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Grad. student in mathematics

도입

Chow group $\operatorname{CH}^\ast(X)$는 단순한 abelian group이 아니라, intersection product라는 곱셈 구조를 갖는다. 이 product는 두 cycle의 “intersection”을 formalize한 것이다.

Intersection product는 variety의 geometry를 algebra적으로 연구하는 핵심 도구이다.

Basic Definition

정리 1 (Intersection Product) Smooth variety $X$ 위에서 codimension $k$, $l$의 두 cycle $Z, W$의 intersection product $Z \cdot W \in \operatorname{CH}^{k+l}(X)$를 정의할 수 있다. 이는 다음 성질을 만족한다:

  1. Commutativity: $Z \cdot W = W \cdot Z$
  2. Associativity: $(Z_1 \cdot Z_2) \cdot Z_3 = Z_1 \cdot (Z_2 \cdot Z_3)$
  3. Distributivity: $Z \cdot (W_1 + W_2) = Z \cdot W_1 + Z \cdot W_2$
  4. Identity: $[X] \cdot Z = Z$ (여기서 $[X] \in \operatorname{CH}^0(X)$)

정의 2 Intersection product에 의해 $\operatorname{CH}^\ast(X) = \bigoplus_k \operatorname{CH}^k(X)$는 graded ring이 된다. 이를 Chow ring이라 부른다.

Proper Intersection

정의 3 두 subvariety $V, W \subset X$가 properly intersect적절히 교차한다는 것은 모든 component $Z$ of $V \cap W$에 대해:

\[\operatorname{codim}(Z) = \operatorname{codim}(V) + \operatorname{codim}(W)\]

인 것이다.

명제 4 $V, W$가 properly intersect하면:

\[[V] \cdot [W] = \sum_{Z \subset V \cap W} i_Z(V, W) [Z]\]

여기서 $i_Z(V, W)$는 intersection multiplicity이다.

예시 5 ($\mathbb{P}^2$) $\mathbb{P}^2$에서 두 line $L_1, L_2$가 점 $p$에서 만나면:

\[[L_1] \cdot [L_2] = [p] \in \operatorname{CH}^2(\mathbb{P}^2)\]

$\operatorname{CH}^\ast(\mathbb{P}^2) = \mathbb{Z}[H] / (H^3)$에서 $[L_i] = H$이고 $H^2 = [p]$이다.

Moving Lemma

정리 6 (Moving Lemma) Quasi-projective variety $X$와 cycle $Z \in \operatorname{CH}^k(X)$에 대해, 임의의 cycle $W \in \operatorname{CH}^l(X)$에 대해 $Z’ \sim_{\text{rat}} Z$이고 $Z’$과 $W$가 properly intersect하는 $Z’$가 존재한다.

참고 7 Moving lemma에 의해 intersection product를 정의할 수 있다:

  1. $Z’ \sim_{\text{rat}} Z$이고 $Z’$이 $W$와 properly intersect하도록 선택
  2. $Z \cdot W := Z’ \cdot W$ (proper intersection으로 계산)
  3. Well-defined임을 확인

Deformation to Normal Cone

정리 8 (Deformation to Normal Cone) Closed embedding $i: Y \hookrightarrow X$에 대해, $Y$의 $X$ 안에서의 normal bundle $N_{Y/X}$를 사용하여 intersection product를 정의할 수 있다.

이 방법은 moving lemma 없이도 intersection product를 정의한다.

Examples

예시 9 ($\mathbb{P}^n$) $\operatorname{CH}^\ast(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}[H] / (H^{n+1})$

  • $H = [\text{hyperplane}] \in \operatorname{CH}^1(\mathbb{P}^n)$
  • $H^k = [k\text{-codimensional linear subspace}]$
  • Degree $d$ hypersurface $V(f)$에 대해 $[V(f)] = dH$

예시 10 (Surface) Surface $S$ 위의 두 curve $C, D$에 대해:

\[[C] \cdot [D] = \sum_{p \in C \cap D} i_p(C, D) [p] \in \operatorname{CH}^2(S)\]

$\operatorname{CH}^2(S) \cong \mathbb{Z}$ (zero-cycles modulo rational equivalence)에서 이것은 정수로 식별된다:

\[C \cdot D = \sum_{p \in C \cap D} i_p(C, D)\]

예시 11 ($\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$) $\operatorname{CH}^\ast(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1) \cong \mathbb{Z}[H_1, H_2] / (H_1^2, H_2^2)$

여기서 $H_1 = [\mathbb{P}^1 \times {p}]$, $H_2 = [{p} \times \mathbb{P}^1]$이다.

Bidegree $(a, b)$의 curve $C$에 대해 $[C] = aH_1 + bH_2$이다.

Intersection with Line Bundle

명제 12 Line bundle $L$과 cycle $Z \in \operatorname{CH}_k(X)$에 대해:

\[c_1(L) \cap Z \in \operatorname{CH}_{k-1}(X)\]

가 존재한다. 여기서 $c_1(L)$은 first Chern class이다.

명제 13 $L = \mathcal{O}(D)$이면:

\[c_1(L) \cap [X] = [D] \in \operatorname{CH}^1(X)\]

Projection Formula

명제 14 (Projection Formula) Proper morphism $f: X \to Y$와 $\alpha \in \operatorname{CH}^\ast(X)$, $\beta \in \operatorname{CH}^\ast(Y)$에 대해:

\[f_\ast(\alpha \cdot f^\ast \beta) = f_\ast(\alpha) \cdot \beta\]

참고문헌

[Ful] W. Fulton, Intersection Theory, Springer, 1984.
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.

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