§선형계에서 우리는 line bundle의 (basepoint-free) complete linear system을 사용하여 projective space에 embed할 수 있다는 것을 살펴보았고, 만일 이것이 closed embedding을 정의한다면 이러한 line bundle을 very ample이라 부르기도 하였다.
이렇듯 line bundle이 우리의 기하학에 꽤나 중요한 영향을 미치고 있음에도 불구하고, 우리는 아직까지 임의의 variety 위에 일반적으로 line bundle을 정의하는 방법을 제대로 살펴보지 않았다. 만일 \(X\)가 smooth variety라면, 우리는 §선다발과 벡터다발, ⁋예시 24를 사용하여 이 위에 정의된 cotangent bundle \(\Omega_X^1\)을 생각할 수 있으며 이것의 top exterior power를 생각하여 canonical bundle \(\omega_X\)를 생각할 수 있다. 이번 글에서 우리의 목표는 이 bundle \(\omega_X\)를 살펴보는 것이다.
벡터다발과 준연접층
위에서 언급한 것과 같이, \(\omega_X\)를 정의하기 위해서는 cotangent bundle \(\Omega_X^1\)로부터 시작한다. 이는 \(X\) 위에 정의된 differential form들의 bundle인 것을 이미 살펴보았다. 이것이 대수적인 세팅에서의 미분과 맞아떨어짐을 보이자. ([가환대수학] §미분, ⁋정의 3) 이를 위해서는 임의의 affine variety \(X\)와 그 coordinate ring \(A\), 그리고 \(A\)-module \(M\)이 주어졌을 때 \(M\)을 \(X\) 위의 vector bundle로 옮기는 과정을 살펴보아야 한다.
우리의 기본적인 철학은 §아핀다양체, ⁋명제 16을 이용하여 coordinate ring 사이의 homomorphism을 variety들 사이의 반대방향 morphism으로 옮길 수 있으며 따라서 \(X\) 위에 정의된 bundle을 얻어낼 수 있다는 것이다. 그러나 문제는 \(M\)은 ring이 아니라는 것이다. 즉 \(M\) 위에는 곱셈이 정의되어 있지 않다. 그러나 [다중선형대수학] §텐서대수, ⁋정의 5에 따르면 우리는 \(M\) 위에 (commutative) 곱셈을 강제로 정의해주는 symmetric algebra \(\S(M)\)을 생각할 수 있다.
그러나 이를 곧바로 적용하기에는 문제가 있다. 우리의 목적은 \(M\)을 \(X\) 위에 정의된 vector bundle로 보려는 것임을 기억하자. 즉 대략적으로 \(X\)의 각 점 위에 \(M\)을 잘 달아주는 것이 우리의 목적인데, §아핀다양체, ⁋명제 16에 따르면 \(M\)이 variety의 세상에서 (fiber로) 등장한다면, 이를 정의하는 coordinate ring은 이것의 좌표함수여야 한다. 즉, 우리는 \(M\) 대신 \(M^\vee\)를 사용해야만 하고, 따라서 \(\S_A(M)\) 대신 \(\S_A(M^\vee)\)을 생각한다. 그럼 이는 \(A\)-algebra이며 따라서 coordinate ring 사이의 함수 \(A\rightarrow \S_A(M^\vee)\)을 얻고, 여기에 §아핀다양체, ⁋명제 16를 적용하면 어떠한 variety \(V(M)\)에서 \(X\)로 가는 morphism을 얻는다.
이 morphism이 실제로 \(X\) 위의 vector bundle 구조를 갖는지 확인하자. 점 \(x\in X\)는 coordinate ring \(A\)의 maximal ideal \(\mathfrak{m}_x\)에 해당하며, 따라서 \(V(M) \to X\)에서 \(x\) 위의 set-theoretic fiber \(V(M)_x = \pi^{-1}(x)\)의 점들은 \(\mathfrak{m}_x\cdot \S_A(M^\vee)\)를 포함하는 \(\S_A(M^\vee)\)의 maximal ideal들이다.
