우리는 지금까지 기하적 직관을 위해 주로 line bundle의 언어를 사용하였으나, §표준선다발, ⁋정의 1 직후에 살펴보았듯 line bundle의 section sheaf를 생각하면 이는 근본적으로는 sheaf의 언어로 바꾸어 쓸 수 있다. 이번 글에서 우리는 sheaf cohomology의 개념을 정의한다.
가령 §선다발과 벡터다발에서 우리는 line bundle \(\mathcal{L}\)의 global section space \(\Gamma(X, \mathcal{L})\)을 정의하였다. 특히 §선형계, ⁋명제 7에서는 이 차원이 complete linear system의 dimension, 나아가 variety의 projective embedding을 결정하는 핵심적 역할을 한다는 것을 살펴보았다.
Derived Functor로서의 정의
Sheaf가 위상공간의 모든 정보들을 체계적으로 기술할 수 있는 도구임에 반해, 지금까지의 이야기에서 sheaf가 전면으로 등장한 것은 §선형계에서 global section space \(\Gamma(X, \mathcal{L})\)이 complete linear system의 projective embedding을 결정한다는 것을 살펴볼 때 뿐이었다.
그러나 global section만이 우리의 관심사라면, 굳이 sheaf를 생각할 필요 없이 global section functor만 생각했어도 될 것이다. 실제로 global section functor는 sheaf가 갖고 있는 정보를 모두 담고 있는 것이 아니다. 예를 들어 global section functor
\[\Gamma(X, -): \QCoh(X) \to \Vect_\mathbb{K}; \qquad \mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(X)\]를 생각하자. 우리가 §표준선다발, ⁋정의 1에서 quasi-coherent sheaf를 정의할 때의 motivation은 vector bundle들의 category \(\Bun(X)\)가 abelian category가 아니므로, kernel과 cokernel을 추가하는 더 넓은 category를 생각하는 것이었고, 그러한 관점에서 \(\QCoh(X)\)가 abelian category가 된다는 것은 놀라운 일은 아니다. 1
만일 \(\Gamma(X,-)\)가 어떠한 정보도 잃어버리지 않는다면, 이 functor는 exact functor여야 할 것이다. 즉, (quasi-coherent) sheaf들의 short exact sequence
\[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0\]가 주어졌을 때, 이를 \(\Gamma(X,-)\)를 타고 옮긴 것 또한 short exact sequence가 되어야 할 것이다. 그러나 이 functor는 left exact functor밖에 되지 않는다. 즉,
\[0 \to \Gamma(X, \mathcal{F}') \to \Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(X, \mathcal{F}'')\]의 exactness는 보장되지만 surjection
\[\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(X, \mathcal{F}'') \to 0\]은 일반적으로 보장되지 않는다. 구체적인 예시를 위해 Euler sequence
\[0 \to \Omega^1_{\mathbb{P}^n} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus(n+1)} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} \to 0\]를 생각하자. (§표준선다발, ⁋명제 7) 이 short exact sequence에 \(\Gamma(\mathbb{P}^n, -)\)를 적용하면
\[0 \to \Gamma(\mathbb{P}^n, \Omega^1_{\mathbb{P}^n}) \to \Gamma(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus(n+1)}) \to \Gamma(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n})\]를 얻는다. 그런데 §선다발과 벡터다발, ⁋예시 16에서 살펴본 것처럼 \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)\)의 global section은 0뿐이므로
\[\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus(n+1)}) = 0\]이지만, \(\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n})=\mathbb{K}\)이므로 오른쪽 부분의 surjectivity가 성립할 수 없다.
이를 해결하기 위한 표준적인 방법은 right derived functor를 생각하는 것이다. ([호몰로지 대수학] §유도함자, ⁋정의 9). 구체적으로, \(\QCoh(X)\)에는 충분한 injective object가 존재하는 것을 보일 수 있으므로 임의의 quasi-coherent sheaf \(\mathcal{F}\)는 항상 injective resolution \(\mathcal{I}^\bullet\)을 가지고, 이로부터 다음의
\[0 \to \Gamma(X, \mathcal{I}^0) \to \Gamma(X, \mathcal{I}^1) \to \Gamma(X, \mathcal{I}^2) \to \cdots\]를 통해 다음의 sheaf cohomology를 정의할 수 있다.
정의 1 Variety \(X\) 위의 quasi-coherent sheaf \(\mathcal{F}\)에 대하여, \(i\)번째 sheaf cohomology \(H^i(X, \mathcal{F})\)를
\[H^i(X, \mathcal{F}) = \frac{\ker(\Gamma(X, \mathcal{I}^i) \to \Gamma(X, \mathcal{I}^{i+1}))}{\im(\Gamma(X, \mathcal{I}^{i-1}) \to \Gamma(X, \mathcal{I}^i))}\]으로 정의한다. 여기서 \(\mathcal{I}^\bullet\)은 \(\mathcal{F}\)의 injective resolution이다.
