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Grad. student in mathematics

미분기하학에서 접공간은 곡면의 국소적 구조를 이해하는 핵심 도구이다. 곡면 위의 한 점에서 접평면을 생각하면 그 점 근처에서 곡면이 어떻게 생겼는지 직관을 얻을 수 있다. 대수기하학에서도 접공간의 개념을 정의할 수 있으며, 이를 통해 다양체의 “매끄러움”을 판별할 수 있다. 이 절에서 우리는 접공간을 여러 관점에서 정의하고, 매끄러운 점과 특이점을 구별하며, 마지막으로 특이점에서 접공간보다 더 정확한 정보를 주는 접원뿔을 소개한다.

접공간의 개념은 다양체를 국소적으로 “선형화”하는 것이다. 미분기하학에서 곡면의 접평면이 곡면의 국소적 기하를 닮은 것처럼, 대수기하학에서도 접공간은 다양체의 국소적 구조를 반영한다. 그러나 대수기하학에서는 “매끄러움”의 개념이 더 미묘하다. 모든 점에서 접공간의 차원이 같으면 매끄러운 다양체이고, 어떤 점에서 접공간이 “너무 커지면” 특이점이 된다.

접공간의 정의

아핀다양체 \(X = V(f_1, \ldots, f_k) \subseteq \mathbb{A}^n\)의 점 \(p\)에서, 우리는 \(X\)를 \(p\) 근처에서 선형화하여 접공간을 정의할 수 있다. 미분기하학에서처럼, 각 defining equation \(f_i = 0\)을 \(p\)에서 선형화하면 \(f_i\)의 differential \(df_i\)를 얻고, 이들의 공통 kernel이 접공간이 된다.

정의 1 아핀다양체 \(X = V(f_1, \ldots, f_k) \subseteq \mathbb{A}^n\)의 점 \(p = (p_1, \ldots, p_n)\)에서의 tangent space접공간 \(T_p X\)를

\[T_p X = \{v \in \mathbb{K}^n \mid (df_i)_p(v) = 0 \text{ for all } i\}\]

으로 정의한다. 여기서 \((df_i)_p\)는 \(f_i\)의 \(p\)에서의 differential로,

\[(df_i)_p(v) = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(p) v_j\]

이다.

기하학적으로, \(T_p X\)는 \(p\)를 지나면서 \(X\)에 “접하는” 모든 직선들의 모임이다. 점 \(p + \epsilon v\)가 \(X\) 위에 있다면 (\(\epsilon\)이 매우 작을 때), \(v \in T_p X\)이다. 이는 \(f_i(p + \epsilon v) \approx f_i(p) + \epsilon (df_i)_p(v) = \epsilon (df_i)_p(v)\)이고, \(f_i(p) = 0\)이므로 \((df_i)_p(v) = 0\)이어야 하기 때문이다. 즉, 접공간은 다양체 위를 “이동”할 수 있는 방향들의 집합이다.

명제 2 \(T_p X\)는 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이며, 그 차원은 \(n - \operatorname{rank}(J_p)\)이다. 여기서 \(J_p\)는 \(k \times n\) Jacobian matrix

\[J_p = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(p)\right)_{1 \le i \le k, 1 \le j \le n}\]

이다.

증명

각 \((df_i)_p: \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}\)는 linear functional이다. \(T_p X\)는 이들의 kernel들의 교집합이므로 \(\mathbb{K}^n\)의 부분공간이다. Jacobian matrix \(J_p\)의 행들은 이 linear functional들의 좌표표현이므로,

\[T_p X = \ker(J_p) = \{v \in \mathbb{K}^n \mid J_p v = 0\}\]

이다. Rank-nullity theorem에 의해 \(\dim T_p X = n - \operatorname{rank}(J_p)\)이다.

이 명제는 접공간의 차원을 계산하는 실용적인 방법을 제공한다. Jacobian matrix의 rank가 높을수록 (즉, 더 많은 independent constraint가 있을수록) 접공간의 차원이 낮아진다. 이는 “더 많은 제약 = 더 작은 접공간”이라는 직관과 일치한다.