대수적으로 이 fiber를 정의하는 coordinate ring을 얻기 위해서는 이 위에서 정의된 함수가 무엇인지부터 생각해야 한다. 그런데 \(x\in X\)를 정의하는 maximal ideal \(\mathfrak{m}_x\)에 포함되는 함수들은 모두 \(x\) 위에서 vanish하므로, 이 fiber에서 정의된 함수는 \(A/\mathfrak{m}_x\)-valued function으로 생각하는 것이 타당하다. 우리는 이 field \(\kappa(x)=A/\mathfrak{m}_x\)를 \(x\)에서의 residue field라 부르며, 따라서 일반적으로 \(\kappa(x)\)는 \(\mathbb{K}\)의 algebraic extension이다. ([가환대수학] §영점정리, ⁋정리 4) 우리는 보통 \(\mathbb{K}\)가 algebraically closed field인 경우를 생각하므로, \(\kappa(x)\)는 그냥 \(\mathbb{K}\)라 생각해도 무방하다.
이제 위의 논의로부터 \(\S_A(M^\vee)\)의 \(\kappa(x)\)-valued function들의 모임 \(\S_A(M^\vee)\otimes_A\kappa(x)\)을 생각해야 하는 것을 안다. 그럼 symmetric algebra가 tensor product와 commute하는 것으로부터 다음의 식
\[\S_A(M^\vee)\otimes_A\kappa(x)=\S_{\kappa(x)} (M^\vee\otimes_A\kappa(x))=\S_{\kappa(x)}(M_x^\vee)\]을 얻으며, 여기서 우변의 \(M_x = M \otimes_A \kappa(x)\)이며, 여기서 등장하는 텐서곱들은 위에서 설명한 것과 마찬가지로 대강 모든 대상들을 \(\mathbb{K}\)-vector space (정확히는 \(\kappa(x)\)-vector space)로 보는 것이라 생각하면 된다.
이제 \(\S_{\kappa(x)}(M_x^\vee)\)는 \(\kappa(x)\)를 계수로 갖고, \(M_x^\vee\)의 각 원소들을 1차식으로 갖는 polynomial algebra이며, 그렇다면 \(V(M)_x\)의 fiber는 이들 \(M_x^\vee\)의 원소들을 coordinate function으로 갖는 점들이고, 따라서 이들 점들은 \(M_x\)의 double dual이라 생각할 수 있다. 이제 만일 \(M\)이 finitely generated \(A\)-module이라면, canonical isomorphism \(M_x\cong M_x^{\vee\vee}\)이 존재하므로 이로부터 각각의 fiber \(V(M)_x\)을 \(\kappa(x)\)-vector space \(M_x\)로 이해할 수 있다.
추가적인 계산을 통해 이 데이터가 locally trivial 조건을 만족한다는 것을 확인할 수 있으며, 이로서 우리는 finitely generated \(A\)-module \(M\)이 주어졌을 때 이를 \(X\) 위에 정의된 vector bundle로 생각할 수 있다는 것을 확인할 수 있다.
한편 이 vector bundle이 locally trivial임을 보이는 것은 본질적으로 sheaf의 언어로 이를 살펴보는 것과 같다. 우리는 기하적 직관을 위해 sheaf의 언어를 많이 사용하지는 않았는데, 대략적으로 설명하면 다음과 같다.
