K

Grad. student in mathematics

대수기하학에서 우리의 목표는 다항식으로 정의되는 기하적 대상들을 연구하는 것이다. 구체적으로, field \(\mathbb{K}\)와 자연수 \(n\)이 주어졌을 때, 우리는 다음의 식

\[Z(f)= \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{A}^n \mid f(x_1, \ldots, x_n) = 0\},\qquad f\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\]

으로 주어지는 집합들에 관심이 있다. 이는 \(\mathbb{K}^n\)에서 다항식 \(f\)의 근들의 모임이다. 일반적으로 \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\)로 두며, 이러한 가정에서 특히 좋은 것은 \(\mathbb{C}\)이 algebraically closed라는 사실이다. 그러나, 대부분의 경우 이렇게 가정하는 것이 큰 도움이 되지는 않으므로 우리는 더 일반적인 세팅을 사용하기로 한다. 또, 혼동을 방지하기 위하여 다항식 \(f\)의 변수는 정자 \(\x\)와 같은 식으로 표기할 것이다.

아핀다양체의 정의

정의 1 Field \(\mathbb{K}\) 위에 정의된 affine $n$-space$n$차원 아핀공간 \(\mathbb{A}^n_\mathbb{K}\)는 \(n\)차원 벡터공간 \(\mathbb{K}^n\)을 의미한다.

맥락상 \(\mathbb{K}\)를 생략해도 될 때는 \(\mathbb{A}^n\)과 같이 적는다. 우리는 affine space

\[\mathbb{A}^n=\{(x_1,\ldots, x_n)\mid x_i\in \mathbb{K}\}\]

의 원소를 점point이라 부르고, 각각의 좌표 \(x_i\)를 $i$번째 좌표라 부른다. 위에서 언급했듯, 우리가 살펴볼 기하적인 대상들은 다항식 \(f\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 zero set \(Z(f)\)로 나타나는 대상들이다.

정의 2 다항식 \(f_1, \ldots, f_k \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)에 대하여, 이들이 정의하는 affine algebraic set아핀 대수적 집합 \(Z(f_1, \ldots, f_k)\)를

\[Z(f_1, \ldots, f_k) = \{x=(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{A}^n \mid f_1(x) = \cdots = f_k(x) = 0\}\]

으로 정의한다. Affine algebraic set들 가운데 그보다 더 작은 affine algebraic set들의 합집합으로 나타나지 않는 것들을 affine variety아핀다양체라 부른다.

즉, affine algebraic set은 여러 다항식들 \(f_1,\ldots, f_k\)의 common zero들의 모임이다. 더 일반적으로, \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 부분집합 \(S\)에 대하여 \(Z(S)\)를 위의 정의와 비슷하게 정의할 수 있으며, 그럼 정의에 의해 \(S\)로 생성되는 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 ideal \((S)\)는 식

\[Z(S)=Z((S))\]

을 만족한다. 따라서 우리는 ideal \(\mathfrak{a}\)들이 정의하는 affine algebraic set들만 신경써도 된다.

일반적으로 공간 \(X\)가 irreducible이라는 것은 \(X\)가 proper open subset 두 개의 합집합으로 나타나지 않는다는 것이다. ([위상수학] §차원, ⁋정의 6) 따라서 우리의 정의는 irreducible affine algebraic set을 affine variety라고 부른다는 뜻이다. 이는 기하학적으로 하나의 연결된 대상을 다루기 위함이다.

예시 3 우리가 아는 대다수의 기하학적인 대상들은 다항식으로 나타나므로, 이들이 모두 affine variety의 예시가 된다.