Coordinate Ring을 통한 정의

접공간을 coordinate ring의 언어로 표현할 수 있다. 이 정의는 아핀다양체에 국한되지 않고, 임의의 준사영다양체에 적용할 수 있다는 장점이 있다. 또한 이 정의는 접공간을 “방향 미분 연산자”의 공간으로 이해하게 해준다.

명제 3 점 \(p \in X\)에서 \(T_p X \cong (\mathfrak{m}_p / \mathfrak{m}_p^2)^\ast\)이다. 여기서 \(\mathfrak{m}_p = \{f \in \mathbb{K}[X] \mid f(p) = 0\}\)는 \(\mathbb{K}[X]\)의 maximal ideal이고, \((-)^\ast\)는 \(\mathbb{K}\)-dual space를 의미한다.

증명

\(\mathfrak{m}_p\)는 \(p\)에서 vanish하는 regular function들의 ideal이다. \(\mathfrak{m}_p / \mathfrak{m}_p^2\)의 원소는 \(p\)에서의 “first-order infinitesimal deformation”으로 생각할 수 있다. 구체적으로, \(f \in \mathfrak{m}_p\)를 \(f = \sum_i a_i (x_i - p_i) + \text{higher order terms}\)로 전개하면, \(f \mod \mathfrak{m}_p^2\)는 linear term \(\sum_i a_i (x_i - p_i)\)만을 기억한다.

이제 linear map \(\varphi: T_p X \to (\mathfrak{m}_p / \mathfrak{m}_p^2)^\ast\)를 다음과 같이 정의하자. \(v \in T_p X\)에 대해, \(\varphi(v)(\bar{f}) = (df)_p(v)\)이다. 여기서 \(\bar{f}\)는 \(f \mod \mathfrak{m}_p^2\)이다.

  • \(\varphi\)가 well-defined: \(f \in \mathfrak{m}_p^2\)이면 \(f\)의 linear term이 없으므로 \((df)_p = 0\)이다.
  • \(\varphi\)가 injective: \((df)_p(v) = 0\) for all \(f \in \mathfrak{m}_p\)이면 \(v \in T_p X\)이다.
  • \(\varphi\)가 surjective: \((\mathfrak{m}_p / \mathfrak{m}_p^2)^\ast\)의 임의의 원소는 linear functional \(\sum_i c_i (x_i - p_i) \mapsto \sum_i c_i a_i\)의 꼴이고, 이는 \(v = (a_1, \ldots, a_n)\)에 의해 realize된다.

따라서 \(T_p X \cong (\mathfrak{m}_p / \mathfrak{m}_p^2)^\ast\)이다.

이 정의는 다음과 같이 해석할 수 있다. \(\mathfrak{m}_p / \mathfrak{m}_p^2\)는 \(p\)에서의 “first-order data”를 담고 있고, 그 dual space는 이 data를 \(\mathbb{K}\)로 보내는 linear map들, 즉 “방향 미분”들의 공간이다. Tangent vector는 바로 이 방향 미분 연산자에 해당한다. 이는 미분기하학에서 tangent vector를 directional derivative로 정의하는 것과 같은 발상이다.

매끄러운 점과 특이점

접공간의 차원은 항상 다양체의 차원 이상이다. 특이점에서는 접공간이 “너무 커서” 다양체의 차원보다 크다. 이는 특이점에서 다양체가 “여러 방향으로 갈라지거나” “뾰족하게 끝나서” 접공간이 예상보다 커진다는 것을 의미한다.

명제 4 기역 다양체 \(X\)의 임의의 점 \(p\)에 대해 \(\dim T_p X \ge \dim X\)이다.

증명

\(X = V(f_1, \ldots, f_k) \subseteq \mathbb{A}^n\)이라 하자. \(X\)가 기역이고 \(\dim X = d\)라면, \(X\)의 generic point \(p\)에서 Jacobian \(J_p\)의 rank는 \(n - d\)이다. 이는 \(X\)의 coordinate ring \(\mathbb{K}[X]\)가 \(d\)차원이고, generic point에서 \(d\)개의 “자유로운 방향”이 존재함을 의미한다.

