사영다양체

사영공간의 정의

이제 우리는 대수다양체의 다른 중요한 클래스인 사영다양체를 정의한다. 우선 다음부터 시작한다.

정의 1 Field \(\mathbb{K}\) 위의 projective \(n\)-space_{\(n\)차원 사영공간} \(\mathbb{P}^n_{\mathbb{K}}\)를 다음과 같이 정의한다. 집합으로서

\[\mathbb{P}^n = (\mathbb{K}^{n+1} \setminus \{0\}) / \sim\]

이며, 여기서 동치관계 \(\sim\)은

\[(x_0, \ldots, x_n) \sim (y_0, \ldots, y_n) \iff \text{$x_i = \lambda y_i$ for some $\lambda \in \mathbb{K}^\ast$, for all $i$}\]

으로 주어진다. 혼동의 여지가 없을 때는 \(\mathbb{P}^n\)으로 적는다.

Equivalence class \([(x_0, \ldots, x_n)]\)은 보통 \([x_0 : \cdots : x_n]\)으로 표기하며, 이를 homogeneous coordinates_동차좌표라 부른다. \(x_0, \ldots, x_n\)을 좌표라 하고, 이들 중 적어도 하나는 \(0\)이 아니어야 한다. Homogeneous coordinates의 핵심은 좌표들이 비율만을 결정한다는 것이다. 즉, 모든 \(\lambda\in \mathbb{K}^\ast\)에 대하여 \([x_0 : \cdots : x_n] = [\lambda x_0 : \cdots : \lambda x_n]\)이 성립한다.

동차다항식과 사영공간

이제 우리는 affine case에서와 마찬가지로 \(\mathbb{P}^n\)에 위상구조를 주어야 한다. Projective space에서도 마찬가지로 우리는 다항식들의 zero set으로 닫힌집합을 정의할 것인데, 주의할 점은 \(\mathbb{P}^n\)은 quotient set으로 정의되었으므로 일반적으로는 다항식이 \(\mathbb{P}^N\) 위에 정의된 함수를 정의하지 않는다는 것이다. 즉 임의의 \(F \in \mathbb{K}[x_0, \ldots, x_n]\)에 대하여, \([x_0 : \cdots : x_n] = [\lambda x_0 : \cdots : \lambda x_n]\)이지만 일반적으로

\[F(x_0, \ldots, x_n)\neq F(\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n)\]

이며, 이 계산이 \(\mathbb{P}^n\)의 모든 점에서 evaluation이 임의의 representative에 대해 잘 정의되도록 하는 유일한 다항식은 상수다항식 뿐이다. 그러나 만일 다항식이 정의하는 zero set에만 관심을 둔다면 이 문제가 해결된다. Homogeneous polynomial \(F\) of degree \(d\)에 대해서는

\[F(\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^d F(x_0, \ldots, x_n)\]

이므로,

\[F(\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n) = 0 \iff F(x_0, \ldots, x_n) = 0\]

이다. 따라서 homogeneous polynomial의 zero set은 projective space에서 잘 정의된다.

정의 2 다항식 \(F \in \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]\)이 homogeneous of degree \(d\)_{$d$차 동차다항식}라는 것은 모든 \(\lambda \in \mathbb{K}\)에 대해

\[F(\lambda \x_0, \ldots, \lambda \x_n) = \lambda^d F(\x_0, \ldots, \x_n)\]

을 만족하는 것이다.

정의를 복잡하게 해 두긴 했지만, 이는 본질적으로 다항식을 단항식들의 합으로 나타냈을 때, 모든 단항식이 \(d\)차라는 것이다. 그럼 다음을 정의할 수 있다.

정의 3 Homogeneous polynomials \(F_1, \ldots, F_k \in \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]\)에 대하여, projective algebraic set_{사영 대수적 집합} \(Z(F_1, \ldots, F_k)\)를

\[Z(F_1, \ldots, F_k) = \{[x_0 : \cdots : x_n] \in \mathbb{P}^n \mid F_1(x) = \cdots = F_k(x) = 0\}\]

으로 정의한다. Projective algebraic set들 가운데 그보다 더 작은 projective algebraic set들의 합집합으로 나타나지 않는 것들을 projective variety_{사영다양체}라 부른다.

위에서 설명했듯, 각각의 \(F_i\)들이 homogeneous이므로 이것이 잘 정의되는 것을 확인할 수 있다.