위와 마찬가지로 affine variety \(X\)와 그 coordinate ring \(A\), 그리고 \(A\)-module \(M\)이 주어졌을 때, \(X\) 위에 정의된 sheaf \(\widetilde{M}\)을 다음의 식
\[\widetilde{M}(U)=M\otimes_A \mathcal{O}_X(U)\]으로 정의한다. 이는 기본적으로 위에서 \(\kappa(x)\)를 도입하는 것과 같은 맥락이며, 실제로 우리가 자세히 계산하지는 않았지만 \(V(M)\)의 local triviality를 보일 때는 이와 같이 structure sheaf를 사용해서 base change를 했을 것이다. 그럼 특히 \(X\) 전체에 대해서는
\[\widetilde{M}(X)=M\otimes_A A=M\]이 되어 \(M\)이 \(\widetilde{M}\)의 global section space가 된다.
이 두 정의는 본질적으로 같은 대상을 다른 기하적 언어로 표현한 것에 불과하다. 즉, affine variety \(X\)와 그 coordinate ring \(A\), finitely generated \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(\widetilde{M}\)의 étale space가 곧 \(V(M)\)이고, \(V(M)\)의 section sheaf가 \(\widetilde{M}\)이다.
일반적으로, 구체적인 기하적 언어에 비교했을 때 sheaf 언어의 장점은 더 일반적인 경우에 적용이 가능하다는 것이다. 가령 다음을 정의한다. ([가환대수학] §기본 개념들, ⁋정의 8)
정의 1 일반적인 variety \(X\) 위의 \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\)가 quasi-coherent sheaf준연접층라는 것은, \(X\)의 affine open cover \(\{U_i\}\)와 각각의 coordinate ring \(A_i=\mathcal{O}_X(U_i)\)-module \(M_i\)가 존재하여 \(\mathcal{F}\vert_{U_i}\cong \widetilde{M_i}\)가 되는 것이다. 만일 각 \(M_i\)가 finitely generated \(A_i\)-module이라면, \(\mathcal{F}\)를 coherent sheaf연접층라 부른다.
일반적으로 quasi-coherent sheaf를 다룰 때는 각각의 affine cover마다 다른 \(M\)이 붙어있을 수 있으므로 조심해야 하지만, affine case로만 한정할 경우 \(M\mapsto \widetilde{M}\)은 \(\lMod{A}\)에서 \(\QCoh(X)\)로의 categorical equivalence를 정의한다. 이는 임의의 quasi-coherent sheaf \(\mathcal{F}\)에 대하여, \(\widetilde{\Gamma(X,\mathcal{F})}\)가 \(\mathcal{F}\) 자신을 복원한다는 것을 확인하면 된다. 즉 우리의 슬로건은, affine case에서는 quasi-coherent sheaf는 \(A\)-module이고, coherent sheaf는 finite rank \(A\)-module이라는 것이다.
이러한 관점에서는 vector bundle은 아주 특수한 경우의 (quasi-)coherent sheaf라 생각할 수 있다. 혹은 반대로 이들 (quasi-)coherent sheaf들을 생각할 때 아주 일반적인 형태의 vector bundle이라 생각해도 된다. 구체적으로, coherent sheaf는 (finite rank) vector bundle들의 category에서 이들이 abelian category의 연산, 즉 kernel이나 image, cokernel 등에 대해 닫혀있도록 하기 위해서 확장한 것이라 생각할 수 있으며 직관적으로는 fiber dimension이 점마다 달라질 수 있는 vector bundle이라 생각할 수 있다. Quasi-coherent sheaf는 여기에서 finite rank 조건까지 뺀 것이다.
다만 위의 직관에서 다소 주의할 부분은 [가환대수학] §기본 개념들, ⁋명제 9가 기하학적 상황에서는 정확히 맞아떨어지지는 않는다는 것이다. 가령, smooth variety 위에 정의된 임의의 coherent sheaf는 유한한 길이의 locally free resolution을 갖지만, singular variety에서는 그렇지 않다.
Canonical Bundle
이제 우리는 canonical bundle을 정의할 준비가 되었다. 이를 위해서는 먼저 variety 위의 cotangent bundle을 도입해야 하는데, 다음 정의는 이미 §선다발과 벡터다발, ⁋예시 24에서 살펴본 것이지만 완결성을 위해 다시 소개한다.
