Divisors

대수다양체 $X$ 위에서 유리함수 $f \in \mathbb{K}(X)$를 생각하자. 이 함수는 일부 점에서 영점을 가지고, 일부 점에서 극점을 가질 수 있다. 예를 들어 $\mathbb{A}^1$에서 다항식 $f(\x) = (\x-a_1)^{n_1} \cdots (\x-a_k)^{n_k}$는 점들 $a_1, \ldots, a_k$에서 영점을 가지며, 각 영점의 차수는 $n_1, \ldots, n_k$이다. 마찬가지로 유리함수 $f/g$는 $g$의 영점에서 극점을 가질 수 있다.

이러한 영점과 극점의 정보를 체계적으로 기술하기 위해 우리는 divisor라는 개념을 도입한다. Divisor는 유리함수의 영점과 극점을 “형식합”으로 표현한 것으로, 대수기하학에서 가장 기본적인 불변량 중 하나이다. 이를 통해 우리는 line bundle, Picard group, linear system 등의 중요한 개념들을 정의할 수 있다.

Weil Divisors

우리는 먼저 가장 직관적인 divisor의 정의인 Weil divisor를 살펴본다. 이는 기하적으로 “codimension 1의 닫힌 부분다양체”에 정수 계수를 붙인 형식합이다.

정의 1 기약 quasi-projective variety $X$의 Weil divisor_{Weil 인자}는 $X$의 codimension 1인 기약 닫힌 부분다양체들의 형식합

\[D = \sum_{i=1}^{r} n_i Y_i\]

이다. 여기서 $Y_i$는 $X$의 codimension 1인 기약 닫힌 부분다양체이고 $n_i \in \mathbb{Z}$이다. Weil divisor들의 집합을 $\operatorname{Div}(X)$로 표기하고, 자연스러운 덧셈에 대해 abelian group을 이룬다.

형식합이라는 것은 실제로 덧셈을 하는 것이 아니라, 각 $Y_i$에 정수 계수 $n_i$를 붙여서 표현한다는 의미이다. 예를 들어 $\mathbb{A}^2$에서 직선 $L_1: \x = 0$, $L_2: \y = 0$, $L_3: \x + \y = 0$을 생각하면, $D = 2L_1 - 3L_2 + L_3$는 하나의 Weil divisor이다. 여기서 $L_1$을 “두 번”, $L_2$를 “마이너스 세 번”, $L_3$를 “한 번” count한다는 의미이다.

정의 2 Weil divisor $D = \sum_i n_i Y_i$가 effective_유효라는 것은 모든 $n_i \ge 0$인 것이다. 이를 $D \ge 0$으로 표기한다.

Principal Divisor

유리함수 $f \in \mathbb{K}(X)$가 주어지면, 이 함수의 영점과 극점을 기술하는 divisor를 정의할 수 있다. 이를 principal divisor라 부른다.

정의 3 유리함수 $f \in \mathbb{K}(X)^\ast$의 principal divisor_주인자 $\operatorname{div}(f)$를 다음과 같이 정의한다:

\[\operatorname{div}(f) = \sum_{Y} v_Y(f) \cdot Y\]

여기서 합은 $X$의 모든 codimension 1인 기약 닫힌 부분다양체 $Y$에 대해 합하고, $v_Y(f)$는 $f$의 $Y$에서의 valuation (차수)이다.

Valuation $v_Y(f)$는 $f$가 $Y$에서 “몇 번째 차수로 vanish하거나 pole을 갖는지”를 나타낸다. 구체적으로, $Y$의 generic point 근처에서 $f$를 uniformizer $\pi$로 전개하면 $f = \pi^{v_Y(f)} u$이고, 여기서 $u$는 $Y$에서 invertible인 함수이다. $v_Y(f) > 0$이면 $f$는 $Y$에서 영점을 가지고, $v_Y(f) < 0$이면 $f$는 $Y$에서 극점을 가진다.

명제 4 $\operatorname{div}: \mathbb{K}(X)^\ast \to \operatorname{Div}(X)$는 group homomorphism이다.

증명

$f, g \in \mathbb{K}(X)^\ast$에 대해, 각 $Y$에 대하여

\[v_Y(fg) = v_Y(f) + v_Y(g)\]

이므로

\[\operatorname{div}(fg) = \sum_Y v_Y(fg) \cdot Y = \sum_Y (v_Y(f) + v_Y(g)) \cdot Y = \operatorname{div}(f) + \operatorname{div}(g)\]

이다.

