수학에서 특정한 대상들을 정의한 후에는 보통 이들을
물론 이를 그대로 벡터공간으로 가져올 수는 없다. 만일 집합으로서 같은 크기를 갖는 두 벡터공간을 같은 것으로 생각한다면, [집합론] §자연수와 무한집합, ⁋따름정리 15에 의하여 무한한 field \(\mathbb{K}\) 위에서 정의된 유한차원 벡터공간들은 모두 같은 것으로 생각해야 한다. 또 일반적으로 함수는 벡터공간의 덧셈과 스칼라곱을 유지하지 않으므로 어쨌든 벡터공간을 다루기엔 부적절한 것은 분명하다.
동형인 벡터공간
따라서 우리는 다음과 같이 정의한다.
정의 1 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\)와 linear map \(L:V\rightarrow W\)가 주어졌다 하자. 이 때 \(L\)이 isomorphism동형사상이라는 것은 또 다른 linear map \(L':W\rightarrow V\)가 존재하여 \(L\circ L'=\id_W\)이고 \(L'\circ L=\id_V\)인 것이다. 이렇게 \(V\)와 \(W\) 사이의 isomorphism이 존재할 경우, \(V,W\)가 isomorphic동형하다 하고 이를 \(V\cong W\)로 나타낸다.
정의에 의해 임의의 isomorphism은 두 집합 \(V,W\) 사이의 전단사함수이다. 뿐만 아니라, 다음 보조정리에 의하여 그 역 또한 성립한다.
보조정리 2 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\), \(W\)에 대하여 \(L:V\rightarrow W\)가 isomorphism이라 하자. 그럼 \(L\)의 역함수 \(L^{-1}\)이 존재하며, \(L^{-1}\)은 linear이다.
증명
\(L^{-1}\)이 존재한다는 것은 집합론에서의 결과이며, 이 때 \(L\circ L^{-1}=\id_W\)이고 \(L^{-1}\circ L=\id_V\)이다.
따라서 \(L^{-1}\)이 linear임만 보이면 충분하다. 우선 임의의 \(\alpha\in\mathbb{K}\), \(w\in W\)에 대하여, \(L^{-1}(\alpha w)=\alpha L^{-1}(w)\)임을 보여야 한다. 임의의 \(w\in W\)에 대하여 \(L(v)=w\)이도록 하는 \(v\in V\)가 유일하게 존재하고, 이 때 \(L(\alpha v)=\alpha L(v)=\alpha w\)이다. 이제
\[L^{-1}(\alpha w)=L^{-1}(L(\alpha v))=\alpha v=\alpha L^{-1}(w).\]이와 비슷하게 \(L^{-1}(w_1+w_2)=L^{-1}(w_1)+L^{-1}(w_2)\) 또한 보일 수 있다.
다음 명제는 [집합론] §기수, ⁋정의 1 이후에 간략하게 언급한 것과 동일한 집합론적 문제가 있다. 즉,
명제 3 정의 1의 관계 \(\cong\)는 동치관계이다.
증명
관계 \(\cong\)이 reflexive, symmetric, transitive함을 보여야 한다.
- 우선 임의의 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)에 대하여 \(V\cong V\)임은 자명하다. \(\id_V:V\rightarrow V\)가 \(V\)에서 \(V\)로의 isomorphism이 되기 때문이다.
- 앞선 보조정리 2에 의해 \(\cong\)가 symmetric이라는 것이 자명하다.
- 마지막으로 \(U\cong V\), \(V\cong W\)라 하자. 그럼 두 isomorphism \(L_1:U\rightarrow V\), \(L_2: V\rightarrow W\)가 존재하여
위 명제는 자명해보이지만, 모든 유한차원 \(\mathbb{K}\)-벡터공간을 분류하는 작업 중 덜 자명한 부분을 증명해준다.
따름정리 4 두 \(n\)차원 \(\mathbb{K}\)-벡터공간은 항상 isomorphic하다.
증명
§선형사상, ⁋에시 14는 임의의 \(n\)차원 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)가 \(V\cong \mathbb{K}^n\)을 만족한다는 뜻이다. 또 다른 \(n\)차원 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(W\)에 대하여도 \(W\cong \mathbb{K}^n\)이므로, \(\cong\)가 동치관계라는 것으로부터 \(V\cong W\)임을 안다.
물론 이 역 또한 성립하며, 따라서 유한차원 벡터공간의 구조를 결정하는 유일한 불변량은 벡터공간의 차원임을 알 수 있다.
명제 5 두 isomorphic한 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\)와 isomorphism \(L:V\rightarrow W\)가 주어졌다 하자. 만약 \(\mathcal{B}\)가 \(V\)의 basis라면, \(L(\mathcal{B})\)도 \(V\)의 basis가 된다.