정의 2 Smooth variety \(X\)의 cotangent bundle여접다발 \(\Omega_X^1\)는 tangent bundle \(\mathcal{T}_X\)의 dual vector bundle이다.
그럼 우리가 이전 섹션에서 살펴본 construction은 다음을 위한 것이다.
명제 3 Affine variety \(X\)와 \(X\)의 coordinate ring \(A\)에 대하여, \(\Omega_X^1\)은 \(\widetilde{\Omega}_{A/\mathbb{K}}\)에 대응되는 vector bundle이다. ([가환대수학] §미분, ⁋정의 3)
증명
이를 위해서는 기존에 정의한 tangent bundle과 cotangent bundle을 sheaf 언어로 바꿔쓰는 것이 편할 것이다. 우선 tangent sheaf \(\mathcal{T}_X\)를 정의하자. \(X\)의 열린집합 \(U\)에 대하여, \(\mathcal{T}_X(U)\)를 \(\mathcal{O}_X(U)\) 위의 \(\mathbb{K}\)-derivation들의 모임 \(\Der_\mathbb{K}(\mathcal{O}_X(U),\mathcal{O}_X(U))\)이 정의하는 sheaf를 tangent sheaf라 부른다.
우리의 메인 도구는 Kähler differential의 universal property이다. ([가환대수학] §미분, ⁋보조정리 2) 즉, 임의의 \(A\)-module \(N\)에 대하여 natural isomorphism
\[\Der_\mathbb{K}(A,N)\cong\Hom_A(\Omega_{A/\mathbb{K}},N)\]을 사용하자. 그럼 \(\widetilde{(-)}\)이 categorical equivalence라는 사실과 위의 natural isomorphicm에 의하여
\[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{\Omega_{A/\mathbb{K}}},\widetilde{N})\cong\Hom_A(\Omega_{A/\mathbb{K}},N)\cong\Der_\mathbb{K}(A,N)\]이 성립한다. 뿐만 아니라, derivation들의 sheaf를 생각하면 마지막 항 \(\Der_\mathbb{K}(A,N)\)은 다시 \(\Der_\mathbb{K}(\mathcal{O}_X, \widetilde{N})\)이므로 다음의 식
\[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{\Omega_{A/\mathbb{K}}}, \widetilde{N})\cong \Der_\mathbb{K}(\mathcal{O}_X, \widetilde{N})\]이 성립한다. 특별히 \(N=A\)인 경우, 즉 \(\widetilde{N}=\mathcal{O}_X\)인 경우를 생각하면
\[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{\Omega_{A/\mathbb{K}}}, \mathcal{O}_X)\cong\Der_\mathbb{K}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\cong \mathcal{T}_X\]이 성립한다. 한편, \(\Omega_{A/\mathbb{K}}\)이 finitely generated projective \(A\)-module이라는 사실로부터 \(\widetilde{\Omega_{A/\mathbb{K}}^\vee}\cong \widetilde{\Omega_{A/\mathbb{K}}}^\vee\)임을 알고, 따라서
\[\widetilde{\Omega_{A/\mathbb{K}}}^\vee\cong \widetilde{\Omega_{A/\mathbb{K}}^\vee}\cong \widetilde{\Der_\mathbb{K}(A,A)}\cong \mathcal{T}_X\]이므로 원하는 주장이 성립한다.
이 결과는 cotangent bundle이 우리가 상상하는 것처럼 differential \(1\)-form들로 나타난다는 것을 보여준다.
예시 4 \(\mathbb{A}^n\)의 cotangent bundle은 \(\Omega_{\mathbb{A}^n}^1 \cong \mathcal{O}_{\mathbb{A}^n}^{\oplus n}\)이다. 대수적으로, 만일 \(\mathbb{A}^n\)의 coordinate ring \(\mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)을 고정하면 이 \(\mathbb{K}\)-algebra의 Kähler differentials은 free module \(\bigoplus_{i=1}^n \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n] d\x_i\)이므로, 이 결과는 우리의 직관과 잘 맞아떨어진다.