  1. \(\mathbb{A}^2\) 안에서 정의된 affine variety \(Z(\x^2+\y^2-1)\)을 생각하자. 정의에 의해, 이 집합은 식 \(\x^2+\y^2-1=0\)을 만족하는 \(\mathbb{A}^2\)의 점들의 모임이므로, 단위원을 나타낸다.
  2. 일반적으로, 임의의 affine space \(\mathbb{A}^n\)와 임의의 다항식 \(f\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)에 대하여, \(Z(f)\)는 초곡면hypersurface을 정의한다.
  3. 또 다른 중요한 예시로, \(\mathbb{A}^3\) 위에 정의된 twisted cubic이 있다. 이는 \(\mathbb{A}^3\) 위에 정의된 두 다항식 \(\y-\x^2\), \(\z-\x^3\)으로 정의되는 곡선으로, 매개화 \((t,t^2,t^3)\)을 통해 \(\mathbb{A}^1\)과 일대일로 대응된다.
  4. Affine space \(\mathbb{A}^n\) 자기자신과 공집합은 affine variety이다. 이는 \(Z(0)=\mathbb{A}^n\), \(Z(1)=\emptyset\)으로부터 자명하다. 이는 명제 4에서 Zariski topology를 정의할 때 중요하게 사용된다.

위의 예시에서 우리는 친숙한 기하학적 대상들이 모두 집합으로서는 affine algebraic set으로 쓰여질 수 있음을 보았다. 그러나 이를 기하학적 대상이라 생각하기 위해서는 그 위에 위상구조가 존재해야 한다. 우리의 유일한 도구는 다항식이므로, 이를 사용하여 위상구조를 정의할 것이다.

명제 4 다음이 성립한다.

  1. \(Z(0) = \mathbb{A}^n\),
  2. \(Z(1) = \emptyset\),
  3. \(\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b} \implies Z(\mathfrak{b}) \subseteq Z(\mathfrak{a})\),
  4. \(\displaystyle\bigcap_{i\in I} Z(\mathfrak{a}_i) = Z\left(\sum_i \mathfrak{a}_i\right)\),
  5. \(Z(\mathfrak{a}) \cup Z(\mathfrak{b}) = Z(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}) = Z(\mathfrak{a}\mathfrak{b})\).
증명

처음 두 명제는 예시 3에서 이미 살펴보았다.

세 번째 결과를 증명하기 위해, \(\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{b}\)라 하고 \(x\in Z(\mathfrak{b})\)라 하자. 그럼 모든 \(f \in \mathfrak{b}\)에 대해 \(f(x) = 0\)이고, \(\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b}\)이므로 특히 모든 \(\mathfrak{a}\)의 원소에 대해서도 원하는 식이 성립한다.

네 번째 결과의 경우, 점 \(x\)가 모든 \(Z(\mathfrak{a}_i)\)에 속한다는 것은 모든 \(i\)와 모든 \(f \in \mathfrak{a}_i\)에 대해 \(f(x) = 0\)이라는 것이다. 이는 \(\sum_\alpha I_\alpha\)의 모든 원소가 \(p\)에서 0이라는 것과 동치이다.

이제 마지막 주장을 보이자. 우선 \(x\in Z(\mathfrak{a})\cup Z(\mathfrak{b})\)라 하자. 그럼 \(x\in Z(\mathfrak{a})\)이거나 \(x\in Z(\mathfrak{b})\)이며, 어느 경우든 \(\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}\)의 모든 원소는 \(x\)에서 \(0\)이므로 \(x\in Z(\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b})\)이 성립한다.
이제 \(x\in Z(\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b})\)라 하면, \(\mathfrak{a}\mathfrak{b}\)의 임의의 원소

\[f_1g_1+\cdots+ f_kg_k,\qquad f_i\in \mathfrak{a}, g_i\in \mathfrak{b}\]

를 \(x\)에서 계산한 것이 \(0\)이 되는 것은 자명하다.
마지막으로 \(x\in Z(\mathfrak{a}\mathfrak{b})\)라 하자. 만일 결론에 반하여 \(x\not\in Z(\mathfrak{a})\cup Z(\mathfrak{b})\)라면, 적당한 \(f\in \mathfrak{a}\)와 적당한 \(g\in \mathfrak{b}\)가 존재하여 \(f(x),g(x)\neq 0\)이다. 그런데, 만일 이것이 성립한다면 \(f(x)g(x)\neq 0\)이므로 \(x\in Z(\mathfrak{a}\mathfrak{b})\)라는 가정에 모순이다.

우선 위 명제의 마지막 결과는 \(Z(\mathfrak{a}\mathfrak{b})\)가 algebraic variety이기 위해서는 반드시 \(\mathfrak{a}=1\)이거나 \(\mathfrak{b}=1\)이어야 함을 보여준다. 이는 algebraic variety가 무엇인지를 대수적으로 살펴보는데 좋은 직관 중 하나가 된다.

