상적으로 구별가능한 점들이 닫힌근방으로 분리가능한 것이다. 따라서, 임의의 \(T_{2\frac{1}{2}}\)-space는 \(T_2\)이다.
7. \(X\)가 completely \(T_2\)-space_{완전 \(T_2\)-공간}, 혹은 completely Hausdorff space_{완전 하우스도르프 공간}인 것은 임의의 서로 다른 두 점이 연속함수로 분리 가능한 것이다.
8. \(X\)가 regular space_정칙공간이라는 것은 임의의 점 \(x\in X\)와 \(x\)를 포함하지 않는 닫힌집합 \(A\subseteq X\)가 항상 근방으로 분리가능한 것이다.
9. \(X\)가 \(T_3\)-space_{\(T_3\)-공간}, 혹은 regular Hausdorff space_{정칙 하우스도르프 공간}이라는 것은 \(X\)가 \(T_0\)이며 regular인 것이다. 임의의 \(T_3\)-space는 \(T_{2\frac{1}{2}}\)이다.
10. \(X\)가 completely regular space_{완전정칙공간}이라는 것은 임의의 점 \(x\in X\)와 \(x\)를 포함하지 않는 닫힌집합 \(A\subseteq X\)가 항상 연속함수로 분리가능한 것이다.
11. \(X\)가 completely \(T_3\)-space_{완전 \(T_3\)-공간}, 혹은 Tychonoff space_{티코노프 공간}인 것은 \(X\)가 \(T_0\)이고 completely regular인 것이다. 따라서 \(X\)가 completely \(T_3\)이면 completely Hausdorff이고 regular Hausdorff이므로, 이를 completely regular Hausdorff space_{완전 정칙 하우스도르프 공간}라 부르기도 한다.
12. \(X\)가 normal space_정규공간인 것은 임의의 서로소인 두 닫힌집합이 근방으로 분리가능한 것이다.
13. \(X\)가 normal regular space_{정규정칙공간}인 것은 \(X\)가 normal이고 \(R_0\)인 것이다. 따라서 \(X\)가 normal regular라면 \(X\)는 completely regular이다.
14. \(X\)가 \(T_4\)-space_{\(T_4\)-공간}, 혹은 normal Hausdorff space_{정규 하우스도르프 공간}인 것은 \(X\)가 \(T_1\)이며 normal인 것이다. 임의의 \(T_1\)-space는 \(R_0\)이므로 임의의 \(T_4\)-space는 normal regular이고, 따라서 completely regular이다. 한편 임의의 \(T_1\)-space는 \(T_0\)-space이므로 이로부터 임의의 \(T_4\)-space는 completely \(T_3\)인 것을 안다.
15. \(X\)가 completely normal space_{완전정규공간}인 것은 임의의 두 분리가능한 집합이 근방으로 분리가능한 것이다. 그럼 임의의 completely normal space는 normal이다.
16. \(X\)가 completely \(T_4\)-space_{완전 \(T_4\)-공간}인 것은 \(X\)가 completely normal이고 \(T_1\)인 것이다. 따라서 임의의 completely \(T_4\)-space는 \(T_4\)이다.
17. \(X\)가 perfectly normal space인 것은 임의의 두 서로소인 닫힌집합이 연속함수로 정확히 분리가능한 것이다.
18. \(X\)가 perfectly \(T_4\)-space인 것은 \(X\)가 perfectly normal이고 \(T_0\)인 것이다.

하우스도르프 공간

정의 3에서 특히 중요한 것 중 하나는 Hausdorff space이다. 여기에서는 우리의 직관이 잘 성립한다.

명제 4 Hausdorff space \(X\)의 임의의 점열 \((x_n)\)에 대하여, \((x_n)\)가 수렴하는 점은 많아야 하나 존재한다.

증명

결론에 반하여 \((x_n)\)이 두 점 \(x,y\)로 수렴한다 하자. 그럼 \(x\)와 \(y\)의 서로소인 열린근방 \(U,V\)를 각각 잡을 수 있다. 이제 \((x_n)\)이 \(x\)와 \(y\)로 각각 수렴한다는 가정으로부터, 적당한 \(M,N\)이 존재하여

\[m\geq M \implies x_m\in U,\qquad n\geq N\implies x_n\in V\]

이므로 \(K=\max(M,N)\)이라 하면 \(x_K\)는 \(U\)와 \(V\)에 동시에 속해야 하므로 모순이다.

한편, \(X\)가 Hausdorff임을 보일 때에는 다음의 보조정리도 유용하게 사용된다.

보조정리 5 위상공간 \(X\)가 Hausdorff space인 것은 \(X\times X\)의 부분집합

\[\Delta_X=\{(x,x)\mid x\in X\}\]

이 닫힌집합인 것과 동치이다.

증명

우선 \(X\)가 Hausdorff라 가정하자. 그럼 임의의 \((x,y)\not\in\Delta_X\)에 대하여, \(x\neq y\)이므로 \(x\)와 \(y\)의 서로소인 근방 \(U,V\)를 잡을 수 있다. 그럼 \(U\times V\)는 \((x,y)\)를 포함하며 \(\Delta_X\)와 만나지 않는 열린집합이다.