한편 우리는 임의의 smooth variety \(X\) of dimension \(n\)과 그 위의 cotangent bundle \(\Omega_X^1\)에 대하여, \(\Omega_X^1\)의 각 fiber는 \(n\)차원이므로 이를 \(n\)번 exterior product한 것은 line bundle이 되는 것을 안다.
정의 5 Smooth variety \(X\) of dimension \(n\)의 canonical line bundle표준 선다발 \(\omega_X\)를 cotangent bundle의 top exterior power
\[\omega_X = \bigwedge\nolimits^{\!n} \Omega_X^1\]로 정의한다.
우리는 canonical bundle \(\omega_X\)의 global section \(s\in \Gamma(X, \omega_X)\)을 \(X\) 위의 regular \(n\)-form이라 부른다. 이들은 만일 \(\omega_X\)의 trivializing open set \(U\)를 잡고, 이를 예시 4과 같이 affine space 위의 cotangent bundle로 identify할 경우 regular function \(f\)에 대하여 \(fd\x_1 \wedge \cdots \wedge d\x_n\)의 꼴로 나타나는 \(n\)-form들이다.
한편 우리는 line bundle과 divisor class의 대응으로부터 다음을 정의할 수 있다.
정의 6 Canonical bundle \(\omega_X\)에 대응하는 divisor class를 canonical divisor라 하고 \(K_X\)로 표기한다. 즉, \(\omega_X \cong \mathcal{O}_X(K_X)\)이다.
이를 위해서는 §선다발과 벡터다발, ⁋명제 19를 사용하므로, \(K_X\)는 오직 divisor class로만 정의된다는 것에 유의하자.
\(\mathbb{P}^n\)의 Canonical Bundle
앞선 글들과 마찬가지로, 우리에게 가장 친숙한 예시는 \(\mathbb{P}^n\)의 예시이다. 직관적으로 \(\mathbb{P}^n\)을 정의하는 quotient
\[\mathbb{P}^n=(\mathbb{A}^{n+1}\setminus\{0\})/\mathbb{K}^\ast\]을 뜯어보면, \(\mathbb{K}^\ast\)-action은 원점을 중심으로 뻗어나가는 방향, 즉 Euler vector field가 정의하는 방향의 작용이며 이는 \(\mathbb{P}^n\) 입장에서는 그냥 trivial line bundle에 불과하다. 그럼 \(\mathbb{P}^n\)의 tangent space는 \(\mathbb{A}^{n+1}\)의 방향, 즉 1차식들을 이 trivial line bundle로 quotient한 후 남은 부분에 해당한다. 즉 tangent bundle에 해당하는 다음의 short exact sequence
\[0 \rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n}}\rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)^{\oplus (n+1)}\rightarrow T_{\mathbb{P}^n}\rightarrow 0\]가 존재하며 여기에 dual을 취하면 다음을 얻는다.
명제 7 (Euler Exact Sequence) \(\mathbb{P}^n\) 위에 정의된 vector bundle들의 exact sequence
\[0 \rightarrow \Omega_{\mathbb{P}^n}^1 \rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus(n+1)} \rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} \rightarrow 0\]가 존재한다.
