§아핀 토릭 다양체, ⁋정의 5에서 정의한 affine toric variety는 하나의 strongly convex rational polyhedral cone \(\tau\)에 대응하는 대수다양체 \(U_\tau\)이다. 이는 §아핀 토릭 다양체, ⁋예시 14에서 살펴봤듯, torus action 구조를 가지고 있는 algebraic variety인 것으로 생각할 수 있으며 그 정의에 의해 적당한 ring의 \(\Spec\)이므로 affine variety이다.
이번 글에서 우리는 affine toric variety들을 붙여 일반적인 toric variety를 얻어내는 과정을 살펴볼 것이다. 구체적으로, 우리는 cone \(\sigma\)의 face \(\tau\)에 해당하는 affine toric variety \(U_\tau\)가 \(U_\sigma\)의 principal open set인 것을 보았는데 (§아핀 토릭 다양체, ⁋명제 13), 바꿔말하면 두 cone이 하나의 face를 공유한다면 이는 각각의 cone이 정의하는 affine toric variety들로의 inclusion 또한 정의할 것이고, 따라서 이를 통해 gluing을 해 줄 수 있게 된다.
Fan의 정의
위와 같이 affine toric variety들을 이어붙이기 위해서는 각각의 cone들이 서로 어떻게 만나는지를 제어하는 조합론적인 구조가 필요하다. 이를 위해 우리는 fan을 정의한다.
정의 1 Lattice \(N\)에 대해, \(N_\mathbb{R}\)에 정의된 fan \(\Sigma\)는 다음 조건을 만족하는 strongly convex rational polyhedral cone들의 모임이다:
- \(\Sigma\)에 속하는 임의의 cone \(\tau\)의 face도 \(\Sigma\)에 속한다.
- \(\Sigma\)에 속하는 임의의 두 cone \(\tau_1, \tau_2\)의 교집합 \(\tau_1 \cap \tau_2\)는 각각의 face이다.
둘째 조건은 정의 3에서 위의 과정을 통해 gluing을 할 때 필요한 것으로, 서로 다른 두 cone \(\tau_1, \tau_2\)가 그들의 공통 face에서만 만나도록 강제해준다. 한편 첫 번째 조건은 fan이 각 cone의 모든 면을 포함하므로, 일종의 closedness를 요구하는 것으로 볼 수 있다.
예시 2 \(N = \mathbb{Z}^2\)에서 원점을 중심으로 방사형으로 세 개의 2차원 cone \(\tau_0, \tau_1, \tau_2\)가 \(\mathbb{R}^2\)를 덮는 fan을 생각할 수 있다. 가령 세 개의 벡터 \(e_1, e_2, -e_1-e_2\)를 생각한 후, 이들이 만드는 세 개의 cone을 생각하자.
각각의 cone은 두 개의 반직선 원소 \(\rho_i, \rho_{i+1}\)에 의해 생성되며, 이러한 반직선들은 1차원 cone들이 된다. 원점 \(\{0\}\) 자체는 0차원 cone으로서 모든 fan에 포함된다. 이 fan은 \(\mathbb{P}^2\)의 toric variety를 정의하는 가장 기본적인 예시이다.
토릭 다양체의 정의
이제 우리는 fan \(\Sigma\)가 주어졌을 때 이로부터 algebraic variety \(X_\Sigma\)를 정의할 수 있다. 사실 이를 위한 기본적인 도구는 이미 전부 설명했던 것이며, 오직 정의 1의 언어만이 추가로 필요했던 것이다. 이를 만드는 흐름을 명확한 수학적 언어로 정리하자면, fan \(\Sigma\)가 주어졌다 하고, 각각의 cone \(\tau \in \Sigma\)에 대하여 §아핀 토릭 다양체, ⁋정의 5에 의해 affine toric variety \(U_\tau\)를 얻는다. 이 때, 두 cone \(\tau_1, \tau_2 \in \Sigma\)가 공통 face \(\tau_1 \cap \tau_2\)를 가질 때, §아핀 토릭 다양체, ⁋명제 13에 의해 \(U_{\tau_1 \cap \tau_2}\)는 \(U_{\tau_1}\)과 \(U_{\tau_2}\) 모두의 principal open subset이 되며, 따라서 이들 사이의 isomorphism, inclusion
\[U_{\tau_1} \supset U_{\tau_1 \cap \tau_2} \cong U_{\tau_2 \cap \tau_1} \subset U_{\tau_2}\]이 존재하며, 이를 통해 \(U_\tau\)들을 이어붙일 수 있다.
