[Linear Systems]에서 우리는 line bundle의 global sections들이 projective space를 형성함을 보았다. 이제 우리는 다양체의 가장 중요한 line bundle 중 하나인 canonical bundle을 소개한다. Canonical bundle은 다양체의 “자연스러운” line bundle로, differential form들의 bundle이다.
Canonical bundle은 Serre duality, Riemann-Roch theorem 등 대수기하학의 가장 중요한 정리들에서 핵심적인 역할을 한다. 또한 canonical bundle은 다양체의 “orientation”과 밀접하게 관련되어 있으며, 다양체가 “얼마나 휘어있는지”를 측정하는 도구이다.
Cotangent Bundle
정의 1 Smooth variety $X$의 cotangent sheaf $\Omega_X^1$는 각 점 $p \in X$에서 Zariski cotangent space $T_p^\ast X = \mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2$를 fiber로 갖는 sheaf이다. 여기서 $\mathfrak{m}_p$는 $p$에서의 maximal ideal이다.
명제 2 Affine variety $X = \operatorname{Spec} A$에서 $\Omega_X^1$는 Kähler differentials $\Omega_{A/\mathbb{K}}^1$의 sheaf이다.
증명
Kähler differentials $\Omega_{A/\mathbb{K}}^1$는 $A$-module로, universal property를 만족한다. 각 점 $p$에서의 stalk은 $\Omega_{A/\mathbb{K}}^1 \otimes_A \kappa(p)$이고, 이는 $\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2$와 자연스럽게 동형이다.
예시 3 $\mathbb{A}^n$의 cotangent sheaf: $\Omega_{\mathbb{A}^n}^1 \cong \mathcal{O}{\mathbb{A}^n}^{\oplus n}$이다. 이는 coordinate ring $\mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]$의 Kähler differentials이 free module $\bigoplus{i=1}^n \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n] d\x_i$이기 때문이다.
Canonical Bundle의 정의
정의 4 Smooth variety $X$ of dimension $n$의 canonical sheaf (또는 canonical bundle) $\omega_X$는 cotangent sheaf의 top exterior power이다.
\[\omega_X = \bigwedge^n \Omega_X^1\]Canonical bundle은 $n$-form들의 sheaf이다. 각 점 $p$에서 fiber는 $\bigwedge^n T_p^\ast X$이고, 이는 1차원 벡터공간이다.
명제 5 Canonical sheaf $\omega_X$는 invertible sheaf이다. 즉, line bundle이다.
증명
$\Omega_X^1$은 locally free sheaf of rank $n$이고, 그 top exterior power는 locally free sheaf of rank 1이다. 따라서 $\omega_X$는 invertible sheaf이다.
정의 6 Canonical bundle $\omega_X$에 대응하는 divisor를 canonical divisor라 하고 $K_X$로 표기한다. 즉, $\omega_X \cong \mathcal{O}_X(K_X)$이다.
Canonical divisor는 유일하게 결정되지 않고 linear equivalence class만이 잘 정의된다. 즉, $K_X$는 $\operatorname{Cl}(X)$의 원소이다.
예시들
예시 7 $\mathbb{A}^n$의 canonical bundle: $\omega_{\mathbb{A}^n} \cong \mathcal{O}{\mathbb{A}^n}$이다. 이는 예시 3에서 $\Omega{\mathbb{A}^n}^1 \cong \mathcal{O}_{\mathbb{A}^n}^{\oplus n}$이므로
\[\omega_{\mathbb{A}^n} = \bigwedge^n \Omega_{\mathbb{A}^n}^1 \cong \bigwedge^n \mathcal{O}_{\mathbb{A}^n}^{\oplus n} \cong \mathcal{O}_{\mathbb{A}^n}\]이기 때문이다. 따라서 $K_{\mathbb{A}^n} \sim 0$이다.
예시 8 $\mathbb{P}^n$의 canonical bundle: $\omega_{\mathbb{P}^n} \cong \mathcal{O}{\mathbb{P}^n}(-n-1)$이다. Canonical divisor는 $K{\mathbb{P}^n} = -(n+1)H$이다. 여기서 $H$는 hyperplane divisor이다.
예시 9 Smooth curve의 canonical bundle: 기약 smooth projective curve $C$에 대해, $\omega_C$는 regular 1-form들의 sheaf이다. Canonical divisor $K_C$는 degree $2g-2$를 갖는다. 여기서 $g$는 $C$의 genus이다.
Adjunction Formula
명제 10 (Adjunction Formula) Smooth variety $X$의 smooth divisor $D$에 대해
\[\omega_D \cong \omega_X \otimes \mathcal{O}_X(D)|_D\]이다.
증명
| Exact sequence $0 \to \mathcal{I}_D/\mathcal{I}_D^2 \to \Omega_X^1 | _D \to \Omega_D^1 \to 0$으로부터 |
| 을 얻는다. 여기서 $\mathcal{I}_D/\mathcal{I}_D^2 \cong \mathcal{O}_X(-D) | _D$이므로 |
이다.
Adjunction formula는 divisor의 canonical bundle을 ambient variety의 canonical bundle로 표현한다. 이는 hypersurface의 canonical bundle을 계산하는 데 매우 유용하다.
예시 11 Smooth plane curve: $C \subset \mathbb{P}^2$가 degree $d$의 smooth curve라 하자. Adjunction formula에 의해
\[\omega_C \cong \omega_{\mathbb{P}^2}|_C \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(C)|_C \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-3)|_C \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d)|_C \cong \mathcal{O}_C(d-3)\]| 이다. 따라서 $K_C \sim (d-3)H | _C$이다. 여기서 $H$는 $\mathbb{P}^2$의 hyperplane이다. |
Dualizing Sheaf
Canonical bundle은 dualizing sheaf의 관점에서도 이해할 수 있다. 이는 Serre duality와 밀접하게 관련되어 있다.
명제 12 (Serre Duality) Smooth projective variety $X$ of dimension $n$에 대해, 임의의 coherent sheaf $\mathcal{F}$에 대하여
\[H^i(X, \mathcal{F})^\ast \cong H^{n-i}(X, \omega_X \otimes \mathcal{F}^\vee)\]이다.
Serre duality는 cohomology group 사이의 duality를 제공한다. 이는 특히 $H^n(X, \omega_X) \cong \mathbb{K}$임을 의미한다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.
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