K

Grad. student in mathematics

대수기하학에서 우리의 목표는 다항식으로 정의되는 기하적 대상들을 연구하는 것이다. 구체적으로, field \(\mathbb{K}\)와 자연수 \(n\)이 주어졌을 때, 우리는 다음의 식

\[V(f)= \{(a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{A}^n \mid f(a_1, \ldots, a_n) = 0\},\qquad f\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\]

으로 주어지는 집합들에 관심이 있다. 일반적으로 \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\)로 두지만, 대부분의 경우 이렇게 가정하는 것이 큰 도움이 되지는 않으므로 우리는 더 일반적인 세팅을 사용하기로 한다. 또, 혼동을 방지하기 위하여 다항식 \(f\)의 변수는 정자 \(\x\)와 같은 식으로 표기할 것이다.

아핀다양체의 정의

정의 1 Field \(\mathbb{K}\) 위에 정의된 affine $n$-space$n$차원 아핀공간 \(\mathbb{A}^n_\mathbb{K}\)는 \(n\)차원 벡터공간 \(\mathbb{K}^n\)을 의미한다.

맥락상 \(\mathbb{K}\)를 생략해도 될 때는 \(\mathbb{A}^n\)과 같이 적는다. 우리는 affine space

\[\mathbb{A}^n=\{(a_1,\ldots, a_n)\mid a_i\in \mathbb{K}\}\]

의 원소를 점point이라 부르고, 각각의 좌표 \(a_i\)를 $i$번째 좌표라 부른다. 위에서 언급했듯, 우리가 살펴볼 기하적인 대상들은 다항식 \(f\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 zero set \(V(f)\)로 나타나는 대상들이다.

정의 2 다항식 \(f_1, \ldots, f_k \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)에 대하여, 이들이 정의하는 affine variety아핀다양체 \(V(f_1, \ldots, f_k)\)를

\[V(f_1, \ldots, f_k) = \{(a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{A}^n \mid f_1(a) = \cdots = f_k(a) = 0\}\]

으로 정의한다.

즉, 아핀다양체는 여러 다항식들 \(f_1,\ldots, f_k\)의 common zero들의 모임이다. 더 일반적으로, \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 부분집합 \(I\)에 대하여 \(V(I)\)를 위의 정의와 비슷하게 정의할 수 있다.

예시 3 우리가 아는 대다수의 기하학적인 대상들은 다항식으로 나타나므로, 이들이 모두 affine variety의 예시가 된다.

  1. \(\mathbb{A}^2\) 안에서 정의된 affine variety \(V(\x^2+\y^2-1)\)을 생각하자. 정의에 의해, 이 집합은 식 \(\x^2+\y^2-1=0\)을 만족하는 \(\mathbb{A}^2\)의 점들의 모임이므로, 단위원을 나타낸다.
  2. 일반적으로, 임의의 affine space \(\mathbb{A}^n\)와 임의의 다항식 \(f\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)에 대하여, \(V(f)\)는 초곡면hypersurface을 정의한다.
  3. 또 다른 중요한 예시로, \(\mathbb{A}^3\) 위에 정의된 twisted cubic이 있다. 이는 \(\mathbb{A}^3\) 위에 정의된 두 다항식 \(\y-\x^2\), \(\z-\x^3\)으로 정의되는 곡선으로, 매개화 \((t,t^2,t^3)\)을 통해 \(\mathbb{A}^1\)과 일대일로 대응된다.
  4. Affine space \(\mathbb{A}^n\) 자기자신과 공집합은 affine variety이다. 이는 \(V(0)=\mathbb{A}^n\), \(V(1)=\emptyset\)으로부터 자명하다. 이는 명제 4에서 Zariski topology를 정의할 때 중요하게 사용된다.

위의 예시에서 우리는 친숙한 기하학적 대상들이 모두 집합으로서는 affine variety로 쓰여질 수 있음을 보았다. 그러나 이를 기하학적 대상이라 생각하기 위해서는 그 위에 위상구조가 존재해야 한다. 우리의 유일한 도구는 다항식이므로, 이를 사용하여 위상구조를 정의할 것이다.

