사영공간의 정의
정의 1 Field \(\mathbb{K}\) 위의 projective \(n\)-space\(n\)차원 사영공간 \(\mathbb{P}^n_{\mathbb{K}}\)를 다음과 같이 정의한다. 집합으로서
\[\mathbb{P}^n = (\mathbb{K}^{n+1} \setminus \{0\}) / \sim\]이며, 여기서 동치관계 \(\sim\)은
\[(x_0, \ldots, x_n) \sim (y_0, \ldots, y_n) \iff \text{$x_i = \lambda y_i$ for some $\lambda \in \mathbb{K}^\ast$, for all $i$}\]으로 주어진다. 혼동의 여지가 없을 때는 \(\mathbb{P}^n\)으로 적는다.
동치류 \([(x_0, \ldots, x_n)]\)은 보통 \([x_0 : \cdots : x_n]\)으로 표기하며, 이를 homogeneous coordinates동차좌표라 부른다. \(x_0, \ldots, x_n\)을 좌표라 하고, 이들 중 적어도 하나는 \(0\)이 아니어야 한다. Homogeneous coordinates의 핵심은 좌표들이 비율만을 결정한다는 것이다. 즉, \([x_0 : \cdots : x_n] = [\lambda x_0 : \cdots : \lambda x_n]\) for \(\lambda \in \mathbb{K}^\ast\)이다.
동차다항식과 사영공간
이제 우리는 affine case에서와 마찬가지로 \(\mathbb{P}^n\)에 위상구조를 주어야 한다. Projective space에서도 마찬가지로 우리는 다항식들의 zero set으로 닫힌집합을 정의할 것인데, 주의할 점은 \(\mathbb{P}^n\)은 quotient set으로 정의되었으므로 다항식이 잘 정의되지 않는다는 것이다. 즉 임의의 \(F \in \mathbb{K}[x_0, \ldots, x_n]\)에 대하여, \([x_0 : \cdots : x_n] = [\lambda x_0 : \cdots : \lambda x_n]\)이지만 일반적으로
\[F(x_0, \ldots, x_n)\neq F(\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n)\]이며, 이 evaluation이 임의의 representative에 대해 잘 정의되도록 하는 유일한 다항식은 상수다항식 뿐이다.
그러나 만일 다항식이 정의하는 zero set에만 관심을 둔다면 이 문제가 해결된다. Homogeneous polynomial \(F\) of degree \(d\)에 대해서는
\[F(\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^d F(x_0, \ldots, x_n)\]이므로,
\[F(\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n) = 0 \iff F(x_0, \ldots, x_n) = 0\]이다. 따라서 homogeneous polynomial의 zero set은 projective space에서 잘 정의된다.
정의 2 다항식 \(F \in \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]\)이 homogeneous of degree \(d\)$d$차 동차다항식라는 것은 모든 \(\lambda \in \mathbb{K}\)에 대해
\[F(\lambda \x_0, \ldots, \lambda \x_n) = \lambda^d F(\x_0, \ldots, \x_n)\]을 만족하는 것이다.
정의를 복잡하게 해 두긴 했지만, 이는 본질적으로 다항식을 단항식들의 합으로 나타냈을 때, 모든 단항식이 \(d\)차라는 것이다. 그럼 다음을 정의할 수 있다.
정의 3 Homogeneous polynomials \(F_1, \ldots, F_k \in \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]\)에 대하여, projective variety사영다양체 \(V(F_1, \ldots, F_k)\)를
\[V(F_1, \ldots, F_k) = \{[x_0 : \cdots : x_n] \in \mathbb{P}^n \mid F_1(x) = \cdots = F_k(x) = 0\}\]으로 정의한다.
위에서 설명했듯, 각각의 \(F_i\)들이 homogeneous이므로 이것이 잘 정의되는 것을 확인할 수 있다. 그럼 affine case와 마찬가지로 우리는 위상구조를 정의하기 위해 Zariski topology를 사용한다. 이를 위해서는 다음 명제가 필요하다.
명제 4 다음이 성립한다.
- \(V(0) = \mathbb{P}^n\), \(V(1) = \emptyset\),
- \(\bigcap_\alpha V(F_\alpha) = V(\sum F_\alpha)\),
- \(V(F) \cup V(G) = V(FG)\).
증명
이 증명은 affine case와 완전히 동일하다. 유일한 차이점은 여기서 다루는 다항식들이 모두 homogeneous라는 점이지만, 증명 논리 자체는 동일하다.