이것이 \(\mathcal{I}^\bullet\)의 선택에 무관한 것 등등은 모두 homological algebra의 표준적인 논증으로부터 따라온다.
우리는 앞서 global section space \(\Gamma(X, \mathcal{L})\)을 소개하며 이 공간의 또 다른 대중적인 표기 중 하나가 \(H^0(X, \mathcal{L})\)이라고 하였는데, 이 표기법이 바로 위의 정의로부터 정당화됨을 안다.
다음 명제 또한 homological algebra로부터 바로 따라나오는 표준적인 명제이다.
명제 2 Sheaf의 short exact sequence
\[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0\]에 대하여, 긴 완전열
\[0 \to H^0(X, \mathcal{F}') \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(X, \mathcal{F}'') \xrightarrow{\delta} H^1(X, \mathcal{F}') \to \cdots\]이 존재한다. 여기서 \(\delta\)는 connecting homomorphism이다.
Čech Cohomology
정의 1는 sheaf cohomology의 정의로서는 엄밀하지만, injective resolution을 명시적으로 구성하는 것은 일반적으로 매우 어렵다. 따라서 실제 계산에서는 다른 관점에서 cohomology를 정의하는 Čech approach를 사용한다.
직관적으로 Čech cohomology \(\check{H}^i(X, \mathcal{F})\)는 국소적인 정보의 gluing의 실패를 측정하는 도구이다. 즉, \(\check{H}^0(X, \mathcal{F})\)는 정확하게 global section space이며, \(\check{H}^1(X, \mathcal{F})\)는 local section들을 붙여서 global section을 얻어내는 과정이 얼마나 실패하는지를 알려준다. 이를 엄밀하게 정의하기 위해 다음부터 시작한다.
정의 3 위상공간 \(X\)의 open cover \(\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in I}\)와 sheaf \(\mathcal{F}\)가 주어졌다 하고, \(I\) 위의 total order \(<\)를 임의로 고정하자. 그럼 Čech complex체흐 복합체 \(C^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 다음과 같이 정의된다.
\[\check{C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod_{i_0 < \cdots < i_p} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p})\]이 때, coboundary map \(d: \check{C}^p \to \check{C}^{p+1}\)은 다음의 식
\[(d\alpha)_{i_0 \cdots i_{p+1}} = \sum_{k=0}^{p+1} (-1)^k \alpha_{i_0 \cdots \hat{i_k} \cdots i_{p+1}}\vert_{U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_{p+1}}}\]으로 정의된다. 여기서 \(\hat{i_k}\)는 index \(i_k\)를 생략한다는 의미이다.
이 정의가 잘 정의되기 위해서는, 즉, \(\check{C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)이 실제로 complex가 되기 위해서는 coboundary map이 실제로 coboundary map이 되어야 한다. 즉 \(d^2=0\)이어야 한다. 이는 위의 식을 전개해보면 부호 차이로부터 직접 확인할 수 있다. 결론적으로 \(\check{C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)는 cochain complex이며, 따라서 다음을 정의할 수 있다.
정의 4 Čech cohomology체흐 코호몰로지 \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 Čech complex의 cohomology
\[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^p(\check{C}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}))\]로 정의한다.
우리는 앞서 Čech cohomology가 gluing의 실패를 측정해주는 도구라 하였는데, 이는 coboundary map에 담겨있다. Coboundary map의 직관적 의미를 낮은 차원 \(p = 0, 1\)에서 확인해보자.
예시 5 (\(p = 0\)) Čech complex의 정의에 의하여 \(\check{C}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \prod_i \mathcal{F}(U_i)\)이고, \(\check{C}^0\)에서 \(\check{C}^1\)로의 coboundary map은
\[(ds)_{ij} = s_j\vert_{U_i \cap U_j} - s_i\vert_{U_i \cap U_j}\]이다. 따라서
\[\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = \ker(d: \check{C}^0 \to \check{C}^1) = \left\{(s_i) \in \prod_i \mathcal{F}(U_i) \mid s_i\vert_{U_i \cap U_j} = s_j\vert_{U_i \cap U_j} \text{ for all } i, j\right\}\]이다. Sheaf의 gluing condition ([위상수학] §층, ⁋정의 1)에 의해 이러한 section들의 family는 정확히 \(X\) 전체 위에서의 section, 즉 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\)와 일치한다. 즉, \(\check{H}^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^0(X, \mathcal{F})\)이며 이는 open cover의 선택과 무관하다.