명제 4 다음이 성립한다.

  1. \(V(0) = \mathbb{A}^n\),
  2. \(V(1) = \emptyset\),
  3. \(I \subseteq J \implies V(J) \subseteq V(I)\),
  4. \(\displaystyle\bigcap_{\alpha} V(I_\alpha) = V\left(\sum_\alpha I_\alpha\right)\),
  5. \(V(I) \cup V(J) = V(I \cap J) = V(IJ)\).
증명

처음 두 명제는 예시 3에서 이미 살펴보았다. 세 번째 결과를 증명하기 위해 \(p\in V(J)\)라 하자. 그럼 모든 \(f \in J\)에 대해 \(f(p) = 0\)이고, \(I \subseteq J\)이므로 특히 모든 \(g \in I\)에 대해서도 \(g(p) = 0\)이다. 즉 \(p \in V(I)\)이다.

네 번째 결과의 경우, 점 \(p\)가 모든 \(V(I_\alpha)\)에 속한다는 것은 모든 \(\alpha\)와 모든 \(f \in I_\alpha\)에 대해 \(f(p) = 0\)이라는 것이다. 이는 \(\sum_\alpha I_\alpha\)의 모든 원소가 \(p\)에서 0이라는 것과 동치이다.

마지막 주장을 보이기 위해 우선 \(V(I) \cup V(J) \subseteq V(I \cap J)\)를 보이자. \(p \in V(I) \cup V(J)\)라면 \(p \in V(I)\)이거나 \(p \in V(J)\)이다. 어느 경우이든 \(I \cap J\)의 모든 원소는 \(p\)에서 0이므로 \(p \in V(I \cap J)\)이다. 거꾸로 \(p \in V(I \cap J)\)라 하자. 만약 \(p \notin V(I)\)라면 어떤 \(f \in I\)가 존재하여 \(f(p) \neq 0\)이다. 그런데 \(IJ \subseteq I \cap J\)이므로 \(p \in V(I \cap J) \subseteq V(IJ)\)이고, 따라서 모든 \(g \in J\)에 대해 \((fg)(p) = f(p)g(p) = 0\)이다. \(f(p) \neq 0\)이므로 \(g(p) = 0\)이고, 즉 \(p \in V(J)\)이다.

특히 위의 명제는 affine variety들의 모임을 닫힌집합으로 갖는 \(\mathbb{A}^n\)의 위상이 존재함을 보여준다. ([위상수학] §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 2) 그럼 affine variety의 위상구조는 \(\mathnn{A}^n\)의 subspace로서 주어지는 것이다. 우리는 이러한 위상을 Zariski topology자리스키 위상이라 부른다. 예를 들어 \(\mathbb{A}^1\)에서 Zariski topology는 cofinite topology와 같다는 것을 확인할 수 있으며, 특히 이는 하우스도르프가 아니다.

정의 5 다항식 \(f \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)에 대하여, principal open set \(D(f)\)를

\[D(f) = \{a \in \mathbb{A}^n \mid f(a) \ne 0\} = \mathbb{A}^n \setminus V(f)\]

으로 정의한다.

Principal open set은 Zariski topology에서 열린집합이다. 다음 명제는 모든 열린집합이 principal open set들로 덮인다는 것을 보여준다.

명제 5 Affine variety \(X \subseteq \mathbb{A}^n\)의 열린부분집합 \(U\)는 principal open set들 \(D(f_\alpha)\)가 존재하여 \(U = \bigcup_\alpha (D(f_\alpha) \cap X)\)으로 표현된다. 특히 \(U\)의 각 점 \(p\)에 대해 \(p \in D(f) \cap X \subseteq U\)인 principal open set \(D(f)\)가 존재한다.