다른 점에서는 추가적인 constraint가 있을 수 있어 Jacobian의 rank가 감소할 수 있다. Rank가 감소하면 \(\dim T_p X = n - \operatorname{rank}(J_p)\)가 증가한다. 따라서 모든 점 \(p\)에서 \(\dim T_p X \ge d = \dim X\)이다.

정의 5 점 \(p \in X\)가 smooth point매끄러운 점 (또는 nonsingular point)라는 것은 \(\dim T_p X = \dim X\)인 것이다. 그렇지 않으면 (즉, \(\dim T_p X > \dim X\)이면) singular point특이점이라 부른다.

기하학적으로, smooth point에서는 접공간이 다양체의 “진짜 차원”과 일치한다. 즉, 다양체가 그 점 근처에서 “예상대로” 생겼다는 것이다. 반면 singular point에서는 접공간이 너무 커서, 다양체가 그 점에서 “특이한” 구조를 갖는다. 이는 다양체가 여러 갈래로 갈라지거나, 뾰족하게 끝나거나, 스스로 교차할 때 발생한다.

예시 6 Smooth point와 singular point의 기본 예시들이다.

  1. \(\mathbb{A}^n\)의 모든 점은 smooth point이다. \(\mathbb{A}^n\)은 defining equation이 없으므로 \(T_p \mathbb{A}^n = \mathbb{K}^n\)이고, \(\dim T_p \mathbb{A}^n = n = \dim \mathbb{A}^n\)이다. 이는 affine space가 “가장 간단한” 매끄러운 다양체임을 보여준다.
  2. Parabola \(V(\y - \x^2)\)의 모든 점은 smooth point이다. \(f = \y - \x^2\)에 대해 \(\nabla f = (-2x, 1)\)이고, 이는 모든 점에서 nonzero이다. 따라서 \(\dim T_p X = 2 - 1 = 1 = \dim X\)이다. 이는 parabola가 어디서나 “매끄럽게” 휘어있음을 보여준다.
  3. Cusp \(V(\y^2 - \x^3)\)의 원점은 singular point이다. \(f = \y^2 - \x^3\)에 대해 \(\nabla f = (-3x^2, 2y)\)이고, 원점에서 \(\nabla f(0,0) = (0, 0)\)이다. 따라서 \(T_0 X = \mathbb{K}^2\)이고 \(\dim T_0 X = 2 > 1 = \dim X\)이다. 이는 cusp가 원점에서 “뾰족하게” 끝남을 보여준다.

예시 7 Cusp: \(X = V(\y^2 - \x^3) \subset \mathbb{A}^2\)를 더 자세히 살펴보자. 이 곡선은 원점에서 “뾰족하게” 끝난다. 원점에서의 Jacobian은

\[J_0 = \begin{pmatrix} -3x^2 & 2y \end{pmatrix}_{(0,0)} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}\]

이므로 \(\dim T_0 X = 2 - 0 = 2 > 1 = \dim X\)이다. 기하학적으로, 접공간이 2차원이라는 것은 모든 방향이 “접한다”는 것을 의미하며, 이는 곡선이 원점에서 너무 뾰족해서 어떤 방향으로도 접선을 정의할 수 없음을 나타낸다. Cusp는 “가장 극단적인” 특이점 중 하나이다.

예시 8 Node: \(X = V(\y^2 - \x^2(\x+1)) \subset \mathbb{A}^2\)를 생각하자. 이 곡선은 원점에서 두 갈래로 갈라진다. 원점에서의 Jacobian은

\[J_0 = \begin{pmatrix} -2x - 3x^2 & 2y \end{pmatrix}_{(0,0)} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}\]

이므로 원점은 singular point이다. 기하학적으로, 접공간이 2차원이라는 것은 두 갈래의 접선 방향이 모두 포함된다는 것을 의미한다. 구체적으로, \(\y^2 - \x^2(\x+1) \approx \y^2 - \x^2 = (\y-\x)(\y+\x)\)이므로, 원점 근처에서 곡선은 \(\y = \x\)와 \(\y = -\x\) 두 직선의 합집합처럼 보인다. Node는 “가장 온화한” 특이점 중 하나이다.

