Variety \(X\) 위에 정의된 rational function \(f \in \mathbb{K}(X)\)를 생각하자. 이 함수는 일부 점에서 영점을 가지고, 일부 점에서 정의되지 않는다. 본질적으로 rational function들은 실제로 유리식의 꼴이므로, 이 함수가 정의되지 않는 점들은 일종의 pole이며 우리는 해당 pole의 order 또한 생각할 수 있다. 이러한 정보를 체계적으로 기술하기 위해 우리는 divisor의 개념을 도입한다.
베유 인자
우리는 먼저 가장 직관적인 divisor의 정의인 Weil divisor를 살펴본다. 이는 codimension 1 closed subvariety에 정수 계수를 붙인 formal sum으로, 각각의 항의 정수계수는 해당하는 closed subvariety에서 zero 또는 pole의 order를 의미한다.
정의 1 Variety \(X\)의 Weil divisor베유 인자는 \(X\)의 codimension 1 (irreducible) closed subvariety들의 formal \(\mathbb{Z}\)-linear combination
\[D = \sum_{i=1}^{r} n_i Y_i\]이다. Weil divisor들의 집합을 \(\Div(X)\)로 표기한다.
그럼 \(\Div(X)\)는 덧셈에 대한 abelian group을 이룬다.
정의 2 Weil divisor \(D = \sum_i n_i Y_i\)가 effective유효라는 것은 모든 \(n_i \ge 0\)인 것이다. 이를 \(D \ge 0\)으로 표기한다.
한편, 위에서 언급했듯 Weil divisor의 기본적인 아이디어는 유리함수 \(f \in \mathbb{K}(X)^\ast\)의 zero와 pole에 대한 정보를 담는 것이다. 이를 principal divisor라 부른다.
정의 3 유리함수 \(f \in \mathbb{K}(X)^\ast\)의 principal divisor주인자 \(\divisor(f)\)를 다음과 같이 정의한다:
\[\divisor(f) = \sum_{Y} v_Y(f) \cdot Y\]여기서 합은 \(X\)의 모든 codimension 1 irreducible closed subvariety \(Y\)에 대한 것이고, \(v_Y(f)\)는 \(f\)가 \(Y\)에서 갖는 zero 또는 pole의 order를 나타내는 정수이다.
\(Y\)가 codimension 1인 smooth subvariety이면, \(Y\)의 각 점 \(x\) 근방에서 \(Y\)는 하나의 regular function \(\pi\)에 의해 정의된다. 이 \(\pi\)를 \(P\) 근방에서의 local equation이라 한다. 이제 rational function \(f\)를 \(x\) 근방에서 \(f = \pi^{v_Y(f)} \cdot u\)로 전개하자. 여기서 \(f\)의 zero와 pole에 대한 정보는 모두 \(\pi^{v_Y(f)}\)에 담겨있으며, 따라서 \(u\)는 \(x\) 근방에서 zero도, pole도 없는 함수이고 \(v_Y(f)\)가 \(Y\)를 따라서의 zero/pole order이다.
이를 수학적으로 엄밀하게 정의하자면, $Y$의 generic point $\eta$에서의 structure sheaf의 stalk \(\mathcal{O}_{X, \eta}\)가 discrete valuation ring이 되고, local equation \(\pi\)가 이 discrete valuation ring의 uniformizer에 대응된다. 그럼 \(v_Y(f)\)는 정확히 이 discrete valuation ring의 valuation이다.
예시 4 \(\mathbb{A}^2\)에서 정의된 regular function \(f(\x, \y) = \x^2 \y\)을 생각하자. 이 함수는 pole은 없고, 두 irreducible closed subvariety \(D_1=Z(\x)\)와 \(D_2=Z(\y)\)를 따라서만 zero가 있다. 이 때, \(D_1\)을 따라서는 zero가 order 2이고, \(D_2\)를 따라서는 zero의 order가 \(1\)이므로 \(f\)에 해당하는 principal divisor는
\[\divisor(f)=2D_1+D_2\]이다.
예시 5 \(\mathbb{A}^1\)에서 유리함수
\[g(\x) = \frac{(\x-a_1)^{n_1} \cdots (\x-a_k)^{n_k}}{(\x-b_1)^{m_1} \cdots (\x-b_l)^{m_l}}\]을 생각하자. 이 함수는 \(a_i\)를 따라서는 order \(n_i\)의 zero가, \(b_j\)를 따라서는 order \(m_j\)의 pole이 분포하므로 이 함수의 principal divisor는
\[\divisor(g) = n_1(a_1) + \cdots + n_k(a_k) - m_1(b_1) - \cdots - m_l(b_l)\]이다. 여기서 \((a_i)\)는 점 \(a_i\)를 나타내는 divisor이고, 양의 계수는 영점을, 음의 계수는 극점을 의미한다.
