K

Grad. student in mathematics

우리는 특수한 다양체를 하나 소개하며 대수기하학의 기본적인 연구대상들에 대한 소개를 마무리한다.

정의에 의해 projective space \(\mathbb{P}^n\)은 \(\mathbb{A}^{n+1}\)의 직선들의 공간이다. 이번 글에서 소개할 Grassmannian은 이를 일반화한 것으로, \(\mathbb{A}^n\)의 \(k\)차원 linear subspace들의 공간이다.

그라스만 다양체의 정의

정의 1 \(n\)차원 벡터공간 \(V\)의 \(k\)차원 부분공간들의 집합을 Grassmannian그라스만다양체 \(\Gr(k, V)\) 또는 \(\Gr(k, n)\)이라 부른다.

이번 글에서 \(V\)는 항상 \(n\)차원 공간으로 가정한다.

물론 이것이 variety 구조를 갖는다는 것은 별도로 보여야 하지만, 핵심적인 결과는 이것이 variety 구조를 가질 뿐 아니라 \(\mathbb{A}^n\)에서 각각의 \(k\)-plane들의 위치관계까지 잘 보존하는 구조를 주므로 큰 신경을 쓰지 않아도 우리가 원하는대로 행동한다는 것이다.

예시 2 가령, \(\Gr(1, n+1)\)은 \(n+1\)차원 벡터공간 \(\mathbb{K}^{n+1}\)의 line들의 공간이므로, 정의에 의해 이는 \(\mathbb{P}^n\)과 같다. 곧 Grassmannian 위의 variety 구조를 정의한 후에는 이 두 구조가 정확히 같다는 것을 알게 될 것이다.

기존에 없던 예시 중 가장 간단한 것은 \(\Gr(2,4)\)이다. 이는 \(4\)차원 공간의 \(2\)차원 부분공간들의 모임이다. Grassmannian을 다룰 때는 이 예시가 toy example로서 기능할 것이다.

언제나 그렇듯이 variety 구조를 주기 위해서는 affine cover를 생각해서 affine-local하게 접근하면 된다. 이를 위해 다음을 정의한다.

정의 3 각 \(k\)개의 index들 \(I = \{i_1 < \cdots < i_k\}\)에 대해 open set \(U_I\)를

\[U_I = \{W \in \Gr(k, V) \mid \text{projection } W \to \operatorname{span}(e_{i_1}, \ldots, e_{i_k}) \text{ is an isomorphism}\}\]

으로 정의한다.

\(V\)의 basis \(e_1,\ldots, e_n\)을 고정하고, \(W\)를 span하는 각각의 벡터들 \(w_1,\ldots, w_k\)을 사용하면 \(W\)는 다음 \(k\times n\) 행렬

\[\begin{pmatrix}w_1\\\vdots\\w_k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_{1,1}&w_{1,2}&\cdots &w_{1,n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ w_{k,1}&w_{k,2}&\cdots&w_{k,n}\end{pmatrix}\]

의 row space이다. 그럼 \(U_I\)를 정의하는 조건은 정확하게 index set \(I\)에 해당하는 column들 \(i_1,\ldots, i_k\)을 사용하여 만든 \(k\times k\) 행렬이 invertible인 것과 동치이다. 그럼 다음이 성립한다.

명제 4 각 \(U_I \cong \mathbb{A}^{k(n-k)}\)이다.

증명

일반성을 잃지 않고 \(I = \{1, 2, \ldots, k\}\)인 경우를 보이자. 즉 \(W \in U_I\)를 나타내는 \(k \times n\) 행렬 \(A\)에서, 좌측 \(k \times k\) minor가 nonzero이다. 행 연산을 통해 이 minor를 다음의 꼴

\[A = \begin{pmatrix} I_k & B \end{pmatrix}\]

과 같이 만들자. 여기서 \(B\)는 \(k \times (n-k)\) 행렬이다. 그럼 \(B\)의 \(k(n-k)\)개의 entry들이 \(W\)를 완전히 결정하며, 이들 사이에 어떤 constraint도 없다. 따라서 \(U_I \cong \mathbb{A}^{k(n-k)}\)이다.

이 증명에서 보듯, \(U_I\)에서의 좌표계는 \(k(n-k)\)개의 자유로운 parameter들이다. 이들은 \(W\)를 나타내는 행렬에서 “non-trivial한 부분”에 해당한다. 즉, \(I\)가 정의하는 \(k \times k\) block이 identity로 고정된 후, 나머지 \((n-k) \times k\) block이 자유롭게 변할 수 있다.