정의 3 Fan \(\Sigma\)에 대하여, affine toric variety들 \(\{U_\tau\}_{\tau \in \Sigma}\)를 위에서 기술한 방식으로 이어붙여 얻어지는 algebraic variety를 \(\Sigma\)가 정의하는 toric variety토릭 다양체라 하며, \(X_\Sigma\)로 적는다.
그럼 다음은 §아핀 토릭 다양체, ⁋명제 15을 일반화하는 것이다.
명제 4 Toric variety \(X_\Sigma\)는 normal, separated algebraic variety이다.
증명
\(X_\Sigma\)의 normality는 각 affine chart \(U_\tau\)가 §아핀 토릭 다양체, ⁋명제 15에 의해 normal이고, 이 성질이 gluing에 의해 보존되기 때문에 얻어진다. Separatedness를 보이기 위해서는 diagonal morphism \(\Delta: X_\Sigma \to X_\Sigma \times X_\Sigma\)의 image가 닫힌 집합임을 확인하면 된다. 각 affine chart 위에서 이는 두 cone의 교집합이 face임을 보장하는 fan의 두 번째 조건에 의해 성립한다.
Toric variety \(X_\Sigma\)가 affine toric variety로부터 물려받는 중요한 성질 중 하나는 algebraic torus \(T_N\)을 열린 조밀한 부분집합으로 포함한다는 것이다. (§아핀 토릭 다양체, ⁋명제 11) 실제로, 0차원 cone \(\{0\} \in \Sigma\)에 대응하는 affine chart \(U_{\{0\}}\)는 \(T_N\)과 동형이며, 다른 모든 \(U_\tau\)는 이를 열린 부분집합으로 포함한다. 따라서 \(T_N \subset X_\Sigma\)는 open dense embedding을 정의한다.
§아핀 토릭 다양체, ⁋명제 10에서 보았듯이, 각 affine toric variety \(U_\tau\) 위에는 algebraic torus \(T_N\)의 작용이 자연스럽게 정의된다. 우리는 해당 글에서, cone의 inclusion이 유도하는 affine toric variety들 사이의 inclusion이 torus action에 대해 invariant하다는 것을 살펴보았으므로, 이 작용은 gluing을 통해 \(X_\Sigma\) 전체로 확장된다.
명제 5 임의의 fan \(\Sigma\)에 대하여 toric variety \(X_\Sigma\) 위에는 algebraic torus \(T_N\)의 작용이 자연스럽게 정의된다. 이 작용 하에서 \(T_N \subset X_\Sigma\)는 open dense \(T_N\)-invariant subset이며, 이 위에서 정의된 \(T_N\)의 자기 자신 위의 action이 \(X_\Sigma\) 위의 작용으로 확장된다.
증명
각각의 cone \(\tau \in \Sigma\)에 대해, \(U_\tau\) 위의 \(T_N\)-action은 §아핀 토릭 다양체, ⁋명제 10에 의해 정의된다. 두 affine chart \(U_{\tau_1}\)과 \(U_{\tau_2}\)의 교집합 \(U_{\tau_1 \cap \tau_2}\) 위에서 이들 작용은 일치하므로, 이들은 \(X_\Sigma\) 전체에서 well-defined한 \(T_N\)-action을 정의한다. 한편 \(\{0\} \in \Sigma\)에 대응하는 chart \(U_{\{0\}} \cong T_N\)은 열린 조밀한 부분집합이며, \(T_N\)의 자기작용은 이 chart 위에서 left multiplication으로 주어지므로 \(X_\Sigma\) 위의 작용으로 자연스럽게 확장된다.
만일 fan \(\Sigma\)가 \(\bigcup_{\tau \in \Sigma} \tau = N_\mathbb{R}\)을 만족한다면 우리는 이를 complete완전 fan이라 부른다. 이 경우 \(X_\Sigma\)는 complete완비 algebraic variety, 즉 \(\Spec(\mathbb{C})\) 위에서 proper한 variety가 됨이 알려져 있다. Completeness는 대수기하에서 compactness에 대응하는 개념이므로, 우리는 이 경우 \(X_\Sigma\)를 \(T_N\)의 equivariant compactification이라 부른다.