명제 6 \(\divisor: \mathbb{K}(X)^\ast \to \operatorname{Div}(X)\)는 group homomorphism이다.
증명
\(f, g \in \mathbb{K}(X)^\ast\)에 대해, 각 \(Y\)에 대하여
\[v_Y(fg) = v_Y(f) + v_Y(g)\]이므로
\[\divisor(fg) = \sum_Y v_Y(fg) \cdot Y = \sum_Y (v_Y(f) + v_Y(g)) \cdot Y = \divisor(f) + \divisor(g)\]이다.
우리의 목적은 \(\Div(X)\)로부터 \(X\)의 성질을 뽑아내는 것이다. 그러나 이를 위해 \(\Div(X)\)은 불필요하게 크다. 우리는 어쨌든 \(\mathbb{K}(X)^\ast\)의 원소들에 대해서는 어느정도 잘 알고 있으므로, 특정한 divisor에 \(\mathbb{K}(X)^\ast\)의 원소로부터 얻어지는 divisor를 연산하여 얻어지는 divisor는 원래의 divisor는 같은 것으로 취급할 것이다. 즉 다음을 정의한다.
정의 7 두 Weil divisor \(D_1, D_2\)가 linearly equivalent선형동치하다는 것은 \(D_1 - D_2 = \divisor(f)\)인 rational function \(f \in \mathbb{K}(X)^\ast\)가 존재하는 것이다. 이를 \(D_1 \sim D_2\)로 표기한다.
그럼 다음이 성립한다.
명제 8 선형 동치 \(\sim\)은 \(\operatorname{Div}(X)\) 위의 동치관계이다.
증명
우선 \(D - D = 0 = \divisor(1)\)이므로 \(D \sim D\)이다. 또, 만일 \(D_1 \sim D_2\)이면 \(D_1 - D_2 = \divisor(f)\)인 \(f\)가 존재하며, 그럼 이 \(f\)에 대하여 \(D_2 - D_1 = \divisor(f^{-1})\)이다. 마지막으로 \(D_1 \sim D_2\)이고 \(D_2 \sim D_3\)이라 가정하자. 즉 \(D_1 - D_2 = \divisor(f)\), \(D_2 - D_3 = \divisor(g)\)인 \(f, g\)가 존재한다. 그럼 \(D_1 - D_3 = \divisor(fg)\)이므로 \(D_1 \sim D_3\)이다.
정의 9 \(X\)의 divisor class group인자류군 \(\Cl(X)\)를 \(\operatorname{Div}(X)\)를 선형 동치로 나눈 quotient group으로 정의한다:
\[\Cl(X) = \operatorname{Div}(X) / \{\divisor(f) : f \in \mathbb{K}(X)^\ast\}\]앞서 살펴본 motivation에 의하면, \(\Cl(X)\)는 \(\Div(X)\)보다 작으면서도, \(X\)의 성질에 대한 정보는 여전히 담고있다고 할 수 있다.
예시 10 \(\Cl(\mathbb{A}^n) = 0\)이다. 이를 확인하기 위해 임의의 Weil divisor \(D=\sum n_i Y_i\)가 주어졌다 하자. 우리는 이것이 어떤 함수의 principal divisor임을 보여야 한다. 그런데 \(Y_i\)는 irreducible closed subvariety이므로 이는 coordinate ring \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 prime ideal \(I(Y_i)\)에 해당되며 \(\codim Y_i=\codim I(Y_i)=1\)이다. 그런데 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)은 [환론] §다항식환, ⁋정리 16에 의해 unique factorization domain이며, 따라서 임의의 height 1 prime ideal은 반드시 principal이다. 즉, \(I(Y_i)=(f_i)\)이도록 하는 함수 \(f\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)이 존재하며 이로부터 각 \(Y_i\)는 \(Z(f_i)\)이다.
물론 \(\Cl(X)\)가 어떠한 종류의 정보를 담고있는지 알기 위해서는 \(\Cl(X)\neq 0\)인 경우를 생각해야 할 것이다.
예시 11 \(\Cl(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}\)이다. 이를 확인하기 위해 임의의 hyperplane class, 가령 \(H=Z(\x_0)\)을 기준으로 삼자. 우리는 우선 임의의 degree \(d\) homogeneous polynomial \(F\)가 정의하는 hyperplane \(Z(F)\)가 \(dH\)와 같다는 것을 보일 것이다. 이를 확인하기 위해 함수 \(F/\x_0^d\in \mathbb{K}(\mathbb{P}^n)^\ast\)를 생각하면
\[\divisor(F/\x_0^d)=\divisor(F)-d\cdot \divisor(\x_0)=Z(F)-dH\]이다.