한편 우리는 affine variety를 다룰 때, \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 임의의 부분집합 대신 ideal들만 살펴보면 되었던 것을 기억한다. Projective case에서도 이 철학은 유사하지만, 추가로 homogeneity 가정을 더하여 homogeneous ideal의 개념을 정의할 수 있다.

정의 4 Ideal \(\mathfrak{a} \subseteq \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]\)이 homogeneous라는 것은 \(\mathfrak{a}\)가 homogeneous polynomial들로 생성되는 것이다.

Homogeneous ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, 그 zero set \(Z(\mathfrak{a})\)를 \(\mathfrak{a}\)의 모든 homogeneous polynomial들이 vanish하는 점들로 정의하면, affine case와 마찬가지로 우리는 Zariski topology를 정의할 수 있다. 이를 위해서는 다음 명제가 필요하다.

명제 5 다음이 성립한다.

1. \(Z(0) = \mathbb{P}^n\), \(Z(1) = \emptyset\),
2. \(\bigcap_iZ(\mathfrak{a}_i) = Z\left(\sum_i \mathfrak{a}_i\right)\),
3. \(Z(\mathfrak{a}) \cup Z(\mathfrak{b}) = Z(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}) = Z(\mathfrak{a}\mathfrak{b})\).

증명

Affine case와의 유일한 차이점은 여기서 다루는 다항식들이 모두 homogeneous라는 점이지만, 증명 논리 자체는 동일하므로 증명을 생략하기로 한다.

Affine case에서와 마찬가지로, 이는 projective space \(\mathbb{P}^n\) 위에 projective algebraic set들을 닫힌집합으로 갖는 위상구조가 존재한다는 것을 보여주며, 우리는 각각의 projective variety에 이를 이용하여 subspace topology를 줄 수 있다. 마찬가지로 이러한 topology를 Zariski topology라 부른다. ([아핀다양체] §아핀다양체의 정의에서 affine case의 Zariski topology를 먼저 살펴보았다.)

Projective Nullstellensatz

정의 6 부분집합 \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)의 homogeneous ideal \(I(X)\)를

\[I(X) = \{F \in \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n] \mid F \text{ is homogeneous and } F(x) = 0 \text{ for all } x \in X\}\]

으로 정의한다.

정리 7 (Projective Nullstellensatz) Field \(\mathbb{K}\)가 대수적으로 닫힌 체이고 \(\mathfrak{a} \subseteq \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]\)이 homogeneous ideal이라 하자. 그럼

1. \(Z(\mathfrak{a}) = \emptyset \iff \mathfrak{a} \supseteq (\x_0, \ldots, \x_n)\),
2. \(I(Z(\mathfrak{a})) = \sqrt{\mathfrak{a}}\) (if \(Z(\mathfrak{a}) \ne \emptyset\)).

Affine case와의 차이점은 \(Z(\mathfrak{a}) = \emptyset\)이 \(\mathfrak{a} = (1)\)을 의미하지 않고, \(\mathfrak{a}\)가 irrelevant ideal \((\x_0, \ldots, \x_n)\)을 포함하는 것을 의미한다는 점이다. 이는 \((\x_0, \ldots, \x_n)\)이 \(\mathbb{K}^{n+1}\)의 원점에 해당하는데, projective space의 정의에서 원점은 제외되었기 때문이다.

Standard Affine Cover

Projective space \(\mathbb{P}^n\)은 \(n+1\)개의 affine space들로 덮을 수 있다. 이는 projective space를 이해하는 가장 중요한 방법 중 하나이다.

정의 8 \(i = 0, 1, \ldots, n\)에 대하여, \(i\)번째 standard open set \(U_i\)를

\[U_i = \{[x_0 : \cdots : x_n] \in \mathbb{P}^n \mid x_i \ne 0\}\]

으로 정의한다.

각각의 \(U_i\)에 \(\mathbb{P}^n\)으로부터 오는 subspace topology를 주자. 그럼 다음이 성립한다.

명제 9 각각의 \(U_i\)는 (subspace topology 하에서) affine space \(\mathbb{A}^n\)과 homeomorphic하다.