증명

\(U\)가 \(X\)의 열린부분집합이면 \(X \setminus U\)는 닫힌집합이다. Zariski topology에서 닫힌집합은 \(V(I)\) 형태이므로, \(X \setminus U = V(I) \cap X\) for some ideal \(I\)이다. 그럼

\[U = X \setminus (V(I) \cap X) = X \cap (\mathbb{A}^n \setminus V(I))\]

이다. 한편 \(\mathbb{A}^n \setminus V(I)\)는 \(f \in I\)에 대해 \(f(p) \ne 0\)인 점들의 집합이므로

\[\mathbb{A}^n \setminus V(I) = \bigcup_{f \in I} D(f)\]

이다. 따라서 \(U = \bigcup_{f \in I} (D(f) \cap X)\)이다.

이제 \(p \in U\)라면, 어떤 \(f \in I\)에 대해 \(p \in D(f) \cap X \subseteq U\)이다.

명제 6 Affine variety \(X \subseteq \mathbb{A}^n\)과 다항식 \(f \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)에 대하여, \(D(f) \cap X\)는 affine variety이다.

증명

\(X = V(I)\)라 하자. \(D(f) \cap X\)를 \(\mathbb{A}^{n+1}\)의 affine variety로 표현하자. 새로운 좌표 \((\x_1, \ldots, \x_n, \y)\)를 생각하고, ideal \(J = I + (1 - f\y)\)를 정의하자. 그럼

\[V(J) = \{(a_1, \ldots, a_n, b) \in \mathbb{A}^{n+1} \mid a \in X, \, 1 - f(a)b = 0\}\]

이다. 조건 \(1 - f(a)b = 0\)은 \(f(a) \ne 0\)이고 \(b = 1/f(a)\)임을 의미한다. 따라서 projection \((a_1, \ldots, a_n, b) \mapsto (a_1, \ldots, a_n)\)은 \(V(J)\)와 \(D(f) \cap X\) 사이의 bijection을 정의한다. 이 bijection은 polynomial map이므로 \(D(f) \cap X\)는 affine variety \(V(J)\)와 isomorphic하다.

영점정리

위의 \(V\)는 대수적인 대상들 (다항식들)을 기하적인 대상으로 보내준다. 거꾸로 우리는 기하적인 대상을 받아 대수적인 대상들을 대응시켜줄 수도 있다.

정의 6 부분집합 \(X \subseteq \mathbb{A}^n\)에 대하여, \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 부분집합 \(I(X)\)를

\[I(X) = \{f \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n] \mid f(a) = 0 \text{ for all } a \in X\}\]

으로 정의한다.

명제 7 \(\mathbb{A}^n\)의 부분집합들 \(X,Y\), \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 임의의 부분집합 \(I\)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. \(X \subseteq Y\)라면 \(I(Y) \subseteq I(X)\)이다.
  2. \(I(\emptyset) = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)이다.
  3. \(\mathbb{K}\)가 무한하다면 \(I(\mathbb{A}^n) = (0)\)이다.
  4. \(X \subseteq V(I(X))\)가 항상 성립한다.
  5. \(I \subseteq I(V(I))\)가 항상 성립한다.
증명
  1. \(X \subseteq Y\)이고 \(f \in I(Y)\)라면, 모든 \(a \in Y\)에 대해 \(f(a) = 0\)이다. 특히 모든 \(a \in X\)에 대해 \(f(a) = 0\)이므로 \(f \in I(X)\)이다.
  2. 공집합의 조건을 만족하는 함수는 모든 다항식이다.
  3. \(\mathbb{K}\)가 무한체이면, 모든 점에서 0인 다항식은 영다항식뿐이다.
  4. \(a \in X\)이고 \(f \in I(X)\)라면 \(f(a) = 0\)이다. 즉 \(a \in V(I(X))\)이다.
  5. \(f \in I\)이고 \(a \in V(I)\)라면 \(f(a) = 0\)이다. 즉 \(f \in I(V(I))\)이다.

