접공간과 매끄러움

미분기하학에서와 마찬가지로 대수기하학에서도 접공간은 다양체의 국소적 구조를 이해하는 핵심 도구이다.

접공간의 정의

미분기하학에서 우리는 \(M\) 위에 정의된 smooth function들의 sheaf \(\mathcal{C}^\infty_M\)에 대하여, 점 \(x\in M\)에서 vanish하는 모든 germ들의 모임

\[\mathfrak{m}_x=\{\mathbf{f}\in \mathcal{C}^\infty_x\mid \mathbf{f}(x)=0\}\]

이 maximal ideal임을 확인하였다. 그 후 우리는 tangent space를

\[(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^\ast\]

로 볼 수 있다는 것을 증명하였다. ([미분다양체] §여접공간, ⁋보조정리 1) 이 과정은 보통 미분기하학에서는 잘 다루지 않으나, algebraic variety로의 일반화에 큰 도움을 준다. 즉, (편의상 affine case로 고정한다면) 우리는 이미 algebraic variety들 위에 정의된 함수가 무엇인지 알고 (§준사영다양체, ⁋정의 7), 이 때 \(x\in X\)에서 vanish하는 모든 함수들의 모임은 이 점에 해당되는 \(\mathbb{K}[X]\)의 maximal ideal에 해당한다는 것도 안다. 따라서 이를

\[\mathfrak{m}_x=\{f\in \mathbb{K}[X]\mid f(x)=0\}\]

으로 정의하고, \(\mathbb{K}[X]\)의 이 maximal ideal에서의 localization \(\mathbb{K}[X]_{\mathfrak{m}_x}=\mathcal{O}_{X,x}\)을 생각할 수 있다. ([가환대수학] §국소화, ⁋정의 1) 기하적으로는 §아핀다양체, ⁋정의 14를 생각하면 이들은 점 \(x\)에서의 regular function들의 germ으로 정의할 수 있다.

정의 1 Variety \(X\)의 점 \(x\)에서의 Zariski tangent space_{Zariski 접공간} \(T_x X\)를

\[T_x X = (\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2)^\ast\]

으로 정의한다. 여기서 \(\mathfrak{m}_x\)는 점 \(x\)에서의 local ring \(\mathcal{O}_{X,x}\)의 유일한 maximal ideal이다.

결국 이 정의의 핵심은, quotient \(\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2\)는 \(x\)에서의 first-order infinitesimal data를 담고 있으므로 이를 Zariski cotangent space \(T_x^\ast X\)로 정의하겠다는 것이다. 그리고 dual인 \(T_x X\)는 이 data에 작용하는 linear functional들, 즉 방향미분연산자들의 공간이며, 이 정의는 \(T_xX=\Der_\mathbb{K}(\mathcal{O}_{X,x}, \mathbb{K})\)으로 정의하는 것과 맞아떨어진다.

우리는 해석학 스타일의 \(\epsilon\)-\(\delta\) 꼴의 미분을 사용하지는 않으나, 본질적으로 variety들은 다항식으로 정의되며 이들의 미분은 형식적으로 \(\x^n\)을 미분하면 \(n\cdot \x^{n-1}\)이 나오는 것으로 생각할 수 있다. 특히 affine variety의 경우 이는 더 명확하게 써 줄 수 있다.

명제 2 Affine variety \(X = Z(f_1, \ldots, f_k) \subseteq \mathbb{A}^n\)의 점 \(x = (x_1, \ldots, x_n)\)에서,

\[T_x X \cong \{v \in \mathbb{K}^n \mid (df_i)_x(v) = 0 \text{ for all } i\}\]

이다. 여기서 \((df_i)_x\)는 \(f_i\)의 \(x\)에서의 differential로,

\[(df_i)_x(v) = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial \x_j}(x) v_j\]

이다.

증명

\(X\)의 coordinate ring \(\mathbb{K}[X] = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n] / (f_1, \ldots, f_k)\)를 생각하자. \(\mathfrak{m}_x = (\x_1 - a_1, \x_2 - a_2, \ldots, \x_n - a_n) / (f_1, \ldots, f_k)\)이므로,

\[\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2 \cong (\x_1 - a_1, \x_2 - a_2, \ldots, \x_n - a_n) / \left( (\x_1 - a_1, \x_2 - a_2, \ldots, \x_n - a_n)^2 + (f_1, \ldots, f_k) \right)\]

이다. 각 \(f_i\)를 \(x\)에서 Taylor 전개하면

\[f_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial \x_j}(x) (\x_j - a_j) + \text{higher order terms}\]

이고, higher order terms는 \((\x_1 - a_1, \x_2 - a_2, \ldots, \x_n - a_n)^2\)에 속한다. 따라서 \(\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2\)에서 \(f_i\)들의 linear part \(\sum_j \frac{\partial f_i}{\partial \x_j}(x) (\x_j - a_j)\)가 0이 된다.