예시 5 $\mathbb{A}^1$에서 유리함수 $f(\x) = \frac{(\x-a_1)^{n_1} \cdots (\x-a_k)^{n_k}}{(\x-b_1)^{m_1} \cdots (\x-b_l)^{m_l}}$의 principal divisor는

\[\operatorname{div}(f) = n_1(a_1) + \cdots + n_k(a_k) - m_1(b_1) - \cdots - m_l(b_l)\]

이다. 여기서 $(a_i)$는 점 $a_i$를 나타내는 divisor이고, 양의 계수는 영점을, 음의 계수는 극점을 의미한다.

Linear Equivalence와 Divisor Class Group

정의 6 두 Weil divisor $D_1, D_2$가 linearly equivalent_{선형 동치}하다는 것은 $D_1 - D_2 = \operatorname{div}(f)$인 유리함수 $f \in \mathbb{K}(X)^\ast$가 존재하는 것이다. 이를 $D_1 \sim D_2$로 표기한다.

선형 동치는 두 divisor가 “같은 함수의 영점과 극점의 차이”로 연결됨을 의미한다. 기하학적으로, linearly equivalent한 divisor들은 서로 “연속적으로 변형”될 수 있다.

명제 7 선형 동치 $\sim$은 $\operatorname{Div}(X)$ 위의 동치관계이다.

증명

1. 반사성: $D - D = 0 = \operatorname{div}(1)$이므로 $D \sim D$이다.
2. 대칭성: $D_1 \sim D_2$이면 $D_1 - D_2 = \operatorname{div}(f)$인 $f$가 존재한다. 그럼 $D_2 - D_1 = \operatorname{div}(f^{-1})$이므로 $D_2 \sim D_1$이다.
3. 추이성: $D_1 \sim D_2$이고 $D_2 \sim D_3$이면 $D_1 - D_2 = \operatorname{div}(f)$, $D_2 - D_3 = \operatorname{div}(g)$인 $f, g$가 존재한다. 그럼 $D_1 - D_3 = \operatorname{div}(fg)$이므로 $D_1 \sim D_3$이다.

정의 8 $X$의 divisor class group_인자류군 $\operatorname{Cl}(X)$를 $\operatorname{Div}(X)$를 선형 동치로 나눈 quotient group으로 정의한다:

\[\operatorname{Cl}(X) = \operatorname{Div}(X) / \{\operatorname{div}(f) : f \in \mathbb{K}(X)^\ast\}\]

Divisor class group은 divisor들의 “진정한 불변량”을 포착한다. Principal divisor들은 모두 $0$과 동치이므로, $\operatorname{Cl}(X)$는 “함수의 선택에 의존하지 않는” divisor들의 정보를 담고 있다.

예시 9 $\mathbb{A}^n$의 divisor class group: $\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^n) = 0$이다.

증명

임의의 Weil divisor $D = \sum n_i Y_i$에 대해, 각 $Y_i$는 hypersurface $V(f_i)$이다. 그럼

\[D = \sum n_i \operatorname{div}(f_i) = \operatorname{div}\left(\prod f_i^{n_i}\right)\]

이므로, 모든 divisor는 principal divisor와 동치이다. 따라서 $\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^n) = 0$이다.

예시 10 $\mathbb{P}^n$의 divisor class group: $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$이다.

Hyperplane $H = V(\x_0)$의 class가 생성원이다. 임의의 hypersurface $V(F)$ (여기서 $F$는 차수 $d$의 동차다항식)는 $dH$와 선형 동치이다. 이는 $F/\x_0^d \in \mathbb{K}(\mathbb{P}^n)^\ast$이고 $\operatorname{div}(F/\x_0^d) = \operatorname{div}(F) - d \operatorname{div}(\x_0) = V(F) - dH$이기 때문이다.

Cartier Divisors

Weil divisor는 기하적으로 직관적이지만, singular variety에서는 잘 작동하지 않는다. 이를 보완하기 위해 우리는 Cartier divisor를 정의한다. Cartier divisor는 다양체를 open set들로 덮고, 각 open set에서 rational function의 “local equation”을 제공하는 방식으로 정의된다.