그보다 중요한 것은 위의 명제에 의해, 만일 \(\mathbb{A}^n\) 위에서 정의된 affine algebraic set들을 닫힌집합이라고 선언한다면, [위상수학] §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 2의 조건들이 모두 만족되고 따라서 \(\mathbb{A}^n\) 위의 위상구조가 유일하게 결정된다는 것이다. 이를 Zariski topology자리스키 위상이라 부른다. 정의에 의해 임의의 affine variety \(X\)는 적당한 affine space \(\mathbb{A}^n\)의 닫힌 부분집합이며, 우리는 \(\mathbb{A}^n\)에서 정의된 위상의 subspace topology를 통해 \(X\)에서의 위상을 정의할 수 있다.

특별한 예시로 \(\mathbb{A}^1\)에서의 Zariski topology를 보면, \(\mathbb{K}\)의 임의의 원소는 일차식 \(\x-x\)의 zero set이므로 임의의 singleton은 닫힌집합이고, 따라서 임의의 유한집합은 닫힌집합이다. 그러나 \(\mathbb{K}[\x]\)의 임의의 원소는 많아야 유한 개의 근만을 가지므로, 이 위상구조 상에서는 (\(\mathbb{K}\)가 유한집합이 아닌 한) 무한한 원소를 가진 닫힌집합은 오직 \(\mathbb{K}\) 자기자신 뿐이다. 즉 \(\mathbb{A}^1\)의 Zariski topology는 cofinite topology이며, 이로부터 우리는 Zariski topology가 Hausdorff일 필요가 없다는 것을 관찰할 수 있다. 더 일반적으로 irreducible space는 Hausdorff가 될 수 없고, 우리의 정의에서 affine variety들은 모두 irreducible이므로 임의의 affine variety는 Hausdorff space가 아니다. ([위상수학] §차원, ⁋명제 7)

이제 우리는 Zariski topology의 열린집합들을 살펴보자.

정의 5 다항식 \(f \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)에 대하여, principal open set \(D(f)\)를

\[D(f) = \{x\in \mathbb{A}^n \mid f(x) \ne 0\} = \mathbb{A}^n \setminus Z(f)\]

으로 정의한다.

다음 명제는 principal open set들이 affine variety의 base를 이룬다는 것을 보여준다. ([위상수학] §위상공간의 기저, ⁋정의 1)

명제 6 Affine variety \(X \subseteq \mathbb{A}^n\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여,

\[U = \bigcup_i (D(f_i) \cap X)\]

을 만족하는 principal open set들의 family \(D(f_i)\)가 존재한다.

증명

Zariski topology의 정의에 의하여, 적당한 ideal \(\mathfrak{a}\subset \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)가 존재하여

\[X\setminus U=Z(\mathfrak{a})\cap X\]

이도록 할 수 있다. 따라서

\[U = X \setminus (Z(\mathfrak{a}) \cap X) = X \cap (\mathbb{A}^n \setminus Z(\mathfrak{a}))\]

이다. 한편 \(\mathbb{A}^n \setminus Z(\mathfrak{a})\)는 \(f \in \mathfrak{a}\)에 대해 \(f(x) \ne 0\)인 점들의 집합이므로

\[\mathbb{A}^n \setminus Z(\mathfrak{a}) = \bigcup_{f \in \mathfrak{a}} D(f)\]

이다. 따라서 \(U = \bigcup_{f \in \mathfrak{a}} (D(f) \cap X)\)이다.

일반적으로 affine variety의 열린집합은 affine variety일 필요가 없으며, 실제로도 그렇지 않다. 그러나 affine variety의 principal open subset은 반드시 affine variety이다.

명제 7 Affine variety \(X \subseteq \mathbb{A}^n\)과 다항식 \(f \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)에 대하여, \(D(f) \cap X\)는 affine variety이다.