증명

표기의 편의를 위해 \(i=0\)인 경우를 증명한다. \(U_0\)의 경우, map \(\varphi_0: U_0 \to \mathbb{A}^n\)을

\[\varphi_0([x_0 : x_1 : \cdots : x_n]) = \left(\frac{x_1}{x_0}, \ldots, \frac{x_n}{x_0}\right)\]

으로 정의하자. 역함수 \(\psi_0: \mathbb{A}^n \to U_0\)는

\[\psi_0(a_1, \ldots, a_n) = [1 : a_1 : \cdots : a_n]\]

이다. 이들이 서로 inverse인 것은 정의로부터 자명하다. 이제 \(\varphi_0\)와 \(\psi_0\)가 모두 연속임을 보여야 한다.

우선 \(\varphi_0\)의 연속성을 보이기 위해 \(\mathbb{A}^n\)의 닫힌집합 \(Z(f)\)를 생각하자. 그럼

\[\varphi_0^{-1}(Z(f)) = \left\{[x_0 : \cdots : x_n] \in U_0 \mid f\left(\frac{x_1}{x_0}, \ldots, \frac{x_n}{x_0}\right) = 0\right\}\]

이다. 이제 만일 \(f\)가 degree \(d\)인 다항식이라면,

\[F(x_0,\ldots, \x_n)=\x_0^d f(\x_1/\x_0, \ldots, \x_n/\x_0)\]

는 homogeneous polynomial이며 \(\varphi_0^{-1}(Z(f)) = Z(F) \cap U_0\)이다. 이는 \(U_0\)의 subspace topology에서 닫힌집합이다.

이제 그 역함수 \(\psi_0\)의 연속성을 보이자. \(U_0\)의 닫힌집합 \(Z(F) \cap U_0\)를 생각하자. 여기서 \(F\)는 homogeneous polynomial of degree \(d\)이다. 그럼

\[\psi_0^{-1}(Z(F) \cap U_0) = \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{A}^n \mid F(1, x_1, \ldots, x_n) = 0\}\]

이다. \(F(1, \x_1, \ldots, \x_n)\)은 \(\mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)의 다항식이므로 \(\psi_0^{-1}(Z(F) \cap U_0)\)는 \(\mathbb{A}^n\)에서 닫힌집합이다.

따라서 \(\varphi_0\)와 \(\psi_0\)가 서로 inverse이고 모두 연속이므로 \(\varphi_0\)는 homeomorphism이다.

즉, 직관적으로 우리는 \(U_i\)를 좌표 \(x_i\)가 무한대가 아닌 점들로 생각할 수 있다. 또, \(\mathbb{P}^n = U_0 \cup \cdots \cup U_n\)이고, 위의 명제에 의해 각 \(U_i \cong \mathbb{A}^n\)이다. 위의 명제의 증명 과정에서 핵심적인 것은 다음의 명제였으므로, 이를 따로 분리해두자.

명제 10 Projective variety \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)과 standard open set \(U_i\)에 대하여, \(X \cap U_i\)는 \(U_i \cong \mathbb{A}^n\) 위의 affine variety이다.

증명

\(U_0\)의 경우, \(X = Z(F_1, \ldots, F_k)\)이고 각 \(F_j\)가 homogeneous of degree \(d_j\)라 하자. 그럼 \(X \cap U_0\)는 \(\mathbb{A}^n\)에서

\[F_j\left(1, \frac{\x_1}{\x_0}, \ldots, \frac{\x_n}{\x_0}\right) = 0, \quad j = 1, \ldots, k\]

을 만족하는 점들이다. 양변에 \(\x_0^{d_j}\)를 곱하면

\[\x_0^{d_j} F_j\left(1, \frac{\x_1}{\x_0}, \ldots, \frac{\x_n}{\x_0}\right) = F_j(\x_0, \x_1, \ldots, \x_n) = 0\]

이다. 이제 \(f_j(\x_1, \ldots, \x_n) = F_j(1, \x_1, \ldots, \x_n)\)라 두면, \(X \cap U_0 = Z(f_1, \ldots, f_k) \subseteq \mathbb{A}^n\)이다.

예시 11 위의 명제를 기하적으로 해석하기 위해 \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\)이라 하고, \(\mathbb{P}^2\)에서 conic \(X = Z(\x_0^2 + \x_1^2 - \x_2^2)\)를 생각하자.

