\[Canonical Bundle\]에서 우리는 canonical divisor $K_X$와 그에 대응하는 line bundle $\omega_X$를 도입하였다. 이제 우리는 이 두 객체를 이용해 Riemann–Roch 정리를 서술한다. 이 정리는 divisor와 line bundle 사이의 차원을 연결해 주며, $\dim H^0(X,\mathcal{L})$를 계산하는 강력한 도구이다.
Riemann–Roch 정리는 대수기하학에서 가장 중요하고 유명한 정리 중 하나이다. 이 정리는 divisor, line bundle, cohomology 등의 개념을 연결해 주며, 특히 curves와 surfaces에 대해 매우 강력한 결과를 제공한다.
Riemann–Roch for Smooth Projective Curves
정의 1 Smooth projective curve $C$ 위의 divisor $D$에 대해 Riemann–Roch 차원을 \(\\ell(D) = \\dim H^0(C, \\mathcal{O}_C(D))\) 라고 정의한다.
이 차원은 $D$의 linear system $\lvert D \rvert$의 dimension과 같다. 즉, $D$와 linearly equivalent한 effective divisor들의 수이다.
명제 2 (Riemann–Roch for curves) \(\\ell(D) - \\ell(K_C - D) = \\deg D + 1 - g,\) 여기서 $g$는 $C$의 genus, $K_C$는 canonical divisor이다.
증명
우리는 Serre duality (\[Canonical Bundle\])를 이용한다.
\[H^1(C, \\mathcal{O}_C(D)) \\cong H^0(C, \\omega_C \\otimes \\mathcal{O}_C(-D))^\\vee = H^0(C, \\mathcal{O}_C(K_C - D))^\\vee.\]Euler characteristic는 \(\\chi(\\mathcal{O}_C(D)) = h^0(C, \\mathcal{O}_C(D)) - h^1(C, \\mathcal{O}_C(D)).\)
또한 차원 논리를 이용해 $\chi(\mathcal{O}_C(D)) = \deg D + 1 - g$임을 알 수 있다 (Riemann–Roch for line bundles). 두 식을 합치면 명제가 얻어진다.
예시 3 $\mathbb{P}^1$: $g = 0$, $K_{\mathbb{P}^1} = -2H$. Divisor $D = dH$에 대해 \(\\ell(dH) = d+1 \\quad (d \\ge 0), \\qquad \\ell(dH) = 0 \\quad (d < 0).\) Riemann–Roch 식은 $\ell(dH) - \ell(-2H-dH) = d+1$를 만족한다.
예시 4 Genus 1 curve (elliptic curve): $g = 1$, $K_C \sim 0$. Divisor $D$에 대해 \(\\ell(D) = \\deg D + 1 \\quad (D \\ge 0).\)
예시 5 Genus 2 curve: $g = 2$, $K_C \sim 2p$ (p는 any point). Divisor $D = d$ (point $p$의 $d$번째 multiple)에 대해 \(\\ell(d) = d \\quad (d \\ge 0),\) 하지만 $d \ge 3$이면 $\ell(d) = d-1$ (because $K_C - D = 2p - d \ge 0$ when $d \le 2$).
Riemann–Roch for Smooth Projective Surfaces
정의 6 Smooth projective surface $S$ 위의 divisor $D$에 대해 Riemann–Roch 차원을 \(\\chi(\\mathcal{O}_S(D)) = \\sum_{i=0}^2 (-1)^i h^i(S, \\mathcal{O}_S(D))\) 라고 정의한다.
여기서 $\chi$는 Euler characteristic이다. $h^0$는 global section의 수, $h^1$과 $h^2$는 cohomology의 dimension이다.
명제 7 (Riemann–Roch for surfaces) \(\\chi(\\mathcal{O}_S(D)) = \\frac{1}{2} D \\cdot (D - K_S) + \\chi(\\mathcal{O}_S),\) 여기서 $K_S$는 canonical divisor, $\chi(\mathcal{O}_S)=1-q+p_g$이며 $q = h^1(S,\mathcal{O}_S)$, $p_g = h^2(S,\mathcal{O}_S)$.
증명
Hirzebruch–Riemann–Roch theorem을 적용한다.
\[\\chi(\\mathcal{O}_S(D)) = \\int_S \\operatorname{ch}(\\mathcal{O}_S(D)) \\operatorname{td}(T_S).\]$\operatorname{ch}(\mathcal{O}_S(D)) = 1 + D + \tfrac12 D^2$이고, $\operatorname{td}(T_S) = 1 + \tfrac12 K_S + \tfrac{1}{12}(c_1^2 + c_2)$. 곱셈 후 차수 2 항만 적분하면 위 식이 얻어진다.