증명

적당한 ideal \(\mathfrak{a}\)를 택하여 \(X = Z(\mathfrak{a})\)라 하자. 우리는 \(D(f) \cap X\)를 \(\mathbb{A}^{n+1}\)의 affine variety로 표현할 것이다. 이를 위해 \(\mathbb{A}^{n+1}\)을 나타내는 좌표들을

\[\x_1,\ldots, \x_n,\y\]

라 하고, \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n,\y]\)의 ideal

\[\mathfrak{b}=\mathfrak{a}+(1-f\y)\]

을 생각하자. 그럼

\[Z(\mathfrak{b})=\{(x_1,\ldots, x_n, y)\in \mathbb{A}^{n+1}\mid x\in X, 1-f(x)y=0\}\]

이다. 이제 조건 \(1-f(x)y=0\)으로부터 \(f(x)\neq 0\)이고, \(y=1/f(x)\)임을 안다. 이로부터 다음의 bijection

\[(x_1,\ldots, x_n,y)\mapsto (x_1,\ldots, x_n)\]

을 얻는다. 이것이 homeomorphism인 것은 자명하다.

이쯤에서 짚고 넘어가야 할 사실은, affine variety에 대한 우리의 정의가 엄밀하게는 ambient space \(\mathbb{A}^n\)에 의존한다는 사실이다. 가령 \(\mathbb{A}^1\)의 principal open set \(D(\x)\)는, 위의 명제에 따르면, affine variety이다. 그러나 우리는 이미 \(\mathbb{A}^1\)의 Zariski topology는 cofinite topology임을 살펴보았고, 따라서 \(D(\x)\)는 \(\mathbb{K}[\x]\) 안에서의 다항식의 zero set들로 정의될 수 없다. 실제로 명제 7의 증명을 뜯어보면, \(D(\x)\)가 affine variety라는 사실은 isomorphism

\[D(\x)\cong Z(\x\y-1)\subseteq \mathbb{A}^2\]

에 의해 얻어지는 결과이다. 이러한 문제는 regular function을 이해할 때 우리를 다소 헷갈리게 할 수 있으므로, 해당 부분에서 이 문제를 다시 짚어보기로 한다.

영점정리

명제 4에서 살펴본 \(Z\)는 대수적인 대상들, 즉 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 다항식들을 기하적인 대상들, 즉 이들 다항식들이 정의하는 zero set으로 보내준다. 거꾸로 우리는 기하적인 대상을 받아 대수적인 대상들을 대응시켜줄 수도 있다.

정의 8 임의의 부분집합 \(X \subseteq \mathbb{A}^n\)에 대하여, \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 부분집합 \(I(X)\)를

\[I(X) = \{f \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n] \mid f(a) = 0 \text{ for all } a \in X\}\]

으로 정의한다.

그럼 임의의 부분집합 \(X\)에 대하여, \(I(X)\)는 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 ideal이 된다는 것이 자명하다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 9 \(\mathbb{A}^n\)의 부분집합들 \(X,Y\), \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 임의의 부분집합 \(I\)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. \(X \subseteq Y\)라면 \(I(Y) \subseteq I(X)\)이다.
  2. \(I(\emptyset) = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)이다.
  3. \(\mathbb{K}\)가 무한하다면 \(I(\mathbb{A}^n) = (0)\)이다.
  4. \(X \subseteq Z(I(X))\)가 항상 성립한다.
  5. \(I \subseteq I(Z(I))\)가 항상 성립한다.
증명
  1. \(X \subseteq Y\)이고 \(f \in I(Y)\)라면, 모든 \(a \in Y\)에 대해 \(f(a) = 0\)이다. 특히 모든 \(a \in X\)에 대해 \(f(a) = 0\)이므로 \(f \in I(X)\)이다.
  2. 자명하다.
  3. \(\mathbb{K}\)가 무한하다면, 모든 점에서 0인 다항식은 영다항식뿐이다.
  4. \(a \in X\)이고 \(f \in I(X)\)라면 \(f(a) = 0\)이다. 즉 \(a \in Z(I(X))\)이다.
  5. \(f \in I\)이고 \(a \in Z(I)\)라면 \(f(a) = 0\)이다. 즉 \(f \in I(Z(I))\)이다.