첫 번째 주장은 자명하다. 두 번째 주장의 경우, 점 \([x_0 : \cdots : x_n]\)이 모든 \(V(F_\alpha)\)에 속한다는 것은 모든 \(F_\alpha(x) = 0\)이라는 것이다. 이는 ideal \((F_\alpha)_\alpha\)의 모든 원소가 \(x\)에서 0이라는 것과 동치이다. 마지막으로 점 \([x_0 : \cdots : x_n]\)이 \(V(F) \cup V(G)\)에 속한다는 것은 \(F(x) = 0\) 또는 \(G(x) = 0\)이라는 것이다. Field에서 이는 \(F(x)G(x) = 0\)과 동치이다.
Affine case에서와 마찬가지로, 이는 projective space \(\mathbb{P}^n\) 위에 projective subvariety들을 닫힌집합으로 갖는 위상구조가 존재한다는 것을 보여주며, 우리는 각각의 projective variety에 이를 이용하여 subspace topology를 줄 수 있다.
명제 5 \(\mathbb{P}^n\)은 Zariski 위상에서 compact이다.
증명
Standard open cover \(\mathbb{P}^n = U_0 \cup \cdots \cup U_n\)을 생각하자. 각 \(U_i \cong \mathbb{A}^n\)은 Zariski 위상에서 quasi-compact이다. 유한개의 quasi-compact 열린집합들의 합집합은 quasi-compact이므로 \(\mathbb{P}^n\)은 quasi-compact이다.
그러나 대수기하학에서 compactness 그 자체는 큰 의미가 없다. 가령 affine space 또한 quasi-compact임을 보일 수 있다. (때문에 우리는 이를 quasi-compact라 부른다.)
Homogeneous Ideal과 Projective Nullstellensatz
정의 6 Ideal \(I \subseteq \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]\)이 homogeneous라는 것은 \(I\)가 homogeneous polynomials들로 생성되는 것이다.
정의 7 부분집합 \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)의 homogeneous ideal \(I(X)\)를
\[I(X) = \{F \in \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n] \mid F \text{ is homogeneous and } F(x) = 0 \text{ for all } x \in X\}\]으로 정의한다.
정리 8 (Projective Nullstellensatz) Field \(\mathbb{K}\)가 대수적으로 닫힌 체이고 \(I \subseteq \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]\)이 homogeneous ideal이라 하자. 그럼
- \(V(I) = \emptyset \iff I \supseteq (\x_0, \ldots, \x_n)\),
- \(I(V(I)) = \sqrt{I}\) (if \(V(I) \ne \emptyset\)).
Affine case와의 차이점은 \(V(I) = \emptyset\)이 \(I = (1)\)을 의미하지 않고, \(I\)가 irrelevant ideal \((\x_0, \ldots, \x_n)\)을 포함하는 것을 의미한다는 점이다. 이는 \((\x_0, \ldots, \x_n)\)이 \(\mathbb{K}^{n+1}\)의 원점에 해당하는데, projective space의 정의에서 원점은 제외되었기 때문이다.
Standard Affine Cover
Projective space \(\mathbb{P}^n\)은 \(n+1\)개의 affine space들로 덮을 수 있다. 이는 projective space를 이해하는 가장 중요한 방법 중 하나이다.
정의 9 \(i = 0, 1, \ldots, n\)에 대하여, \(i\)번째 standard open set \(U_i\)를
\[U_i = \{[x_0 : \cdots : x_n] \in \mathbb{P}^n \mid x_i \ne 0\}\]으로 정의한다.
각각의 \(U_i\)에 \(\mathbb{P}^n\)으로부터 오는 subspace topology를 주자.
명제 10 각각의 \(U_i\)는 (subspace topology 하에서) affine space \(\mathbb{A}^n\)과 homeomorphic하다.
증명
표기의 편의를 위해 \(i=0\)인 경우를 증명한다. \(U_0\)의 경우, map \(\varphi_0: U_0 \to \mathbb{A}^n\)을
\[\varphi_0([x_0 : x_1 : \cdots : x_n]) = \left(\frac{x_1}{x_0}, \ldots, \frac{x_n}{x_0}\right)\]으로 정의하자. 역함수 \(\psi_0: \mathbb{A}^n \to U_0\)는
\[\psi_0(a_1, \ldots, a_n) = [1 : a_1 : \cdots : a_n]\]이다. 이들이 서로 inverse인 것은 정의로부터 자명하다. 이제 \(\varphi_0\)와 \(\psi_0\)가 모두 연속임을 보여야 한다.