그럼 임의의 \(W\in \Gr(k,V)\)에 대하여 \(W\)를 포함하는 affine open cover가 존재함은 자명하다. 뿐만 아니라 \(U_I\)에서 \(U_J\)로의 transition map 또한 regular map이라는 것이 자명하므로, 이를 통해 \(\Gr(k,V)\) 위에 variety 구조가 주어진다. 물론 이것이 quasi-projective임을 보이기 위해서는 명시적인 projective embedding이 필요하지만, 우선은 다음이 성립한다.

명제 5 \(\dim \Gr(k, V) = k(n - k)\)이다.

Plücker Embedding

이제 우리는 Grassmannian이 quasi-projective variety임을 보인다. 즉, Grassmannian에서 적당한 projective space로의 embedding을 정의한다.

정의 6 Plücker embedding \(\iota: \Gr(k, V) \to \mathbb{P}(\bigwedge^k V)\)는 \(k\)차원 부분공간 \(W = \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_k)\)에 다음의 원소

\[\iota(W) = [v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_k]\]

를 대응시키는 함수이다. ([다중선형대수힉] §텐서대수, ⁋정의 10)

그럼 다음이 성립한다.

명제 7 Plücker embedding은 well-defined이며 injective이다.

증명

Plücker embedding이 잘 정의된다는 것은 \(W\)의 다른 basis를 택했을 때 위의 값이 변하지 않는다는 것이다. 그런데 \(W\)의 다른 basis를 택한다면, \(v_1\wedge\cdots\wedge v_k\)는 change-of-basis matrix의 determinant만큼만 scaling되므로, 이를 \(\mathbb{P}(\bigwedge^k V)\)로 보내면 어차피 같은 점을 지정한다. 비슷한 논증을 거꾸로 하면 injectivity 또한 쉽게 보일 수 있다.

뿐만 아니라, \(\iota\)는 \(\Gr(k,V)\)를 \(\mathbb{P}(\bigwedge^kV)\)의 closed subvariety로서 정의한다. 이를 위해 \(\iota\)의 image를 살펴보면, \(\iota\)의 image는 정확하게 decomposable vector들, 즉 다음의 꼴

\[v_1\wedge\cdots\wedge v_k\]

로 나타나는 벡터들로 이루어진 것을 알 수 있다. 따라서 \(\iota\)의 image가 closed subvariety임을 주장하기 위해서는 이들을 zero set으로 갖는 다항식을 정의하면 되고, 이는 wedge product의 성질로부터 다음의 Plücker relations

\[\sum_{r=1}^{k+1} (-1)^r p_{i_1 \cdots i_{k-1} j_r} p_{j_1 \cdots \widehat{j_r} \cdots j_{k+1}} = 0\tag{$\ast$}\]

을 통해 얻어진다. 여기서 \(i_1 < \cdots < i_{k-1}\)과 \(j_1 < \cdots < j_{k+1}\)은 \(\{1, \ldots, n\}\)의 임의의 부분집합이며, \(\widehat{j_r}\)은 \(j_r\)을 생략한다는 의미이다. 이 방정식들은 모든 가능한 \(i\)들과 \(j\)들에 대해 성립한다. 이를 통해 다음을 얻는다.

명제 8 Plücker embedding의 image는 \(\mathbb{P}^{\binom{n}{k}-1}\)의 closed subvariety이며, 따라서 \(\Gr(k,V)\)는 projective variety이다.

예시 9 \(\Gr(2,4)\)에서 Plücker relation (\(\ast\))을 살펴보자. Plücker coordinates는 \(p_{12}, p_{13}, p_{14}, p_{23}, p_{24}, p_{34}\)이고, 이것이 \(\mathbb{P}^5\)의 homogeneous coordinates이다. 그럼 Plücker relation은 유일한 3-term relation

\[p_{12} p_{34} - p_{13} p_{24} + p_{14} p_{23} = 0\]

으로 주어진다. 이는 quadratic equation이므로 \(\Gr(2, 4)\)는 \(\mathbb{P}^5\)의 quadric hypersurface이다. 만일 \(V\)의 차원이 높아진다면 이러한 equation이 더 여러개 나올 것이며, \(k\)가 커진다면 각각의 equation들의 항이 더 많아질 것이다.

Schubert Varieties

Grassmannian은 일종의 cell structure가 주어져서 조합론적인 관점에서 이해할 수 있다. 이를 위해 우선 flag와 partition의 개념을 정의한다.

정의 10 \(n\)차원 벡터공간 \(V\)의 flag깃발은 다음과 같은 부분공간들의 chain

\[F_\bullet:\qquad 0 = F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_n = V\]

이다. 여기서 \(\dim F_i = i\)이다.