즉, \(Z\)와 \(I\)는 antitone Galois connection을 정의한다. ([집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋정의 6) 따라서 두 operator의 합성 \(ZI\)와 \(IZ\) 각각은 closure operator를 정의한다. \(ZI\)의 경우, 이 closure는 실제로 Zariski topology에서의 closure가 된다. 이는 만일 \(X \subseteq Y = Z(J)\)이면 \(I(Z(J)) \subseteq I(X)\)이고, 명제 9의 5번 조건에서 \(J \subseteq I(Z(J))\)이므로 \(ZI(X) \subseteq Z(J) = Y\)가 되어, \(ZI(X)\)가 \(X\)를 포함하는 Zariski closed set 중 가장 작은 것이 되기 때문이다. \(IZ\)의 경우에는 바로 보이지 않는데, 이를 위해서는 ideal의 radical 개념이 필요하다. ([가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋정리 8)

정리 10 (Nullstellensatz) Algebraically closed field \(\mathbb{K}\)와 ideal \(\mathfrak{a}\subseteq \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)이 주어졌다 하자. 그럼

\[I(Z(\mathfrak{a}))=\sqrt{\mathfrak{a}}\]

이 성립한다.

증명

[가환대수학] §영점정리, ⁋명제 6

이는 넓게 본다면 이미 명제 4의 5번 조건으로부터

\[Z(\mathfrak{a}^k)=Z(\mathfrak{a}\cap\cdots\cap \mathfrak{a})=Z(\mathfrak{a})\]

이므로, 어느정도 예견된 결과라고 할 수도 있다.

한편, \(\mathfrak{a}\subseteq \sqrt{\mathfrak{a}}\)가 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대해 성립하므로 명제 4의 셋째 조건으로부터 \(Z(\sqrt{\mathfrak{a}})\subseteq Z(\mathfrak{a})\)임을 안다. 그런데 정의에 의하여 임의의 \(f\in \sqrt{\mathfrak{a}}\)가 주어졌을 때, 적당한 \(r\)이 존재하여 \(f^r\in \mathfrak{a}\)이다. 따라서 \(x\in Z(\mathfrak{a})\)라면 \(Z(\sqrt{\mathfrak{a}})\)여야 하고 이로부터 \(Z(\mathfrak{a})=Z(\sqrt{\mathfrak{a}})\)임을 안다. 즉 ideal의 radical은 affine algebraic set을 ideal의 zero set으로 나타낼 때, 이 ideal을 얻어내는 표준적인 방법을 주는 것으로 생각할 수 있으며, 이들 사이의 차이를 구별하기 위해서는 scheme을 정의하면 된다.

이제 명제 4의 다섯번째 결과와 위의 결과를 종합하면, 우리는 \(Z(\mathfrak{a})\)가 algebraic variety이기 위해서는 \(\sqrt{\mathfrak{a}}\)가 prime ideal이어야 함을 알 수 있다. ([가환대수학] §기본 개념들, ⁋정의 10) 즉, \(\mathbb{A}^n\)의 irreducible closed algebraic set들과 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\) 사이의 Galois correspondence가 존재한다.

좌표환과 정칙성

우리는 양방향의 대응 \(Z\), \(I\)가 담고 있는 철학을 더 확장시킬 수 있다. 구체적으로, \(\mathbb{A}^n\)의 기하학은 그 정의에 의해 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 원소들이 담고 있다. 역으로, \(\mathbb{A}^n\)의 임의의 점 \(x=(x_1,\ldots, x_n)\)를 받아 $i$번째 좌표를 내놓는 함수를 \(\x_i: x\mapsto x_i\)으로 생각할 수 있으며, 이러한 관점에서 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 모든 원소들을 \(\mathbb{A}^n\) 위에 정의된 (다항식) 함수로 볼 수 있다.

더 일반적으로 다음을 정의한다.

정의 11 Affine variety \(X = Z(\mathfrak{a}) \subseteq \mathbb{A}^n\)의 coordinate ring좌표환 \(\mathbb{K}[X]\)를

\[\mathbb{K}[X] = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n] / I(X)=\mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n] / \sqrt{\mathfrak{a}}\]

으로 정의한다. 이 원소들을 \(X\) 위에 정의된 regular function정칙함수이라 부른다.

