§아핀다양체와 §사영다양체에서 우리는 각각 아핀공간과 사영공간의 부분집합으로 정의되는 기하적 대상들을 살펴보았다. 그러나 대수기하학에서 가장 자연스러운 대상들은 이 둘을 모두 포함하는 더 큰 범주에 속한다. 이 절에서 우리는 quasi-projective variety를 정의하고, 이것이 아핀다양체와 사영다양체를 모두 포함함을 보인다.
Quasi-projective variety의 정의
Projective space의 열린부분집합은 자연스러운 기하적 대상이다. 예를 들어, \(\mathbb{P}^2\)에서 직선 \(\x_0=0\)을 제거한 여집합은 projective variety가 아니지만, 여전히 다항식으로 정의되는 대상이며, 심지어 affine variety이기도 하다.
정의 1 Projective variety \(Y \subseteq \mathbb{P}^n\)의 열린부분집합 \(X \subseteq Y\)를 quasi-projective variety준사영다양체라 부른다.
이에 대한 우리의 직관은 다음과 같다. 우리는 variety들 사이의 morphism을 다룰 때 미분다양체 등에서 하였듯 한 점 주변의 (affine) 열린근방을 찾아 계산을 수행할 것이다. 이제 임의의 projective variety $Y$의 임의의 점은 standard affine open set \(U_i \cong \mathbb{A}^n\) 중 하나에 속하며, 따라서 임의의 quasi-projective variety의 점 $p\in X=Y\setminus Z$에 대하여도 $p\in X\cap U_i$이도록 하는 affine open set $U_i$를 택할 수 있고 이것이 affine variety의 open subvariety가 될 것이다.
예시 2 위에서 살펴봤듯, 각 \(U_i \cong \mathbb{A}^n\)은 \(\mathbb{P}^n\)의 열린부분집합이므로 quasi-projective variety이다. 따라서 모든 affine variety는 quasi-projective variety이다. 또 임의의 projective variety는 당연히 quasi-projective variety이다.
자리스키 위상
Quasi-projective variety \(X \subseteq Y \subseteq \mathbb{P}^n\)에는 \(Y\)로부터 물려받는 subspace topology가 존재한다.
정의 3 Quasi-projective variety \(X\)의 Zariski topology은 projective variety \(Y\)의 위상을 \(X\)로 제한한 것이다. 즉, \(X\)의 닫힌집합들은 projective variety \(Z\subset Y\subset\mathbb{P}^n\)에 대하여 \(X \cap Z\)의 꼴이다.
명제 4 Zariski topology는 실제로 위상이다.
증명
§사영다양체, ⁋명제 4로부터 자명하다.
Quasi-projective variety 사이의 사상
정의 5 Quasi-projective variety \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)과 \(Y \subseteq \mathbb{P}^m\) 사이의 morphism사상 \(\varphi: X \to Y\)는 각 점 \(p \in X\)에 대해 다음을 만족하는 함수이다:
\(p\)의 적당한 열린근방 \(U \subseteq X\)와 homogeneous polynomials \(F_0, \ldots, F_m\) of the same degree가 존재하여
\[\varphi(p) = [F_0(p) : \cdots : F_m(p)]\]이고, 모든 \(p \in U\)에 대해 \(F_i(p)\)들이 동시에 \(0\)이 아니다.
이 정의는 국소적으로 projective variety의 morphism과 같은 꼴이라는 것을 의미한다.
예시 6 Projective variety와 affine variety들을 엮어주는 함수들이 새로운 것들이다. 가령 quotient map
\[\mathbb{A}^{n+1}\setminus\{(0,\ldots, 0)\}\rightarrow \mathbb{P}^n;\qquad (x_0,\ldots, x_n)\mapsto [x_0:\cdots:x_n]\]은 quasi-projective variety들 사이의 morphism이다.
또, 다음 정의도 자명하다.
정의 7 Morphism \(\varphi: X \to Y\)가 isomorphism동형사상이라는 것은 역함수 \(\psi: Y \to X\)가 존재하여 \(\psi\)도 morphism인 것이다.
열린집합과 닫힌집합의 Quasi-projective variety 구조
명제 8 Quasi-projective variety \(X\)의 열린부분집합과 닫힌부분집합은 모두 quasi-projective variety이다.
증명
\(X\)가 projective variety \(Y\)의 열린부분집합이라 하자.
- \(X\)의 열린부분집합 \(U\)는 \(Y\)의 열린부분집합이므로 quasi-projective variety이다.
- \(X\)의 닫힌부분집합 \(Z = X \cap W\) (\(W\)는 projective)는 \(Y \cap W\)의 열린부분집합이므로 quasi-projective variety이다.
참고문헌
[Har] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.
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