즉, \(V\)와 \(I\)는 antitone Galois connection을 정의한다. ([집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋정의 6) 따라서 두 operator의 합성 \(VI\)와 \(IV\) 각각은 closure operator를 정의한다. \(VI\)의 경우, 이 closure는 실제로 Zariski topology에서의 closure가 된다. 이는 만일 \(X \subseteq Y = V(J)\)이면 \(I(V(J)) \subseteq I(X)\)이고, 명제 7의 5번 조건에서 \(J \subseteq I(V(J))\)이므로 \(VI(X) \subseteq V(J) = Y\)가 되어, \(VI(X)\)가 \(X\)를 포함하는 Zariski closed set 중 가장 작은 것이 되기 때문이다. \(IV\)의 경우에는 바로 보이지 않는데, 이를 위해서는 ideal의 radical 개념이 필요하다.

Coordinate Ring

정의 8 아핀다양체 \(X = V(I) \subseteq \mathbb{A}^n\)의 coordinate ring좌표환 \(\mathbb{K}[X]\)를

\[\mathbb{K}[X] = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n] / I(X)\]

으로 정의한다. 이 원소들을 \(X\) 위의 regular function이라 부른다.

Coordinate ring \(\mathbb{K}[X]\)의 원소들은 \(X\) 위에서 정의된 함수들로 생각할 수 있다. 구체적으로, 각 \(\bar{f} \in \mathbb{K}[X]\)는 함수 \(X \to \mathbb{K}\), \(a \mapsto f(a)\)로 생각할 수 있다. 이것이 well-defined인 이유는 \(f, g \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)가 \(\mathbb{K}[X]\)에서 같은 원소를 나타낸다면 \(f - g \in I(X)\)이고, 따라서 \(f - g\)는 \(X\) 위에서 identically zero이기 때문이다.

예시 9 예시 3에서 살펴본 affine variety들의 경우, ideal들 \((\x^2+\y^2-1)\) 그리고 \((\y-\x^2,\z-\x^3)\)은 radical임을 보일 수 있다. 따라서 단위원 \(X = V(\x^2+\y^2-1)\)의 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[X] = \mathbb{K}[\x, \y]/(\x^2+\y^2-1)\)이고 twisted cubic \(C\)의 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[C] = \mathbb{K}[\x, \y, \z]/(\y-\x^2, \z-\x^3) \cong \mathbb{K}[t]\)이다.

그러나 일반적으로 초곡면 \(V(f)\)의 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[V(f)] = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]/I(V(f)) = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]/\sqrt{(f)}\)이므로, coordinate ring을 계산할 때는 주어진 ideal이 radical인지를 판단하여야 한다.

아핀다양체 사이의 사상

Affine variety들은 다항식으로 정의되는 기하학적 대상들이므로, 이들 사이의 함수 또한 다항식으로 나타나는 것들이어야 함이 타당하다.

정의 10 두 affine variety들 \(X \subseteq \mathbb{A}^n\)과 \(Y \subseteq \mathbb{A}^m\) 사이의 morphism사상 (또는 regular map)이란 함수 \(\varphi: X \to Y\)로서, 다항식 \(f_1, \ldots, f_m \in \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)들이 존재하여

\[\varphi(a_1, \ldots, a_n) = (f_1(a), \ldots, f_m(a))\]

를 만족하는 것이다.

예를 들어, 우리는 예시 3에서 twisted cubic이 \(t\mapsto (t,t^2,t^3)\)을 통해 \(\mathbb{A}^1\)과 대응됨을 보였는데, 위의 정의는 이것이 affine variety들 사이의 morphism이라는 것을 보여준다.

직관적으로 \(\mathbb{K}[X]\)들은 \(X\) 위에 정의된 함수이므로, 만일 morphism \(X\rightarrow Y\)가 주어졌다면 이 morphism과의 합성을 통해 \(Y\)의 regular function들을 \(X\)로 옮겨올 수 있을 것이다.