우리는 곧 좋은 상황에서는 위와 같이 Čech cohomology와 sheaf cohomology가 항상 같다는 것을 보일 것이다. 지금은 우선 \(p=1\)인 경우 이것이 어떻게 gluing의 failure를 측정하는지를 보자.
예시 6 (\(p = 1\)) 1-cochain은 각 \(U_i \cap U_j\) 위의 section \(s_{ij} \in \mathcal{F}(U_i \cap U_j)\)들의 모임이며, 1-cocycle은 cocycle condition
\[s_{ij} + s_{jk} = s_{ik} \quad\text{on } U_i \cap U_j \cap U_k\]을 만족하는 것들이다. 한편 1-coboundary는 0-cochain \((t_i)\)로부터 유도되는 것, 즉 \(s_{ij} = t_j\vert_{U_i \cap U_j} - t_i\vert_{U_i \cap U_j}\)의 꼴이다.
따라서 \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)의 nontrivial한 원소는 이들 세 데이터 \(s_{ij}, s_{jk}, s_{ik}\)를 붙이려 할 때 나타나는 차이를 반영하는 것이며, 이것이 위에서 언급한 gluing의 failure라 할 수 있다.
지금까지 우리는 하나의 open cover \(\mathcal{U}\)에 대하여 Čech cohomology \(\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\)를 정의하였다. 그러나 일반적으로 서로 다른 open cover는 서로 다른 Čech cohomology를 줄 수 있다. 가령 하나의 열린집합 \(U_0 = X\)으로 이루어진 cover에서는 모든 교집합이 \(X\)이므로 \(\check{H}^p\)가 \(p = 0\)에서만 0이 아닌 값을 갖는다. 더 조밀한 cover를 사용할수록 더 많은 위상적 정보를 포착할 수 있으므로, 우리는 open cover들 사이의 관계를 규명하고 모든 open cover에 대한 정보를 종합할 필요가 있다. 즉,
정의 7 Čech cohomology of \(X\)를 모든 open cover에 대한 direct limit으로 정의한다:
\[\check{H}^p(X, \mathcal{F}) = \varinjlim_{\mathcal{U}} \check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F})\]위의 논증을 더 간단히 설명하자면, open cover를 점점 더 세밀하게 잡으며 추가되는 cohomology data를 모두 합쳐 이를 \(\check{H}(X, \mathcal{F})\)로 정의하겠다는 의미이다.
일반적으로 정의 7의 \(\check{H}^p(X, \mathcal{F})\)와 정의 1의 \(H^p(X, \mathcal{F})\)가 isomorphic하다는 것은 보장되지 않지만, 다행히 대수기하학에서 등장하는 대부분의 sheaf에 대해서는 둘이 일치한다. 이 조건을 쓰기 위해 우선 다음을 정의하자.
정의 8 위상공간 \(X\) 위의 sheaf \(\mathcal{F}\)가 acyclic이라는 것은 모든 \(i > 0\)에 대해 \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\)인 것이다.
만일 임의의 열린집합 \(V \subseteq U\)에 대해, restriction map \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)가 surjective라면 우리는 \(\mathcal{F}\)를 flasque sheaf라 부르며, 이는 acyclic sheaf의 대표적인 예시이다. 앞서 말했듯, 대수기하에서 좋은 경우에는 Čech cohomology와 sheaf cohomology가 일치하는데, 이는 다음 정리를 의미한다.
정리 9 (Leray) 위상공간 \(X\) 위의 sheaf \(\mathcal{F}\)와 open cover \(\mathcal{U} = \{U_i\}\)에 대하여, 모든 유한 교집합 \(U_{i_0 \cdots i_p}\)에서 \(\mathcal{F}\)가 acyclic이면 자연스러운 map
\[\check{H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})\]이 isomorphism이다. 즉, Čech cohomology가 sheaf cohomology와 일치한다.
이를 증명하기 위해서는 주어진 sheaf \(\mathcal{F}\)의 injective resolution \(\mathcal{I}^\bullet\)과 이들 각각에 대한 Čech complex \(\check{C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{I}^q)\)를 생각하여 double complex를 구성한 후 spectral sequence argument를 사용하면 된다. 중요한 것은 이 acyclic 조건이 생각보다는 널널한 조건이라는 것이다.
명제 10 Affine variety \(X\) 위의 quasi-coherent sheaf \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)에 대하여, \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\)이 모든 \(i > 0\)에 대해 성립한다.
