도입
Chow group은 variety의 “algebraic cycle”들의 group이다. 이는 homology/cohomology의 대수적 아날로그로, intersection theory의 기본적인 setting을 제공한다.
Chow group은 variety를 subvariety들의 “형식합”으로 이해하게 해주며, 두 cycle의 “intersection”을 정의할 수 있게 한다.
Algebraic Cycles
정의 1 Variety $X$의 algebraic $k$-cycle대수적 $k$-사이클은 $X$의 $k$차원 닫힌 기약 부분다양체들의 형식합이다:
\[Z = \sum_{i} n_i V_i\]여기서 $V_i \subset X$는 $k$차원 기약 닫힌 부분다양체이고 $n_i \in \mathbb{Z}$이다.
$k$-cycle들의 free abelian group을 $Z_k(X)$로 표기한다.
정의 2 Codimension $k$ cycle은 $(n-k)$-cycle과 같다 (여기서 $n = \dim X$). 이를 $Z^k(X) = Z_{n-k}(X)$로 표기한다.
예시 3 $\mathbb{P}^2$에서:
- $Z_2(\mathbb{P}^2)$: points들의 형식합
- $Z_1(\mathbb{P}^2)$: curves들의 형식합
- $Z_0(\mathbb{P}^2)$: $\mathbb{P}^2$ 자체의 정수배
Rational Equivalence
정의 4 Rational function $f \in \mathbb{K}(Y)^\ast$ on $(k+1)$-dimensional variety $Y$에 대해 principal cycle을 다음과 같이 정의한다:
\[\operatorname{div}(f) = \sum_{V \subset Y, \dim V = k} v_V(f) \cdot V\]여기서 $v_V(f)$는 $f$의 $V$에서의 valuation (order of zero/pole)이다.
정의 5 두 $k$-cycle $Z_1, Z_2$가 rationally equivalent유리 동치라는 것은 $Z_1 - Z_2 = \sum_j \operatorname{div}(f_j)$를 만족하는 principal cycle들의 유한합이 존재하는 것이다. 이를 $Z_1 \sim_{\text{rat}} Z_2$로 표기한다.
명제 6 Rational equivalence는 $Z_k(X)$ 위의 equivalence relation이다.
Chow Groups
정의 7 Chow groupChow 군 $\operatorname{CH}_k(X)$를 $k$-cycle들을 rational equivalence로 나눈 group으로 정의한다:
\[\operatorname{CH}_k(X) = Z_k(X) / \sim_{\text{rat}}\]Codimension $k$ Chow group: $\operatorname{CH}^k(X) = \operatorname{CH}_{n-k}(X)$
예시 8 ($\mathbb{P}^n$) $\operatorname{CH}_k(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$ for all $k$.
생성원은 $k$-dimensional linear subspace이다. 이는 $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$과 일치한다.
예시 9 (Smooth curve) Smooth projective curve $C$에 대해:
- $\operatorname{CH}_1(C) \cong \mathbb{Z}$ (생성원: $C$ 자체)
- $\operatorname{CH}_0(C) \cong \operatorname{Cl}(C)$ (divisor class group)
예시 10 (Affine space) $\operatorname{CH}_k(\mathbb{A}^n) = 0$ for $k < n$.
$\operatorname{CH}_n(\mathbb{A}^n) \cong \mathbb{Z}$ (생성원: $\mathbb{A}^n$ 자체).
Functoriality
명제 11 (Pushforward) Proper morphism $f: X \to Y$에 대해 pushforward $f_\ast: \operatorname{CH}_k(X) \to \operatorname{CH}_k(Y)$가 존재한다.
Subvariety $V \subset X$에 대해:
\[f_\ast[V] = \begin{cases} \deg(V / f(V)) \cdot [f(V)] & \dim f(V) = \dim V \\ 0 & \dim f(V) < \dim V \end{cases}\]명제 12 (Pullback) Flat morphism $f: X \to Y$에 대해 pullback $f^\ast: \operatorname{CH}^k(Y) \to \operatorname{CH}^k(X)$가 존재한다.
예시 13 Projection $\pi: \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$에 대해:
\[\pi_\ast[\mathbb{P}^1 \times \{p\}] = [p] \in \operatorname{CH}_0(\mathbb{P}^1) \cong \mathbb{Z}\]Relation to Other Theories
명제 14 (vs. Divisor class group) Smooth variety $X$에 대해:
\[\operatorname{CH}^1(X) \cong \operatorname{Cl}(X) \cong \operatorname{Pic}(X)\]명제 15 (vs. Homology) Complex variety $X$에 대해 cycle class map이 존재한다:
\[\operatorname{CH}_k(X) \to H_{2k}(X, \mathbb{Z})\]이 map은 일반적으로 injective도 surjective도 아니다.
Chow Ring
정리 16 Smooth variety $X$에 대해 Chow group $\operatorname{CH}^\ast(X) = \bigoplus_k \operatorname{CH}^k(X)$는 intersection product에 대해 graded ring을 이룬다.
예시 17 ($\mathbb{P}^n$) $\operatorname{CH}^\ast(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}[H] / (H^{n+1})$
여기서 $H$는 hyperplane class이다. $H^k$는 $k$-codimensional linear subspace를 나타낸다.
참고문헌
[Ful] W. Fulton, Intersection Theory, Springer, 1984.
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
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