정의 11 다양체 $X$ 위의 Cartier divisor는 다음과 같은 데이터의 동치류이다.

\[\{(U_i, f_i)\}_{i \in I}\]

여기서 ${U_i}$는 $X$의 open cover이고, 각 $f_i \in \mathbb{K}(X)^\ast$는 nonzero rational function이며, 모든 $i, j$에 대해 $f_i/f_j \in \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)^\ast$이다. 두 데이터 ${(U_i, f_i)}$와 ${(V_j, g_j)}$가 동치라는 것은 모든 $i, j$에 대해 $f_i/g_j \in \mathcal{O}_X(U_i \cap V_j)^\ast$인 것이다.

기하학적으로, Cartier divisor는 각 $U_i$에서 hypersurface $V(f_i)$를 정의하고, 이들이 서로 “잘 patch됨”을 의미한다. 조건 $f_i/f_j \in \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)^\ast$는 $f_i$와 $f_j$가 $U_i \cap U_j$에서 같은 zero set을 정의함을 보장한다.

명제 12 Smooth variety $X$에서 Weil divisor와 Cartier divisor는 자연스럽게 일대일 대응한다.

증명

Smooth variety에서 모든 codimension 1 subvariety는 국소적으로 하나의 equation으로 정의된다. 따라서 Weil divisor $D = \sum n_i Y_i$에 대해, 각 점 $p$의 근방 $U$에서 $D$는 $\prod_j f_j^{n_j}$의 형태로 표현되며, 이는 Cartier divisor를 정의한다. 역으로 Cartier divisor ${(U_i, f_i)}$는 Weil divisor $\sum_i \operatorname{div}(f_i)

_{U_i}$에 대응된다.

Principal Cartier Divisor와 Linear Equivalence

정의 13 유리함수 $f \in \mathbb{K}(X)^\ast$에 대하여, principal Cartier divisor $\operatorname{div}(f)$는 ${(X, f)}$로 정의된다.

정의 14 두 Cartier divisor $D_1, D_2$가 linearly equivalent하다는 것은 $D_1 - D_2$가 principal divisor인 것이다.

Cartier divisor들의 group을 $\operatorname{CaDiv}(X)$로 표기하고, principal divisor들로 생성되는 subgroup을 $\operatorname{Prin}(X)$로 표기하자. 그럼 Cartier divisor class group은

\[\operatorname{CaCl}(X) = \operatorname{CaDiv}(X) / \operatorname{Prin}(X)\]

이다. 명제 12에 의해 smooth variety에서는 $\operatorname{CaCl}(X) \cong \operatorname{Cl}(X)$이다.

Picard Group

Cartier divisor와 line bundle 사이에는 자연스러운 대응 관계가 있다. 이를 통해 우리는 divisor class group과 Picard group의 관계를 이해할 수 있다.

정의 15 다양체 $X$의 Picard group $\operatorname{Pic}(X)$는 $X$ 위의 line bundle들의 isomorphism class들의 group이다. 연산은 tensor product이고, 항등원은 trivial line bundle $\mathcal{O}_X$이다.

명제 16 다양체 $X$에 대하여 $\operatorname{Pic}(X) \cong \operatorname{CaCl}(X)$이다.

증명

Cartier divisor ${(U_i, f_i)}$에 대하여, line bundle $\mathcal{L}$을 다음과 같이 정의하자. 각 $U_i$ 위에서 $\mathcal{L}

{U_i} \cong \mathcal{O}{U_i}$이고, transition function은 $g_{ij} = f_i/f_j \in \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)^\ast$이다. 조건 $f_i/f_j \in \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)^\ast$에 의해 이들은 cocycle condition을 만족하므로 well-defined line bundle을 정의한다.

Principal Cartier divisor ${(X, f)}$는 trivial line bundle에 대응됨을 확인할 수 있다. 따라서 이 대응은 $\operatorname{CaCl}(X)$에서 $\operatorname{Pic}(X)$로의 isomorphism을 유도한다.

예시 17 $\mathbb{P}^n$의 Picard group: $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$이다. 생성원은 hyperplane line bundle $\mathcal{O}(1)$이다. 이는 [사영다양체] §동차다항식과 사영공간에서 정의된 homogeneous coordinates $\x_0, \ldots, \x_n$에 의해 생성되는 line bundle이다. 일반적으로 $\mathcal{O}(d)$는 $d$차 동차다항식들의 bundle이며, $\operatorname{div}(\x_0^d) = dH$에 대응된다.

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참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.