따라서 Weil divisor \(D=\sum n_i Y_i\)는 order \(n_i\)와, \(Y_i\)를 정의하는 homogeneous polynomial의 degree \(d_i\)에 의해 정해진다. 이를 직관삼아 다음의 식
\[\deg: \Cl(\mathbb{P}^n) \rightarrow \mathbb{Z};\qquad D=\sum n_i Y_i \mapsto \sum n_i \deg(Y_i)\]을 정의하자. 여기서 \(\deg(Y_i)\)는 \(Y_i\)를 정의하는 homogeneous polynomial의 차수이다. 이 때 모든 hypersurface가 어떤 동차다항식의 zero set이므로 이렇게 정의하는 것에 문제가 없다. 또, 우리는 §유리사상, ⁋예시 4에 의해 \(\mathbb{P}^n\) 위의 임의의 rational function은 같은 차수를 갖는 homogeneous polynomial \(F,G\)들의 비율 \(F/G\)로 나타난다는 것을 알고 있으므로, principal divisor \(\divisor(F)\)에 대하여 반드시 \(\deg(\divisor(F))=0\)이 성립하므로 이 정의는 well-defined이다.
우리 주장은 \(\deg\)가 isomorphism이라는 것이다. 우선 \(\deg\)가 surjective인 것은 \(dH\)들의 image가 \(d\)로 가므로 자명하다. injectivity의 경우 \(\deg(D)=0\)을 만족하는 \(D\)가 principal divisor라는 것을 보여야 한다. 그런데 앞서 우리는 \(D=dH\)임을 보았고, 따라서 이것이 \(\deg\) map을 통해 \(0\)으로 가기 위해서는 \(d=0\)이어야 한다. 즉 \(D\)는 \(0\)과 linearly equivalent하다.
직관적으로, 이것이 \(\mathbb{A}^n\)과 다른 이유는 \(\mathbb{P}^n\) 위에 정의된 global regular function은 상수함수이기 때문이다. 즉, 만일 \(\mathbb{P}^n\) 위에 정의된 함수가 특정 점에서 zero를 갖는다면, 이 함수는 반드시 다른 점에서 pole을 가져야 하며 zero의 order들의 합과 pole의 order들의 합은 서로 같아야 한다. \(\Cl(\mathbb{P}^n)\cong \mathbb{Z}\)라는 것은, \(d\neq 0\)인 \(dH\)들이 본질적으로는 \(\mathbb{P}^n\)의 모든 non-principal divisor이며, 나머지 divisor들 \(\sum n_i D_i\)는 이 order \(d\)를 유리함수 \(f\)를 통해 각각의 \(D_i\)로 분배해주는 것에 불과하다는 뜻이다.
카르티에 인자
Weil divisor는 기하적으로 직관적이지만, singular variety에서는 잘 작동하지 않는다는 문제가 있다. 예를 들어 원뿔 \(X=Z(\x^2 + \y^2 - \z^2) \subset \mathbb{A}^3\)에서, 정의 3 이후의 설명을 따라 principal divisor를 정의하는 상상을 해 보자. 이 원뿔의 smooth point, 가령 \((1,0,1)\)에서 codimension \(1\) subvariety, 가령 \(X\cap Z(\y)\)를 생각하면 이 subvariety는 이 점 근방에서 local equation \(\y=0\)으로 정의되며 따라서 임의의 rational function \(f\)가 주어졌을 때 여기에서 \(\y\)에 대한 zero와 pole의 정보를 뽑아낼 수 있다. 문제는 singular point에서 발생한다. 가령 원점 \((0,0,0)\) 근방에서 codimension \(1\) subvariety \(L=(t,0,t)\)를 생각하자. 이를 나타내기 위해서는 두 방정식 \(\y=0\)과 \(\x-\z=0\)이 모두 필요하며, 이는 우리가 \(v_L(f)\)를 잘 정의할 수 없다는 뜻이다. 더 엄밀하게는 \(\mathcal{O}_{X,(0,0,0)}\)이 (dimension \(1\)) regular local ring이 되지 않고 따라서 discrete valuation ring도 아니므로, 애초에 valuation을 정의할 수 없게 된다.
즉, 핵심적인 문제는 singular variety에서는 codimension \(1\) 부분임에도 불구하고 국소적으로 하나의 방정식으로 표현되지 않는 경우가 생기는 것이다. 따라서 우리는 그냥 국소적으로 하나의 방정식으로 표현되는 대상들로 우리의 관심을 제한한다. 이를 위해서는 언제나처럼 적당한 종류의 gluing을 통해 정의한다.