이제 \(\mathbb{P}^n\)의 canonical bundle을 계산하기 위해서는 이 exact sequence에 top exterior power를 취해야 한다. 더 일반적으로, 다음의 short exact sequence
\[0\rightarrow E\rightarrow F\rightarrow L\rightarrow 0\]이 주어졌다 하자. 이때 \(E\)는 rank \(r\), \(L\)은 rank \(1\)의 vector bundle이라 하자. 이 sequence에 \(\bigwedge\nolimits^{\!r}(-)\)를 취하면, determinant가 tensor product와 compatible이라는 사실로부터
\[\det(F)\cong \det(E)\otimes \det(L)\]임을 안다. 이제 명제 7의 Euler exact sequence에 이를 적용하자. \(E=\Omega_{\mathbb{P}^n}^1\)은 rank \(n\), \(F=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus(n+1)}\)은 rank \(n+1\), \(L=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}\)은 rank \(1\)이므로
\[\det(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus(n+1)})\cong \det(\Omega_{\mathbb{P}^n}^1)\otimes \det(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n})\]이다. 우변의 \(\det(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n})\cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}\)이고, 좌변은 \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\otimes(n+1)}\cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-n-1)\)이므로
\[\omega_{\mathbb{P}^n}=\det(\Omega_{\mathbb{P}^n}^1)\cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-n-1)\]을 얻는다. 이 때 canonical divisor는 \(K_{\mathbb{P}^n}=-(n+1)H\)로 주어진다. 이 계산과 §선다발과 벡터다발, ⁋예시 16부터 \(\omega_{\mathbb{P}^n}\)은 regular section을 갖지 않는다는 것을 안다.
예시 8 위의 계산을 \(n\)-form의 transition function 관점에서도 확인할 수 있다. \(\mathbb{P}^n\)의 standard open cover \(U_i = \{\x_i \neq 0\}\) 위에서 affine coordinate을 \(\y_j^{(i)} = \x_j / \x_i\) (\(j \neq i\))로 놓으면, \(U_i\) 위의 \(n\)-form
\[d \y_1^{(i)} \wedge \cdots \wedge \widehat{d \y_i^{(i)}} \wedge \cdots \wedge d \y_n^{(i)}\]을 생각할 수 있다. \(U_i \cap U_j\) 위에서 \(\y_k^{(j)} = \x_k / \x_j = (\x_k / \x_i) / (\x_j / \x_i) = \y_k^{(i)} / \y_j^{(i)}\)이므로, \(k \neq i, j\)에 대해
\[d \y_k^{(j)} = d(\y_k^{(i)} / \y_j^{(i)}) = \frac{\y_j^{(i)} d \y_k^{(i)} - \y_k^{(i)} d \y_j^{(i)}}{(\y_j^{(i)})^2}\]이다. 따라서 \(U_j\) 위의 \(n\)-form은 \(U_i \cap U_j\)에서
\[\bigwedge_{k \neq j} d \y_k^{(j)} = (\y_j^{(i)})^{-(n+1)} \cdot \bigwedge_{k \neq i} d \y_k^{(i)}\]로 변환된다. 여기서 \((\y_j^{(i)})^{-(n+1)} = (\x_j / \x_i)^{-(n+1)}\)이므로, transition function이 \(g_{ij} = (\x_i / \x_j)^{-(n+1)}\)임을 확인할 수 있다. 이는 \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-n-1)\)의 transition function과 일치한다.
Adjunction Formula
많은 경우, 우리는 \(\mathbb{P}^n\)으로부터 적당히 많은 다항식들을 통해 얻어지는 variety들에 관심이 있다. 직관적으로 이는 smooth variety \(X\)의 smooth divisor \(D\)들을 계속하여 생각하여 얻아지는 것이다. 다음의 adjunction formula는 이러한 경우 \(X\)의 canonical line bundle로부터 \(D\)의 canonical line bundle을 계산하는 방법을 알려준다.
