도입
Bézout’s theorem은 projective space 안의 두 variety의 intersection에 대한 고전적인 정리이다. 가장 간단한 형태로, $\mathbb{P}^2$ 안의 degree $m$과 $n$인 두 curve는 (공통 성분이 없으면) 정확히 $mn$개의 점에서 만난다.
이 정리는 intersection theory의 기본적인 응용이며, 많은 기하학적 결과의 기초가 된다.
Statement
정리 1 (Bézout’s Theorem) $\mathbb{P}^n$ 안의 차수 $d_1, \ldots, d_r$의 hypersurface $H_1, \ldots, H_r$이 공통 성분을 갖지 않는다면:
\[\deg(H_1 \cap \cdots \cap H_r) = d_1 \cdots d_r\]여기서 intersection은 multiplicity를 고려한 “scheme-theoretic” intersection이다.
따름정리 2 (Curves in $\mathbb{P}^2$) $\mathbb{P}^2$ 안의 차수 $m$, $n$인 두 curve $C, D$가 공통 성분을 갖지 않으면:
\[\sum_{p \in C \cap D} i_p(C, D) = mn\]참고 3 “공통 성분이 없다”는 조건이 중요하다. 예를 들어 $C = D$이면 무한히 많은 점에서 만난다.
Examples
예시 4 (Line과 Curve) $\mathbb{P}^2$ 안의 차수 $d$ curve $C$와 line $L$을 생각하자.
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$L$이 $C$의 component가 아니면 $ C \cap L = d$ (multiplicity 포함) - 예: Cubic curve는 line과 3점에서 만남
예시 5 (Two Conics) 두 conic (degree 2 curves)은 4점에서 만난다.
예: $C_1: x^2 + y^2 = z^2$ (circle), $C_2: xy = 0$ (two lines)
$C_1 \cap C_2$는 4점: $[1:0:1]$, $[1:0:-1]$, $[0:1:1]$, $[0:1:-1]$
$2 \times 2 = 4$. ✓
예시 6 (Tangent Case) $C: y = x^2$와 $L: y = 0$을 $\mathbb{P}^2$에서 생각하자.
$C \cap L$은 원점에서 multiplicity 2로 만난다.
$\deg C = 2$, $\deg L = 1$, $2 \times 1 = 2$. ✓
Proof via Chow Ring
증명 (Chow ring을 통한)
$\operatorname{CH}^\ast(\mathbb{P}^n) = \mathbb{Z}[H] / (H^{n+1})$에서 degree $d_i$ hypersurface $H_i$의 class는 $d_i H$이다.
Intersection product:
\[[H_1] \cdot \cdots \cdot [H_r] = (d_1 H) \cdots (d_r H) = d_1 \cdots d_r \cdot H^r\]$H^r$은 codimension $r$ linear subspace의 class이고, 그 degree는 1이다.
따라서:
\[\deg(H_1 \cap \cdots \cap H_r) = d_1 \cdots d_r\]Generalization
정리 8 (General Bézout) $\mathbb{P}^n$ 안의 variety $V, W$에 대해 (적절한 조건 하에):
\[\deg(V \cap W) = \deg(V) \cdot \deg(W)\]예시 9 ($\mathbb{P}^3$) $\mathbb{P}^3$ 안의 two quadric surfaces $Q_1, Q_2$ (degree 2)의 intersection은 degree 4 curve이다.
$Q_1 \cap Q_2$는 elliptic curve (genus 1) 또는 rational curve의 union일 수 있다.
Applications
명제 10 (Cubic Curve의 9점) 두 cubic curve $C_1, C_2$가 9점 $p_1, \ldots, p_9$에서 만나면, 이 9점을 지나는 임의의 cubic curve는 $C_1$과 $C_2$의 linear combination이다.
따름정리 11 (Pascal’s Theorem) Conic 위의 6점 $p_1, \ldots, p_6$에 대해, $p_1 p_2$, $p_3 p_4$, $p_5 p_6$이 collinear이면 $p_2 p_3$, $p_4 p_5$, $p_6 p_1$도 collinear이다.
증명 (Sketch)
Cubic curve $C$를 다음으로 정의하자: \(C = \overline{p_1 p_2} \cup \overline{p_3 p_4} \cup \overline{p_5 p_6}\)
$C$는 conic과 9점에서 만난다 (conic 위의 6점 + 3 intersection point).
Pascal line $L$을 지나는 다른 cubic $C’$을 정의하면, Bézout에 의해 $C$와 $C’$이 같은 9점을 지나야 한다.
이로부터 결과가 따른다.
명제 12 (Max Number of Double Points) Degree $d$ plane curve가 가질 수 있는 최대 double point의 개수는 $\binom{d-1}{2}$이다.
증명
Double point에서의 multiplicity는 2이다. 따라서 $n$개의 double point가 있으면 총 multiplicity는 $2n$이다.
Generic line이 curve와 $d$점에서 만나므로, double point를 지나는 line은 $(d-2) + 2 = d$점에서 만난다.
Double point들의 수가 너무 많으면 모든 double point를 지나는 curve가 존재하게 되어矛盾. 자세한 계산으로 $\binom{d-1}{2}$를 얻는다.
Complex Analytic Perspective
참고 13 $\mathbb{P}^n_\mathbb{C}$에서 Bézout’s theorem은 topological 의미를 갖는다:
\[\sum_{p \in V \cap W} i_p(V, W) = [V] \cup [W] \in H^{2n}(\mathbb{P}^n, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}\]Cohomology class의 cup product가 intersection number를 계산한다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Ful] W. Fulton, Intersection Theory, Springer, 1984.
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