이 conic은 \(\mathbb{A}^3\) 안의 원뿔 \(\x_0^2 + \x_1^2 = \x_2^2\)을 homogeneous coordinates로 표현한 것이다. 그럼 standard open set들에서 \(X\)가 어떻게 보이는지는 명제 10에서 알 수 있다. 즉 \(U_i\)에서 \(X\)가 어떻게 생겼는지를 보기 위해서는 그냥 \(\x_i\) 자리에 \(1\)을 넣고, 남은 \(n\)개의 변수가 \(\mathbb{A}^n\)의 좌표인 것으로 생각하면 된다. 그럼 특히 다음의 결과를 얻는다.

1. \(U_0, U_1\)에서 \(X\)는 쌍곡선 \(1+y^2-z^2=0\), \(x^2+1-z^2=0\)이다.
2. \(U_2\)에서 \(X\)는 원 \(x^2+y^2=1\)이다.

이는 \(\mathbb{A}^3\)에서 식 \(\x_0^2 + \x_1^2 = \x_2^2\)이 원뿔이고, 이를 평면 \(\x_0=1, \x_1=1, \x_2=1\)로 자른 흔적이 쌍곡선과 원이 되기 때문에 생기는 일이다.

한편 이를 \(\mathbb{P}^2\)에서 바로 해석할 수도 있다. 이를 위해 우리는 \(\mathbb{P}^2\)를 다음과 같이 얻어내자. \(\x_2\neq 0\)인 점들에 대해서는 \(\x_2>0\)을 만족하는 상반구로 radial projection하고, \(\x_2=0\)인 점들은 antipodal point들을 identify하여 얻는다. 이를 통해 \(\mathbb{P}^2\)는 “무한대 직선” \(\mathbb{P}^1\)에, 상반구의 표면에 해당하는 평면 \(\mathbb{A}^2\)가 합쳐진 모습으로 생각할 수 있다. 그럼 주어진 원뿔은 우선 첫 번째 radial projection을 통해 상반구에 포함되는 원이 되며, 이로부터 \(X\)는 \(\mathbb{P}^2\)에서 원으로 나타난다는 것을 안다.

물론 처음에 \(\x_0\neq 0\)을 만족하는 점들을 \(\x_0>0\)인 상반구로 radial projection, \(\x_0=0\)인 점들을 \(\mathbb{P}^1\)으로 갖는 식으로 \(\mathbb{P}^2\)를 만들 수도 있었을 것이다. 그럼 이 과정에서는 상반구에 두 개의 반원이 그려질 것이나, 이 두 반원의 경계점이 \(\x_0=0\)인 점들을 identify하는 과정에서 서로 같은 것으로 취급되어 이 그림에서도 \(X\)는 원이 될 것이다.

이제 이 관점에서, \(U_i\)에서의 \(X\)를 보는 것은 \(\mathbb{P}^2\)에서 무한대 직선 \(\x_i=0\)을 빼는 것에 해당한다. 만일 \(U_2\)에서 \(X\)를 본다면, 위에서 살펴보았듯 \(X\)는 무한대 직선 \(\x_2=0\)과 만나지 않으므로 이 직선을 빼도 온전한 원으로 남는다. 그러나 가령 무한대 직선 \(\x_1=0\)을 뺀다면, \(X\)는 \(\x_1\)과 두 점에서 만나고 있고, 따라서 원 \(X\)에서 이 두 점을 뺀 후 펼치게 되면 쌍곡선이 나오게 되는 것으로 이해할 수 있다.

Affine Cone

앞선 예시는 projective space 위의 곡선을 각각의 affine open chart 안에서 보는 방법을 알려주지만, 여전히 다소 덜 직관적이라 생각할 수 있다. Projective variety를 affine space 안의 기하학적 대상으로 이해하는 또 다른 방법은 affine cone을 생각하는 것이다.

정의 12 Projective variety \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)의 affine cone_{아핀 뿔} \(C(X) \subseteq \mathbb{A}^{n+1}\)을 다음과 같이 정의한다:

\[C(X) = \{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{A}^{n+1} \setminus \{0\} \mid [x_0 : \cdots : x_n] \in X\} \cup \{0\}\]

즉, \(C(X)\)는 \(X\)의 모든 점을 homogeneous coordinates로 표현했을 때 나타나는 \(\mathbb{A}^{n+1}\)의 점들과 원점을 합한 것이다.