이 작용에 의한 orbit들의 구조는 fan의 조합론과 밀접하게 연관된다. 구체적으로, \(d\)-차원 cone \(\tau \in \Sigma\)에 대응하는 orbit \(O(\tau)\)는 차원 \(n-d\)의 torus \((\mathbb{C}^\ast)^{n-d}\)와 isomorphic하며, 특히 \(n\)-차원 cone, 즉 maximal cone에 대응하는 orbit는 0차원, 즉 \(T_N\)-action의 fixed point가 된다.
Normal fan과 projective toric variety
지금까지는 임의의 fan \(\Sigma\)로부터 toric variety \(X_\Sigma\)를 구성하는 방법을 살펴보았다. 이제 우리는 특별한 종류의 fan, 즉 polytope으로부터 자연스럽게 얻어지는 normal fan에 대해 논의한다. 이는 projective toric variety를 만드는 핵심적인 방법이다.
Lattice \(M\)의 dual lattice가 \(N\)이고, \(M_\mathbb{R}\)의 full-dimensional convex lattice polytope \(P\)를 생각하자. \(P\)의 각 facet \(F^\prime\)에 대하여, \(F^\prime\)이 결정하는 hyperplane에 수직이고 polytope \(P\)의 내부를 향하는 \(N\)의 원소들 중, \(v = k v^\prime\) (\(k > 1\) 정수, \(v^\prime \in N\)) 꼴로 분해되지 않는 유일한 lattice vector를 \(F^\prime\)의 primitive inner normal vector \(u_{F^\prime} \in N\)이라 부른다.
정의 6 Polytope \(P\)의 normal fan \(\Sigma_P\)는, \(P\)의 각 면 \(F\)에 대해 \(F\)를 포함하는 모든 facet \(F^\prime\)의 primitive inner normal vector \(u_{F^\prime}\)들이 생성하는 cone \(\tau_F\)를 모은 것
\[\Sigma_P = \{\tau_F \mid F \text{ is a face of } P\}\]으로 정의된다.
우리의 첫 번째 주장은 이것이 실제로 fan이 되고, 따라서 toric variety를 정의한다는 것이다.
명제 7 위의 정의에 의해 얻어진 \(\Sigma_P\)는 실제로 fan이다. 즉, \(\Sigma_P\)는 정의 1의 두 조건을 모두 만족한다.
증명
\(\Sigma_P\)의 임의의 원소 \(\tau_F\)는 primitive inner normal vector들의 \(\mathbb{R}_{\ge 0}\)-linear combination으로 생성되므로 strongly convex rational polyhedral cone이다. 먼저 face 조건을 확인하자. \(\tau_F\)의 face는 \(F\)의 상위 면 \(F^\prime \supseteq F\)에 대응하며, 이는 \(\tau_{F^\prime} \in \Sigma_P\)가 되므로 첫 번째 조건이 만족된다. 두 cone \(\tau_{F_1}, \tau_{F_2} \in \Sigma_P\)의 교집합을 생각하자. \(\tau_{F_1} \cap \tau_{F_2}\)는 \(F_1\)과 \(F_2\)의 교집합을 포함하는 가장 작은 면 \(F\)에 대응하는 cone \(\tau_F\)와 같다. 이는 \(\tau_{F_1}\)과 \(\tau_{F_2}\) 모두의 face가 되므로, 두 번째 조건도 만족된다.
따라서 normal fan은 toric variety \(X_{\Sigma_P}\)를 정의한다. 우리가 다음으로 살펴볼 것은 이렇게 얻어진 toric variety가 단순한 toric variety가 아닌 projective variety가 된다는 점이며, 더 나아가 projective인 toric variety는 사실상 모두 이 방식으로 얻어진다는 것이다. 이러한 양방향 대응을 정확히 기술하기 위해서는 toric variety 위의 line bundle과 polytope 사이의 관계를 먼저 정리해두는 것이 좋다.