증명
Rank-nullity theorem
한편, 주어진 linear map \(L\)에 대하여 \(\ker L\)과 \(\im L\)들은 각각 \(L\)이 단사함수, 전사함수로부터 얼마나 떨어져있는지를 측정해주는 공간이었다. 위에서 벡터공간을 결정짓는 유일한 불변량이 차원 뿐임을 살펴보았으므로 \(\ker L\)과 \(\im L\)을 모두 보는 대신, 이들의 차원만 봐도 충분하다.
정의 6 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\)와 linear map \(L:V\rightarrow W\)이 주어졌다 하자. 그럼
- \(\dim\ker L\)을 \(L\)의 nullity라 하고, \(\nullity L\)로 표기한다.
- \(\dim\im L\)을 \(L\)의 rank라 하고, \(\rank L\)로 표기한다.
다음 두 명제들은 새로 번호를 붙이기도 아깝다.
- \(L\)이 단사인 것은 \(\nullity L=0\)인 것과 동치이다.
- \(L\)이 전사인 것은 \(\rank L=\dim W\)인 것과 동치이다.
뿐만 아니라, 다음의 정리가 성립한다.
정리 7 (Rank-nullity theorem) 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\)와 linear map \(L:V\rightarrow W\)이 주어졌다 하자. 그럼 다음의 식
\[\rank L+\nullity L=\dim V\]이 항상 성립한다.
증명
편의를 위해 \(\dim V=n\), \(\nullity L=k\)라 적자. 다음 두 경우는 자명하다.
- 만일 \(n=k\)라면, \(\ker L\)은 \(V\)와 같은 차원을 가지는 부분공간이므로 \(\ker L=V\)가 성립한다. 따라서 \(L=0\)이고, \(\im L=0\)이므로 \(\rank L=0\)이 되어 정리가 성립한다.
- 이와 비슷하게 만일 \(k=0\)이라면 \(\ker L=0\)이므로 \(L\)은 단사다. 따라서 \(L\)의 공역을 \(W\)에서 \(\im L\)로 제한한다면 \(L\)은 \(V\)와 \(\im L\) 사이의 전단사인 linear map이 된다. 따라서 \(\dim V=\dim\im L=\rank L\)이 된다.
이제 \(0 < k < n\)인 경우만 보이면 충분하다. \(\left\{x_1,x_2,\ldots,x_k\right\}\)가 \(\ker L\)의 basis라 하자. 이 집합은 \(V\)의 일차독립인 부분집합이므로, 이를 확장하여 \(V\)의 basis \(\left\{x_1,x_2,\ldots,x_k,x_{k+1},\ldots,x_n\right\}\)을 만들 수 있다. 그럼 집합 \(\left\{L(x_{k+1}),L(x_{k+2}),\ldots,L(x_n)\right\}\)이 \(\im L\)의 basis가 된다는 것을 다음과 같이 보일 수 있다.
우선 이 집합은 일차독립인데, 만일
\[\alpha_{k+1}L(x_{k+1})+\alpha_{k+2}L(x_{k+2})+\cdots+\alpha_nL(x_n)=0\]이 성립한다면 linearity에 의해 \(L(\sum_{i=k+1}^n \alpha_i x_i)=0\)이므로 \(\sum_{i=k+1}^n\alpha_ix_i\in\ker L\)이고, 따라서 어떤 \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\ldots\), \(\alpha_k\)에 대하여
\[\sum_{i=k+1}^n\alpha_ix_i=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_kx_k\]혹은
\[\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_kx_k-\alpha_{k+1}x_{k+1}-\cdots-\alpha_nx_n=0\]가 성립한다. 이제 \(\left\{x_1,x_2,\ldots,x_k,x_{k+1},\ldots,x_n\right\}\)가 일차독립이므로 \(\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0\)이어야 하고, 특히 \(\alpha_{k+1}=\alpha_{k+2}=\cdots=\alpha_n=0\)이 된다.
또, 이 집합은 \(\im L\)을 span한다. 임의의 \(w\in \im L\)이 주어졌다고 하자. 그럼 \(L(v)=w\)인 \(v\in V\)가 존재한다. \(v=\sum_{i=1}^n \alpha_ix_i\)라 하면,
\[u=L\left(\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i\right)=L\left(\sum_{i=1}^k\alpha_ix_i\right)+L\left(\sum_{i=k+1}^n\alpha_i x_i\right)=\sum_{i=k+1}^n\alpha_i L(x_i)\]가 성립하기 때문이다.
이상에서 \(\rank L=\dim\im L=n-k=\dim V-\nullity L\)이므로, 정리의 식이 성립한다.
참고문헌
[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.
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