Coordinate ring을 정의하는 이유는, 대수기하의 핵심 철학, 즉 기하학적 대상 \(X\)와 대수적 대상 \(\mathbb{K}[X]\)의 대응을 구현하기 위해서이다. \(X\)의 모든 기하학적 정보, 가령 점들, 다항식 함수들의 관계, 부분집합들의 포함 관계 등은 모두 \(\mathbb{K}[X]\)의 ring structure에 인코딩되며, 이는 나중에 affine variety들 사이의 morphism을 coordinate ring homomorphism으로 번역하는 기반이 된다.

\(X\)가 어떤 다항식들의 영점으로 정의되었다면, \(\mathbb{K}[X]\)는 이러한 다항식 관계들을 factor out한 나머지 다항식 함수들의 모임이다. 위에서 살펴본 \(X=\mathbb{A}^n\) 경우와 마찬가지로, \(\mathbb{K}[X]\)의 원소들은 \(X\) 위에 정의된 함수로 생각할 수 있다. 구체적으로, \(\mathbb{K}[X]\)의 한 원소 \(\overline{f}\in \mathbb{K}[X]\)에 대하여, 다음 함수

\[X\rightarrow \mathbb{K};\qquad x\mapsto f(x)\]

는 잘 정의된 함수이다. 여기서 이 함수가 잘 정의되었다는 것은 \(\overline{f}\)의 representative의 선택에 관계없이 값 \(f(x)\)가 유일하다는 것이며 이는 정확하게 \(X\)가 \(I(X)\)의 zero set으로 정의되기 때문에 가능하다.

이제 우리는 앞서 논의한 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 prime ideal들과 \(\mathbb{A}^n\)의 closed subvariety들 사이의 일대일 대응을 임의의 affine variety로 확장할 준비가 되었다.

명제 12 Affine variety \(X \subseteq \mathbb{A}^n\)이 주어졌다 하자. 그럼 coordinate ring \(\mathbb{K}[X]\)의 prime ideal들과 \(X\)의 closed subvariety들 사이에는 다음과 같은 일대일대응이 존재한다.

  1. Prime ideal \(\mathfrak{p} \subset \mathbb{K}[X]\)에 대하여, \(\tilde{\mathfrak{p}}\)를 \(\mathfrak{p}\)의 \(\mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)에서의 preimage라 하면, \(Z(\tilde{\mathfrak{p}}) \subseteq X\)는 \(X\)의 closed subvariety이다.
  2. Closed subvariety \(Y \subseteq X\)에 대하여, \(I(Y)/I(X) \subset \mathbb{K}[X]\)는 prime ideal이다.

이들 사이의 대응 \(\mathfrak{p} \mapsto Z(\tilde{\mathfrak{p}})\)와 \(Y \mapsto I(Y)/I(X)\)는 서로 역대응이다.

이에 대한 증명은 본질적으로 fourth isomorphism theorem으로부터 자명하다.

예시 13 예시 3에서 살펴본 affine variety들의 경우, ideal들 \((\x^2+\y^2-1)\) 그리고 \((\y-\x^2,\z-\x^3)\)은 radical임을 보일 수 있다. 따라서 단위원 \(X = Z(\x^2+\y^2-1)\)의 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[X] = \mathbb{K}[\x, \y]/(\x^2+\y^2-1)\)이고 twisted cubic \(C\)의 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[C] = \mathbb{K}[\x, \y, \z]/(\y-\x^2, \z-\x^3) \cong \mathbb{K}[\x]\)이다.

그러나 일반적으로 초곡면 \(Z(f)\)의 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[Z(f)] = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]/I(Z(f)) = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]/\sqrt{(f)}\)이므로, coordinate ring을 계산할 때는 주어진 ideal이 radical인지를 판단하여야 한다.

한편, 우리는 앞서 affine variety의 정의가 실은 (closed) embedding \(X\subseteq \mathbb{A}^n\)에 의존한다는 것을 지적하였는데, 그로 인한 문제가 여기에서도 발생한다. 해당 부분에서 사용한 \(\mathbb{A}^1\)의 principal open set \(X=D(\x)\)의 예시를 살펴보면, 이 affine variety의 올바른 coordinate ring은 \(\mathbb{A}^1\)의 부분집합으로서 계산하는 것이 아닌, \(\mathbb{A}^2\)의 부분집합 \(Z(\x\y-1)\)으로서 계산하여야 하고 그럼

\[\mathbb{K}[X]=\mathbb{K}[\x,\y]/(\x\y-1)\cong \mathbb{K}[\x,1/\x]\]

가 된다. 이를 염두에 두면 다음의 정의 또한 이해할 수 있다.