이미 명제 5 직후에 살펴본 것처럼, \(X_\Sigma\)의 stratum 구조는 fan \(\Sigma\)의 cone들과 대응된다. 특히 0차원 cone \(\{0\}\)은 open dense torus \(T_N \subset X_\Sigma\)에, 1차원 cone \(\rho \in \Sigma(1)\)들 (여기서 \(\Sigma(1)\)은 \(\Sigma\)의 1차원 cone들의 집합)은 각각 codimension 1의 \(T_N\)-invariant prime divisor \(D_\rho \subset X_\Sigma\)에 대응된다. 따라서 free abelian group \(\bigoplus_\rho \mathbb{Z} D_\rho\)가 \(X_\Sigma\) 위의 \(T_N\)-invariant Weil divisor 전체를 기술한다.
우리가 관심있는 것은 toric variety의 line bundle이므로, 우리는 Cartier divisor들에 집중해야 한다. Cartier divisor를 piecewise linear function의 언어로 기술하고 line bundle과 잇는 자세한 논의는 다음 글인 §토러스 인자와 선다발에서 다룰 것이지만, 이번 글에서의 논의를 위해 우리는 우선 §토러스 인자와 선다발, ⁋명제 6의 결과를 먼저 번역해오기로 한다.
이에 따르면 \(T_N\)-invariant Weil divisor \(D = \sum_\rho a_\rho D_\rho\)가 Cartier일 필요충분조건은, 각 maximal cone \(\sigma \in \Sigma\)에 대해 어떤 \(m_\sigma \in M\)이 존재하여 \(\sigma\)의 모든 ray \(\rho\)에 대해 \(a_\rho = -\langle m_\sigma, v_\rho \rangle\)이 성립하는 것이다. 여기서 \(v_\rho\)는 \(\rho\)의 primitive generator이다. 이러한 Cartier divisor \(D\)에 대해 polytope \(P_D \subset M_\mathbb{R}\)을
\[P_D = \{u \in M_\mathbb{R} \mid \langle u, v_\rho \rangle \ge -a_\rho \text{ for all } \rho \in \Sigma(1)\}\]으로 정의하면, 위 compatibility는 정확히 \(P_D\)의 vertex들이 lattice element \(m_\sigma\)로 주어지는 것에 대응되며, 따라서 \(P_D\)는 lattice polytope이 된다. 거꾸로 lattice polytope \(P\)로부터 normal fan \(\Sigma_P\)를 얻는 과정은 정의 6에서 본 것과 같다. 이 양방향이 toric variety의 projectivity와 polytope 사이를 잇는 다리가 된다.
명제 8 Toric variety \(X_\Sigma\)가 projective variety인 것은 \(\Sigma\)가 어떤 full-dimensional lattice polytope \(P\)의 normal fan, 즉 \(\Sigma = \Sigma_P\)인 것과 필요충분조건이다.
증명
(\(\Rightarrow\)) \(X_\Sigma\)가 projective라면 그 위에 very ample line bundle \(\mathcal{L}\)이 존재하며, 위의 대응에 의해 이는 \(T_N\)-invariant Cartier divisor \(D\)로 표현된다. 앞서 본 바, 이로부터 얻어지는 \(P_D\)는 lattice polytope이며, \(\mathcal{L}\)이 ample (특히 very ample)이므로 §토러스 인자와 선다발, ⁋명제 9에 의해 대응되는 piecewise linear function \(\psi_D\)는 strictly convex이다. 이로부터 \(P_D\)의 normal fan이 \(\Sigma\)와 일치함을 얻는다.
(\(\Leftarrow\)) \(\Sigma = \Sigma_P\)라 하자. Polytope \(P\)의 데이터 — 즉 각 ray \(\rho\)에 대해 \(a_\rho = -\min_{u \in P}\langle u, v_\rho\rangle\) — 로부터 \(T_N\)-invariant divisor \(D_P = \sum_\rho a_\rho D_\rho\)를 얻는다. 여기서 \(P\)의 각 vertex가 lattice point라는 사실이 정확히 앞의 compatibility 조건을 충족시켜 \(D_P\)가 Cartier가 되며, 충분히 큰 \(k > 0\)에 대해 \(kD_P\)가 very ample이 된다. 이때 \(kP\)의 lattice point들로 정의되는 monomial map \(\phi_{kP}: T_N \to \mathbb{P}^s\)의 image의 Zariski closure가 \(X_\Sigma\)와 동형이므로 (명제 9 참고), \(X_\Sigma\)는 projective이다.