예시 11 \(V = \mathbb{K}^n\)에 standard basis \(e_1, \ldots, e_n\)이 주어져 있을 때, standard flag은

\[F_i = \operatorname{span}(e_1, \ldots, e_i)\]

으로 정의된다.

이제 \(\Gr(k, V)\)의 원소인 \(k\)차원 부분공간 \(W\)가 주어졌을 때, 이 \(W\)와 flag \(F_\bullet\)이 어떻게 만나는지를 단계별로 추적할 수 있다. 수열

\[0 = \dim(W \cap F_0) \leq \dim(W \cap F_1) \leq \cdots \leq \dim(W \cap F_n) = k\]

을 생각하면, 각 단계에서 차원은 최대 \(1\)씩 증가한다. 이 정보를 간결하게 나타내기 위해 partition을 사용한다.

정의 12 \(k\)개의 정수들로 이루어진 수열 \(\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_k)\)가 다음 조건

\[\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_k \geq 0,\qquad \lambda_1 \leq n - k\]

을 만족할 때 이를 partition분할이라 부른다. Partition \(\lambda\)의 크기는 \(\lvert \lambda \rvert = \sum_{i=1}^{k} \lambda_i\)로 정의된다.

Partition은 기하학적으로 Young diagram으로 시각화할 수 있다. 이는 \(\lambda_1\)개의 box가 있는 첫 번째 row, \(\lambda_2\)개의 box가 있는 두 번째 row, …, \(\lambda_k\)개의 box가 있는 \(k\)번째 row로 구성된다. 이는 Schubert calculus라 불리는 연산을 쉽게 하도록 도와주지만, 이는 어차피 intersection, 혹은 cohomology에서의 곱셈을 할 때 필요한 것이므로 아직은 소개하지 않는다. 그 대신 다음을 정의한다.

정의 13 Flag \(F_\bullet\)과 partition \(\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_k)\)에 대해, Schubert variety슈베르트 다양체 \(\Omega_\lambda(F_\bullet)\)를 다음의 조건

\[\dim(W \cap F_{n - k + i - \lambda_i}) \geq i \quad\text{for all } 1 \leq i \leq k\]

을 만족하는 \(W \in \Gr(k, V)\)들의 집합으로 정의한다.

이 조건은 \(W\)와 flag의 교집합의 차원이 특정 패턴을 따른다는 것을 의미한다. 구체적으로, \(W\)는 \(F_{n-k+i-\lambda_i}\)를 최소 \(i\)차원에서 만나야 한다. Partition 조건 \(\lambda_1 \leq n - k\)은 첫 번째 부등식 \(\dim(W \cap F_{n - k + 1 - \lambda_1}) \geq 1\)에서 \(n - k + 1 - \lambda_1 \geq 1\)이 되도록 보장한다.

명제 14 Schubert variety \(\Omega_\lambda(F_\bullet)\)는 \(\Gr(k, V)\)의 closed subvariety이며, 그 차원은 \(\lvert \lambda \rvert\)이다.

증명

\(\Omega_\lambda(F_\bullet)\)가 closed인 것은 정의 조건이 regular function들의 zero set으로 주어지기 때문이다.

차원을 계산하기 위해, \(\Omega_\lambda(F_\bullet)\)의 (open) Schubert cell \(\Omega_\lambda^\circ(F_\bullet)\)를 고려한다. 이는 정의 조건에서 부등식을 등식으로 바꾼 것

\[\dim(W \cap F_{n - k + i - \lambda_i}) = i \quad\text{for all } 1 \leq i \leq k\]

으로 얻어지며, \(\Omega_\lambda(F_\bullet)\)의 open dense subset이다. 이 cell의 차원을 계산하면 \(\lambda_1 + \cdots + \lambda_k = \lvert \lambda \rvert\)이 되며, 따라서 \(\Omega_\lambda(F_\bullet)\)의 차원 또한 \(\lvert \lambda \rvert\)이다.

Schubert varietie들은 Grassmannian의 cell decomposition을 제공한다. 즉, 서로 다른 partition \(\lambda\)에 해당하는 Schubert cell들 \(\Omega_\lambda^\circ(F_\bullet)\)들은 \(\Gr(k, V)\)에 cell complex 구조를 주며, 각 cell은 affine space \(\mathbb{A}^{\lvert \lambda \rvert}\)와 isomorphic하다. 이를 통해 Grassmannian의 위상적, 조합론적 성질을 연구할 수 있다.

참고문헌

[Harris] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
[GH] P. Griffiths and J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, 1978.
[Ful] W. Fulton, Young Tableaux, Cambridge University Press

댓글남기기