한편, \(\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2\)는 \(\x_j - a_j\)들의 linear combination으로 생성되므로 \(\mathbb{K}^n\)의 quotient로 볼 수 있다. 이때 differential \((df_i)_x\)의 kernel이 정확히 \(\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2\)에서 사라지는 방향들에 해당한다. Dual을 취하면

\[T_x X = (\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2)^\ast \cong \{v \in \mathbb{K}^n \mid (df_i)_x(v) = 0 \text{ for all } i\}\]

을 얻는다.

증명은 maximal ideal의 언어를 사용하며 복잡하게 쓰여졌지만, 그 철학은 \(X=Z(f_i)\)에 대해 생각해보면 간단하다. 이 경우 \((df_i)_x(v)=0\)은 (\(\mathbb{K}^n\)을 \(\mathbb{A}^n\)으로 본다면) 정확히 \(\mathbb{A}^n\) 안에서 초곡면 \(Z(f_i)\)의 (일상적인) 접공간이다. 명제 2은 그 자체만으로는 affine variety에 대해서만 적용되는 것이기는 하지만, 임의의 variety \(X\)의 임의의 점 \(x\)는 affine neighborhood를 가지므로 본질적으로는 모든 variety에 대해 적용되는 것이다. 접공간의 차원에 대한 다음 명제 또한 마찬가지다.

명제 3 \(T_x X\)는 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이며, 그 차원은 \(n - \operatorname{rank}(J_x)\)이다. 여기서 \(J_x\)는 \(k \times n\) Jacobian matrix

\[J_x = \left(\frac{\partial f_i}{\partial \x_j}(x)\right)_{1 \le i \le k, 1 \le j \le n}\]

이다.

증명

각 \((df_i)_x: \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}\)는 linear functional이다. 명제 2에서 \(T_x X\)는 이들의 kernel들의 교집합이므로 \(\mathbb{K}^n\)의 부분공간이다. Jacobian matrix \(J_x\)의 행들은 이 linear functional들의 좌표표현이므로,

\[T_x X = \ker(J_x) = \{v \in \mathbb{K}^n \mid J_x v = 0\}\]

이다. Rank-nullity theorem에 의해 \(\dim T_x X = n - \operatorname{rank}(J_x)\)이다.

매끄러운 점과 특이점

미분기하학에서, 임의의 점에서의 tangent space의 차원은 항상 manifold의 차원과 같았다. 그러나 이는 manifold의 정의가 다소 빡빡하기 때문으로, 대수기하학에서는 단 하나의 다항식으로 정의되는 affine variety마저 (고전적인 그림에서) manifold가 아닐 수 있다. (예시 6, 예시 7) 그럼에도 불구하고, tangent space의 차원과 variety의 차원이 아무런 관계가 없는 것은 아니다.

명제 4 Irreducible variety \(X\)의 임의의 점 \(x\)에 대해 \(\dim T_x X \ge \dim X\)이다.

증명

Affine case만 보인다. \(X = Z(f_1, \ldots, f_k) \subseteq \mathbb{A}^n\)이 irreducible하고 \(\dim X = d\)라 하자. 점 \(x \in X\)에서의 local ring \(\mathcal{O}_{X,x} = \mathbb{K}[X]_{\mathfrak{m}_x}\)를 생각하자. Localization은 차원을 보존하므로 \(\dim \mathcal{O}_{X,x} = \dim X = d\)이다. ([대수기하학] §차원, ⁋명제 2)

일반적으로 Noetherian local ring \((R, \mathfrak{m})\)에 대하여 \(\dim_{\mathbb{K}}(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2) \ge \dim R\)이다. ([가환대수학] §매개계, ⁋명제 2) 따라서

\[\dim T_x X = \dim_{\mathbb{K}}(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2) \ge \dim \mathcal{O}_{X,x} = d = \dim X\]

이다.

우리의 직관을 키우기 위해서는 언제 부등식이 성립하는지를 살펴보는 것이 좋다. 이러한 점을 우리는 singular point라 부른다.

정의 5 점 \(x \in X\)가 smooth point_{매끄러운 점} (또는 nonsingular point)라는 것은 \(\dim T_x X = \dim X\)인 것이다. 그렇지 않으면 (즉, \(\dim T_x X > \dim X\)이면) singular point_특이점이라 부른다.

예시 6 (Smooth points)

1. \(\mathbb{A}^n\)의 모든 점은 smooth point이다. \(\mathbb{A}^n\)은 defining equation이 없으므로 \(T_x \mathbb{A}^n = \mathbb{K}^n\)이고, \(\dim T_x \mathbb{A}^n = n = \dim \mathbb{A}^n\)이다.
2. Parabola \(Z(\y - \x^2)\)의 모든 점은 smooth point이다. \(f = \y - \x^2\)에 대해 \(J_{(x,y)} = (-2x, 1)\)이고, 이는 모든 점에서 nonzero이다. 따라서 \(\dim T_x X = 2 - 1 = 1 = \dim X\)이다.