이러한 동치조건을 만족하는 toric variety \(X_\Sigma = X_{\Sigma_P}\)를 projective toric variety라 부르며, polytope \(P\)를 강조하여 \(X_P\)로 적기도 한다. 이 결과는 toric variety의 기하학적 성질이 fan의 조합론적 성질로 완전히 기술됨을 보여주는 대표적인 예시이다.
한편, polytope \(P\)로부터 projective toric variety \(X_P\)를 구성하는 또 다른 방법은 monomial map을 통해 명시적인 embedding을 주는 것이다. 핵심적인 아이디어는 \(X_P\) 안에 \(T_N\)이 open dense subset으로 들어있다는 것이며, 따라서 \(T_N\)만 \(\mathbb{P}^s\)에 적당히 넣어주면 나머지 부분이 가야 할 곳은 자동으로 정해진다는 것이다.
\(P \subset M_\mathbb{R}\)의 lattice point들, 즉 \(P \cap M = \{m_0, m_1, \ldots, m_s\}\)를 생각하자. 이들을 통해 monomial map
\[\phi_P: T_N \longrightarrow \mathbb{P}^s, \qquad t \longmapsto [\rchi^{m_0}(t) : \rchi^{m_1}(t) : \cdots : \rchi^{m_s}(t)]\]을 정의할 수 있다. 여기서 \(\rchi^m: T_N \to \mathbb{C}^\ast\)는 \(m \in M\)에 대응하는 character이다.
명제 9 위에서 정의한 \(\phi_P\)의 image의 Zariski closure가 \(X_P\)와 isomorphic다. 즉, \(X_P \cong \overline{\phi_P(T_N)}\)가 성립한다.
증명
\(P\)가 very ample lattice polytope일 때 (즉, \(X_P\) 위에서 대응되는 divisor \(D_P\)가 very ample line bundle을 정의할 때), 각 vertex \(v\)에 대응하는 affine chart는 monomial들 \(\rchi^{m_i - m_v}\)들로 생성되는 coordinate ring을 갖는다. 여기서 \(m_v\)는 vertex \(v\)에 대응하는 lattice point이다. 이러한 affine chart들은 \(\mathbb{P}^s\)의 표준 affine chart들과 자연스럽게 호환되며, 이들의 gluing이 \(\overline{\phi_P(T_N)}\)를 정의한다. 일반적인 경우 \(kP\)가 very ample이 되도록 하는 \(k > 0\)를 선택하면, polytope을 양의 정수배로 확대해도 normal fan은 변하지 않으므로 \(\Sigma_{kP} = \Sigma_P\), 따라서 \(X_{kP} = X_P\)이며 embedding은 \(kP\)를 사용하여 위와 같이 정의된다.
이 embedding은 toric variety의 조합론적 정의와 대수기하학적 정의 사이의 연결고리를 다시 한 번 보여준다. 즉, polytope \(P\)의 lattice point의 개수는 (projective) toric variety를 projective space로 embed했을 때 그 ambient projective space \(\mathbb{P}^s\)의 차원을 결정하는 것이다.
이제 우리는 가장 기본적인 projective toric variety, 즉 projective space \(\mathbb{P}^n\)의 예시를 살펴본다.
예시 10 Lattice \(M = \mathbb{Z}^n\)에서 standard simplex \(\Delta_n \subset M_\mathbb{R}\)를
\[\Delta_n = \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_i \ge 0,\; x_1 + \cdots + x_n \le 1\}\]으로 정의한다. 이 polytope의 꼭짓점은 \(0, e_1, \ldots, e_n\)이며, facet들은 좌표 초평면 \(\{x_i = 0\}\)과 \(\{x_1 + \cdots + x_n = 1\}\)로 주어진다. 각 facet의 primitive inner normal vector는 dual lattice \(N = \mathbb{Z}^n\)의 원소로
\[v_i = e_i \quad (i = 1, \ldots, n), \qquad v_0 = -e_1 - \cdots - e_n\]이다. 따라서 normal fan \(\Sigma_{\Delta_n}\)의 ray는 \(\rho_i = \mathbb{R}_{\ge 0} v_i\) (\(i = 0, 1, \ldots, n\))으로 \(n+1\)개이며, 그 maximal cone들은 이들 \(n+1\)개 ray 중 \(n\)개를 골라 생성되는 \(n\)차원 cone들이며, \(n=2\)인 경우는 예시 2에서 그림과 함께 살펴보았다.