우선 \(\varphi_0\)의 연속성을 보이기 위해 \(\mathbb{A}^n\)의 닫힌집합 \(V(f)\)를 생각하자. 그럼
\[\varphi_0^{-1}(V(f)) = \left\{[x_0 : \cdots : x_n] \in U_0 \mid f\left(\frac{x_1}{x_0}, \ldots, \frac{x_n}{x_0}\right) = 0\right\}\]이다. \(f\)가 degree \(d\)인 다항식이라면, \(x_0^d f(x_1/x_0, \ldots, x_n/x_0)\)는 homogeneous polynomial \(F\)가 되어 \(\varphi_0^{-1}(V(f)) = V(F) \cap U_0\)이다. 이는 \(U_0\)의 subspace topology에서 닫힌집합이다.
이제 그 역함수 \(\psi_0\)의 연속성을 보이자. \(U_0\)의 닫힌집합 \(V(F) \cap U_0\)를 생각하자. 여기서 \(F\)는 homogeneous polynomial of degree \(d\)이다. 그럼
\[\psi_0^{-1}(V(F) \cap U_0) = \{(a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{A}^n \mid F(1, a_1, \ldots, a_n) = 0\}\]이다. \(F(1, \x_1, \ldots, \x_n)\)은 \(\mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)의 다항식이므로 \(\psi_0^{-1}(V(F) \cap U_0)\)는 \(\mathbb{A}^n\)에서 닫힌집합이다.
따라서 \(\varphi_0\)와 \(\psi_0\)가 서로 inverse이고 모두 연속이므로 \(\varphi_0\)는 homeomorphism이다.
즉, 직관적으로 우리는 \(U_i\)를 좌표 \(x_i\)가 무한대가 아닌 점들로 생각할 수 있다. 또, \(\mathbb{P}^n = U_0 \cup \cdots \cup U_n\)이고, 위의 명제에 의해 각 \(U_i \cong \mathbb{A}^n\)이다. 위의 명제의 증명 과정에서 핵심적인 것은 다음의 명제이다.
명제 11 Projective variety \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)과 standard open set \(U_i\)에 대하여, \(X \cap U_i\)는 \(U_i \cong \mathbb{A}^n\) 위의 affine variety이다.
증명
\(U_0\)의 경우, \(X = V(F_1, \ldots, F_k)\)이고 각 \(F_j\)가 homogeneous of degree \(d_j\)라 하자. 그럼 \(X \cap U_0\)는 \(\mathbb{A}^n\)에서
\[F_j\left(1, \frac{\x_1}{\x_0}, \ldots, \frac{\x_n}{\x_0}\right) = 0, \quad j = 1, \ldots, k\]을 만족하는 점들이다. 양변에 \(\x_0^{d_j}\)를 곱하면
\[\x_0^{d_j} F_j\left(1, \frac{\x_1}{\x_0}, \ldots, \frac{\x_n}{\x_0}\right) = F_j(\x_0, \x_1, \ldots, \x_n) = 0\]이다. 이제 \(f_j(\x_1, \ldots, \x_n) = F_j(1, \x_1, \ldots, \x_n)\)라 두면, \(X \cap U_0 = V(f_1, \ldots, f_k) \subseteq \mathbb{A}^n\)이다.
예시 12 위의 명제를 기하적으로 해석하기 위해 \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\)이라 하고, \(\mathbb{P}^2\)에서 conic \(X = V(\x_0^2 + \x_1^2 - \x_2^2)\)를 생각하자.
이 conic은 \(\mathbb{A}^3\) 안의 원뿔 \(\x_0^2 + \x_1^2 = \x_2^2\)을 homogeneous coordinates로 표현한 것이다. 그럼 standard open set들에서 \(X\)가 어떻게 보이는지는 명제 11에서 알 수 있다. 즉 \(U_i\)에서 \(X\)가 어떻게 생겼는지를 보기 위해서는 그냥 \(\x_i\) 자리에 \(1\)을 넣고, 남은 \(n\)개의 변수가 \(\mathbb{A}^n\)의 좌표인 것으로 생각하면 된다. 그럼 특히 다음의 결과를 얻는다.
- \(U_0, U_1\)에서 \(X\)는 쌍곡선 \(1+\y^2-\z^2=0\), \(\x^2+1-\z^2=0\)이다.
- \(U_2\)에서 \(X\)는 원 \(\x^2+\y^2=1\)이다.
이는 \(\mathbb{A}^3\)에서 식 \(\x_0^2 + \x_1^2 = \x_2^2\)이 원뿔이고, 이를 평면 \(\x_0=1, \x_1=1, \x_2=1\)로 자른 흔적이 쌍곡선과 원이 되기 때문에 생기는 일이다.