예시 13 예시 11의 conic \(X = Z(\x_0^2 + \x_1^2 - \x_2^2) \subseteq \mathbb{P}^2\)의 affine cone \(C(X)\)는 \(\mathbb{A}^3\)에서의 원뿔 \(\x_0^2 + \x_1^2 = \x_2^2\)이다.

그럼 다음이 성립하며, 그 증명들도 어렵지 않다.

명제 14 Projective variety \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)의 affine cone \(C(X)\)은 다음 성질들을 만족한다:

1. (Homogeneity) \(C(X)\)는 원점을 지나는 직선들로 구성된다. 즉, \((x_0, \ldots, x_n) \in C(X)\)이고 \(\lambda \in \mathbb{K}\)이면 \((\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n) \in C(X)\)이다.

2. (Algebraic structure) \(X = Z(F_1, \ldots, F_k)\)이면 \(C(X) = V(F_1, \ldots, F_k) \subseteq \mathbb{A}^{n+1}\)이다. 여기서 \(F_i\)들을 \(\mathbb{A}^{n+1}\)의 다항식으로 본다.

3. (Correspondence) \(X \leftrightarrow C(X)\) 대응은 projective variety와 원점을 지나는 직선으로 이루어진 affine algebraic set 사이의 일대일 대응을 준다.

이 명제를 통해 우리는 affine cone \(C(X)\)의 성질을 연구하여 \(X\)의 성질을 간접적으로 파악할 수 있다.

사영다양체 사이의 사상

마지막으로 우리는 projective variety들의 morphism을 정의한다. 앞서 우리는 projective algebraic set을 정의할 때 다항식들의 zero set이 projective space의 집합을 잘 정의하지 않는 것을 확인하였는데, 비슷한 일이 morphism을 정의할 때도 일어나며 그 해결책은 이번에도 homogeneous polynomial이다.

정의 15 함수 \(\varphi: X \to Y\)가 projective variety \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)과 \(Y \subseteq \mathbb{P}^m\) 사이의 morphism_사상이라는 것은, 각각의 점 \(x\)마다 적당한 homogeneous polynomials \(F_0, \ldots, F_m\) of the same degree가 존재하여

\[\varphi(x) = [F_0(x) : \cdots : F_m(x)]\]

이고, 모든 \(x \in X\)에 대해 \(F_i(x)\)들이 동시에 \(0\)이 아닌 것이다.

만일 \(F_0, \ldots, F_m\)이 모두 같은 차수 \(d\)의 homogeneous polynomial이라면, \(F_i(\lambda x) = \lambda^d F_i(x)\)이므로

\[[F_0(\lambda x) : \cdots : F_m(\lambda x)] = [\lambda^d F_0(x) : \cdots : \lambda^d F_m(x)] = [F_0(x) : \cdots : F_m(x)]\]

가 되어 well-definedness가 보장된다는 것을 확인할 수 있다. 다음 예시들은 대표적인 morphism들이다.

예시 16 우선 \(\mathbb{P}^1\)에서 \(\mathbb{P}^2\)로의 Veronese embedding (of degree 2)을

\[[x:y]\mapsto [x^2: xy:y^2]\]

으로 정의하면, 이는 projective space들 사이의 morphism이 된다. 또 다른 예시로, \(\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1\)에서 \(\mathbb{P}^3\)의 Segre embedding은 다음 식

\[([x:y], [u:v])\mapsto [xu: xv: yu: yv]\]

으로 주어지는 morphism이다.

예시 17 Twisted cubic in \(\mathbb{P}^3\)

\[C = \{[1 : t : t^2 : t^3] \mid t \in \mathbb{K}\} \cup \{[0 : 0 : 0 : 1]\}\]

는 세 개의 quadratic polynomials

\[\x_0 \x_2 - \x_1^2, \quad \x_0 \x_3 - \x_1 \x_2, \quad \x_1 \x_3 - \x_2^2\]

의 공통 영점이며, \(\mathbb{P}^1\)과 isomorphic하다. 실은, 위의 예시 16에서 살펴본 Veronese embedding의 개념을 \(d=3\)으로 확장하면,

\[[x:y]\mapsto [x^3: x^2y: xy^2: y^3]\]

이 \(\mathbb{P}^1\)에서 \(C\)로의 isomorphism이 된다.

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참고문헌

[Har] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Zarieties in Projective Space, Springer, 2013.
[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves, 2008.