정의 14 임의의 affine variety \(V\subseteq \mathbb{A}^k\)와 그 위에서 정의된 함수 \(f:V\rightarrow \mathbb{K}\)에 대하여, \(f\)가 점 \(p\in V\)에서 regular라는 것은 \(p\)의 적당한 열린근방 \(D(h)\)와 다항식 \(g\)가 존재하여, \(U\) 위에서 \(f=g/h\)이 성립하는 것이다. 여기서 \(h\)는 \(U=D(h)\) 위에서 \(0\)이 되지 않는 다항식이다.

그럼 이 정의 하에서, 모든 점에서 regular인 함수를 regular function이라 부르는 것이 자연스러울 것이다. 이 두 정의 정의 11과 정의 14이 동치라는 것에 대한 증명은 다소 귀찮을 수 있으나, 본질적인 내용은 위에서 살펴본 예시에 들어있으므로 그 증명은 하지 않기로 한다. 증명의 핵심은 정의 14에서 정의 11을 얻어내는 것인데, 이는 각각의 \(D(h)\)에서 \(g/h\)꼴로 나타나는 함수들을 잘 붙이는 것으로부터 얻어진다.

아핀다양체 사이의 사상

이제 우리는 affine variety들 사이의 morphism을 정의한다. Affine variety들은 다항식으로 정의되는 기하학적 대상들이므로, 이들 사이의 함수 또한 다항식으로 나타나는 것들이어야 함이 타당하다.

정의 15 두 affine variety들 \(X \subseteq \mathbb{A}^n\)과 \(Y \subseteq \mathbb{A}^m\) 사이의 함수 \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 이들 사이의 morphism사상 (또는 regular map정칙사상)이라는 것은 적절한 다항식 \(f_1, \ldots, f_m \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)들이 존재하여

\[\varphi(a_1, \ldots, a_n) = (f_1(a), \ldots, f_m(a))\]

으로 나타낼 수 있는 것이다.

예를 들어, 우리는 예시 3에서 twisted cubic이 \(t\mapsto (t,t^2,t^3)\)을 통해 \(\mathbb{A}^1\)과 대응됨을 보였는데, 위의 정의는 이것이 affine variety들 사이의 morphism이라는 것을 보여준다.

직관적으로 \(\mathbb{K}[X]\)들은 \(X\) 위에 정의된 함수이므로, 만일 morphism \(X\rightarrow Y\)가 주어졌다면 이 morphism과의 합성을 통해 \(Y\)의 regular function들을 \(X\)로 옮겨올 수 있을 것이다. 이는 기하학적 사상에서 대수적 사상으로 가는 한 방향이다. 더 중요한 것은 그 역방향, 즉 coordinate ring homomorphism \(\mathbb{K}[Y]\rightarrow \mathbb{K}[X]\)가 주어졌을 때 이를 기하학적 morphism \(X\rightarrow Y\)로 복원할 수 있다는 사실이다.

명제 16 Morphism \(\varphi: X \to Y\)는 coordinate ring homomorphism \(\varphi^\ast: \mathbb{K}[Y] \to \mathbb{K}[X]\)를 유도한다. 구체적으로, \(\bar{g} \in \mathbb{K}[Y]\)에 대하여

\[\varphi^\ast(\bar{g}) = \overline{g \circ \varphi}\]

이다.

증명

먼저 \(\varphi^\ast\)가 well-defined임을 보여야 한다. \(g, h \in \mathbb{K}[\y_1, \ldots, \y_m]\)가 \(Y\) 위에서 같은 함수를 정의한다면, \(g - h \in I(Y)\)이다. \(\varphi(X) \subseteq Y\)이므로, 모든 \(a \in X\)에 대해

\[(g \circ \varphi)(a) - (h \circ \varphi)(a) = (g - h)(\varphi(a)) = 0\]

이다. 즉 \(g \circ \varphi - h \circ \varphi \in I(X)\)이고, 따라서 \(\overline{g \circ \varphi} = \overline{h \circ \varphi}\)이다.