정의 12 Variety \(X\) 위의 Cartier divisor는 다음의 데이터
\[\{(U_i, f_i)\}_{i \in I}\]로 이루어진다. 여기서 \(\{U_i\}\)는 \(X\)의 open cover이고, 각 \(f_i \in \mathbb{K}(X)^\ast\)는 nonzero rational function이며, 모든 \(i, j\)에 대해 \(f_i/f_j\)가 \(U_i \cap U_j\)에서 regular이고 non-vanishing (따라서 invertible)이다.
이 때, 두 데이터 \(\{(U_i, f_i)\}\)와 \(\{(V_j, g_j)\}\)에 대하여, 만일 두 open cover의 refinement \(\{W_k\}\)가 존재하여 \(f_i/g_j\)가 이 위에서 regular, non-vanishing이도록 할 수 있다면 이들 두 데이터는 같은 Cartier divisor를 나타내는 것으로 본다.
정의에 의해 Cartier divisor는 locally principal한 codimension 1 subvariety들만 모아둔 것이다. 데이터 \(U_i\)는 정확히 어떤 열린집합으로 local한지, 그리고 그 열린집합에서 어떠한 하나의 함수로 정의되는지까지를 명확하게 명시한 것이다. 이에 따르면 앞서 살펴본 직선 \(L\)은 원점 근방의 열린집합에서 하나의 방정식으로 나타낼 수 없으므로 Cartier divisor가 아니다.
예시 13 위의 원뿔의 예시에서, 직선 \(L'=(t,0,-t)\)을 생각하면 이는 \(L\)과 마찬가지 이유로 Cartier divisor가 아니다. 그러나 그 합 \(L+L'\)은 Cartier divisor인데, 이는 \(L+L'\)이 \(\y\)의 zero set으로 정의되기 때문이다.
위에서 언급했듯, Cartier divisor는 locally principal 조건을 추가한 codimension 1 subvariety라고 생각할 수 있다. 구체적으로 만일 Cartier divisor \(\{(U_i, f_i)\}\)가 주어지면, 각 \(U_i\)에서 \(f_i\)의 principal Weil divisor \(\divisor(f_i)\)를 생각할 수 있다. 이 때 \(U_i \cap U_j\)에서 \(f_i/f_j\)가 invertible이므로, 모든 codimension \(1\) subvariety \(Y\)에 대하여 \(v_Y(f_i)=v_Y(f_j)\)이 성립하고, 따라서 이들을 이어붙여 Weil divisor를 정의할 수 있다.
반대방향은 일반적으로 성립하지 않는다는 것을 위에서 살펴보았지만, 동시에 smooth인 경우에는 stalk이 regular local ring이 될 것이므로 별 문제가 없다는 것도 알 수 있다. 즉 다음이 성립한다.
명제 14 Smooth variety \(X\)에서 Weil divisor와 Cartier divisor는 자연스럽게 일대일 대응한다.
본질적으로 Weil divisor는 공간 \(X\)의 특정한 부분집합들, 즉 homology class와 같은 역할을 하며 Cartier divisor는 그 정의에 의해 공간 \(X\) 위에 (국소적으로) 정의된 함수들, 즉 cohomology class와 같은 역할을 한다. 이러한 관점에서 이 명제는 일종의 푸앵카레 쌍대성처럼 생각할 수 있다. ([대수적 위상수학] §푸앵카레 쌍대성, ⁋정리 11)
이제 우리는 Cartier divisor들에서도 Weil divisor에서와 마찬가지로 linear equivalence를 정의하고 divisor class group을 정의한다. 그러려면 우선 다음이 필요하다.
정의 15 유리함수 \(f \in \mathbb{K}(X)^\ast\)에 대하여, principal Cartier divisor \(\divisor(f)\)는 \(\{(X, f)\}\)로 정의된다.
그럼 다음 정의는 정의 8의 Cartier 버전이다.
정의 16 두 Cartier divisor \(D_1, D_2\)가 linearly equivalent하다는 것은 \(D_1 - D_2\)가 principal divisor인 것이다.
Cartier divisor들의 group을 \(\CaDiv(X)\)로 표기하고, principal divisor들로 생성되는 subgroup을 \(\Prin(X)\)로 표기하자. 그럼 Cartier divisor class group은
\[\CaCl(X) = \CaDiv(X) / \Prin(X)\]이다. 명제 14에 의해 smooth variety에서는 \(\CaCl(X) \cong \Cl(X)\)이다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.
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