예시 7 (Singular points)

1. (Node) \(X = Z(\y^2 - \x^2(\x+1)) \subset \mathbb{A}^2\)를 생각하자. 이 곡선은 원점에서 두 갈래로 갈라진다.

   

   이 곡선의 Jacobian은

   \[J_{(x,y)} = \begin{pmatrix} -2x - 3x^2 & 2y \end{pmatrix}\]

   이므로, 원점에서 Jacobian은 \((0,0)\)이고, 따라서 명제 3에 의해 원점은 singular point이다. 기하학적으로, 접공간이 2차원이라는 것은 두 갈래의 접선 방향이 모두 포함된다는 것을 의미한다. 구체적으로, \(\y^2 - \x^2(\x+1) \approx \y^2 - \x^2 = (\y-\x)(\y+\x)\)이므로, 원점 근처에서 곡선은 \(\y = \x\)와 \(\y = -\x\) 두 직선의 합집합처럼 보인다. Node는 “가장 온화한” 특이점 중 하나이다.

2. (Cusp) 이번에는 \(Z(\y^2 - \x^3)\subset \mathbb{A}^2\)를 생각하자.

   

   이 때, 이 곡선의 원점은 singular point이다. 이를 확인하기 위해 Jacobian을 계산하면,

   \[J_{(x,y)}=\begin{pmatrix}-3x^2&2y\end{pmatrix}\]

   이므로 원점에서 \(\nabla f(0,0) = (0, 0)\)이다. 기하학적으로, 이 상황에서 접공간이 2차원이라는 것은 원점에서 모든 방향이 “접한다”는 것을 의미하며, 이는 곡선이 너무 뾰족해서 어떤 방향으로도 접선을 정의할 수 없음을 나타낸다.

위의 예시들에서 우리는 다음 명제를 자연스럽게 이용했다.

명제 8 (Jacobian Criterion) \(X = Z(f_1, \ldots, f_k) \subseteq \mathbb{A}^n\)이 irreducible하고 \(x \in X\)라 하자. 그럼 \(x\)가 smooth point일 필요충분조건은 Jacobian matrix \(J_x\)의 rank가 \(n - \dim X\)인 것이다.

증명

명제 2에서 \(\dim T_x X = n - \operatorname{rank}(J_x)\)임을 보였다. 정의 5에서 \(x\)가 smooth point라는 것은 \(\dim T_x X = \dim X\)인 것이다. 따라서 \(x\)가 smooth point일 필요충분조건은

\[n - \operatorname{rank}(J_x) = \dim X\]

즉, \(\operatorname{rank}(J_x) = n - \dim X\)인 것이다.

매끄러운 점들의 존재

임의의 algebraic variety는 대부분의 점에서 매끄럽다. 이를 보이기 위해 generic point의 개념이 필요하다.

정의 9 Irreducible variety \(X\)의 generic point_일반점 \(\eta\)는 \(X\)의 모든 nonempty open subset에 속하는 유일한 점이다.

Affine case \(X = \operatorname{Spec} A\)에서, \(\eta\)는 \(A\)의 minimal prime ideal (즉, \((0)\) ideal)에 해당하며, local ring \(\mathcal{O}_{X,\eta}\)는 정확히 function field \(\mathbb{K}(X) = \operatorname{Frac}(A)\)이다. 기하학적으로, generic point는 \(X\)의 “가장 일반적인 점”으로, \(X\)의 어떤 특정한 성질도 갖지 않는 점으로 생각하면 된다. 이러한 아이디어를 다음 증명에서 활용할 수 있다.

명제 10 Variety \(X\)의 smooth points들의 집합 \(X_\sm\)은 \(X\)의 dense open subset이다. 특히, \(X_\sm \ne \emptyset\)이다.

증명

\(X = Z(f_1, \ldots, f_k) \subseteq \mathbb{A}^n\)의 차원이 \(\dim X = d\)라 하자. 명제 8의 Jacobian criterion에 의해

\[X_\sm = \{x \in X \mid \operatorname{rank}(J_x) = n - d\}\]

이다. 이제 이 집합이 dense open subset임을 보인다. 우선 \(X_\sm\)이 열린집합인 것은 상대적으로 자명하다. Rank가 정확히 \(n-d\)라는 것은 두 조건의 동시 성립을 의미한다. 첫째, rank가 \(n-d\) 이상이라는 것은, 어떤 \((n-d) \times (n-d)\) 부분행렬의 행렬식이 0이 아닌 것과 동치이고, 이는 Zariski 위상에서 열린조건이다. 둘째, rank가 \(n-d\) 이하라는 것은, 모든 \((n-d+1) \times (n-d+1)\) 부분행렬의 행렬식이 0인 것과 동치이고, 이는 닫힌조건이다. 따라서 rank가 정확히 \(n-d\)인 점들의 집합은 \(X\)의 열린집합이다.