Jacobian Criterion

Jacobian criterion은 smooth point를 효율적으로 판별하는 방법이다. 이는 접공간의 차원을 Jacobian matrix의 rank로 계산할 수 있다는 사실을 이용한다.

명제 9 (Jacobian Criterion) \(X = V(f_1, \ldots, f_k) \subseteq \mathbb{A}^n\)이 기역 다양체이고 \(p \in X\)라 하자. 그럼 \(p\)가 smooth point일 필요충분조건은 Jacobian matrix \(J_p\)의 rank가 \(n - \dim X\)인 것이다.

증명

명제 2에서 \(\dim T_p X = n - \operatorname{rank}(J_p)\)임을 보였다. 정의 5에서 \(p\)가 smooth point라는 것은 \(\dim T_p X = \dim X\)인 것이다. 따라서 \(p\)가 smooth point일 필요충분조건은

\[n - \operatorname{rank}(J_p) = \dim X\]

즉, \(\operatorname{rank}(J_p) = n - \dim X\)인 것이다.

이 정리는 smooth point를 판별하는 실용적인 방법을 제공한다. \(X = V(f_1, \ldots, f_k)\)이고 \(\dim X = d\)라면, \(p\)가 smooth point이려면 \(J_p\)의 rank가 정확히 \(n - d\)이어야 한다. 이는 \(k\)개의 defining equation 중 정확히 \(n - d\)개가 \(p\)에서 “독립적”이어야 함을 의미한다. 만약 더 많은 equation이 독립적이면 (rank가 더 높으면), 접공간이 너무 작아지고, 더 적으면 (rank가 더 낮으면), 접공간이 너무 커진다.

Jacobian criterion을 적용하려면 \(X\)의 차원을 미리 알아야 한다. 차원을 모르는 경우, \(J_p\)의 rank의 최댓값을 \(r\)이라 하면 \(\dim X \ge n - r\)이고, \(p\)가 smooth point이면 \(\dim X = n - r\)이다. 이는 차원을 계산하는 한 가지 방법을 제공한다.

매끄러운 점들의 존재

기역 다양체는 “대부분의 점에서” 매끄럽다. 이는 대수기하학의 기본 정리 중 하나이며, 대수다양체가 “잘 작동한다”는 것을 보여준다.

명제 10 기역 다양체 \(X\)의 smooth points들의 집합 \(X_{\text{sm}}\)은 \(X\)의 dense open subset이다. 특히, \(X_{\text{sm}} \ne \emptyset\)이다.

이 정리의 증명은 Jacobian criterion을 사용한다. \(X = V(f_1, \ldots, f_k)\)이고 \(\dim X = d\)라면, smooth points는

\[X_{\text{sm}} = \{p \in X \mid \operatorname{rank}(J_p) = n - d\}\]

이다. Rank \(\ge n - d\)인 조건은 minors의 non-vanishing으로 표현되므로 열린조건이고, generic point에서 rank가 \(n - d\)에 도달하므로 \(X_{\text{sm}}\)은 nonempty dense open subset이다. 이는 “특이점은 드물다”는 것을 의미한다.

정의 11 다양체 \(X\)가 smooth (또는 nonsingular)라는 것은 모든 점이 smooth point인 것이다. 즉, \(X_{\text{sm}} = X\)이다. 그렇지 않으면 (즉, singular point가 존재하면) singular라 부른다.

예시 12 Smooth variety와 singular variety의 예시들이다.