예시 8 $\mathbb{P}^2$: $K_{\mathbb{P}^2} = -3H$, $\chi(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}) = 1$. Divisor $D = dH$에 대해 \(\\chi(\\mathcal{O}_{\\mathbb{P}^2}(d)) = \\frac12 d(d+3) + 1.\) 또한 $h^0 = \binom{d+2}{2}$, $h^1 = h^2 = 0$ for $d \ge 0$, 따라서 위 식과 일치한다.
예시 9 Blow-up of $\mathbb{P}^2$: $\pi: \tilde{\mathbb{P}}^2 \to \mathbb{P}^2$ at point $p$. Let $E$ be exceptional divisor. $K_{\tilde{\mathbb{P}}^2} = \pi^\ast K_{\mathbb{P}^2} + E = -3H + E$. $D = dH - kE$에 대해 \(\\chi(\\mathcal{O}_{\\tilde{\\mathbb{P}}^2}(dH - kE)) = \\frac12 d(d-3) + \\frac12 k^2 + 1.\)
Applications
Genus Formula for Plane Curves
명제 10 Smooth plane curve $C \subset \mathbb{P}^2$ of degree $d$에 대해, Adjunction formula (\[Canonical Bundle\])와 Riemann–Roch for curves를 조합하면 \(g(C) = \\frac{(d-1)(d-2)}{2}.\)
증명
Adjunction formula: $K_C = (d-3)H|_C$. Riemann–Roch for $D = (d-1)H|_C$: \(\\ell((d-1)H|_C) - \\ell(K_C - (d-1)H|_C) = (d-1) + 1 - g.\) Left side: $\ell((d-1)H|_C) = \binom{d-1+2}{2} = \frac{d(d-1)}{2}$ (hyperplane sections), $K_C - (d-1)H|_C = -2H|_C \sim 0$, so $\ell(-2H|_C) = 1$. Right side: $d - g$. Thus $\frac{d(d-1)}{2} - 1 = d - g \implies g = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$.
예시 11 Degree 3 curve (cubic): $g = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1$ (elliptic curve). Degree 4 curve (quartic): $g = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$. Degree 5 curve (quintic): $g = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.
Noether Formula
명제 12 (Noether Formula) Smooth surface $S$에 대해 \(c_1(S)^2 + c_2(S) = 12 \\, \\chi(\\mathcal{O}_S).\) 이는 Riemann–Roch 식을 $D=0$에 적용한 결과와 $\chi(\mathcal{O}_S)=1 - q + p_g$를 사용하여 얻는다.
증명
Riemann–Roch for $D=0$: \(\\chi(\\mathcal{O}_S) = \\frac{1}{2} K_S^2 + \\chi(\\mathcal{O}_S).\) Thus $K_S^2 = 2 \, \chi(\mathcal{O}_S) (\text{degree of }K_S)$. Using $c_1^2 = K_S^2$ and $c_2 = K_S^2 + 12 \, \chi(\mathcal{O}_S)$ gives the formula.
예시 13 $\mathbb{P}^2$: $K_{\mathbb{P}^2}^2 = 9$, $\chi(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}) = 1$. Noether formula: $c_1^2 + c_2 = 12 \cdot 1 \implies 9 + c_2 = 12 \implies c_2 = 3$. Indeed, $\mathbb{P}^2$ has $c_2 = 3$ (three lines in general position).
Brill-Noether Theory
명제 14 (Brill-Noether) Curve $C$ of genus $g$ with $\ell(D) \ge r$ for divisor $D$ of degree $d$: If $d \ge r + g$, then $\ell(D) \ge r$.
증명
Riemann–Roch gives $\ell(D) - \ell(K_C - D) = d + 1 - g$. Since $\ell(K_C - D) \ge 0$, we have $\ell(D) \ge d + 1 - g$. Setting $d \ge r + g$ yields $\ell(D) \ge r + 1 > r$ (for $r \ge 0$). More refined arguments show equality can hold.
예시 15 $g=2$: $K_C \sim 2p$. For $d \ge 2$, any divisor $D = d p$ satisfies $\ell(D) \ge d$. For $d = 2$, $\ell(D) = 2$ (since $K_C - D = 0$). For $d = 3$, $\ell(D) = 3$ if $D \ge 0$, else $0$.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977. [Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.
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