\(X_\sm\)이 공집합을 아님을 보이는 것이 다소 기술적인데, 아이디어는 일반적인 점이 smooth point가 되어야 하므로, \(X\)의 generic point \(\eta\)를 생각하는 것이다. \(\eta\)에서의 localization을 생각하면, local ring \(\mathcal{O}_{X,\eta} = \mathbb{K}(X)\)는 field이므로 regular local ring이다. 그런데 [가환대수학] §매개계, ⁋명제 2에 의해

\[\dim_{\mathbb{K}}(\mathfrak{m}_\eta/\mathfrak{m}_\eta^2) \ge \dim \mathcal{O}_{X,\eta} = d\]

인데, 명제 4에 의해 반대 부등식도 성립하므로 \(\dim T_\eta X = d\)이다. 따라서 \(\eta \in X_\sm\)이다. 이제 임의의 공집합이 아닌 열린집합은 irreducibility에 의해 dense이다.

그럼 다음을 정의한다.

정의 11 Variety \(X\)가 smooth (또는 nonsingular)라는 것은 모든 점이 smooth point인 것이다. 즉, \(X_\sm = X\)이다. 그렇지 않으면 (즉, singular point가 존재하면) singular라 부른다.

예시 12 예시 6의 variety들은 모두 smooth이고, 예시 7의 모든 variety들은 singular이다.

접원뿔

Singular point에서는 tangent space가 너무 커서 다양체의 국소적 구조를 정확히 반영하지 못한다. 이 경우 tangent cone이 더 정확한 정보를 제공한다. 직관적으로, tangent space가 너무 큰 것은 Jacobian의 rank가 너무 작은 것이고, 이는, 예를 들어, 주어진 함수의 일차근사만으로는 아무런 정보가 없기 때문에 일어난다. 따라서 만일 주어진 함수의 더 높은 차수의 근사를 생각한다면 상황이 달라질 수도 있을 것이다.

이를 위해, 임의의 다항식 \(f\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)에 대하여 \(f\)의 initial term \(\initial(f)\)을 \(f\)의 homogeneous component 중 가장 작은 차수를 갖는 것으로 정의한다. 그럼 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(\mathfrak{a}\)의 initial ideal \(\initial(\mathfrak{a})\)를 \(\initial(f)\)들로 생성되는 homogeneous ideal으로 정의한다.

정의 13 임의의 affine variety \(X\subseteq \mathbb{A}^n\)에 대하여, \(\initial(I(X))\)이 정의하는 algebraic variety를 \(X\)의 원점에서의 tangent cone이라 정의한다.

더 일반적으로, \(f\)를 \(\x_i-x_i\)들에 대한 다항식으로 쓰고 비슷한 정의를 하면 임의의 점에서의 tangent cone을 정의할 수 있다. 이것이 cone이라 불리는 이유는, §사영다양체, ⁋정의 12와 마찬가지로 homogeneous ideal의 zero set이기 때문이다.

이제 이것이 어떻게 singular point를 더 세밀하게 분류하는지 살펴보자.

예시 14 예시 7의 nodal curve \(X = Z(\y^2 - \x^2(\x+1))\)에서, \(f\)의 lowest degree term은 \(\y^2 - \x^2 = (\y-\x)(\y+\x)\)이므로

\[TC_0 X = Z(\y-\x) \cup Z(\y+\x)\]

이다. 이는 node가 두 직선 \(\y = \x\)와 \(\y = -\x\)의 방향으로 갈라짐을 정확히 보여준다.

예시 15 예시 7의 곡선 \(X = Z(\y^2 - \x^3)\)에서, \(f\)의 lowest degree term은 \(\y^2\)이므로

\[TC_0 X = Z(\y^2)\]

이다. 이는 \(\y = 0\) 직선을 두 번 count한 것이며, cusp가 \(\x\)-축 방향으로 뾰족하게 끝남을 보여준다. 비교하면, tangent space \(T_0 X = \mathbb{K}^2\)는 모든 방향을 포함하여 너무 크다.

일반적으로, §유리사상, ⁋예시 12을 생각하면 nodal curve의 singularity는 blowup을 통해 해소할 수 있다. 즉 blowup을 하고 나면 원점에서 두 갈래 직선 \(\y-\x\)와 \(\y+\x\)는 \(\mathbb{P}^1\)에 의해 갈라지게 된다. 그러나 cusp은 그렇지 못하므로, 일반적으로 cusp이 node보다 좋지 않은 singularity로 생각한다.

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참고문헌

[Har] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992. [Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.