  1. \(\mathbb{A}^n\)과 \(\mathbb{P}^n\)은 smooth하다. 이들의 모든 점에서 접공간의 차원이 \(n\)으로 일치한다. 이는 “가장 기본적인” 매끄러운 다양체들이다.
  2. Parabola \(V(\y - \x^2)\)는 smooth하다. 모든 점에서 \(\nabla(\y - \x^2) \ne 0\)이다. 이는 모든 conic이 smooth임의 특별한 경우이다.
  3. Cusp \(V(\y^2 - \x^3)\)은 singular이다. 원점이 singular point이다. 이는 “가장 극단적인” 특이점의 예시이다.
  4. Node \(V(\y^2 - \x^2(\x+1))\)은 singular이다. 원점이 singular point이다. 이는 “가장 온화한” 특이점의 예시이다.
  5. Smooth projective curve는 모든 점에서 매끄러운 1차원 사영다양체이다. 예를 들어 smooth plane curve \(V(F) \subset \mathbb{P}^2\) (\(F\)가 기역 동차다항식)는 모든 점 \(p\)에서 \(\nabla F(p) \ne 0\)이면 smooth하다. 이는 대수기하학에서 가장 중요한 다양체들 중 하나이다.

접원뿔

Singular point에서는 tangent space가 너무 커서 다양체의 국소적 구조를 정확히 반영하지 못한다. 이 경우 tangent cone이 더 정확한 정보를 제공한다. Tangent cone은 다양체를 singular point에서 “무한히 확대”하여 가장 낮은 차수의 항만 남긴 것이다.

정의 13 점 \(p \in X\)에서의 tangent cone \(TC_p X\)는 \(p\)에서의 initial ideal로 정의되는 cone이다. 구체적으로, \(X = V(f_1, \ldots, f_k)\)이고 각 \(f_i\)를 \(p\)에서 전개하면

\[f_i = f_i^{(d_i)} + \text{higher order terms}\]

이고, 여기서 \(f_i^{(d_i)}\)는 \(f_i\)의 lowest degree homogeneous part (initial form)이다. 그럼

\[TC_p X = V(f_1^{(d_1)}, \ldots, f_k^{(d_k)})\]

이다.

Tangent cone은 다양체를 점 \(p\)에서 “확대”하여 가장 낮은 차수의 항만 남긴 것이다. Smooth point에서는 tangent cone이 tangent space와 같다. Singular point에서는 tangent cone이 tangent space보다 더 정확한 정보를 준다. 이는 tangent cone이 “가장 낮은 차수의 근사”를 제공하기 때문이다.

예시 14 Cusp의 tangent cone: \(X = V(\y^2 - \x^3)\)의 원점에서, \(f = \y^2 - \x^3\)의 lowest degree term은 \(\y^2\)이다. 따라서

\[TC_0 X = V(\y^2)\]

이다. 이는 \(\y = 0\) 직선을 “두 번” count한 것이며, cusp가 \(\x\)-축 방향으로 뾰족하게 끝남을 보여준다. 비교하면, tangent space \(T_0 X = \mathbb{K}^2\)는 모든 방향을 포함하여 너무 크다. Tangent cone은 cusp의 “진짜 방향”을 보여준다.

예시 15 Node의 tangent cone: \(X = V(\y^2 - \x^2(\x+1))\)의 원점에서, \(f = \y^2 - \x^2(\x+1)\)의 lowest degree term은 \(\y^2 - \x^2 = (\y-\x)(\y+\x)\)이다. 따라서

\[TC_0 X = V((\y-\x)(\y+\x)) = V(\y-\x) \cup V(\y+\x)\]

이다. 이는 node에서 곡선이 두 직선 \(\y = \x\)와 \(\y = -\x\)의 방향으로 갈라짐을 정확히 보여준다. Tangent cone은 node의 “두 갈래 방향”을 보여준다.

Tangent cone의 중요성은 다음과 같다:

  1. 특이점 분류: Tangent cone의 구조로 특이점을 분류할 수 있다. Cusp의 tangent cone은 “double line”이고, node의 tangent cone은 “two lines”이다.
  2. Blow-up과 연결: Tangent cone은 blow-up의 exceptional divisor와 밀접한 관계가 있다.
  3. 국소적 구조: Tangent cone은 singular point 근처에서 다양체가 어떻게 생겼는지에 대한 정보를 준다.

참고문헌

[Har] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.

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