이에 대한 증명은, \(X\)의 coordinate ring을 \(A\)라 할 때, \(\lMod{A}\) 카테고리에서 \(M\)의 injective resolution \(I^\bullet\)을 찾으면 이것이 (\(\QCoh(X)\)에서의 resolution인) \(\widetilde{I^\bullet}\)을 주며, 이 때 injective module이 주는 sheaf는 항상 flasque이고, 따라서 acyclic이기 때문이다.
이제 임의의 variety \(X\)와 그 위에 정의된 quasi-coherent sheaf \(\mathcal{F}\)를 생각하고, \(\mathcal{F}\)의 affine open cover \(\mathcal{U}\)가 주어졌다 하자. 그럼 이들 데이터가 정리 9의 전제조건을 만족하기 위해서는 \(\mathcal{U}\)의 임의의 유한한 교집합이 다시 affine이어야 하는 것이다. 만일, diagonal
\[\Delta_X\hookrightarrow X\times X\]이 \(X\times X\)의 closed immersion이라면, 이 조건이 성립하는 것을 보일 수 있으며 이런 경우 \(X\)가 separated variety라 부른다. 이는 (그 정의에서 알 수 있듯) Hausdorff 조건의 Zariski topology 버전이라 할 수 있으며 그만큼 합당한 조건이며, 현재 우리의 정의와 같이 quasi-projective variety를 variety라 부른다면 이 조건은 자동으로 충족된다. 즉, 현재 우리의 언어에서 이 논증은 임의의 variety 위에 정의된 quasi-coherent sheaf에 대해서는 Čech cohomology와 sheaf cohomology가 일치한다는 말이 된다.
지금까지의 이론을 구체적인 계산 예시로 확인해보자.
예시 11 (\(S^1\) 위의 constant sheaf) Circle \(S^1\)을 두 개의 열린 arc \(U_1, U_2\)로 cover하자. \(U_1 \cap U_2\)는 두 개의 connected component \(V_1, V_2\)를 갖는다.
Constant sheaf \(\underline{\mathbb{Z}}\)에 대해 Čech complex를 계산하자. 먼저 \(C^0 = \mathcal{F}(U_1) \times \mathcal{F}(U_2) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\)이다. \(C^1 = \mathcal{F}(U_1 \cap U_2) = \mathcal{F}(V_1) \times \mathcal{F}(V_2) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\)이다. Coboundary map \(d: C^0 \to C^1\)은
\[d(s_1, s_2) = s_2\vert_{U_1 \cap U_2} - s_1\vert_{U_1 \cap U_2} = (s_2 - s_1, s_2 - s_1)\]이다(여기서 \(V_1, V_2\) 각각에서 \(s_2 - s_1\)의 값이 같은 이유는 \(U_1, U_2\)가 각각 connected이므로 constant sheaf의 section이 각각 하나의 정수로 결정되기 때문이다).
이제 각 cohomology group을 계산한다.
-
\(\check{H}^0(\mathcal{U}, \underline{\mathbb{Z}})\): \(\ker(d) = \{(s_1, s_2) : s_1 = s_2\} \cong \mathbb{Z}\). 이것은 \(S^1\) 전체 위에서의 상수함수이며, \(\Gamma(S^1, \underline{\mathbb{Z}}) \cong \mathbb{Z}\)와 일치한다.
-
\(\check{H}^1(\mathcal{U}, \underline{\mathbb{Z}})\): Cover가 2개의 열린집합으로 이루어져 있어 세 개 이상의 열린집합이 겹치는 곳이 존재하지 않으므로, cocycle condition이 vacuous하게 만족되어 모든 1-cochain이 자동으로 cocycle이다. 따라서 1-cocycle은 \((a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\)이다. Coboundary는 \(d(s_1, s_2) = (s_2 - s_1, s_2 - s_1)\)의 꼴이므로, cocycle \((a, b)\)와 \((a', b')\)이 같은 cohomology class에 속할 필요충분조건은 \(a - a' = b - b'\)인 것이다. 따라서 invariant는 차이 \(a - b \in \mathbb{Z}\)이고, \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \underline{\mathbb{Z}}) \cong \mathbb{Z}\)이다.
Line Bundle의 Classification
앞서 우리는 line bundle이 transition function \(g_{ij} \in \mathcal{O}_X^\ast(U_i \cap U_j)\)들로 결정된다는 것을 보았다 (§선다발과 벡터다발, ⁋명제 2). Transition function들은 cocycle condition \(g_{ij}g_{jk} = g_{ik}\)을 만족하는데, 이는 multiplicative notation으로 쓴 Čech 1-cocycle condition에 정확히 해당한다. 또한 line bundle의 isomorphism은 각 \(U_i\) 위에서의 함수 \(h_i \in \mathcal{O}_X^\ast(U_i)\)에 의해 \(g_{ij} \mapsto h_i g_{ij} h_j^{-1}\)로 transition function이 변하는 것이므로, 이 역시 Čech 1-coboundary에 의한 동치관계와 일치한다. 즉, line bundle의 isomorphism class는 \(\check{H}^1(X, \mathcal{O}_X^\ast)\)의 원소와 자연스럽게 대응된다.