이를 위해, smooth variety \(X\)와 smooth divisor \(D\)에 대하여 다음의 short exact sequence
\[0\rightarrow \mathcal{I}_D\rightarrow \mathcal{O}_X\rightarrow \mathcal{O}_D\rightarrow 0\]을 만족하는 ideal sheaf \(\mathcal{I}_D=\mathcal{O}_X(-D)\)를 기억하자. (§선다발과 벡터다발, ⁋정의 17) 그럼 이로부터 \(\mathcal{I}_D\)의 일차근사 부분은
\[\mathcal{I}_D/\mathcal{I}_D^2=\mathcal{I}_D\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_D=\mathcal{O}_X(-D)\vert_D\]으로 주어지는 것을 계산할 수 있다. 한편 \(X\)와 \(D\)의 tangent sheaf \(\mathcal{T}_X=\Der(\mathcal{O}_X)\), \(\mathcal{T}_D=\Der(\mathcal{O}_D)\)를 각각 계산하자. 그럼 natural inclusion \(\mathcal{T}_D\rightarrow \mathcal{T}_X\vert_D\)이 존재하며, 이것의 cokernel을 normal sheaf \(\mathcal{N}_{D/X}\)으로 정의한다. 즉 다음의 short exact sequence
\[0\rightarrow \mathcal{T}_D\rightarrow \mathcal{T}_X\vert_D\rightarrow \mathcal{N}_{D/X}\rightarrow 0\]이 존재한다. 그럼 우리는 이 normal bundle \(\mathcal{N}_{D/X}\)의 dual이 곧 \(\mathcal{I}_D/\mathcal{I}_D^2\)가 된다는 것을 확인할 수 있다. 이러한 이유로 우리는 이를 conormal sheaf라 부르며, 구체적으로 이는 위의 short exact sequence의 dual에 해당하는
\[0 \rightarrow \mathcal{I}_D/\mathcal{I}_D^2\rightarrow \Omega_X^1\lvert D\rightarrow \Omega_D^1\rightarrow 0\]을 확인하여 얻어진다. 여기서 첫째 화살표는 \(f\mapsto df\)로 주어진다. 이 short exact sequence에 top exterior power를 취하면 다음을 얻는다.
명제 9 (Adjunction Formula) Smooth variety \(X\)의 smooth divisor \(D\)에 대해
\[\omega_D \cong (\omega_X \otimes \mathcal{O}_X(D))\vert_D\]이다.
이로부터 canonical divisor에 대한 주장 또한 바로 따라온다. 어쨌든, 이 명제가 담고 있는 주장은 ambient variety \(X\)의 canonical bundle \(\omega_X\)를 normal bundle \(\mathcal{O}_X(D)\)로 twist한 후 \(D\)로 restrict하면, subvariety \(D\)의 canonical bundle \(\omega_D\)가 나온다. 쉽게 말해, \(D\) 위의 differential form은 ambient space의 differential form에 normal direction의 정보를 추가하여 얻어진다는 것이다.
다음 예시는 이를 사용한 계산을 구체적으로 보여준다.
예시 10 \(C \subset \mathbb{P}^2\)가 degree \(d\)의 smooth curve라 하자. Adjunction formula에 의해
\[\omega_C \cong \omega_{\mathbb{P}^2}\vert_C \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(C)\vert_C \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-3)\vert_C \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d)\vert_C \cong \mathcal{O}_C(d-3)\]이다. 따라서 \(K_C \sim (d-3)H\vert_C\)이며, 이 때 \(H\vert_C\)의 degree가 \(d\)이므로 \(\deg K_C = d(d-3)\)이다.
한편, classical한 algebraic geometry에서 plane curve (즉 projective curve in \(\mathbb{P}^2\))의 genus는 그 degree로부터
\[g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}\]로 주어진다는 사실이 잘 알려져 있다. (Degree-genus formula) 이로부터 우리는
\[\deg K_C=d(d-3)=(d-1)(d-2)-2=2g-2\]가 됨을 확인할 수 있다.
Degree-genus formula는, 실은 다음 글에서 살펴볼 Riemann-Roch theorem의 특수한 경우이며, 우리는 다음 글에서 이를 사용하여 smooth curve를 살펴볼 것이다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977. (II.8. Differentials; III.7. The Dualizing Sheaf)
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