이제 \(\varphi^\ast\)가 ring homomorphism임은 자명하다.

즉, morphism \(\varphi: X \to Y\)는 coordinate ring homomorphism \(\varphi^\ast: \mathbb{K}[Y] \to \mathbb{K}[X]\)를 유도한다. 이는 \(X\mapsto \mathbb{K}[X]\)가 affine variety들의 category에서 \(\Ring\)으로의 contravariant functor임을 의미한다. ([범주론] §함자, ⁋정의 5)

한편 morphism의 개념을 정의했다면, 당연히 isomorphism의 개념이 존재한다.

정의 17 Morphism \(\varphi: X \to Y\)가 isomorphism동형사상이라는 것은 역함수 \(\psi: Y \to X\)가 존재하여 \(\psi\)도 morphism인 것이다.

예를 들어, \(\mathbb{A}^1\)에서 twisted cubic \(C\)로의 morphism \(t\mapsto (t, t^2, t^3)\)은 isomorphism이다. 이는 \((x,y,z)\mapsto x\)가 inverse를 정의하기 때문이다.

위에서 살펴봤듯, \(X\mapsto \mathbb{K}[X]\)는 affine variety들의 category에서 \(\Ring\)으로의 contravariant functor를 정의하므로, isomorphic한 affine variety들은 isomorphic한 coordinate ring을 갖는 것이 자명하다. 다음 명제는 그 역도 성립함을 보여준다.

명제 18 Morphism \(\varphi: X \to Y\)가 isomorphism일 필요충분조건은 \(\varphi^\ast: \mathbb{K}[Y] \to \mathbb{K}[X]\)가 ring isomorphism인 것이다.

명제 16에서 우리는 morphism \(\varphi: X \to Y\)가 coordinate ring homomorphism \(\varphi^\ast: \mathbb{K}[Y] \to \mathbb{K}[X]\)를 유도함을 보았다. 직관적으로, \(\varphi^\ast\)는 \(Y\) 위의 함수 \(g\)를 \(X\) 위의 함수 \(g \circ \varphi\)로 대응시키는데, 이는 \(Y\)의 기하학적 정보를 \(X\)로 pullback하는 연산이다. 따라서 \(\varphi^\ast\)가 isomorphism이라면, 양쪽 coordinate ring의 함수들이 서로 완벽하게 대응하므로, 기하학적으로도 \(X\)와 \(Y\)의 구조가 본질적으로 같을 것이라는 기대가 자연스럽다. 다음 증명은 이 직관을 엄밀하게 구현한다.

증명

반대방향만 보이면 충분하다. \(\varphi^\ast\)가 isomorphism이라 하자. 그럼 \(\psi^\ast = (\varphi^\ast)^{-1}: \mathbb{K}[X] \to \mathbb{K}[Y]\)가 존재한다.

이제 \(\psi^\ast\)로부터 morphism \(\theta: Y \to X\)를 정의하자.

\[\mathbb{K}[X] = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]/I(X)\]

의 각 원소 \(\bar{\x}_i\)에 대하여, \(\psi^\ast(\bar{\x}_i) \in \mathbb{K}[Y]\)를 생각할 수 있다. 이를 \(\bar{g}_i\)라 적고, 이들의 어떠한 representative들 \(g_i\)들을 생각하자. 그럼 \(\theta: Y \to \mathbb{A}^n\)을 \(\theta(y) = (g_1(y), \ldots, g_n(y))\)으로 정의할 수 있으며, \(\mathbb{K}[Y]\)의 정의에 의해 이는 representative \(g_i\)의 선택에 의존하지 않는다. 이제 \(\psi^\ast\)가 well-defined이므로 \(\theta(Y) \subseteq X\)이고, 따라서 \(\theta: Y \to X\)는 morphism이다. 나머지 부분은 단순 계산이다.

참고문헌

[Har] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Zarieties in Projective Space, Springer, 2013.
[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves, 2008. (Available online)

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