이들의 gluing을 직접 확인하여 이것이 \(\mathbb{P}^n\)이 나오는 것을 직접 확인할 수 있으나, 그 대신 \(\Delta_n\)의 lattice points를 관찰하자. \(\Delta_n\)의 lattica point들은 정확히 꼭짓점들 \(\{0, e_1, \ldots, e_n\}\)이므로, 대응하는 monomial map은
\[\phi_{\Delta_n}: (\mathbb{C}^\ast)^n \longrightarrow \mathbb{P}^n, \qquad (t_1, \ldots, t_n) \longmapsto [1 : t_1 : \cdots : t_n]\]가 되는 것을 확인할 수 있다.
매끄러움과 특이점 분해
한편 §아핀 토릭 다양체, ⁋명제 9에서 affine toric variety \(U_\sigma\)의 smoothness가 cone \(\sigma\)의 조합론적 조건으로 판정됨을 보았다. \(X_\Sigma\)는 affine chart \(U_\tau\)의 gluing이므로, 이는 곧바로 일반 toric variety의 판정으로 일반화할 수 있다.
명제 11 Toric variety \(X_\Sigma\)가 smooth algebraic variety인 것은 fan \(\Sigma\)의 모든 cone \(\tau \in \Sigma\)가 smooth cone인 것과 필요충분조건이다.
혹은 더 간단하게 \(\Sigma\)의 모든 maximal cone이 smooth임을 확인하면 나머지 face의 smoothness는 이로부터 따라오게 된다.
가령 예시 2의 \(\mathbb{P}^2\)의 fan에서 세 maximal cone은 인접한 두 ray (\(\{e_1, e_2\}, \{e_2, -e_1-e_2\}, \{-e_1-e_2, e_1\}\))로 만든 \(2 \times 2\) 행렬의 determinant가 모두 \(\pm 1\)이므로 \(\mathbb{P}^2\)는 smooth이다. 반면 같은 lattice \(\mathbb{Z}^2\)에서 ray \((-1,-1), (2,-1), (-1,2)\) 세 개로 만든 fan을 생각하면 인접한 두 ray의 행렬식이 \(\pm 3\)으로, 그 toric variety는 세 maximal cone마다 \(\mathbb{Z}/3\) quotient singularity를 갖는다.
이러한 singular toric variety에 대한 resolution of singularities 또한 fan의 refinement로 명시적이고 조합론적인 방식으로 이뤄진다. 우선 fan \(\Sigma'\)가 \(\Sigma\)의 refinement라는 것은 두 fan의 support가 같고 \(\Sigma'\)의 모든 cone이 \(\Sigma\)의 어떤 cone에 포함되는 것이다. 이 경우 자연스러운 toric morphism
\[\pi: X_{\Sigma'} \to X_\Sigma\]가 proper birational map으로 정의되며, 만일 \(\Sigma'\)가 모두 smooth cone으로만 구성된다면 \(\pi\)는 toric resolution of singularities가 된다. 임의의 fan에 대해 이러한 refinement는 항상 존재하며, 그 구성의 핵심은 다음과 같다.
- Non-simplicial cone은 star subdivision 으로 simplicial하게 만들 수 있다. 이는 내부 lattice point에서 적절하게 cone을 나눠주는 것으로 생각하면 된다.
- Simplicial이지만 determinant가 \(\pm 1\)이 아닌 cone \(\sigma\)는 적절한 lattice point를 새 ray로 추가하여 더 작은 cone들로 쪼개면 각 부분의 determinant가 줄어들며, 유한 번의 반복으로 모두 smooth cone이 된다.
위 \(\mathbb{P}^2/(\mathbb{Z}/3)\)의 예에서는, 세 maximal cone 각각의 내부에 위치한 lattice point \(e_1, e_2, -e_1-e_2\)를 새 ray로 추가하면 모든 maximal cone의 행렬식이 모두 \(\pm 1\)로 떨어지며 결과는 정확히 \(\mathbb{P}^2\)의 표준 fan이 된다. 즉 \(\mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^2/(\mathbb{Z}/3)\)가 이 quotient의 (minimal) toric resolution이다.
참고문헌
[Ful] William Fulton, Introduction to Toric Varieties, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, 1993.
[CLS] David Cox, John Little, Hal Schenck, Toric Varieties, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2011.
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