이 관찰을 엄밀하게 정리하면 다음을 얻는다. 여기서 주의할 점은 \(\mathcal{O}_X^\ast\)가 곱셈적 구조를 갖는 sheaf of (abelian) groups이므로, Čech cohomology에서 coboundary 관계가 덧셈적이 아닌 곱셈적으로 표현된다는 것이다. 구체적으로 1-coboundary는 \((g_{ij}) = (h_i \cdot h_j^{-1})\)의 꼴이다.
명제 12 \(\check{H}^1(X, \mathcal{O}_X^\ast) \cong \Pic(X)\)이다.
증명
우선 \(\check{H}^1(X, \mathcal{O}_X^\ast)\)에서 \(\Pic(X)\)로의 map을 정의한다. Čech 1-cocycle \((g_{ij}) \in \check{Z}^1(\mathcal{U}, \mathcal{O}_X^\ast)\)가 주어지면, 이를 transition function으로 하는 line bundle \(\mathcal{L}\)을 구성한다. 구체적으로, 각 \(U_i\) 위에서는 trivial bundle \(U_i \times \mathbb{A}^1\)을 잡고, \(U_i \cap U_j\) 위에서는 \((p, t) \mapsto (p, g_{ij}(p)t)\)으로 접착한다. Cocycle condition \(g_{ij}g_{jk} = g_{ik}\)에 의해 이 접착이 consistent하므로 well-defined line bundle이 얻어진다.
Coboundary에 의해 동치인 두 cocycle \(g_{ij}^{\mathcal{L}} = h_i g_{ij}^{\mathcal{M}} h_j^{-1}\)이 주어지면, 대응하는 두 line bundle 사이의 isomorphism을 \(\varphi_i: \mathcal{L}\vert_{U_i} \to \mathcal{M}\vert_{U_i}\), \(v \mapsto h_i^{-1} v\)로 정의한다. 그러면 \(\varphi_i\)와 \(\varphi_j\)가 \(U_i \cap U_j\)에서 compatible임은
\[g_{ij}^{\mathcal{M}} \cdot \varphi_j(v) = g_{ij}^{\mathcal{M}} h_j^{-1} v = h_i^{-1} (h_i g_{ij}^{\mathcal{M}} h_j^{-1}) v = h_i^{-1} g_{ij}^{\mathcal{L}} v = \varphi_i(g_{ij}^{\mathcal{L}} v)\]에서 확인된다. 따라서 map \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{O}_X^\ast) \to \Pic(X)\)가 well-defined이다.
역으로, 임의의 line bundle \(\mathcal{L}\)은 (§선다발과 벡터다발, ⁋정의 1)에 의해 적당한 open cover \(\mathcal{U}\) 위에서 transition function \(g_{ij}\)로 표현되며, 이는 Čech 1-cocycle을 이룬다. Line bundle isomorphism은 정확히 coboundary에 의한 동치관계에 해당하므로, 이 map의 kernel은 coboundary들이다. 따라서 \(\check{H}^1(\mathcal{U}, \mathcal{O}_X^\ast) \to \Pic(X)\)는 injective이다.
Direct limit을 취하면 \(\check{H}^1(X, \mathcal{O}_X^\ast) \cong \Pic(X)\)를 얻는다.
이 명제는 line bundle의 classification이 cohomology의 계산으로 귀결된다는 것을 보여준다. 즉, \(\Pic(X)\)의 원소를 분류하는 문제는 이제 \(\mathcal{O}_X^\ast\)-valued Čech 1-cocycle을 분류하는 문제가 되며, 이는 어쨌든 예시 11와 같이 명시적인 계산이 가능하다는 점에서 고무적이다. 다음 글 §사영공간의 코호몰로지에서 우리는 \(\mathbb{P}^n\) 위의 line bundle \(\mathcal{O}(d)\)의 cohomology를 계산한다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.
[God] R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann, 1958.
-
더 일반적으로, [[위상수학] §층, §층들의 가환범주에서 살펴보았듯 임의의 위상공간 \(X\) 위에 정의된 sheaf들의 category \(\Sh(X)\)는 abelian category를 이룬다. ↩
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