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Grad. student in mathematics

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§Riemann-Roch 정리에서 우리는 curve를 위한 Riemann-Roch theorem을 살펴보았다. 이제 이를 surface (2차원 variety)로 일반화한다.

Surface를 위한 Riemann-Roch는 intersection number를 포함하며, curve의 경우보다 더 복잡하지만 더 풍부한 정보를 제공한다.

Intersection Number

정의 1 Smooth surface $S$ 위의 두 divisor $C, D$의 intersection number교차수 $C \cdot D$를 다음과 같이 정의한다:

\[C \cdot D = \dim \Gamma(S, \mathcal{O}(C + D)) - \dim \Gamma(S, \mathcal{O}(C)) - \dim \Gamma(S, \mathcal{O}(D)) + \dim \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\]

명제 2 Intersection number의 성질:

  1. Symmetry: $C \cdot D = D \cdot C$
  2. Bilinearity: $(aC_1 + bC_2) \cdot D = a(C_1 \cdot D) + b(C_2 \cdot D)$
  3. Linear equivalence: $C \sim C’$이면 $C \cdot D = C’ \cdot D$

명제 3 (Geometric interpretation) $C, D$가 smooth curve이고 transversally intersect하면:

\[C \cdot D = |C \cap D|\]

일반적으로 $C \cdot D = \sum_{p \in C \cap D} (C \cdot D)_p$ (local intersection multiplicity의 합)

Riemann-Roch Theorem

정리 4 (Riemann-Roch for Surfaces) Smooth projective surface $S$와 divisor $D$에 대해:

\[\chi(\mathcal{O}(D)) = \chi(\mathcal{O}_S) + \frac{1}{2}(D^2 - D \cdot K_S)\]

여기서:

  • $D^2 = D \cdot D$ (self-intersection)
  • $K_S$는 canonical divisor
  • $\chi(\mathcal{O}(D)) = h^0(\mathcal{O}(D)) - h^1(\mathcal{O}(D)) + h^2(\mathcal{O}(D))$

따름정리 5 (Noether’s Formula)

\[\chi(\mathcal{O}_S) = \frac{1}{12}(K_S^2 + c_2(S))\]

여기서 $c_2(S)$는 second Chern class (topological Euler characteristic과 같음).

Serre Duality를 통한 표현

따름정리 6 Serre duality에 의해 $h^2(\mathcal{O}(D)) = h^0(\mathcal{O}(K_S - D))$이므로:

\[h^0(\mathcal{O}(D)) - h^1(\mathcal{O}(D)) + h^0(\mathcal{O}(K_S - D)) = \chi(\mathcal{O}_S) + \frac{1}{2}(D^2 - D \cdot K_S)\]

예시들

예시 7 ($\mathbb{P}^2$) $\mathbb{P}^2$에 대해:

  • $K_{\mathbb{P}^2} = -3H$
  • $\chi(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}) = 1$
  • $H^2 = 1$

Degree $d$ curve $C = dH$에 대해:

\[\chi(\mathcal{O}(C)) = 1 + \frac{1}{2}(d^2 + 3d) = \frac{(d+1)(d+2)}{2}\]

이것은 degree $d$ homogeneous polynomial의 차원과 일치한다.

예시 8 ($\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$) $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$에 대해:

  • $K = -2H_1 - 2H_2$ (여기서 $H_1, H_2$는 각 factor의 hyperplane)
  • $\chi(\mathcal{O}) = 1$
  • $H_1^2 = H_2^2 = 0$, $H_1 \cdot H_2 = 1$

Bidegree $(a, b)$의 divisor $D = aH_1 + bH_2$에 대해:

\[\chi(\mathcal{O}(D)) = 1 + \frac{1}{2}(2ab - (-2a - 2b)) = 1 + ab + a + b = (a+1)(b+1)\]

예시 9 (K3 Surface) K3 surface $S$는:

  • $K_S \sim 0$
  • $\chi(\mathcal{O}_S) = 2$

Riemann-Roch:

\[\chi(\mathcal{O}(D)) = 2 + \frac{D^2}{2}\]

Hodge Index Theorem

정리 10 (Hodge Index) Smooth projective surface $S$와 ample divisor $H$에 대해, $D \cdot H = 0$이고 $D \not\sim 0$이면 $D^2 < 0$이다.

따름정리 11 Intersection form on $\operatorname{Num}(S) = \operatorname{Div}(S) / {\text{numerical equivalence}}$는 signature $(1, \rho - 1)$를 갖는다. 여기서 $\rho = \operatorname{rank} \operatorname{NS}(S)$는 Picard number이다.

Application: Plurigenera

정의 12 Surface $S$의 $m$-th plurigenus:

\[P_m(S) = h^0(S, \omega_S^{\otimes m})\]

명제 13 Riemann-Roch에 의해:

\[P_m(S) \geq \chi(\mathcal{O}_S) + \frac{m(m-1)}{2} K_S^2 - h^1(\omega_S^{\otimes m})\]

$K_S$가 ample이고 $m \gg 0$이면 equality가 성립한다.

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[BHPV] W. Barth, K. Hulek, C. Peters, A. Van de Ven, Compact Complex Surfaces, Springer, 2004.

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