명제 11 Morphism \(\varphi: X \to Y\)는 coordinate ring homomorphism \(\varphi^\ast: \mathbb{K}[Y] \to \mathbb{K}[X]\)를 유도한다. 구체적으로, \(\bar{g} \in \mathbb{K}[Y]\)에 대하여

\[\varphi^\ast(\bar{g}) = \overline{g \circ \varphi}\]

이다.

증명

먼저 \(\varphi^\ast\)가 well-defined임을 보여야 한다. \(g, h \in \mathbb{K}[\y_1, \ldots, \y_m]\)가 \(Y\) 위에서 같은 함수를 정의한다면, \(g - h \in I(Y)\)이다. \(\varphi(X) \subseteq Y\)이므로, 모든 \(a \in X\)에 대해

\[(g \circ \varphi)(a) - (h \circ \varphi)(a) = (g - h)(\varphi(a)) = 0\]

이다. 즉 \(g \circ \varphi - h \circ \varphi \in I(X)\)이고, 따라서 \(\overline{g \circ \varphi} = \overline{h \circ \varphi}\)이다.

이제 \(\varphi^\ast\)가 ring homomorphism임은 자명하다.

즉, morphism \(\varphi: X \to Y\)는 coordinate ring homomorphism \(\varphi^\ast: \mathbb{K}[Y] \to \mathbb{K}[X]\)를 유도한다. 이는 \(X\mapsto \mathbb{K}[X]\)가 affine variety들의 category에서 \(\Ring\)으로의 contravariant functor임을 의미한다.

한편 morphism의 개념을 정의했다면, 당연히 isomorphism의 개념이 존재한다.

정의 12 Morphism \(\varphi: X \to Y\)가 isomorphism동형사상이라는 것은 역함수 \(\psi: Y \to X\)가 존재하여 \(\psi\)도 morphism인 것이다.

예를 들어, \(\mathbb{A}^1\)에서 twisted cubic \(C\)로의 morphism \(t\mapsto (t, t^2, t^3)\)은 isomorphism이다. 이는 \((x,y,z)\mapsto x\)가 inverse를 정의하기 때문이다.

위에서 살펴봤듯, \(X\mapsto \mathbb{K}[X]\)는 affine variety들의 category에서 \(\Ring\)으로의 contravariant functor를 정의하므로, isomorphic한 affine variety들은 isomorphic한 coordinate ring을 갖는 것이 자명하다. 다음 명제는 그 역도 성립함을 보여준다.

명제 13 Morphism \(\varphi: X \to Y\)가 isomorphism일 필요충분조건은 \(\varphi^\ast: \mathbb{K}[Y] \to \mathbb{K}[X]\)가 ring isomorphism인 것이다.

증명

반대방향만 보이면 충분하다. \(\varphi^\ast\)가 isomorphism이라 하자. 그럼 \(\psi^\ast = (\varphi^\ast)^{-1}: \mathbb{K}[X] \to \mathbb{K}[Y]\)가 존재한다.

이제 \(\psi^\ast\)로부터 morphism \(\theta: Y \to X\)를 정의하자.

\[\mathbb{K}[X] = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]/I(X)\]

의 각 원소 \(\bar{\x}_i\)에 대하여, \(\psi^\ast(\bar{\x}_i) \in \mathbb{K}[Y]\)를 생각할 수 있다. 이를 \(\bar{g}_i\)라 적고, 이들의 어떠한 representative들 \(g_i\)들을 생각하자. 그럼 \(\theta: Y \to \mathbb{A}^n\)을 \(\theta(y) = (g_1(y), \ldots, g_n(y))\)으로 정의할 수 있으며, \(\mathbb{K}[Y]\)의 정의에 의해 이는 representative \(g_i\)의 선택에 의존하지 않는다. 이제 \(\psi^\ast\)가 well-defined이므로 \(\theta(Y) \subseteq X\)이고, 따라서 \(\theta: Y \to X\)는 morphism이다. 나머지 부분은 단순 계산이다.

참고문헌

[Har] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992. [Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013. [Ful] W. Fulton, Algebraic Curves, 2008. (Available online)

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