한편 이를 \(\mathbb{P}^2\)에서 바로 해석할 수도 있다. 이를 위해 우리는 \(\mathbb{P}^2\)를 다음과 같이 얻어내자. \(\x_2\neq 0\)인 점들에 대해서는 \(\x_2>0\)을 만족하는 상반구로 radial projection하고, \(\x_2=0\)인 점들은 antipodal point들을 identify하여 얻는다. 이를 통해 \(\mathbb{P}^2\)는 “무한대 직선” \(\mathbb{P}^1\)에, 상반구의 표면에 해당하는 평면 \(\mathbb{A}^2\)가 합쳐진 모습으로 생각할 수 있다. 그럼 주어진 원뿔은 우선 첫 번째 radial projection을 통해 상반구에 포함되는 원이 되며, 이로부터 \(X\)는 \(\mathbb{P}^2\)에서 원으로 나타난다는 것을 안다.
물론 처음에 \(\x_0\neq 0\)을 만족하는 점들을 \(\x_0>0\)인 상반구로 radial projection, \(\x_0=0\)인 점들을 \(\mathbb{P}^1\)으로 갖는 식으로 \(\mathbb{P}^2\)를 만들 수도 있었을 것이다. 그럼 이 과정에서는 상반구에 두 개의 반원이 그려질 것이나, 이 두 반원의 경계점이 \(\x_0=0\)인 점들을 identify하는 과정에서 서로 같은 것으로 취급되어 이 그림에서도 \(X\)는 원이 될 것이다.
이제 이 관점에서, \(U_i\)에서의 \(X\)를 보는 것은 \(\mathbb{P}^2\)에서 무한대 직선 \(\x_i=0\)을 빼는 것에 해당한다. 만일 \(U_2\)에서 \(X\)를 본다면, 위에서 살펴보았듯 \(X\)는 무한대 직선 \(\x_2=0\)과 만나지 않으므로 이 직선을 빼도 온전한 원으로 남는다. 그러나 가령 무한대 직선 \(\x_1=0\)을 뺀다면, \(X\)는 \(\x_1\)과 두 점에서 만나고 있고, 따라서 원 \(X\)에서 이 두 점을 뺀 후 펼치게 되면 쌍곡선이 나오게 되는 것으로 이해할 수 있다.
사영다양체 사이의 사상
마지막으로 우리는 projective variety들의 morphism을 정의한다. Projective variety는 결국 homogeneous polynomial로 정의되므로, 다음과 같이 정의하는 것이 자연스럽다.
정의 13 \(\varphi: X \to Y\)가 projective variety \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)과 \(Y \subseteq \mathbb{P}^m\) 사이의 morphism사상이라는 것은, 각각의 점 \(p\)마다 적당한 homogeneous polynomials \(F_0, \ldots, F_m\) of the same degree가 존재하여
\[\varphi(p) = [F_0(p) : \cdots : F_m(p)]\]이고, 모든 \(p \in X\)에 대해 \(F_i(p)\)들이 동시에 \(0\)이 아닌 것이다.
다음 예시들은 대표적인 morphism들이다.
예시 14 우선 \(\mathbb{P}^1\)에서 \(\mathbb{P}^2\)로의 Veronese embedding (of degree 2)을
\[[x:y]\mapsto [x^2: xy:y^2]\]으로 정의하면, 이는 projective space들 사이의 morphism이 된다. 또 다른 예시로, \(\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1\)에서 \(\mathbb{P}^3\)의 Segre embedding은 다음 식
\[([x:y], [u:v])\mapsto [xu: xv: yu: yv]\]으로 주어지는 morphism이다.
예시 15 Twisted cubic in \(\mathbb{P}^3\)
\[C = \{[1 : t : t^2 : t^3] \mid t \in \mathbb{K}\} \cup \{[0 : 0 : 0 : 1]\}\]는 세 개의 quadratic polynomials
\[\x_0 \x_2 - \x_1^2, \quad \x_0 \x_3 - \x_1 \x_2, \quad \x_1 \x_3 - \x_2^2\]의 공통 영점이며, \(\mathbb{P}^1\)과 isomorphic하다. 실은, 이는 예시 14에서 살펴본 Veronese embedding of degree 3으로,
\[[x:y]\mapsto [x^3: x^2y: xy^2: y^3]\]이 \(\mathbb{P}^1\)에서 \(C\)로의 isomorphism이 된다.
참고문헌
[Har] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.
[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves, 2008. (A
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