거꾸로 \(\Delta_X\)가 \(X\times X\)의 닫힌집합이라면, \(x\neq y\)인 임의의 \(x,y\in X\)에 대하여 \((x,y)\not\in\Delta_X\)이고, 따라서 \(\Delta_X\)와 만나지 않는 \((x,y)\)의 열린근방이 존재하며, product topology의 base를 생각하면 여기에 포함되는 \(U\times V\) 꼴의 열린집합이 존재한다.

더 일반적으로 \(X\)가 Hausdorff space인 것과, 임의의 index set \(I\)에 대하여 \(X^I=\prod_{i\in I}X\)에서의 diagonal

\[\Delta_X=\{(x_i)_{i\in I}:\text{$x_i=x$ for all $i$, where $x\in X$}\}\]

이 닫힌집합인 것이 서로 동치라는 것을 동일한 논증으로 보일 수 있다. 보조정리 5로부터 다음이 성립한다.

따름정리 6 연속함수 \(f,g:X \rightarrow Y\)에 대하여, 만일 \(Y\)가 Hausdorff라면 다음 집합

\[E=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}\]

는 \(X\)의 닫힌집합이다.

증명

\(X\)에서 \(Y\times Y\)로의 연속함수 \(x\mapsto (f(x), g(x))\)를 생각하면 주어진 집합은 \(Y\times Y\)의 닫힌집합 \(\Delta_Y\)의 이 연속함수에 대한 preimage이다.

따름정리 7 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)에 대하여, 만일 \(Y\)가 Hausdorff라면 다음 집합

\[\Gamma(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\]

은 \(X\times Y\)의 닫힌집합이다.

증명

\(X\times Y\)에서 \(Y\)로의 두 연속함수

\[(x,y)\mapsto f(x),\quad (x,y)\mapsto y\]

를 생각한 후 따름정리 6을 적용하면 된다.

하우스도르프 공간의 부분공간과 곱

임의의 Hausdorff space \(X\)에 대하여, \(X\)의 부분공간 \(A\)도 Hausdorff인 것은 쉽게 확인할 수 있다. 이는 임의의 \(x,y\in A\)가 주어졌을 때, 이들의 \(X\)에서의 서로소인 열린근방 \(U,V\)를 잡으면 \(U\cap A, V\cap A\)가 \(A\)에서의 \(x,y\)의 서로소인 열린근방이 되기 때문이다. 한편 Hausdorff space의 곱 또한 Hausdorff이다.

명제 8 공집합이 아닌 \(X_i\)들에 대하여, \(X=\prod_{i\in I}X_i\)가 Hausdorff인 것과 \(X_i\)들 각각이 Hausdorff인 것이 동치이다.

증명

우선 \(X_i\)들이 Hausdorff이고 \(x,y\in X\)가 주어졌다 하면 \(x_i\neq y_i\)이도록 하는 \(i\)가 존재하고, 이러한 \(X_i\) 안에서 \(x_i\)와 \(y_i\)를 분리하는 열린근방 \(U,V\)를 잡자. 그럼 \(i\)번째 성분만 각각 \(U,V\)이고 나머지 \(j\)번째 성분들은 \(X_j\)들인 \(X=\prod X_i\)의 base를 생각하면 이들이 \(x,y\)를 분리한다.

거꾸로 \(X\)가 Hausdorff라면, 임의로 택한 \(X_j\)의 원소들 \(x_j\)에 대하여,

\[\prod_{j\in I} A_j,\qquad A_j=\begin{cases}A_i&i=j\\{x_j\}&\text{otherwise}\end{cases}\]

으로 정의된 \(\prod A_j\)는 \(X_i\)와 위상동형인 \(X\)의 부분집합이다.

하우스도르프 공간의 몫공간

일반적으로 Hausdorff space \(X\)의 몫공간 \(X/R\)이 Hausdorff space인 것은 아니다. 뿐만 아니라 \(X/R\)이 Hausdorff일 필요충분조건 또한 쉽게 알아볼 수 있는데, \(X/R\)에서의 열린집합은 \(R\)-saturated인 \(X\)의 열린집합에 일대일로 대응되므로 \(X/R\)이 Hausdorff이기 위해서는 서로 다른 equivalence에 속하는 \(x,y\in X\)에 대해, 이들을 분리하는 \(R\)-saturated open set이 존재하는 것과 동치이다. 특히 다음이 성립한다.

명제 9 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)에 대하여, 만일 \(Y\)가 Hausdorff라면 다음 동치관계

\[x\sim y\iff f(x)=f(y)\]

에 대하여, 몫공간 \(X/{\sim}\)은 Hausdorff이다.

1. 이는 \(x\)와 \(y\)를 각각 포함하는 열린집합들의 모임이 서로 같지 않다는 것과 동치이다. ↩